Modelagem Matematica de Sistemas - Controle de Processos

Controle de Processos Prof Flávio da Silva Vitorino Gomes Modelagem Matemática de Sistemas Introdução Para compreender e controlar sistemas complexos é necessário obter modelos matemáticos quantitativos desses sistemas É necessário portanto analisar o relações entre as variáveis do sistema Como os sistemas em consideração são de natureza dinâmica a descrição descritiva das equações são geralmente equações diferenciais Além disso se essas equações puderem ser linearizadas então a Transformada de Laplace pode ser usada para simplificar o método de solução do sistema Introdução Na prática a complexidade dos sistemas e nosso desconhecimento a respeito de todos os aspectos relevantes exigem a introdução de suposições relativas à operação do sistema Portanto muitas vezes fazemos suposições necessárias e linearizamos o sistema Usando leis físicas que descrevem um sistema linear equivalente podemos obter um conjunto de equações diferenciais lineares ordinárias invariantes no tempo Finalmente usando ferramentas matemáticas como o Transformada de Laplace obtemos uma solução que descreve o funcionamento do sistema A abordagem para a modelagem de sistemas dinâmicos pode ser listada como Definir o sistema e seus componentes Formular o modelo matemático e as principais hipóteses necessárias baseandose em princípios básicos Obter as equações diferenciais representando o modelo matemático Resolver as equações para as variáveis de saída desejadas Introdução Introdução Neste curso focaremos em sistemas físicos mais comuns A modelagem de sistemas complexos é difícil e caro especialmente quando a construção e testes de protótipos são inclusos Modelagem matemática é a área de conhecimentos que estuda maneiras de desenvolver e implementar modelos matemáticos de sistemas reais O modelo desenvolvido para um determinado sistema é apenas uma representação aproximada Como consequência não existe o modelo do sistema mas uma família de modelos com características e desempenho variados O modelo é uma aproximação de apenas algumas características do sistema real Um modelo que contenha muitas das características do sistema real é um alvo normalmente intangível O modelamento matemático ou modelo dinâmico do processo a ser controlado significa um conjunto de equações diferenciais que descrevem o comportamento dinâmico do sistema Introdução Modelagem física caixa branca A modelagem é realizada com base nas equações físicoquímicas do processo Demanda conhecimento profundo do processo Identificação caixa preta Uso de observações do sistema para se verificar as propriedades de modelo para determinado sistema Modelagem mista caixa cinza Apenas alguns subsistemas estão disponíveis para modelagem física Introdução Introdução Como validar modelos Validação de modelos é feita comparando o comportamento do modelo com o sistema existente e avaliando a diferença É importante entender que todos os modelos tem um domínio limitado de validação Ex Lei de movimento de Newton é válido com boa precisão em uma larga faixa do espectro de velocidade mas na velocidade da luz é impossível descrever o movimento das partículas É perigoso usar um modelo fora de sua área de validação Modelos e simulações nunca podem substituir observações e experimentos mas constitui um importante e usual complemento Introdução Tipos de Modelos Matemáticos Determinístico x estocástico Dinâmico x estático Contínuo no tempo x discreto no tempo Introdução Aproximação Linear de Sistemas Físicos A grande maioria dos sistemas físicos é linear dentro de alguma faixa de variáveis Em geral os sistemas acabam por se tornar não lineares à medida que as variáveis aumentam sem limites Aproximação Linear de Sistemas Físicos Por exemplo o sistema molamassaamortecedor abaixo é linear desde que a massa esteja sujeita a pequenas deflexões yt Contudo se yt fosse continuamente aumentado eventualmente a mola seria esticada demais e quebraria Portanto a questão da linearidade e da gama de aplicabilidade deve ser considerado para cada sistema M massa B constante da mola K coeficiente de atrito Aproximação Linear de Sistemas Físicos Sistema Linear Um sistema é dito linear se o princípio de superposição se aplicar a ele Princípio da superposição a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas funções diversas é a soma das duas respostas individuais Ou seja a resposta a diversas entradas pode ser calculada tratando uma entrada de cada vez e somando os resultados Sistema Lineares InvariantesVariantes no Tempo A equação diferencial é linear se os coeficientes forem constantes ou somente funções de variável independente Se os coeficientes são constantes Sistema invariante no tempo Se os coeficientes são funções do tempo Sistema variante no tempo Revisão de Números Complexos Um número imaginário é definido como o produto da unidade imaginária j com um número real Assim podese por exemplo escreverse um número imaginário como jb Um número complexo é a soma de um número real e um número imaginário de modo que Revisão de Números Complexos O número complexo pode ser representado em um espaço de coordenadas retangulares chamado de plano complexo O plano complexo possui um eixo real e um eixo imaginário como mostrado abaixo Esta forma é chamada forma retangular Revisão de Números Complexos Uma maneira alternativa de se expressar um número complexo c é usar a distância r a partir da origem e o ângulo Ɵ Esta forma é chamada de forma angular Revisão de Números Complexos O número r é também chamado de magnitude de c denotada como c O ângulo θ também pode ser denotado pela forma Assim podese representar o número complexo na forma polar como Revisão de Números Complexos O conjugado de um número complexo c a jb é designado por c e é definido como c a jb Na forma polar temse c r θ Para se somar ou subtrair dois números complexos somamse ou subtraemse suas partes reais e suas partes imaginárias Portanto se c a jb e d f jg então c d a jb f jg a f jb g A multiplicação de dois números complexos é obtida como a seguir observese que j2 1 cd a jbf jg af jag jbf j2 bg af bg jag bf Revisão de Números Complexos Alternativamente utilizase a forma polar para se obter cd r₁θ₁r₂θ₂ r₁r₂θ₁ θ₂ G17 onde c r₁θ₁ e d r₂θ₂ A divisão de um número complexo por outro número complexo é facilmente obtida usandose a forma polar como a seguir cd r₁θ₁r₂θ₂ r₁r₂θ₁ θ₂ G18 É mais fácil somar e subtrair números complexos na forma retangular e multiplicar e dividilos na forma polar Algumas relações úteis para números complexos são resumidas na Tabela G1 1 1j j 2 jj 1 3 j² 1 4 1π2 j 5 c rᵏkθ Transformada de Laplace O método da transformada de Laplace substitui as equações diferenciais de difícil solução por equações algébricas relativamente fáceis de serem resolvidas A solução da resposta no domínio do tempo é obtida Obter as eq diferenciais linearizadas Obter a transformada de Laplace das equações diferenciais Resolver a equação algébrica resultante para a transformada da variável de interesse Transformada de Laplace A transformada de Laplace existe para equações diferenciais lineares para as quais a integral da transformação converge Portanto para que ft seja transformável é suficiente que Sinais que são fisicamente realizáveis sempre possuem uma transformada de Laplace A transformação de Laplace para uma função de tempo ft é Transformada de Laplace Sinais que são fisicamente realizáveis sempre possuem uma transformada de Laplace A transformação de Laplace para uma função de tempo ft é A transformada inversa de Laplace é escrita como Transformada de Laplace Transformada de Laplace 0 dt e st ft uma função de tempo t em que ft 0 para t 0 s uma variável complexa Fs transformada de Laplace de ft L Operador de Laplace um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser tranformada por meio da integral de Laplace Então a transformada de Laplace de ft é dada por 0 f t dt e F s st L ft Transformada de Laplace Fs ₀ eˢᵗ ft dt u dv u v v du 𝓛ft ₀ eˢᵗ ft dt u eˢᵗ du s eˢᵗ dv ft dt dv ft dt v ft 𝓛ft ₀ eˢᵗ ft dt eˢᵗ ft ft s eˢᵗ dt ₀ eˢᵗ ft dt eˢᵗ ft₀ s ₀ eˢᵗ ft dt 1eˢ f e⁰ 1 f0 Fs s Fs 𝓛ft f0 s Fs 𝓛ft f0 s 𝓛ft Transformada de Laplace ft 1 𝓛1 ₀ eˢˡ1 dt limM ₀ᴹ eˢˡ dt limM eˢˡs₀ᴹ limM 1 eˢˡᴹ s 1s si s 0 ft eᵃᵗ 𝓛eᵃᵗ ₀ eˢˡ eᵃᵗ dt limM ₀ᴹ esat dt limM esat sa₀ᴹ limM 1 esaᴹ s a 1s a si s a ft yt TL de la primera derivada Usaremos la definición general 𝓛yt Ys Y 𝓛yt ₀ eˢˡ yt dt limM ₀ᴹ eˢˡ yt dt limM eˢˡ yt₀ᴹ s ₀ᴹ eˢˡ yt dt limM eˢᴹ yM y0 s ₀ eˢˡ yt dt y0 s ₀ eˢˡ yt dt y0 s Ys s Ys y0 ft yt TL de la segunda derivada Definimos una nueva función gt yt Entonces 𝓛yt 𝓛gt s 𝓛gt g0 s 𝓛yt y0 ss Ys y0 y0 s² Ys s y0 y0 Transformada de Laplace As integrais de transformação foram empregadas para gerar tabelas de Transformadas de Laplace que são usadas para a grande maioria dos problemas Transformada de Laplace ft Fs δt 1 ut 1s tut 1s² tⁿut nsⁿ¹ eᵃᵗut 1s a sin ωtut ωs² ω² cos ωtut ss² ω² Transformada de Laplace ft Fs Step function ut 1s eᵃᵗ 1s a sin ωt ωs² ω² cos ωt ss² ω² tⁿ nsⁿ¹ fᵏt dᵏftdtᵏ sᵏFs sᵏ¹f0 sᵏ²f0 fᵏ¹0 t ft dt Fss 1s 0 ft dt Impulse function δt 1 eᵃᵗ sin ωt ωs a² ω² Transformada de Laplace ft Fs eᵃᵗ cos ωt s as a² ω² 1ω α a² ω² ¹² eᵃᵗ sinωt φ s αs a² ω² φ tan¹ ωα a ωₙ1 ζ² eζωₙt sin ωₙ1 ζ²t ζ 1 ωₙ²s² 2ζωₙs ωₙ² 1a² ω² 1ωa² ω² eᵃᵗ sinωt φ 1 ss a² ω² φ tan¹ ωa 1 11 ζ² eζωₙt sinωₙ1 ζ²t φ ωₙ² ss² 2ζωₙs ωₙ² φ cos¹ ζ ζ 1 αa² ω² 1ω α a² ω² a² ω² ¹² eᵃᵗ sinωt φ s α ss a² ω² Transformada de Laplace Theorem Name Lft Fs ₀ fteˢᵗ dt Definition Lkft kFs Linearity theorem Lf₁t f₂t F₁s F₂s Linearity theorem Leªᵗ ft Fs a Frequency shift theorem Lft T eˢᵀ Fs Time shift theorem Lfat 1a Fsa Scaling theorem Ldfdt sFs f0 Differentiation theorem Ld²fdt² s²Fs sf0 f0 Differentiation theorem Ldⁿfdtⁿ sⁿFs k1 to n sⁿ ᵏ ck ¹0 Differentiation theorem L₀ᵗ fτdτ Fss Integration theorem f lim s0 sFs Final value theorem¹ f0 lim s sFs Initial value theorem² Revisão de Frações Parciais Para encontrar a transformada inversa de Laplace de uma função complicada podemos converter a função para uma soma de termos mais simples para os quais conhecemos a transformada de Laplace de cada termo O resultado é chamada de expansão em frações parciais Se F1s NsDs onde a ordem de Ns é menor que a ordem de Ds então uma expansão em frações parciais pode ser feita Se a ordem de Ns for maior igual à ordem de Ds então Ns deve ser dividido por Ds sucessivamente até que o resultado tem um resto cujo numerador é de ordem menor que seu denominador Revisão de Frações Parciais Expansão em Frações Parciais Por exemplo se 2 3 4 5 4 2 2 3 1 s s s s s s F Efetuase a divisão de Ns por Ds o que resulta em 2 3 2 1 2 1 s s s s F Aplicandose a tabela de transformada inversa de Laplace 2 3 2 2 1 1 s s L t dt t d f t O termo restante pode agora ser expandido em frações parciais como será apresentado a seguir Revisão de Frações Parciais Caso 1 Raízes reais e distintas Considere 2 1 2 s s s F A função Fs em frações parciais como 2 1 2 1 2 2 1 s k s k s s s F onde k1 e k2 são denominados de resíduos da expansão Para obter k1 multiplicase Fs por s1 ou seja 2 2 2 1 1 2 s s s s s F Agora fazendo s 1 2 2 1 2 1 k Revisão de Frações Parciais Caso 1 Raízes reais e distintas Analogamente para k2 2 1 2 2 2 k Substituindo k1 e k2 em Fs e aplicando a Tabela da transformada de Laplace obtémse que 2 2 2 u t e e t f t t Revisão de Frações Parciais Problema Dada a seguinte equação diferencial obter a solução yt utilizando Laplace Admita condições iniciais nulas 32 32 12 2 2 u t y dt dy dt d y Solução aplicando Laplace obtémse 32 12 32 32 32 12 2 2 s s s Y s s Y s sY s Y s s Conseqüentemente 8 4 8 4 32 32 12 32 3 2 1 2 s k s k s k s s s s s s s Y onde 1 8 4 32 0 1 s s s k 2 2 k k3 1 e Solução portanto 2 1 8 1 4 2 1 8 4 u t e e y t s s s s Y t t Revisão de Frações Parciais Problema Dada a seguinte equação diferencial obter a solução yt utilizando Laplace Admita condições iniciais nulas 2 1 8 1 4 2 1 8 4 u t e e y t s s s s t t Revisão de Frações Parciais Caso 2 Raízes reais e repetidas Seja 2 2 1 2 s s s F A expansão da função Fs em frações parciais é 2 2 1 2 1 2 3 2 2 1 2 s k s k s k s s s F Na expressão acima k1 2 pode ser obtido da forma convencional K2 pode ser obtido como segue 2 2 2 1 2 2 s s s s F O que resulta em 1 2 s Revisão de Frações Parciais Caso 2 Raízes reais e repetidas fazendo s 2 obtémse k2 2 Para obter k3 derivase a expressão acima em relação a s 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 s s dt ds s s s dt ds s F atribuindo s 2 k3 2 Desta forma t t t e te e s s s L 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 Revisão de Frações Parciais Caso 3 Raízes complexas ou imaginárias Seja Esta função pode ser expandida como k1 é obtido pelo método habitual ou seja k1 35 Para obter k2 e k3 fazse 5 2 3 2 s s s s F 5 2 5 2 3 2 3 2 1 2 s s k s k s k s s s 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 3 2 2 3 2 2 1 2 2 s s s k s s s k s s s s k s s s s s s Substituindo k1 35 e simplificando as frações obtémse 3 5 6 5 3 3 3 2 2 s k s k 0 5 3 2 k 0 5 6 3 k Revisão de Frações Parciais Caso 3 Raízes complexas ou imaginárias Desta forma k2 35 e k3 65 Assim 5 2 2 5 3 5 3 5 2 3 2 2 s s s s s s s s F 2 2 cos a s a A s t L Ae at Adicionando os dois termos Por Tabela obtémse que 2 2 sin a s B t L Be at 2 2 sin cos a s B a A s t Be t L Ae at at Reescrevendo Fs como 2 2 2 1 1 22 1 5 3 35 s s s F s Revisão de Frações Parciais Caso 3 Raízes complexas ou imaginárias Comparando com a expressão anterior obtémse que t t e t f t 2 sin 2 1 cos2 5 3 5 3 Revisão de Frações Parciais Para cada uma das funções de transferência a seguir escreva equação diferencial correspondente gt 362exp25tsen193t gt 15exp10t 15exp11t Função de Transferência Após revisarmos o conceito de transformada de Laplace e sua inversa apresentamos a ideia da expansão em frações parciais aplicando os conceitos à solução de problemas contendo equações diferenciais lineares e invariantes no tempo Estamos agora prontos para formular a representação do sistema mostrado abaixo estabelecendo uma definição viável para uma função que relaciona algebricamente a saída de um sistema com sua entrada Função de Transferência Esta função permitirá a separação da entrada sistema e saída em três partes separadas e distintas ao contrário da equação diferencial A função também nos permitirá combinar algebricamente representações matemáticas de subsistemas para produzir uma representação total do sistema Função de Transferência Esta função permitirá a separação da entrada sistema e saída em três partes separadas e distintas ao contrário da equação diferencial A função também nos permitirá combinar algebricamente representações matemáticas de subsistemas para produzir uma representação total do sistema Função de Transferência Vamos começar escrevendo uma equação diferencial genérica de enésima ordem linear e invariante no tempo onde ct é a saída rt é a entrada e os as bs e a forma da equação diferencial representam o sistema Função de Transferência Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados e desconsiderando e supondo que todas as condições iniciais sejam zero temos Função de Transferência A função de transferência pode ser representada como um diagrama de blocos conforme mostrado abaixo com a entrada à esquerda a saída à direita e o função de transferência do sistema dentro do bloco Anotem que podemos encontrar a saída Cs usando a FT e a entrada Rs Função de Transferência 1 A função de transferência de um sistema é um modelo matemático no sentido de que constitui um método operacional de expressar a equação diferencial que relaciona a variável de saída à variável de entrada 2 A função de transferência é uma propriedade intrínseca do sistema independentemente da magnitude e da natureza do sinal de entrada ou função de excitação Função de Transferência 3 A função de transferência inclui as unidades necessárias para relacionar o sinal de entrada ao sinal de saída No entanto ela não fornece qualquer informação referente à estrutura física do sistema funções de transferência de sistemas fisicamente diferentes podem ser idênticas 4 Se a função de transferência de um sistema for conhecida a saída ou a resposta pode ser estudada para várias formas de entradas com vistas ao entendimento da natureza do sistema Função de Transferência 5 Se a função de transferência de um sistema for desconhecida ela pode ser estabelecida experimentalmente introduzindose sinais de entrada conhecidos e estudandose o sinal de saída do sistema Uma vez estabelecida a função de transferência fornece uma descrição completa das características dinâmicas do sistema tão precisas quanto aquelas obtidas a partir de sua descrição física Função de Transferência PROBLEM Find the transfer function represented by dctdt 2ct rt 255 SOLUTION Taking the Laplace transform of both sides assuming zero initial conditions we have sCs 2Cs Rs 256 The transfer function Gs is Gs CsRs 1s 2 257 Função de Transferência PROBLEM Use the result of Example 24 to find the response ct to an input rt ut a unit step assuming zero initial conditions SOLUTION To solve the problem we use Eq 254 where Gs 1s 2 as found in Example 24 Since rt ut Rs 1s from Table 21 Since the initial conditions are zero Cs RsGs 1ss 2 258 Expanding by partial fractions we get Cs 12s 12s 2 259 Finally taking the inverse Laplace transform of each term yields ct 12 12 e²ᵗ 260 PROBLEM Find the transfer function GsCsRs corresponding to the differential equation d3cdt3 3 d2cdt2 7 dcdt 5 c d2rdt2 4 drdt 3 r ANSWER Gs CsRs s2 4s 3 s3 3s2 7s 5 PROBLEM Find the differential equation corresponding to the transfer function Gs 2s 1 s2 6s 2 ANSWER d2cdt2 6 dcdt 2c 2 drdt r PROBLEM Find the ramp response for a system whose transfer function is Gs s s 4s 8 ANSWER ct 132 116 e4t 132 e8t Modelagem de Sistemas Físicos Em geral um sistema físico que pode ser representado por uma equação diferencial linear e invariante no tempo pode ser modelada como uma função de transferência O resto deste capítulo será dedicado à tarefa de modelar subsistemas individuais Aprenderemos como representar redes elétricas sistemas mecânicos translacionais sistemas mecânicos rotacionais e sistemas eletromecânicos como funções de transferência Função de Transferência de Sistemas Elétricos As leis fundamentais que governam os sistemas elétricos são Leis de Kirchoff A LKC diz que a soma das correntes que entram em um nó é igual a zero e a LKT diz que a soma das quedas de tensão dentro de uma malha é igual a zero Lei de Ohm Determina a relação entre tensão e corrente em um elemento Função de Transferência de Sistemas Elétricos Os circuitos equivalentes para as redes elétricas com as quais trabalhamos consistem primeiro em três componentes lineares passivos resistores capacitores e indutores Impedância Z Impedância R Resistência X Reatância Y Admitância G Condutância B Susceptância Admitância é o inverso da impedância Admitância é medida em siemens S Impedância é medida em ohms Função de Transferência de Sistemas Elétricos A tabela abaixo resume o componentes e as relações entre tensão e corrente e entre tensão e carga sob condições iniciais zero Função de Transferência de Sistemas Elétricos Encontre a função de transferência relacionando a tensão do capacitor Vcs e a tensão de entrada Vs Função de Transferência de Sistemas Elétricos Somando as tensões ao redor do circuito assumindo condições iniciais zero produz a equação integrodiferencial para esta rede como Alterando variáveis de corrente para carga usando Da relação tensãocarga para um capacitor na tabela anterior Substituindo as equações Função de Transferência de Sistemas Elétricos Tomando a transformada de Laplace assumindo condições iniciais nulas reorganizando os termos e simplificando o rendimento Resolvendo a função de transferência VcsVs obtemos Resultando no diagrama de bloco Função de Transferência de Sistemas Elétricos Função de Transferência de Sistemas Elétricos Substituindo Is pela equação abaixo chegaremos na mesma equação anterior Função de Transferência de Sistemas Elétricos Função de Transferência de Sistemas Elétricos Dado o circuito mostrado na figura abaixo determine a função de transferência I2sVs O primeiro passo para a solução é converter o circuito em transformadas de Laplace para impedâncias e variáveis do circuito admitindo condições iniciais nulas O resultado é mostrado abaixo Função de Transferência de Sistemas Elétricos O circuito com o qual estamos lidando requer duas equações simultâneas para obtermos a função de transferência Essas equações podem ser obtidas somandose as tensões ao longo de cada malha através das quais admitimos que circulem correntes I1s e I2s Para a Malha 1 em que circula I1s Para a Malha 2 em que circula I2s Função de Transferência de Sistemas Elétricos Combinando os termos se tornam equações simultâneas em I1s e I2s Podemos utilizar a regra de Cramer ou qualquer outro método para resolver equações simultâneas para resolver as equações acima para I2sAssim Função de Transferência de Sistemas Elétricos Formando a função de transferência Gs resulta em Tivemos sucesso em modelar um sistema físico como uma função de transferência o circuito inicial é agora modelado através da função de transferência acima Antes de concluir o exemplo observamos um padrão ilustrado abaixo Amplificador operacional ampop é um amplificador diferencial de alto ganho com uma alta impedância de entrada geralmente em M e baixa impedância de saída menos de 100 Observe que o ampoop tem duas entradas e uma saída Amplificadores operacionais Entrada Nãoinversora Entrada Inversora Amplificador ideal Amplificadores operacionais O sinal de entrada é aplicado à entrada inversora A entrada não inversora está aterrada O resistor de realimentação Rf está conectado da saída à entrada negativa inversora fornecendo realimentação negativa Amplificadores operacionais Terra virtual um termo utilizado para descrever a condição na qual Vi 0 V na entrada inversora quando a entrada não inversora está aterrada O ampop tem uma impedância de entrada tão alta que mesmo com um ganho alto não há corrente ao longo do plugue de entrada inversora por essa razão toda a corrente de entrada passa pelo Rf Amplificadores operacionais Amplificador Inversor Amplificadores operacionais Amplificadores operacionais Find the transfer function VosVis for the circuit given in Figure 211 C1 56 μF R1 360 kΩ R2 220 kΩ C2 01 μF Z1s 1 C1s 1R1 1 56 10⁶ s 1 360 10³ 360 10³ 2016s 1 Z2s R2 1 C2s 220 10³ 10⁷ s VosVis 1232 s² 4595s 2255 s Amplificador Nãoinversor Amplificadores operacionais Amplificadores operacionais Find the transfer function VosVis for the circuit given in Figure 213 Z1s R1 1 C1s Z2s R2 1 C2s R2 1 C2s VosVis C2 C1 R2 R1 s² C2 R2 C1 R2 C1 R1 s 1 C2 C1 R2 R1 s² C2 R2 C1 R1 s 1 Função de Transferência de Sistemas Mecânicos Os sistemas mecânicos são similares às redes elétricas de tal forma que há analogias entre componentes e variáveis elétricas e mecânicas Os sistemas mecânicos como as redes elétricas têm três componentes lineares passivos Dois deles a mola e a massa são elementos de armazenamento de energia um deles o amortecedor viscoso dissipa energia Os dois elementos de armazenamento de energia são análogos aos dois elementos elétricos elementos de armazenamento de energia o indutor e o capacitor O dissipador de energia é análogo à resistência elétrica Função de Transferência de Sistemas Mecânicos As leis fundamentais que governam os sistemas mecânicos são as leis de Newton 1ª Lei Todo corpo em repouso ou em movimento tende a manter o seu estado inicial 2ª Lei A resultante das forças que agem num corpo é igual ao produto de sua massa pela sua aceleração 3ª Lei Para toda força aplicada existe outra de igual módulo e direção mas com sentido oposto Função de Transferência de Sistemas Mecânicos A semelhança entre os sistemas mecânicos e os circuitos elétricos é grande o que permite traçar um paralelo entre os componentes e as variáveis desses dois sistemas Possuem três componentes lineares passivos Massa elemento armazenador de energia Mola elemento armazenador de energia Amortecedor viscoso elemento dissipador de energia Obedecem a segunda lei de Newton onde vetor soma de todas as forças aplicadas em cada corpo e um sistema Unidade Newton N SI m massa do corpo em kg vetor aceleração de cada corpo ms2 m a F F a Função de Transferência de Sistemas Mecânicos Determine a função de transferência XsFs para o sistema da figura abaixo Função de Transferência de Sistemas Mecânicos Comece a solução desenhando o diagrama de corpo livre mostrado abaixo Coloque sobre a massa todas as forças exercidas sobre ela Admitimos que a massa esteja se movendo para a direita Assim apenas a força aplicada é orientada para a direita todas as demais forças dificultam o movimento e atuam para se opor a ele Assim as forças da mola do amortecedor viscoso e a decorrente da aceleração são orientadas para a esquerda Escrevemos agora a equação diferencial de movimento utilizando a lei de Newton para igualar a zero a soma de todas as forças mostradas atuando sobre a massa Função de Transferência de Sistemas Mecânicos Aplicando a transformada de Laplace admitindo condições iniciais nulas Resolvendo para a função de transferência resulta em Função de Transferência de Sistemas Mecânicos Muitos sistemas mecânicos são similares a circuitos elétricos com múltiplas malhas e múltiplos nós no quais mais de uma equação diferencial simultânea é necessária para descrever o sistema Nos sistemas mecânicos o número de equações de movimento necessárias é igual ao número de movimentos linearmente independentes A independência linear significa que um ponto de movimento em um sistema ainda pode se mover mesmo que todos os demais pontos de movimento permaneçam imóveis Outro nome para o número de movimentos linearmente independentes é o número de graus de liberdade Função de Transferência de Sistemas Mecânicos Determine a função de transferência X2sFs para o sistema abaixo O sistema possui dois graus de liberdade uma vez que cada uma das massas pode ser movida na direção horizontal enquanto a outra é mantida imóvel Assim duas equações de movimento simultâneas serão necessárias para descrever o sistema As duas equações são obtidas a partir de diagramas de corpo livre de cada uma das massas O princípio da superposição é utilizado para se desenhar os diagramas de corpo livre Por exemplo as forças sobre M1 são decorrentes 1 de seu próprio movimento e 2 do movimento de M2 transmitido para M1 através do sistema Consideraremos essas duas fontes separadamente Função de Transferência de Sistemas Mecânicos Se mantivermos M2 imóvel e movermos M1 para a direita consideramos as forças mostradas abaixo Se mantivermos M1 imóvel e movermos M2 para a direita consideramos as forças mostradas abaixo Função de Transferência de Sistemas Mecânicos A força total sobre M1 é a superposição ou soma das forças anteriormente discutidas Este resultado é mostrado a seguir Para M2 procedemos de maneira análoga primeiro movemos M2 para a direita enquanto mantemos M1imóvel em seguida movemos M1para a direita e mantemos M2imóvel Para cada um dos casos calculamos as forças sobre M2 Os resultados são apresentados abaixo Função de Transferência de Sistemas Mecânicos A transformada de Laplace das equações de movimento pode agora ser escrita como Disto a função de transferência X2sFs é em que Função de Transferência de Sistemas Mecânicos Observe que a forma das equações é similar às equações das malhas elétricas Função de Transferência de Sistemas Mecânicos Para o sistema abaixo determine a função de transferência Gs X1sFs Sistemas Análogos Série 94 Sistema Mecânico Sistema Elétrico Sistemas Análogos Paralelo Sistema Mecânico Sistema Elétrico Funções de Transferência de Alguns Sistemas Funções de Transferência de Alguns Sistemas Linearização de Modelos Os modelos desenvolvidos até aqui são descritos aproximadamente por eq diferenciais lineares e invariantes no tempo Um sistema linear possui duas propriedades superposição e homogeneidade Superposição a resposta na saída de um sistema à soma de entradas é igual à soma das respostas às entradas individuais Homogeneidade a multiplicação de um escalar por um escalar fornece uma resposta que é multiplicada pelo mesmo escalar Sistema Linear Sistema NãoLinear Saturação de um Amplificador Zona Morta de um motor Folga em um par de engrenagens Linearização de Modelos Um projetista muitas vezes pode realizar uma aproximação linear em um sistema nãolinear As aproximações simplificam a análise e o projeto de um sistema e são utilizadas desde que os resultados forneçam uma boa aproximação da realidade Na prática muitos sistemas eletromecânicos hidráulicos e outros envolvem relações nãolineares entre as variáveis Por exemplo a saída de um componente pode ser saturada para sinais de entrada de grande amplitude podendo existir um espaço morto que afeta pequenos sinais o espaço morto de um componente é uma pequena gama de variações de entrada às quais o componente é insensível Linearização de Modelos Como linearizar sistemas nãolineares Uma operação normal do sistema pode ser em torno do ponto de equilíbrio e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do equilíbrio Entretanto se o sistema operar em torno de um ponto de equilíbrio e se os sinais envolvidos forem pequenos então é possível aproximar o sistema nãolinear por um sistema linear Esse sistema linear é equivalente ao sistema nãolinear considerado dentro de um conjunto limitado de operações O processo de linearização a seguir é realizado através do desenvolvimento da função nãolinear em uma série de Taylor em torno do ponto de operação e a retenção somente do termo linear Linearização de Modelos Como linearizar sistemas nãolineares Uma operação normal do sistema pode ser em torno do ponto de equilíbrio e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do equilíbrio Entretanto se o sistema operar em torno de um ponto de equilíbrio e se os sinais envolvidos forem pequenos então é possível aproximar o sistema nãolinear por um sistema linear Esse sistema linear é equivalente ao sistema nãolinear considerado dentro de um conjunto limitado de operações O processo de linearização a seguir é realizado através do desenvolvimento da função nãolinear em uma série de Taylor em torno do ponto de operação e a retenção somente do termo linear Bibliografia Básica 102 RCDorf e RHBishop Modern Control Systems 12a ed Prentice Hall 2011 Capítulo 2 NSNise Engenharia de Sistemas de Controle 6aed John WileySons 2011 Capítulo 2 KOgata Engenharia de Controle Moderno 5a ed Pearson Education 2011 Capítulo 3 Obrigado Professor Flavio da Silva Vitorino Gomes flaviocearufpbbr