Prova P2 Calculo II FATEC - Funil e Derivadas Parciais

FATEC MIGUEL REALE CÁLCULO II prof dr HENRIQUE FURIA SILVA PROVA P2 06122023 APRESENTE TODOS OS RESULTADOS NOS VALORES EXATOS SEM QUAISQUER APROXIMAÇÕES Projeto de funil Considere os seguintes parâmetros dados a 7 b 2 c 0 x0 b2 y0 a2 z0 hx0y0 Considere a seguinte função de duas variáveis reais R² x y fx y lna x² b y² Responda a todas as questões apresentando o valor exato e justificando todos os passos a Determine o domínio da função b Utilize um programa de computador para desenhar o gráfico da função c Calcule as derivadas parciais da função d Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto P x0 y0 z0 Questão 1 a temos 𝑓 ln7𝑥2 2𝑦2 Para que o logaritmo esteja definido o termo dentro dele deve ser positivo de modo que o domínio é dado por 7𝑥2 2𝑦2 0 Assim o único ponto para o qual esta inequação não é satisfeita é em 𝑥 𝑦 0 logo o domínio da função é todo o conjunto 𝑅2 menos o ponto 00 b gráfico feito com o geogebra 3d httpswwwgeogebraorg3dlangpt c as derivadas parciais são 𝑓 𝑥 𝑥 ln7𝑥2 2𝑦2 1 7𝑥2 2𝑦2 𝑥 7𝑥2 2𝑦2 1 7𝑥2 2𝑦2 7 2 𝑥 0 14𝑥 7𝑥2 2𝑦2 𝑓 𝑦 𝑦 ln7𝑥2 2𝑦2 1 7𝑥2 2𝑦2 𝑦 7𝑥2 2𝑦2 1 7𝑥2 2𝑦2 0 2 2 𝑦 4𝑦 7𝑥2 2𝑦2 d A equação do plano tangente no ponto 𝑃0 𝑥0 𝑦0 𝑧0 é dada por 𝑎𝑥 𝑥0 𝑏𝑦 𝑦0 𝑐𝑧 𝑧0 0 Para encontrar os coeficientes fazemos 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 𝑟 𝑥 𝑦 ln7𝑥2 2𝑦2 Agora basta diferenciar 𝑟𝑥 10 14𝑥 7𝑥2 2𝑦2 𝑟𝑦 01 4𝑦 7𝑥2 2𝑦2 Assim temos 𝑎 𝑏 𝑐 𝑟𝑥 𝑋 𝑟𝑦𝑃0 𝑖 𝑗 𝑘 1 0 14𝑥0 7𝑥0 2 2𝑦0 2 0 1 4𝑦0 7𝑥0 2 2𝑦0 2 𝑎 𝑏 𝑐 14𝑥0 7𝑥0 2 2𝑦0 2𝑖 4𝑦0 7𝑥0 2 2𝑦0 2 𝑗 1𝑘 Assim para 𝑃0 2 2 7 2 ln 7 2 2 2 2 7 2 2 1 7 2 ln 7 2 49 4 1 7 2 ln 63 2 temos 𝑎 𝑏 𝑐 14 7 2 72 22 𝑖 4 7 2 7 2 72 22 𝑗 1𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 14 7 49 2 𝑖 14 7 49 2 𝑗 1𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 14 63 2 𝑖 14 63 2 𝑗 1𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 28 63 𝑖 28 63 𝑗 1𝑘 Logo a equação deste plano é dada por 𝑎𝑥 𝑥0 𝑏𝑦 𝑦0 𝑐𝑧 𝑧0 0 28 63 𝑥 1 28 63 𝑦 7 2 1 𝑧 ln 63 2 0 𝑥 1 𝑦 7 2 63 28 𝑧 ln 63 2 0 𝑥 1 𝑦 7 2 63 28 𝑧 63 28 ln 63 2 0 𝑥 𝑦 63 28 𝑧 63 28 ln 63 2 1 7 2 0 𝒙 𝒚 𝟐𝟐𝟓𝒛 𝟑 𝟐𝟔𝟐𝟒𝟕𝟏𝟗𝟕𝟖 𝟎 Questão 1 a temos f ln7 x 22 y 2 Para que o logaritmo esteja definido o termo dentro dele deve ser positivo de modo que o domínio é dado por 7 x 22 y 20 Assim o único ponto para o qual esta inequação não é satisfeita é em xy0 logo o domínio da função é todo o conjunto R 2 menos o ponto 00 b gráfico feito com o geogebra 3d httpswwwgeogebraorg3dlangpt c as derivadas parciais são f x x ln 7 x 22 y 2 1 7 x 22 y 2 x 7 x 22 y 2 1 7 x 22 y 2 72x0 14 x 7 x 22 y 2 f y y ln 7 x 22 y 2 1 7 x 22 y 2 y 7 x 22 y 2 1 7 x 22 y 2 022y 4 y 7 x 22 y 2 d A equação do plano tangente no ponto P0 x0 y0z0 é dada por a xx0b yy0czz00 Para encontrar os coeficientes fazemos rx y z rx y ln 7 x 22 y 2 Agora basta diferenciar r x10 14 x 7 x 22 y 2 r y01 4 y 7 x 22 y 2 Assim temos abc rx X r yP0 i j k 1 0 14 x0 7 x0 22 y0 2 0 1 4 y0 7 x0 22 y0 2 abc 14 x0 7 x0 22 y0 2i 4 y0 7 x0 22 y0 2 j1k Assim para P0 2 2 7 2 ln7 2 2 2 2 7 2 2 1 7 2 ln72 49 4 1 7 2 ln 63 2 temos abc 14 72 7 2 2 2 i 4 7 2 72 7 2 2 2 j1k abc 14 7 49 2 i 14 7 49 2 j1k abc 14 63 2 i 14 63 2 j1k abc 28 63 i 28 63 j1k Logo a equação deste plano é dada por a xx0b yy0czz00 28 63 x128 63 y7 21zln 63 2 0 x1 y7 263 28zln 63 2 0 x1 y7 263 28 z 63 28 ln 63 2 0 x y63 28 z 63 28 ln 63 2 17 20 x y225 z32624719780