Resolução - Lista Cálculo

INATEL Instituto Nacional de Telecomunicações Lista 1 Calculo 3 EDO de 1º ordem Prof Felipe Emanoel Chaves Nos Exercícios de 1 a 9 classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não lineares Dê também a ordem de cada equação e identifique as variáveis dependentes e independentes 1 1xy 4xy 5y cosx 2 x d³ydx³ 2dydx³ y 0 3 y² 3y 4y 0 4 yy 2y 1 x² 5 d²rdt² kr² 6 d²ydx² 9y sen y 7 sen xy cos xy 2 8 et dsdt 1 s t² 9 d²vds² s² dvds s sen v 0 Nos Exercícios de 10 a 13 mostre que a função dada é solução da equação diferencial indicada 10 y C e4x dydx 4y 11 y C₁eˣ cos x C₂eˣ sen x y 2y 2y 0 12 y 1x y 1 y x ln x 13 y 25 y² y 5 tg 5x Nos Exercícios 14 16 e 17 verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial Nos exercícios 15 e 18 obter a equação diferencial associada à primitiva C₁ e C₂ são constantes Observação Para o exercício 18 derivar duas vezes 14 dydx 2y e3x y e3x 10e2x 15 y C₁e3x C₂e⁴x 16 a dydx y sen y y 12 senx 12 cos x b y 3y 3y y 0 y x² eˣ 17 dxdt yx 1 y x ln x 18 y C₁ cos 5x Nos Exercícios 19 e 20 encontre valores de m para que y emx seja uma solução para cada equação diferencial 19 y 5y 6y 0 20 y 10y 25y 0 21 Mostre que y₁ 2x 2 e y₂ x²2 são ambas as soluções de y xy y22 As funções C₁y₁ e C₂ y₂ com C₁ e C₂ constantes arbitrárias são também solução A soma y₁ y₂ é uma solução Nos Exercícios 22 e 23 mostre que as soluções gerais satisfazem as equações diferenciais indicadas Depois encontre a solução particular que satisfaz as condições iniciais dadas 22 y C₁ sen 3x C₂ cos 3x y 9y 0 y 2 e y 1 quando x π6 23 y C₁x C₂ x³ x²y 3xy 3y 0 y 0 e y 4 quando x 2 Nos Exercícios de 24 a 29 integre para encontrar a solução geral da equação diferencial dada 24 dydx x 2x 25 y 11 x² 26 dydx eˣ sen 2x 27 dxdt tt 3 28 2u1 u² du 1x dx 0 29 dyy² 4 dx Nos Exercícios de 30 a 38 resolva a equação dada por separação de variável Obs Em algumas dessas equações é necessária uma substituição trigonométrica 30 4y yx² dy 2x xy² dx 0 31 dPdt P P² 32 y ln x dxdy y 1x² 33 eʸ sen 2x dx cos x e²ʸ y dy 0 34 dydx sen x cos 2y cos² y 35 sec² x dy cosec y dx 0 36 dydx xy 3x y 3xy 2x 4y 8 Nos Exercícios 37 a 40 use uma substituição apropriada para tornar a equação a variáveis separáveis 37 dydx tg² x y 38 dydx 2 y 2y 3 39 dydx 1 x yx y 40 dydx 1 ey x 5 Nos Exercícios 41 à 45 resolva a equação homogenea usando uma substituição apropriada 41 y² yx dx x² dy 0 42 dydx y xy x 43 x xy dy y dx 0 44 y dxdy x 4y e2xy 45 x² xy y² dx x y dy 0 Nos Exercícios 46 e 48 resolva a equação diferencial sujeita à condição inicial indicada 46 xy² dydx y³ x³ y1 2 48 a eʸ 1 sinx dx 1 cos x dy y0 0 47 2x² dydx 3xy y² y1 2 48 b dydx cosx y y0 π4 Nos Exercícios 49 a 53 encontre a solução geral para a equação diferencial linear dada 49 dydx y e³ˣ 50 x² y xy 1 51 x 4 y² dy 2y dx 0 52 1 eˣ dydx eˣ y 0 53 cos² x sen x dy y cos³ x 1 dx 0 Aplicações 54 Sabese que a população de certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante Se a população duplicou em 5 anos quando ela triplicará Quando quadruplicará 55 A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes em qualquer tempo Após 3 horas observase que há 400 bactérias presentes Após 10 horas existem 2000 bactérias presentes Qual era o número inicial de bactérias 56 Ao prever crescimento os demógrafos têm que levar em consideração as taxas de nascimento e morte assim como a variação total causada pela diferença entre as taxas de imigração e emigração Sejam P a população em um instante t e N o crescimento total por unidade de tempo devido à diferença entre a imigração e a emigração Então a taxa de crescimento da população é dada por dPdt kP N N é constante Resolva essa equação diferencial para encontrar P em função do tempo t se no instante t 0 a população é de P₀ habitantes 57 O isótopo radioativo de chumbo Pb209 decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo Sua meiavida é 33 horas Se 1um grama de chumbo está presente inicialmente quanto tempo levará para 90 de chumbo desaparecer 58 Um termômetro é retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de fora em que a temperatura é de 5ºC Após 1 minuto o termômetro marcava 20ºC após 5 minutos 10ºC Qual será a temperatura da sala 59 Um termômetro é removido de uma sala em que a temperatura é de 70ºF e colocado do lado de fora em que a temperatura é de 10º F Após 12 minuto o termômetro marcava 50º F Qual será a temperatura marcada no termômetro no instante t 1 minuto Quanto tempo levará para o termômetro marcar 15º F 60 Uma força eletromotriz fem de 30 volts é aplicada a um circuito em série LR no qual a indutância é de 5 101 Henry e a resistência 50 ohms Encontre a corrente i t se i0 0 Determine a corrente quando t A queda de potencial em um capacitor com capacitância C é dada por qtC em que q é a carga no capacitor Então para o circuito em série mostrado na Fig a segunda lei de Kirchhoff nos dá Ri 1C q Et Mas a corrente i e a carga q estão relacionadas por i dqdt logo a equação acima se torna a equação diferencial linear R dqdt 1C q Et Com esse dado é possível resolver o problema 60 61 Uma força eletro motiva de 100 volts é aplicada a um circuito RC em série no qual a resistência é 200 ohms e a capacitância 104 farad Encontre a carga qt no capacitor se q0 0 Encontre a corrente i t 62 Encontre a equação da curva que contém o ponto dado e tem a inclinação especificada a 1 1 y 9x 16y b 8 2 y 2y 3x 63 A taxa de variação da velocidade em relação ao tempo de um corpo deslocandose ao longo de uma linha reta foi determinada ser igual à aceleração dvdt a Um corpo está se deslocando ao longo de uma reta com a aceleração constante de a 5 mseg Se o corpo teve uma velocidade inicial de v 10 mseg quando t0 determinar a equação para a velocidade Determinar também a velocidade em t 3 seg 64 No instante t 0 um tanque contém 4 libras de sal dissolvido em 100 galões de água Suponha que água salgada contendo duas libras de sal por galão é acrescentada ao tanque a uma taxa de 5 galões por minuto e que a solução misturada é drenada do tanque à mesma taxa Determine a a quantidade de sal após 10 minutos b a quantidade de sal num período de tempo extenso 65 Um tanque com capacidade de 1000 galões contém inicialmente 500 galões de água poluída com 50 libras de poluente No instante t0 água pura é acrescentada a uma taxa de 20 galões por minuto e a solução misturada é drenada a uma taxa de 10 galões por minuto Quanto poluente haverá no tanque quando ele chegar ao ponto de transbordar RESPOSTAS 1 Linear segunda ordem 2 Não linear e terceira ordem 3 Não linear e segunda ordem 4 Não linear e primeira ordem 5 Não linear e segunda ordem 6 Não linear e segunda ordem 7 Linear e terceira ordem 8 Não linear e primeira ordem 9 Não linear e segunda ordem 15 y y 12 y 0 18 y 25 y 19 m2 e m3 20 m5 22 Sol Particular y 2 sen 3x 13 cos 3x 23 Sol Particular y 2x 12 x3 24 y x ln x2 C 25 y arctgx C 26 y ex5 sen 2x 2cos 2x C 27 x 25 t 352 2t 332 C 28 1 u2x C 29 y 2 1Ce4x1Ce4x 30 y2 C 4 x2 2 31 p1p Cet 32 x3 3 ln x 19 x3 y2 2 2y ln y C 33 2 cos x ey yey ey C 34 cot gy cos x C 35 4 cos y 2x sen 2x C 36 y 5ny 3 x 5 lnx 4 C 37 2y 2x sen 2x y C 38 4y 2x 3 x C2 39 y x C 40 eyx5 x C 41 x y ln x Cy 42 lnx2 y2 2arc tg yx C 43 4x ylny C2 44 e2xy 8 lny C 45 y x C x2 eyx 46 y3 3x3 nx 8x3 47 y2 4x x y2 48 a 1 cos x 1 ey 4 48 b cot x y csc x y x 2 1 49 y 14 e3x Cex3 50 y x1 ln x Cx1 51 x 45 y2 Cy12 52 y C ex 1 53 y secx C cosecx 54 79 anos 10 anos 56 P Nk Nk P0 ekt 57 11 horas 58 25º C 59 T1 3667º F 306 min 60 it 35 35 e100t i 35 q t 61 qt 1100 1100 e50t it 12 e50t 63 v 5t 10 e 25 mseg 64 a 811 lb b 200 lb 65 25 lb