Calculo 3- Calculo de Massa e Centro de Massa

ESTUDO DIRIGIDO SEGUNDO BIMESTRE CÁLCULO DE MASSA E CENTRO DE MASSA Massa 𝑚 0 3 0 2 𝑥 𝑦 2𝑑𝑦𝑑𝑥 0 3 𝑥𝑑𝑥 0 2 𝑦 2𝑑𝑦 𝑥 2 2 0 3 𝑦 3 3 0 2 𝑚 3 2 0 2 2 2 30 3 3 9 2 8 312𝑘𝑔 Coordenadas do centro de massa 𝑥𝑐 1 𝑚 𝑥 𝜌 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 1 12 0 3 0 2 𝑥 2 𝑦 2𝑑𝑦𝑑𝑥 1 12 𝑥 3 3 0 3 𝑦 3 3 0 2 𝑥𝑐 1 12 270 3 80 3 2𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 𝑦 𝜌 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 1 12 0 3 0 2 𝑥 𝑦 3𝑑𝑦𝑑𝑥 1 12 𝑥 2 2 0 3 𝑦 4 4 0 2 𝑦𝑐 1 12 90 2 160 4 3 2 𝑚15𝑚 y 2 x 3 C 𝑚 0 4 0 5 𝑥 2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 0 4 𝑥 2𝑑𝑥 0 5 𝑑𝑦 0 4 𝑑𝑥 0 5 𝑦𝑑𝑦 𝑚 𝑥 3 3 0 4 𝑦 0 5𝑥 0 4 𝑦 2 2 0 5 4 3 0 3 3 50 40 5 20 2 2 𝑚320 3 50 470 3 𝑘𝑔156 67𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 0 4 0 5 𝑥 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 1 470 3 0 4 𝑥 3𝑑𝑥 0 5 𝑑𝑦 0 4 𝑥𝑑𝑥 0 5 𝑦𝑑𝑦 𝑥𝑐 3 470 𝑥 4 4 0 4 𝑦 0 5 𝑥 2 2 0 4 𝑦 2 2 0 5 𝑥𝑐 4 40 4 50 4 20 2 5 20 2 260𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 0 4 0 5 𝑦 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 1 470 3 0 4 𝑥 2𝑑𝑥 0 5 𝑦𝑑𝑦 0 4 𝑑𝑥 0 5 𝑦 2𝑑𝑦 𝑦𝑐 3 470 𝑥 3 3 0 4 𝑦 2 2 0 5 𝑥 0 4 𝑦 3 3 0 5 277𝑚 y 5 x 4 C 𝑥2 𝑦6 𝑦3 𝑥 2 𝑚 0 6 0 3 𝑥 2 𝑦 2𝑑𝑦𝑑𝑥 0 6 𝑦 3 3 0 3 𝑥 2 𝑑𝑥 0 6 3 𝑥 2 3 3 0 3𝑑𝑥 𝑚1 3 0 6 3 𝑥 2 3 𝑑𝑥 1 24 0 6 6𝑥 3𝑑𝑥 1 24 6𝑥 4 4 0 6 𝑚 1 96 6 𝑥 40 6 1 96 66 460 427 2 𝑘𝑔135𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 0 6 0 3 𝑥 2 𝑥 𝑦 2𝑑𝑦𝑑𝑥 1 27 2 0 6 𝑦 3 3 0 3 𝑥 2 𝑥𝑑𝑥 2 27 0 6 3 𝑥 2 3 3 0 3𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑐 2 27 1 24 0 6 6𝑥 3𝑥𝑑𝑥 1 2712 0 6 108𝑥 236 𝑥 3 9𝑥 4 2 𝑥 5 5 𝑑𝑥 𝑥𝑐 1 2712 108 𝑥 3 3 36 𝑥 4 4 9𝑥 5 10 𝑥 6 300 6 1 2712 1945 5 6 5 𝑚12𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 0 6 0 3 𝑥 2 𝑦 3𝑑𝑦𝑑𝑥 1 27 2 0 6 𝑦 4 4 0 3 𝑥 2 𝑑𝑥 2 27 0 6 3 𝑥 2 4 4 0 4𝑑𝑥 𝑦𝑐 2 27 1 64 0 6 6𝑥 4𝑑𝑥 1 27 1 32 6𝑥 5 5 0 6 1 27 1 32 7776 5 18𝑚 y 3 x 2 x 6 C 𝑚 0 1 𝑥 2 1 𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 0 1 𝑥 2 1 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 0 1 𝑥 2 1 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑚 0 1 𝑥 𝑦 𝑥 2 1 𝑑𝑥 0 1 𝑦 2 2 𝑥 2 1 𝑑𝑥 0 1 𝑥 1𝑥 2 𝑑𝑥 0 1 1 2𝑥 2 2 2 𝑑𝑥 𝑚 0 1 𝑥 𝑥 3 𝑑𝑥 1 2 0 1 1𝑥 4𝑑𝑥 𝑥 2 2 𝑥 4 4 𝑥 2 𝑥 5 100 1 𝑚 1 20 2 2 1 40 4 4 1 0 2 1 50 5 10 065𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 0 1 𝑥 2 1 𝑥 𝑥 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 1 065 0 1 𝑥 2 1 𝑥 2𝑑𝑦𝑑𝑥 0 1 𝑥 2 1 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥𝑐 1 065 0 1 𝑥 2 𝑦 𝑥2 1 𝑑𝑥 0 1 𝑥 𝑦 2 2 𝑥 2 1 𝑑𝑥 1 065 0 1 𝑥 2𝑥 4 𝑥 2 𝑥 5 2 𝑑𝑥 𝑥𝑐 1 065 𝑥 3 3 𝑥 5 5 𝑥 2 4 𝑥 6 120 1 0462𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 0 1 𝑥 2 1 𝑦 𝑥 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 1 065 0 1 𝑥 2 1 𝑦𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 0 1 𝑥 2 1 𝑦 2𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑦𝑐 1 065 0 1 𝑥 𝑦 2 2 𝑥 2 1 𝑑𝑥 0 1 𝑦 3 3 𝑥 2 1 𝑑𝑥 1 065 0 1 𝑥 2 𝑥 5 2 1 3 𝑥 6 3 𝑑𝑥 𝑦𝑐 1 065 𝑥 2 4 𝑥 6 12 𝑥 3 𝑥 7 210 1 0696𝑚 y x² y 1 A densidade é proporcional à distância à reta 𝑦1 Podemos escrever 𝜌 𝑥 𝑦 𝑘 𝑦 1𝑘 𝑦1 onde k é uma constante de proporcionalidade Em todos os exercícios que precisarmos usar uma constante de proporcionalidade usaremos k 𝑚 0 4 𝑥2 8 2 𝑘𝑦1 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑘 0 4 𝑥2 8 2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 0 4 𝑥2 8 2 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑚𝑘 0 4 𝑦 2 2 𝑥 2 8 2 𝑑𝑥 0 4 𝑦 𝑥 2 8 2 𝑑𝑥𝑘 0 4 4 𝑥 2 8 𝑥 4 128𝑑𝑥 𝑚𝑘4 𝑥 𝑥 3 38 𝑥 5 51280 4 𝑘 176 15 𝑘1173𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 0 4 𝑥2 8 2 𝑘𝑥 𝑦1𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 176 15 𝑘 0 4 𝑥2 8 2 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 0 4 𝑥2 8 2 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥𝑐 15 176 0 4 𝑥 𝑦 2 2 𝑥 2 8 2 𝑑𝑥 0 4 𝑥 𝑦 𝑥 2 8 2 𝑑𝑥 15 176 0 4 𝑥4 𝑥 2 8 𝑥 4 128𝑑𝑥 𝑥𝑐 15 176 4 𝑥 2 2 𝑥 4 48 𝑥 6 61280 4 15 176 56 3 159𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 0 4 𝑥2 8 2 𝑘𝑦 𝑦1𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 176 15 𝑘 0 4 𝑥2 8 2 𝑦 2𝑑𝑦𝑑𝑥 0 4 𝑥2 8 2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑦𝑐 15 176 0 4 𝑦 3 3 𝑥 2 8 2 𝑑𝑥 0 4 𝑦 2 2 𝑥 2 8 2 𝑑𝑥 15 176 0 4 14 3 𝑥 6 1536 𝑥 4 128𝑑𝑥 𝑦𝑐 15 176 14 𝑥 3 𝑥 7 71536 𝑥 5 5 1280 4 15 176 544 35 1325𝑚 A densidade é proporcional à distância ao eixo x Podemos escrever 𝜌 𝑥 𝑦 𝑘𝑦 𝑚 0 1 0 𝑒𝑥 𝑘𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥𝑘 0 1 0 𝑒𝑥 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥𝑘 0 1 𝑦 2 2 0 𝑒 𝑥 𝑑𝑥𝑘 0 1 𝑒 2𝑥 2 𝑑𝑥 𝑚𝑘 2 0 1 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥𝑘 2 𝑒 2𝑥 2 0 1 𝑘 2 𝑒 21 2 𝑘 4 𝑒 21 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 0 1 0 𝑒𝑥 𝑥𝑘𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 0 1 𝑥 0 𝑒𝑥 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 0 1 𝑥 𝑦 2 2 0 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑐 𝑘 2𝑚 0 1 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 𝑘 2𝑚 𝑒 2𝑥 4 2 𝑥10 1 𝑘 2𝑚 𝑒 21 4 𝑥𝑐 𝑘 2 𝑘 4 𝑒 21 𝑒 21 4 𝑒 21 2 𝑒 21 06565𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 0 1 0 𝑒𝑥 𝑦𝑘𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 0 1 0 𝑒𝑥 𝑦 2𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 0 1 𝑦 3 3 0 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑦𝑐 𝑘 3𝑚 0 1 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 𝑘 3𝑚 𝑒 3𝑥 3 0 1 𝑘 3𝑚 𝑒 31 3 𝑦𝑐 𝑘 3 𝑘 4 𝑒 21 𝑒 31 3 4 𝑒 31 9 𝑒 21 13277𝑚 ex x 1 A densidade é proporcional à soma das distâncias aos lados retos 𝜌𝑘𝑥 𝑦 Vamos usar coordenadas polares 𝑥𝑟 cos 𝜃 𝑦𝑟 sin 𝜃 𝑥 2 𝑦 2𝑟 2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝜌 𝑟 𝜃𝑘𝑟 cos 𝜃𝑟 sin 𝜃 𝑘𝑟 cos 𝜃sin 𝜃 Primeiro quadrante 0𝑟 𝑎 0 𝜃 𝜋 2 𝑚 0 𝜋 2 0 𝑎 𝑘𝑟 cos 𝜃sin 𝜃𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑘 0 𝜋 2 cos 𝜃sin 𝜃𝑑 𝜃 0 𝑎 𝑟 2𝑑𝑟 𝑚𝑘sin 𝜃 cos 𝜃0 𝜋 2 𝑟 3 3 0 𝑎 𝑘1001 𝑎 3 3 02𝑘𝑎 3 3 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 0 𝜋 2 0 𝑎 𝑥𝑘𝑟 2cos𝜃 sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥𝑐 𝑘 2𝑘𝑎 3 3 0 𝜋 2 0 𝑎 𝑟 cos 𝜃𝑟 2cos𝜃 sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥𝑐 3 2𝑎 3 0 𝑎 𝑟 3𝑑𝑟 0 𝜋 2 cos 2 𝜃𝑑 𝜃 0 𝜋 2 cos 𝜃sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑥𝑐 3 2𝑎 3 𝑟 4 4 0 𝑎 𝜃 2 sin 2𝜃 4 sin 2 𝜃 2 0 𝜋 2 𝑥𝑐 3 2𝑎 3 𝑎 4 4 1 2 𝜋 4 3 𝑎𝜋2 32 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 0 𝜋 2 0 𝑎 𝑦𝑘𝑟 2 cos 𝜃sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑦𝑐 𝑘 2𝑘𝑎 3 3 0 𝜋 2 0 𝑎 𝑟 sin 𝜃 𝑟 2cos 𝜃sin 𝜃𝑑𝑟𝑑 𝜃 𝑦𝑐 3 2𝑎 3 0 𝑎 𝑟 3𝑑𝑟 0 𝜋 2 sin 2𝜃𝑑𝜃 0 𝜋 2 cos𝜃sin 𝜃𝑑 𝜃 𝑦𝑐 3 2𝑎 3 𝑟 4 4 0 𝑎 𝜃 2 sin 2𝜃 4 sin 2 𝜃 2 0 𝜋 2 𝑦𝑐 3 2𝑎 3 𝑎 4 4 1 2 𝜋 4 3𝑎𝜋2 32 𝑚 A densidade é proporcional ao produto das distâncias 𝜌 𝑥 𝑦 𝑘𝑥𝑦 𝑚 0 6 0 183 𝑥 2 𝑘𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥𝑘 0 6 𝑥 𝑦 2 2 0 9 3𝑥 2 𝑑𝑥𝑘 2 0 6 𝑥9 3 𝑥 2 2 𝑑𝑥 𝑚𝑘 2 0 6 𝑥9 3𝑥 2 2 𝑑𝑥𝑘 2 81𝑥 2 2 9𝑥 3 9 𝑥 4 16 0 6 243𝑘 2 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 0 6 0 183 𝑥 2 𝑥 𝑘𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 0 6 𝑥 2 𝑦 2 2 0 9 3𝑥 2 𝑑𝑥 𝑘 2𝑚 0 6 𝑥 29 3 𝑥 2 2 𝑑𝑥 𝑥𝑐 𝑘 2𝑚 27 𝑥 3 27 𝑥 4 4 9 𝑥 5 20 0 6 𝑘 2𝑚 2916 5 𝑘 2 243𝑘 2 2916 5 12 5 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 0 6 0 183 𝑥 2 𝑦 𝑘𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 0 6 𝑥 𝑦 3 3 0 9 3𝑥 2 𝑑𝑥 𝑘 3𝑚 0 6 𝑥9 3𝑥 2 3 𝑑𝑥 𝑦𝑐 𝑘 3𝑚 729 𝑥 2 2 243 𝑥 3 2 243𝑥 4 16 27 𝑥 5 40 0 6 𝑘 3𝑚 6561 5 𝑘 3 243𝑘 2 6561 5 𝑦𝑐18 5 𝑚 3x 2y 18 A densidade é proporcional à distância ao eixo x 𝜌 𝑥 𝑦 𝑘𝑦 𝑚 0 𝜋 0 sin𝑥 𝑘𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥𝑘 0 𝜋 𝑦 2 2 0 sin𝑥 𝑑𝑥𝑘 2 0 𝜋 sin 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑚𝑘 2 𝑥 2 sin 2𝑥 4 0 𝜋 𝑘 2 𝜋 2 𝑘𝜋 4 𝑥𝑐 1 𝑚 0 𝜋 0 sin 𝑥 𝑥𝑘𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 0 𝜋 𝑥 𝑦 2 2 0 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑘 2𝑚 0 𝜋 𝑥sin 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑐 𝑘 2𝑚 𝑥 2 2 𝑥sin 2 𝑥 4 𝑥 2 4 cos 2 𝑥 8 0 𝜋 𝑘 2𝑚 𝜋 2 4 𝑘 2 𝑘𝜋 4 𝜋 2 4 𝑥𝑐 𝜋 2 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 0 𝜋 0 sin 𝑥 𝑦 𝑘𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 0 𝜋 𝑦 3 3 0 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑘 3𝑚 0 𝜋 sin 3 𝑥 𝑑𝑥 𝑦𝑐 𝑘 3𝑚 cos 𝑥 cos 3 𝑥 3 0 𝜋 𝑘 3𝑚 4 3 𝑘 3 𝑘𝜋 4 4 3 16 9 𝜋 𝑚 sinx A densidade é proporcional à distância ao eixo y 𝜌 𝑥 𝑦 𝑘𝑥 𝑚 0 1 𝑥 𝑥 𝑘𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥𝑘 0 1 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥𝑑𝑥𝑘 0 1 𝑥 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑚𝑘 0 1 𝑥 3 2𝑑𝑥 0 1 𝑥 2𝑑𝑥𝑘 𝑥 5 2 5 2 𝑥 3 3 0 1 𝑘 1 15 𝑘 15 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 0 1 𝑥 𝑥 𝑥 𝑘𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 0 1 𝑥 2 𝑦 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑘 𝑚 0 1 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑐 𝑘 𝑚 0 1 𝑥 5 2 𝑑𝑥 0 1 𝑥 3𝑑𝑥 𝑘 𝑚 𝑥 7 2 7 2 𝑥 4 4 0 1 𝑘 𝑚 1 28 𝑘 𝑘 15 1 28 𝑥𝑐15 28 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 0 1 𝑥 𝑥 𝑦 𝑘𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 0 1 𝑥 𝑦 2 2 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑘 2𝑚 0 1 𝑥 𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑦𝑐 𝑘 2𝑚 0 1 𝑥 3𝑑𝑥 0 1 𝑥 4𝑑𝑥 𝑘 2𝑚 𝑥 4 4 𝑥 5 5 0 1 𝑘 2𝑚 1 12 𝑘 2𝑘 15 1 12 𝑦𝑐5 8 𝑚 x y x 𝑥 𝑦2 𝑦2𝑥 𝑥 2 𝑦 24 𝑦4𝑥 2𝜌 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑚 0 2 2 𝑥 4𝑥 2 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 0 2 𝑥 𝑦 2 2 2 𝑥 4 𝑥 2 𝑑𝑥1 2 0 2 𝑥4𝑥 2 2𝑥 2𝑑𝑥 𝑚 0 2 𝑥 𝑥 2𝑥 𝑑𝑥2 0 2 𝑥 2𝑑𝑥 0 2 𝑥 3𝑑𝑥 2 𝑥 3 3 𝑥 4 4 0 2 4 3 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 0 2 2 𝑥 4 𝑥 2 𝑥 2𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑚 0 2 𝑥 2 𝑦 2 2 2 𝑥 4𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥𝑐 1 𝑚 0 2 𝑥 32𝑥 𝑑𝑥 1 𝑚 2𝑥 4 4 𝑥 5 5 0 2 1 𝑚 8 53 4 8 56 5 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 0 2 2 𝑥 4 𝑥 2 𝑥 𝑦 2𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑚 0 2 𝑥 𝑦 3 3 2𝑥 4 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑦𝑐 1 𝑚 0 2 𝑥4𝑥 2 3 2812𝑥6 𝑥 2𝑥 3 3 𝑑𝑥 𝑦𝑐 1 𝑚 1 302 4𝑥 2 5 240𝑥 240 𝑥 315 𝑥 42𝑥 5 0 2 1 𝑚 8 56 5 𝑚 x y 2 x² y² 4 𝑥 2 𝑦 21 𝑦1𝑥 2𝜌 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑚 0 1 1 𝑥 2 1 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 0 1 𝑥 𝑦 2 2 1 𝑥 2 1 𝑑𝑥1 2 0 1 𝑥11𝑥 2𝑑𝑥 𝑚1 2 0 1 𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥1 2 𝑥 4 4 0 1 1 8 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 0 1 1 𝑥 2 1 𝑥 2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑚 0 1 𝑥 2 𝑦 2 2 1 𝑥 2 1 𝑑𝑥 1 2𝑚 0 1 𝑥 21 1 𝑥 2𝑑𝑥 𝑥𝑐 1 2𝑚 0 1 𝑥 2 𝑥 2 𝑑𝑥 1 2𝑚 𝑥 5 5 0 1 1 10𝑚 1 10 1 8 4 5 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 0 1 1 𝑥 2 1 𝑥 𝑦 2𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑚 0 1 𝑥 𝑦 3 3 1 𝑥 2 1 𝑑𝑥 1 3𝑚 0 1 𝑥1 1𝑥 2 3 2𝑑𝑥 𝑦𝑐 1 3𝑚 0 1 𝑥1 1𝑥 2 3 2𝑑𝑥 1 3𝑚 𝑥 2 2 1 5 1𝑥 2 5 20 1 1 3𝑚 3 10 𝑦𝑐 1 10𝑚 1 10 1 8 4 5 𝑚 y 1 x 1 C x2 y2 1 Massa 𝑚 𝑥𝑦2 2 0 3 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥 3 0 𝑦2 2 0 𝑑𝑦 𝑥2 2 0 3 𝑦3 3 0 2 𝑚 32 02 2 23 03 3 9 2 8 3 12 𝑘𝑔 Coordenadas do centro de massa 𝑥𝑐 1 𝑚 𝑥𝜌𝑥 𝑦𝑑𝐴 1 12 𝑥2 2 0 3 0 𝑦2𝑑𝑦𝑑𝑥 1 12 𝑥3 3 0 3 𝑦3 3 0 2 𝑥𝑐 1 12 27 0 3 8 0 3 2 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 𝑦𝜌𝑥 𝑦𝑑𝐴 1 12 𝑥𝑦3 2 0 3 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 1 12 𝑥2 2 0 3 𝑦4 4 0 2 𝑦𝑐 1 12 9 0 2 16 0 4 3 2 𝑚 15 𝑚 y 2 x 3 C 𝑚 𝑥2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 5 0 4 0 𝑥2 4 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 5 0 𝑑𝑥 4 0 𝑦𝑑𝑦 5 0 𝑚 𝑥3 3 0 4 𝑦0 5 𝑥0 4 𝑦2 2 0 5 43 03 3 5 0 4 0 52 02 2 𝑚 320 3 50 470 3 𝑘𝑔 15667 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 𝑥𝑥2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 5 0 4 0 1 470 3 𝑥3 4 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 5 0 𝑥𝑑𝑥 4 0 𝑦𝑑𝑦 5 0 𝑥𝑐 3 470 𝑥4 4 0 4 𝑦0 5 𝑥2 2 0 4 𝑦2 2 0 5 𝑥𝑐 44 0 4 5 0 42 0 2 52 0 2 260 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 𝑦𝑥2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 5 0 4 0 1 470 3 𝑥2 4 0 𝑑𝑥 𝑦𝑑𝑦 5 0 𝑑𝑥 4 0 𝑦2 5 0 𝑑𝑦 𝑦𝑐 3 470 𝑥3 3 0 4 𝑦2 2 0 5 𝑥0 4 𝑦3 3 0 5 277 𝑚 y 5 x 4 C 𝑥 2𝑦 6 𝑦 3 𝑥 2 𝑚 𝑦2 3𝑥 2 0 6 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑦3 3 0 3𝑥 2 6 0 𝑑𝑥 3 𝑥 2 3 3 0 3 𝑑𝑥 6 0 𝑚 1 3 3 𝑥 2 3 6 0 𝑑𝑥 1 24 6 𝑥3 6 0 𝑑𝑥 1 24 6 𝑥4 4 0 6 𝑚 1 96 6 𝑥40 6 1 96 6 64 6 04 27 2 𝑘𝑔 135 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 𝑥𝑦2 3𝑥 2 0 6 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 1 27 2 𝑦3 3 0 3𝑥 2 6 0 𝑥𝑑𝑥 2 27 3 𝑥 2 3 3 0 3 𝑥𝑑𝑥 6 0 𝑥𝑐 2 27 1 24 6 𝑥3 6 0 𝑥𝑑𝑥 1 27 12 108𝑥2 36𝑥3 9𝑥4 2 𝑥5 5 𝑑𝑥 6 0 𝑥𝑐 1 27 12 108𝑥3 3 36𝑥4 4 9𝑥5 10 𝑥6 30 0 6 1 27 12 1945 5 6 5 𝑚 12 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 𝑦3 3𝑥 2 0 6 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 1 27 2 𝑦4 4 0 3𝑥 2 6 0 𝑑𝑥 2 27 3 𝑥 2 4 4 0 4 𝑑𝑥 6 0 𝑦𝑐 2 27 1 64 6 𝑥4 6 0 𝑑𝑥 1 27 1 32 6 𝑥5 5 0 6 1 27 1 32 7776 5 18 𝑚 y 3 x 2 x 6 𝑚 𝑥 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑥2 1 0 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑥2 1 0 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑥2 1 0 𝑚 𝑥𝑦𝑥2 1 1 0 𝑑𝑥 𝑦2 2 𝑥2 1 1 0 𝑑𝑥 𝑥1 𝑥2𝑑𝑥 1 0 12 𝑥22 2 𝑑𝑥 1 0 𝑚 𝑥 𝑥3𝑑𝑥 1 0 1 2 1 𝑥4𝑑𝑥 1 0 𝑥2 2 𝑥4 4 𝑥 2 𝑥5 10 0 1 𝑚 12 02 2 14 04 4 1 0 2 15 05 10 065 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 𝑥𝑥 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑥2 1 0 1 065 𝑥2 1 𝑥2 1 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑥2 1 0 𝑥𝑐 1 065 𝑥2𝑦𝑥2 1 1 0 𝑑𝑥 𝑥 𝑦2 2 𝑥2 1 1 0 𝑑𝑥 1 065 𝑥2 𝑥4 𝑥 2 𝑥5 2 𝑑𝑥 1 0 𝑥𝑐 1 065 𝑥3 3 𝑥5 5 𝑥2 4 𝑥6 12 0 1 0462 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 𝑦𝑥 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑥2 1 0 1 065 𝑦𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑥2 1 0 𝑦2 1 𝑥2 1 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑦𝑐 1 065 𝑥 𝑦2 2 𝑥2 1 1 0 𝑑𝑥 𝑦3 3 𝑥2 1 1 0 𝑑𝑥 1 065 𝑥 2 𝑥5 2 1 3 𝑥6 3 𝑑𝑥 1 0 𝑦𝑐 1 065 𝑥2 4 𝑥6 12 𝑥 3 𝑥7 21 0 1 0696 𝑚 y x² y 1 A densidade é proporcional à distância à reta 𝑦 1 Podemos escrever 𝜌𝑥𝑦 𝑘𝑦 1 𝑘𝑦 1 onde k é uma constante de proporcionalidade Em todos os exercícios que precisarmos usar uma constante de proporcionalidade usaremos k 𝑚 𝑘𝑦 1𝑑𝑦𝑑𝑥 2 𝑥2 8 4 0 𝑘 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 2 𝑥2 8 4 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 2 𝑥2 8 4 0 𝑚 𝑘 𝑦2 2 𝑥2 8 2 4 0 𝑑𝑥 𝑦𝑥2 8 2 4 0 𝑑𝑥 𝑘 4 𝑥2 8 𝑥4 128 𝑑𝑥 4 0 𝑚 𝑘 4𝑥 𝑥3 3 8 𝑥5 5 128 0 4 𝑘 176 15 𝑘 1173 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 𝑘𝑥𝑦 1𝑑𝑦𝑑𝑥 2 𝑥2 8 4 0 𝑘 176 15 𝑘 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 2 𝑥2 8 4 0 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 2 𝑥2 8 4 0 𝑥𝑐 15 176 𝑥 𝑦2 2 𝑥2 8 2 4 0 𝑑𝑥 𝑥𝑦𝑥2 8 2 4 0 𝑑𝑥 15 176 𝑥 4 𝑥2 8 𝑥4 128𝑑𝑥 4 0 𝑥𝑐 15 176 4𝑥2 2 𝑥4 4 8 𝑥6 6 128 0 4 15 176 56 3 159 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 𝑘𝑦𝑦 1𝑑𝑦𝑑𝑥 2 𝑥2 8 4 0 𝑘 176 15 𝑘 𝑦2 2 𝑥2 8 4 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 2 𝑥2 8 4 0 𝑦𝑐 15 176 𝑦3 3 𝑥2 8 2 4 0 𝑑𝑥 𝑦2 2 𝑥2 8 2 4 0 𝑑𝑥 15 176 14 3 𝑥6 1536 𝑥4 128𝑑𝑥 4 0 𝑦𝑐 15 176 14𝑥 3 𝑥7 7 1536 𝑥5 5 128 0 4 15 176 544 35 1325 𝑚 A densidade é proporcional à distância ao eixo x Podemos escrever 𝜌𝑥 𝑦 𝑘𝑦 𝑚 𝑘𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑒𝑥 0 1 0 𝑘 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑒𝑥 0 1 0 𝑘 𝑦2 2 0 𝑒𝑥 1 0 𝑑𝑥 𝑘 𝑒2𝑥 2 𝑑𝑥 1 0 𝑚 𝑘 2 𝑒2𝑥 1 0 𝑑𝑥 𝑘 2 𝑒2𝑥 2 0 1 𝑘 2 𝑒2 1 2 𝑘 4 𝑒2 1 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 𝑥 𝑒𝑥 0 1 0 𝑘𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑒𝑥 0 1 0 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦2 2 0 𝑒𝑥 1 0 𝑑𝑥 𝑥𝑐 𝑘 2𝑚 𝑥𝑒2𝑥 1 0 𝑑𝑥 𝑘 2𝑚 𝑒2𝑥 4 2𝑥 1 0 1 𝑘 2𝑚 𝑒2 1 4 𝑥𝑐 𝑘 2 𝑘 4 𝑒2 1 𝑒2 1 4 𝑒2 1 2𝑒2 1 06565 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 𝑦 𝑒𝑥 0 1 0 𝑘𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 𝑦2 𝑒𝑥 0 1 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 𝑦3 3 0 𝑒𝑥 1 0 𝑑𝑥 𝑦𝑐 𝑘 3𝑚 𝑒3𝑥 1 0 𝑑𝑥 𝑘 3𝑚 𝑒3𝑥 3 0 1 𝑘 3𝑚 𝑒3 1 3 𝑦𝑐 𝑘 3 𝑘 4 𝑒2 1 𝑒3 1 3 4𝑒3 1 9𝑒2 1 13277 𝑚 ex x 1 A densidade é proporcional à soma das distâncias aos lados retos 𝜌 𝑘𝑥 𝑦 Vamos usar coordenadas polares 𝑥 𝑟 cos𝜃 𝑦 𝑟 sin𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝜌𝑟 𝜃 𝑘𝑟 cos𝜃 𝑟 sin𝜃 𝑘𝑟cos𝜃 sin𝜃 Primeiro quadrante 0 𝑟 𝑎 0 𝜃 𝜋 2 𝑚 𝑘𝑟cos𝜃 sin𝜃 𝑎 0 𝜋 2 0 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑘 cos𝜃 sin𝜃𝑑𝜃 𝜋 2 0 𝑟2 𝑎 0 𝑑𝑟 𝑚 𝑘 sin𝜃 cos𝜃0 𝜋 2 𝑟3 3 0 𝑎 𝑘 1 0 0 1 𝑎3 3 0 2𝑘𝑎3 3 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 𝑥 𝑎 0 𝜋 2 0 𝑘𝑟2cos𝜃 sin𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥𝑐 𝑘 2𝑘𝑎3 3 𝑟 𝑎 0 cos𝜃 𝜋 2 0 𝑟2cos𝜃 sin𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥𝑐 3 2𝑎3 𝑟3 𝑎 0 𝑑𝑟 cos2𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 cos𝜃 sin𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 𝑥𝑐 3 2𝑎3 𝑟4 4 0 𝑎 𝜃 2 sin2𝜃 4 sin2𝜃 2 0 𝜋 2 𝑥𝑐 3 2𝑎3 𝑎4 4 1 2 𝜋 4 3𝑎𝜋 2 32 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 𝑦 𝑎 0 𝜋 2 0 𝑘𝑟2cos𝜃 sin𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑦𝑐 𝑘 2𝑘𝑎3 3 𝑟 𝑎 0 sin𝜃 𝜋 2 0 𝑟2cos𝜃 sin𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑦𝑐 3 2𝑎3 𝑟3 𝑎 0 𝑑𝑟 sin2𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 cos𝜃 sin𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 0 𝑦𝑐 3 2𝑎3 𝑟4 4 0 𝑎 𝜃 2 sin2𝜃 4 sin2𝜃 2 0 𝜋 2 𝑦𝑐 3 2𝑎3 𝑎4 4 1 2 𝜋 4 3𝑎𝜋 2 32 𝑚 A densidade é proporcional ao produto das distâncias 𝜌𝑥 𝑦 𝑘𝑥𝑦 𝑚 𝑘𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 183𝑥 2 0 6 0 𝑘 𝑥 𝑦2 2 0 93𝑥 2 6 0 𝑑𝑥 𝑘 2 𝑥 9 3𝑥 2 2 6 0 𝑑𝑥 𝑚 𝑘 2 𝑥 9 3𝑥 2 2 6 0 𝑑𝑥 𝑘 2 81𝑥2 2 9𝑥3 9𝑥4 16 0 6 243𝑘 2 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 𝑥 183𝑥 2 0 6 0 𝑘𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 𝑥2 𝑦2 2 0 93𝑥 2 6 0 𝑑𝑥 𝑘 2𝑚 𝑥2 9 3𝑥 2 2 6 0 𝑑𝑥 𝑥𝑐 𝑘 2𝑚 27𝑥3 27𝑥4 4 9𝑥5 20 0 6 𝑘 2𝑚 2916 5 𝑘 2 243𝑘 2 2916 5 12 5 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 𝑦 183𝑥 2 0 6 0 𝑘𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦3 3 0 93𝑥 2 6 0 𝑑𝑥 𝑘 3𝑚 𝑥 9 3𝑥 2 3 6 0 𝑑𝑥 𝑦𝑐 𝑘 3𝑚 729𝑥2 2 243𝑥3 2 243𝑥4 16 27𝑥5 40 0 6 𝑘 3𝑚 6561 5 𝑘 3 243𝑘 2 6561 5 𝑦𝑐 18 5 𝑚 3x 2y 18 C A densidade é proporcional à distância ao eixo x 𝜌𝑥 𝑦 𝑘𝑦 𝑚 𝑘𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 sin𝑥 0 𝜋 0 𝑘 𝑦2 2 0 sin𝑥 𝜋 0 𝑑𝑥 𝑘 2 sin2𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 𝑚 𝑘 2 𝑥 2 sin2𝑥 4 0 𝜋 𝑘 2 𝜋 2 𝑘𝜋 4 𝑥𝑐 1 𝑚 𝑥 sin𝑥 0 𝜋 0 𝑘𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦2 2 0 sin𝑥 𝜋 0 𝑑𝑥 𝑘 2𝑚 𝑥 𝜋 0 sin2𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑐 𝑘 2𝑚 𝑥2 2 𝑥 sin2𝑥 4 𝑥2 4 cos2𝑥 8 0 𝜋 𝑘 2𝑚 𝜋2 4 𝑘 2 𝑘𝜋 4 𝜋2 4 𝑥𝑐 𝜋 2 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 𝑦 sin𝑥 0 𝜋 0 𝑘𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 𝑦3 3 0 sin𝑥 𝜋 0 𝑑𝑥 𝑘 3𝑚 sin3𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 𝑦𝑐 𝑘 3𝑚 cos𝑥 cos3𝑥 3 0 𝜋 𝑘 3𝑚 4 3 𝑘 3 𝑘𝜋 4 4 3 16 9𝜋 𝑚 sinx C A densidade é proporcional à distância ao eixo y 𝜌𝑥 𝑦 𝑘𝑥 𝑚 𝑘𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑥 1 0 𝑘 𝑥𝑦𝑥 𝑥 1 0 𝑑𝑥 𝑘 𝑥𝑥 𝑥𝑑𝑥 1 0 𝑚 𝑘 𝑥 3 2 1 0 𝑑𝑥 𝑥2 1 0 𝑑𝑥 𝑘 𝑥 5 2 5 2 𝑥3 3 0 1 𝑘 1 15 𝑘 15 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 𝑥 𝑥 𝑥 1 0 𝑘𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 𝑥2𝑦𝑥 𝑥 1 0 𝑑𝑥 𝑘 𝑚 𝑥2𝑥 𝑥𝑑𝑥 1 0 𝑥𝑐 𝑘 𝑚 𝑥 5 2 1 0 𝑑𝑥 𝑥3 1 0 𝑑𝑥 𝑘 𝑚 𝑥 7 2 7 2 𝑥4 4 0 1 𝑘 𝑚 1 28 𝑘 𝑘 15 1 28 𝑥𝑐 15 28 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 𝑦 𝑥 𝑥 1 0 𝑘𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦2 2 𝑥 𝑥 1 0 𝑑𝑥 𝑘 2𝑚 𝑥𝑥 𝑥2𝑑𝑥 1 0 𝑦𝑐 𝑘 2𝑚 𝑥3 1 0 𝑑𝑥 𝑥4 1 0 𝑑𝑥 𝑘 2𝑚 𝑥4 4 𝑥5 5 0 1 𝑘 2𝑚 1 12 𝑘 2𝑘 15 1 12 𝑦𝑐 5 8 𝑚 y x x C 𝑥 𝑦 2 𝑦 2 𝑥 𝑥2 𝑦2 4 𝑦 4 𝑥2 𝜌𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑚 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 4𝑥2 2𝑥 2 0 𝑥 𝑦2 2 2𝑥 4𝑥2 2 0 𝑑𝑥 1 2 𝑥4 𝑥2 2 𝑥2𝑑𝑥 2 0 𝑚 𝑥𝑥2 𝑥𝑑𝑥 2 0 2 𝑥2 2 0 𝑑𝑥 𝑥3 2 0 𝑑𝑥 2𝑥3 3 𝑥4 4 0 2 4 3 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 𝑥2 4𝑥2 2𝑥 2 0 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑚 𝑥2 𝑦2 2 2𝑥 4𝑥2 2 0 𝑑𝑥 𝑥𝑐 1 𝑚 𝑥32 𝑥𝑑𝑥 2 0 1 𝑚 2𝑥4 4 𝑥5 5 0 2 1 𝑚 8 5 3 4 8 5 6 5 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 𝑥𝑦2 4𝑥2 2𝑥 2 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑚 𝑥 𝑦3 3 2𝑥 4𝑥2 2 0 𝑑𝑥 𝑦𝑐 1 𝑚 𝑥 4 𝑥2 3 2 8 12𝑥 6𝑥2 𝑥3 3 𝑑𝑥 2 0 𝑦𝑐 1 𝑚 1 30 24 𝑥2 5 2 40𝑥2 40𝑥3 15𝑥4 2𝑥5 0 2 1 𝑚 8 5 6 5 𝑚 x y 2 x² y² 4 C 𝑥2 𝑦2 1 𝑦 1 𝑥2 𝜌𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑚 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 1 1𝑥2 1 0 𝑥 𝑦2 2 1𝑥2 1 1 0 𝑑𝑥 1 2 𝑥1 1 𝑥2𝑑𝑥 1 0 𝑚 1 2 𝑥𝑥2𝑑𝑥 1 0 1 2 𝑥4 4 0 1 1 8 𝑘𝑔 𝑥𝑐 1 𝑚 𝑥2 1 1𝑥2 1 0 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑚 𝑥2 𝑦2 2 1𝑥2 1 1 0 𝑑𝑥 1 2𝑚 𝑥21 1 𝑥2𝑑𝑥 1 0 𝑥𝑐 1 2𝑚 𝑥2𝑥2𝑑𝑥 1 0 1 2𝑚 𝑥5 5 0 1 1 10𝑚 1 10 1 8 4 5 𝑚 𝑦𝑐 1 𝑚 𝑥𝑦2 1 1𝑥2 1 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 1 𝑚 𝑥 𝑦3 3 1𝑥2 1 1 0 𝑑𝑥 1 3𝑚 𝑥 1 1 𝑥2 3 2 𝑑𝑥 1 0 𝑦𝑐 1 3𝑚 𝑥 1 1 𝑥2 3 2 𝑑𝑥 1 0 1 3𝑚 𝑥2 2 1 5 1 𝑥2 5 2 0 1 1 3𝑚 3 10 𝑦𝑐 1 10𝑚 1 10 1 8 4 5 𝑚 y 1 x² y² 1 x 1 C