Otimização de Volume e Construção de Recipiente Sustentável - Aplicação do Cálculo de Derivadas

Explicação da atividade No livro do Leithold Cálculo Vol 2 no capítulo 17 na seção 173 é apresentado o estudo de máximo e mínimo de funções de duas ou mais variáveis usando o teste da derivada segunda em que através de um raciocínio da matemática é obtida uma função para o volume maximizandoo Com base nisto fazer as tarefas Tarefa 1 construir um recipiente com formato que o grupo desejar prisma ou cilindro usando material de escolha própria do grupo considerando a questão de sustentabilidade se possível cuja capacidade do recipiente seja EXATAMENTE de 50 litros A escolha do formato deve ser explicada usando os raciocínio e conceitos contidos na seção 173 do livro como o teste da derivada segunda por exemplo Tarefa 2 Ao planejar e executar a Tarefa 1 o grupo deve fazer um memorial descritivo laudo técnico apresentando todo processo de construção introdução objetivos breve fundamentação teórica metodologia com imagens resultados e discussões e conclusão com no máximo 6 laudas Nesta tarefa um dos objetivos é maximizar o volume e apresentar como isso foi feito Tarefa 3 entregar o laudo técnico duas vias e apresentar o recipiente com as justificativas técnicas de cálculo no dia da apresentação 1 Introdução A otimização é um conceito de ampla utilização que possibilita elaborar metodologias e projetos inteligentes como maximização de resultados minimização de tempo e custos e consequentemente a melhoria na eficiência do que está sendo elaborado 2 Objetivos O propósito deste estudo é projetar um tanque sustentável com a mínima quantidade de material utilizado em sua produção e atendendo ao requisito de possuir um volume preestabelecido aplicando os conceitos de derivadas estudado em sala 3 Conceitos teóricos A derivada é uma ferramenta matemática que calcula a inclinação ou a taxa de variação de uma função Assim possuindo uma função que modela um problema como por exemplo a equação da posição do movimento retilíneo uniforme xt é possível determinar a taxa de variação do valor da função x em relação a variação da variável independente t O teste da primeira derivada é utilizado quando se quer determinar um valor de t para que o valor da função seja máximo ou mínimo Um extremo de uma função acontece quando a primeira derivada da função é igual a zero Isso significa que naquele determinado ponto t a taxa de variação da função não se altera mais significando que ou a função mudou de crescente para decrescente ou viceversa ou ali é um ponto de inflexão A representação do teste da primeira derivada está abaixo para função de uma única variável e função com duas variáveis d dt x t 0 d dx f x y 0d dy f x y 0 O teste da primeira derivada em si pode trazer resultados incorretos pois um ponto de inflexão não é um ponto de extremo de uma função Para isso aplicase o teste da segunda derivada e o conceito é exatamente igual ao da derivada dita acima A segunda derivada mostra a taxa de variação da função derivada a primeira encontrada anteriormente O teste diz que caso a segunda derivada aplicado a um determinado ponto seja positiva este ponto é um mínimo E caso seja negativa este é um ponto de máximo Caso a função tenha mais de uma variável a condição de final do valor da segunda derivada deve ser satisfeita simultaneamente f xx x y 0OU f yy x y 0 pontomínimo f xx x y 0OU f yy x y 0 pontomáximo 4 Metodologia O projeto consiste na escolha do material no qual o tanque será produzido e o método de fabricação em grande escala através de pesquisas sobre o tema A definição da geometria e os cálculos referente às suas dimensões serão através da utilização dos conceitos sobre derivadas 5 Desenvolvimento 51 Geometria e material A geometria escolhida é a cilíndrica pela maior facilidade de construção e com menor quantidade de junções comparado à geometria prismática A escolha do material está estreitamente ligada ao tipo de fluido que o tanque irá armazenar para combinar a pressão exercita pelo fluido no fundo do tanque e a temperatura de armazenamento por exemplo E assim adequar o material Tomando como base a água o material escolhido é o aço O aço é um material totalmente reciclável que pode ser reciclado diversas vezes ou reutilizado sem perder a sua qualidade Sabendo que o problema trata de otimização com máximos e mínimos o requisito do projeto é que o volume tenha um máximo preestabelecido de 50 litros e uma área de superfície mínima 52 Otimização da geometria As equações da geometria de um cilindro estão abaixo Onde A é a área da superfície e V é o volume da geometria A x y z 2 πx 2 y 22π x 2 y 2z V x y z πx 2 y 2z Figura Da equação do volume e utilizando coordenadas cilíndricas temos a seguinte expressão c cilíndricas x 2 y 2r 2 V πx 2 y 2zπ r 2zV r θ z A nova equação do volume agora é uma função que depende de duas variáveis e não mais de três Sabendo que um dos requisitos de projeto é que o volume tenha exatamente 50 litros o que equivale a 005 metros cúbicos que já é a capacidade máxima do reservatório temos a seguinte expressão V r θ z π r 2 z005π r 2z z005 π r 2 Agora para a equação da área o requisito é que este seja mínimo Portanto primeiramente calculase a primeira derivada e a segunda derivada da expressão da área novamente utilizando coordenadas cilíndricas A x y z 2 πx 2 y 22π x 2 y 2z A r θz 2π r 22πrz r θ z d dr dA dr 4 πr2πz 0 d A d z 2πr d 2 d r 2 d 2 A d r 2 4 π 0 d 2 A d z 2 0 Das funções derivadas em relação ao ângulo polar não há como tirar conclusões Das derivadas em relação a z a altura do tanque também não é possível tirar conclusões já que o reservatório estará completamente preenchido Resta então duas equações a serem analisadas Do teste da primeira derivada temos dA dr 0 4πr2πz0 Substituindo a expressão de z encontrada através da equação do volume 4 πr2 π005 π r 2 04 πr2 π005 π r 2 r 32005 4 π r 2005 4 π 1 3r019965m19965mm r 200mm Encontrouse que o valor de r que satisfaz a condição do volume ser de 50 litros e satisfaz a condição de ser um ponto onde a taxa de variação da função área é nula é de raio igual a aproximadamente 200 milímetros Agora do teste da segunda derivada temos o seguinte valor d 2 A d r 2 4 π Que é um valor positivo independente das variáveis r z ou θ Isto significa que o valor de r encontrado acima é um ponto de mínimo 6 Resultado O valor do raio encontrado para a condição de mínima quantidade de área atendendo ao requisito de sustentabilidade com volume de 50 litros máximo estabelecido em projeto é de 200mm Agora o valor da altura que será a altura total do cilindro para as mesmas condições é z005 π r 2 005 π 02 2039789m z39789mm400mm Com os arredondamentos realizados no valor do raio e da altura o volume total do cilindro será V r θ z π r 2 zπ02 204005026m 3V5026 L Houve um acréscimo de 026 litros ou 260 ml o que equivale a um acréscimo ou erro de 052 7 Conclusão O conhecimento em otimizações maximizações ou minimizações é útil em todas as áreas de estudo Conhecer ou elaborar e saber analisar um modelo matemático possibilita trabalhar de forma eficiente é um requisito indispensável para um bom profissional O erro encontrado do valor exato do volume com o volume do mesmo com raio e altura calculado possui uma vantagem e uma desvantagem A vantagem é que a fabricação deste item será menos rigorosa não exigindo equipamentos e processos com alta precisão ou resolução máquinas de cortes a laser por exemplo é mais fácil realizar um corte em uma chapa de aço de tamanho 200mm do que 39789xxx mm E a desvantagem é pela diferença na dimensão requerida em projeto 50 litros Dependendo da aplicação um erro de 05 pode significar em um gasto com material expressivo 8 Referências LEITHOLD L Cálculo 1 Volume 2 Rio de Janeiro LTC 2001 PEREZ José Antônio Costa A aplicação da avaliação do ciclo de vida para análise dos aspectos ambientais que envolvem a reciclagem de sucatas nas usinas siderúrgicas 28 de Maio de 2008 Tese de doutorado Universidade Estadual Paulista Rio Claro 1 Introdução A otimização é um conceito de ampla utilização que possibilita elaborar metodologias e projetos inteligentes como maximização de resultados minimização de tempo e custos e consequentemente a melhoria na eficiência do que está sendo elaborado 2 Objetivos O propósito deste estudo é projetar um tanque sustentável com a mínima quantidade de material utilizado em sua produção e atendendo ao requisito de possuir um volume preestabelecido aplicando os conceitos de derivadas estudado em sala 3 Conceitos teóricos A derivada é uma ferramenta matemática que calcula a inclinação ou a taxa de variação de uma função Assim possuindo uma função que modela um problema como por exemplo a equação da posição do movimento retilíneo uniforme xt é possível determinar a taxa de variação do valor da função x em relação a variação da variável independente t O teste da primeira derivada é utilizado quando se quer determinar um valor de t para que o valor da função seja máximo ou mínimo Um extremo de uma função acontece quando a primeira derivada da função é igual a zero Isso significa que naquele determinado ponto t a taxa de variação da função não se altera mais significando que ou a função mudou de crescente para decrescente ou viceversa ou ali é um ponto de inflexão A representação do teste da primeira derivada está abaixo para função de uma única variável e função com duas variáveis 𝑑 𝑑𝑡 𝑥𝑡 0 𝑑 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑦 0 𝑑 𝑑𝑦 𝑓𝑥 𝑦 0 O teste da primeira derivada em si pode trazer resultados incorretos pois um ponto de inflexão não é um ponto de extremo de uma função Para isso aplicase o teste da segunda derivada e o conceito é exatamente igual ao da derivada dita acima A segunda derivada mostra a taxa de variação da função derivada a primeira encontrada anteriormente O teste diz que caso a segunda derivada aplicado a um determinado ponto seja positiva este ponto é um mínimo E caso seja negativa este é um ponto de máximo Caso a função tenha mais de uma variável a condição de final do valor da segunda derivada deve ser satisfeita simultaneamente 𝑓𝑥𝑥𝑥 𝑦 0 𝑂𝑈 𝑓𝑦𝑦𝑥 𝑦 0 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑓𝑥𝑥𝑥 𝑦 0 𝑂𝑈 𝑓𝑦𝑦𝑥 𝑦 0 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 4 Metodologia O projeto consiste na escolha do material no qual o tanque será produzido e o método de fabricação em grande escala através de pesquisas sobre o tema A definição da geometria e os cálculos referente às suas dimensões serão através da utilização dos conceitos sobre derivadas 5 Desenvolvimento 51 Geometria e material A geometria escolhida é a cilíndrica pela maior facilidade de construção e com menor quantidade de junções comparado à geometria prismática A escolha do material está estreitamente ligada ao tipo de fluido que o tanque irá armazenar para combinar a pressão exercita pelo fluido no fundo do tanque e a temperatura de armazenamento por exemplo E assim adequar o material Tomando como base a água o material escolhido é o aço O aço é um material totalmente reciclável que pode ser reciclado diversas vezes ou reutilizado sem perder a sua qualidade Sabendo que o problema trata de otimização com máximos e mínimos o requisito do projeto é que o volume tenha um máximo preestabelecido de 50 litros e uma área de superfície mínima 52 Otimização da geometria As equações da geometria de um cilindro estão abaixo Onde A é a área da superfície e V é o volume da geometria 𝐴𝑥 𝑦 𝑧 2 𝜋 𝑥2 𝑦2 2𝜋𝑥2 𝑦2 𝑧 𝑉𝑥 𝑦 𝑧 𝜋 𝑥2 𝑦2 𝑧 Figura Da equação do volume e utilizando coordenadas cilíndricas temos a seguinte expressão 𝑐 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑥2 𝑦2 𝑟2 𝑉 𝜋 𝑥2 𝑦2 𝑧 𝜋𝑟2𝑧 𝑉𝑟 𝜃 𝑧 A nova equação do volume agora é uma função que depende de duas variáveis e não mais de três Sabendo que um dos requisitos de projeto é que o volume tenha exatamente 50 litros o que equivale a 005 metros cúbicos que já é a capacidade máxima do reservatório temos a seguinte expressão 𝑉𝑟 𝜃 𝑧 𝜋𝑟2𝑧 005 𝜋𝑟2𝑧 𝑧 005 𝜋𝑟2 Agora para a equação da área o requisito é que este seja mínimo Portanto primeiramente calculase a primeira derivada e a segunda derivada da expressão da área novamente utilizando coordenadas cilíndricas 𝐴𝑥 𝑦 𝑧 2 𝜋 𝑥2 𝑦2 2𝜋𝑥2 𝑦2 𝑧 𝐴𝑟 𝜃 𝑧 2 𝜋𝑟2 2𝜋𝑟 𝑧 𝑟 𝜃 𝑧 𝑑 𝑑𝑟 𝑑𝐴 𝑑𝑟 4𝜋𝑟 2𝜋𝑧 0 𝑑𝐴 𝑑𝑧 2𝜋𝑟 𝑑2 𝑑𝑟2 𝑑2𝐴 𝑑𝑟2 4𝜋 0 𝑑2𝐴 𝑑𝑧2 0 Das funções derivadas em relação ao ângulo polar não há como tirar conclusões Das derivadas em relação a z a altura do tanque também não é possível tirar conclusões já que o reservatório estará completamente preenchido Resta então duas equações a serem analisadas Do teste da primeira derivada temos 𝑑𝐴 𝑑𝑟 0 4𝜋𝑟 2𝜋𝑧 0 Substituindo a expressão de z encontrada através da equação do volume 4𝜋𝑟 2𝜋 005 𝜋𝑟2 0 4𝜋𝑟 2𝜋 005 𝜋𝑟2 𝑟3 2 005 4𝜋 𝑟 2 005 4𝜋 1 3 𝑟 019965 𝑚 19965 𝑚𝑚 𝑟 200 𝑚𝑚 Encontrouse que o valor de r que satisfaz a condição do volume ser de 50 litros e satisfaz a condição de ser um ponto onde a taxa de variação da função área é nula é de raio igual a aproximadamente 200 milímetros Agora do teste da segunda derivada temos o seguinte valor 𝑑2𝐴 𝑑𝑟2 4𝜋 Que é um valor positivo independente das variáveis r z ou θ Isto significa que o valor de r encontrado acima é um ponto de mínimo 6 Resultado O valor do raio encontrado para a condição de mínima quantidade de área atendendo ao requisito de sustentabilidade com volume de 50 litros máximo estabelecido em projeto é de 200mm Agora o valor da altura que será a altura total do cilindro para as mesmas condições é 𝑧 005 𝜋𝑟2 005 𝜋 022 039789𝑚 𝑧 39789𝑚𝑚 400𝑚𝑚 Com os arredondamentos realizados no valor do raio e da altura o volume total do cilindro será 𝑉𝑟 𝜃 𝑧 𝜋𝑟2𝑧 𝜋 022 04 005026 𝑚3 𝑉 5026 𝐿 Houve um acréscimo de 026 litros ou 260 ml o que equivale a um acréscimo ou erro de 052 7 Conclusão O conhecimento em otimizações maximizações ou minimizações é útil em todas as áreas de estudo Conhecer ou elaborar e saber analisar um modelo matemático possibilita trabalhar de forma eficiente é um requisito indispensável para um bom profissional O erro encontrado do valor exato do volume com o volume do mesmo com raio e altura calculado possui uma vantagem e uma desvantagem A vantagem é que a fabricação deste item será menos rigorosa não exigindo equipamentos e processos com alta precisão ou resolução máquinas de cortes a laser por exemplo é mais fácil realizar um corte em uma chapa de aço de tamanho 200mm do que 39789xxx mm E a desvantagem é pela diferença na dimensão requerida em projeto 50 litros Dependendo da aplicação um erro de 05 pode significar em um gasto com material expressivo 8 Referências LEITHOLD L Cálculo 1 Volume 2 Rio de Janeiro LTC 2001 PEREZ José Antônio Costa A aplicação da avaliação do ciclo de vida para análise dos aspectos ambientais que envolvem a reciclagem de sucatas nas usinas siderúrgicas 28 de Maio de 2008 Tese de doutorado Universidade Estadual Paulista Rio Claro