Multiplicadores de Lagrange - Maximização da Área do Triângulo em Esfera

Utilizando o método multiplicadores de lagrange responda Lagrange Seja S a esfera de raio 1 e centro 000 Sejam P1 100 e P2650 Determine o ponto P3xyz de modo que o triângulo ΔP1P2P3 tenha área máxima Agora podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de x y z e λ Isso fornecerá o ponto P3 que maximiza a área do triângulo 3 A primeira eq nos diz que λ b² Substituindo λ na segunda e na terceira obtemos a²z abx b²y b²y bz Substituindo na quarta temos x² y² z² 1 Da primeira eq b²x b²x o que é verdade não nos dá inf adicionais Da segunda a²z abx b²y a²z abx b²y Subso λ em b²y a²z abx b²y Agora podemos multiplicar a primeiro eq por a e a segundo por b para eliminar x a³z a²bx a b² y a²b z a b²x b³ y Somando as duas eq obtemos a³z a² b z a b x ab b² a b y Dividindo por a b a² z ab x b² y Isso é verdade pela segunda eq original então não adiciona novas informações Usando o teorema de Lagrange A12 P3P2 x P1P3 Vamos definir a função a ser maximizada fxyz 12 P3P2 x P1P3 Para isso precisamos das posições de P3 P2 e P3 em termos de x y e z Temos P1 100 P2 ab0 P3 xyz Agora vamos calcular P3P2 e P1P3 P3P2 P2 P1 a1 b 0 P3P3 P3 P1 x 1 y z o Produto vetorial de P3P2 x P1P3 é dado por P3P2 x P1P3 b z a z b x b y A área do triângulo é então A 12 b² z² a z b x² b² y² A condição de máximo ocorre quando o gradiente de f é paralelo ao vetor normal da esfera O gradiente de f é dado por f b² x a² z a b x b² y A equação normal da esfera é r xyz portanto a condição de máximo é dado por f λ r Substituindo os componentes b² x λ x a² z a b x λ y b² y λ z Além disso temos a eq da esfera x² y² z² 1 Da terceira eq b²y bz isso implica que b 2 Substituindo b 2 na ultima eq eq da esfera x² y² z² 1 Obtemos x² y² 2² 1 x² y² z² 1 Isso já é satisfatório pela eq da esfera Portanto a solução da última eq original é x x y y z b λ b² Isso significa que o ponto P3 que maximiza o ΔP1P2P3 é P3 x y b onde b é o valor de z na eq da esfera x² y² z² 1