Cálculo de Sequência e Séries

AVALIAÇÃO ESTUDO DIRIGIDO PRIMEIRO BIMESTRE As questões a seguir referemse ao estudo dirigido SEQUÊNCIAS E SÉRIES e tem o valor total de 30 pontos 1 Como se determina se a seqüência é convergente ou divergente 2 A seqüência n 1 é uma seqüência monótona limitada Você concorda com esta afirmação Se sim explique 3 No estudo de sequências e séries uma importante definição é o termo geral ou seja uma fórmula que é capaz de descrever um termo genérico da sequência ou da série A partir do termo geral é possível por exemplo analisar a convergência Com base nessa definição a fórmula para an da sequência infinita é justifique sua resposta fazendo os cálculos para a opção escolhida a b c d e 4 A série 2 0 0 2 n a a x f a a x f a a x f f a n a x f n n n n n é chamada de Série de Taylor de f em a Quando uma série de Taylor é chamada de Série de Maclaurin 5 No estudo das séries analisar as somas parciais podem nos auxiliar a procurar evidências da convergência ou divergência da série Utilizamos a notação Sn para a soma parcial dos n primeiros termos da série Assim sendo S6 soma parcial da série 246 ache o valor de S6 6 Toda sequência crescente ou decrescente é denominada monótona Verifique se as sequências abaixo são monótonas Justifique sua resposta a 𝑎𝑛 3 𝑛2 b 𝑎𝑛 𝑛 1 𝑛 7 O estudo das séries é um ramo do cálculo juntamente com o cálculo diferencial e o cálculo integral tendo aplicações nas diversas áreas da ciência que vão desde a parte computacional até a análise de algumas funções A necessidade de reescrever uma função como uma soma de termos mais simples está relacionada com os conceitos de série e sequência Em alguns momentos esses conceitos se confundem e parecem iguais entretanto eles são diferentes Imagine que você está estudando para um projeto em sua empresa a série telescópica 𝑆 1 𝑛𝑛 1 𝑛1 Um colega de trabalho lhe questiona se o termo correto não deveria ser sequência telescópica a Explique ao seu colega a diferença entre sequência e série e diga se 𝑆 1 𝑛𝑛1 𝑛1 é uma sequência ou uma série b Com base no seu entendimento sobre a distinção entre sequência e série complete o quadro a seguir 8 O estudo das sequências tem aplicações tanto em nosso dia a dia como nas diversas áreas da ciência Podemos usar sequências por exemplo no acompanhamento de determinado fenômeno no estudo dos comprimentos de onda de Balmer na análise das aproximações para um número irracional na área financeira entre outras situações No mundo financeiro uma das aplicações mais utilizadas para as sequências envolve o estudo de juros compostos se tiver curiosidade pesquise sobre a descoberta do número 𝑒 Para realizar uma reforma em sua residência você contraiu um empréstimo com um familiar e combinou de pagar em prestações mensais de acordo com o seguinte planejamento P1 R 100000 P2 90000 P3 81000 Com base nas três primeiras prestações e assumindo que esse padrão se mantém até o pagamento da última prestação responda o que se pede a Descreva o planejamento do pagamento da dívida em forma de sequência indicando seu termo geral b Avalie se essa sequência é convergente 9 No estudo das sequências o termo geral pode ser entendido como uma fórmula que é capaz de descrever um termo genérico da sequência Com base nessa definição ache o termo geral da seguinte sequência 1 3 5 7 9 11 13 10 No estudo das sequências analisar o termo geral pode nos auxiliar a procurar evidências da convergência ou divergência da sequência Inicie em n 0 e encontre o termo geral da sequência 0 2 6 12 20 30 8 a O 1º termo é 1000 O 2º termo é 900 900 90 de 1000 O 3º termo é 810 810 90 de 900 Então o termo n é sempre multiplicado por 90 do seu termo anterior n1 90 90 100 09 P1 1000 P2 09P1 900 P3 09 P2 810 09 09 P1 092 P1 Termo geral Pn 1000 09n1 8 b lim n Pn 1000 lim n 09n1 0 pois lim x ax 0 se 0 a 1 a 09 1 A sequência converge para zero 1 Calculando o limite da sequência no infinito isto é quando o índice n tende ao infinito Se tal limite existir e for finito a sequência é convergente 2 Sim É monótona limitada an 1n an 1n 1 A sequência é limitada 1n 1n1 1 A sequência é decrescente e portanto monótona n n 1 n 3 01 12 43 94 165 256 01 111 2221 3231 4241 5251 n2n1 A opção correta é d an n2n1 4 Quando a0 a série de Taylor é chamada de Série de Maclaurin Σ n0 to fn0 xn n 5 A série 2 4 6 é uma PA de razão r 2 O sexto termo é a6 2 61 2 2 10 12 A soma é S6 62 2 12 3 14 42 9 1 3 5 7 9 11 13 21 41 61 81 101 121 141 21 1 22 1 23 1 24 1 25 1 26 1 27 1 2n 1 O termo geral é 2n 1 10 0 2 6 12 20 30 0 11 42 93 164 255 0 12 1 22 2 32 3 42 4 52 5 n2 n n n 1 O termo geral é n n 1 an n 1n n 1n n1 1n1 n2 1n2 A sequência é crescente e por isso monótona sequência 12 16 112 120 130 Termo geral 1nn1 Série infinita S Σn1 até 1nn1