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Máximo e Mínimos Problema Determine as dimensões mais econômicas para uma caixa retangular sem tampa de volume 1400 cm³ sabendo que o material que será utilizado para o fundo custa R 600cm² para as duas laterais opostas custa de R 700cm² e para as outras duas laterais custa de R 300cm² Objetivos Com base nas informações acima faça 2 Com a estratégia definida encontrar a equação que representa o problema 3 Na equação aplicar os procedimentos para encontrar os pontos críticos e classificálos mínimo máximo ou sela 4 Após terem definido o tamanho ideal da caixa calcular o custo total e o volume total da caixa 5 DESAFIO Agora vamos supor que por questões de logística a caixa poderá ter altura de 70 cm ou de 75 cm Vocês deverão analisar e decidir qual a melhor altura e as dimensões da base para que se tenha o mesmo volume com o menor custo Qual será o custo desta nova caixa V 1400 cm³ Fundo 6cm² lateral 1 7cm² lateral 2 3cm² Seja x y z as dimensões dessa caixa V xyz 1400 z 1400xy A 6xy 7yz 3zx 2 6xy 14yz 6xz 6xy 14xy 1400xy 6x 1400xy 6xy 19600x 8400y 2 Queremos então min Axy 6xy 19600x 8400y x 0 e y 0 3 Vamos calcular e classificar os pontos críticos de A A 0 Ax 6y 19600x² 0 6yx² 19600 1 Ay 6x 8400y² 0 6xy² 8400 2 Dividindo 1 por 2 xg73 yx 37 y37 x Substituindo em 1 63x7x² 19600 x³ 7 1960018 x 196800 y 84343 z 84343 y ponto crítico P1968 84343 matriz hessiana ²A ²Ax² ²Axy ²Ayx ²Ay² 2x19600x³ 6 6 2x8400y³ e ²AP 514 28043 36 0 como ²Ax²P 514 0 então x 1968 e y 543 minimizam A 4 Custo total A1968 843 6 1968 843 196001968 8400843 mínimo 99541 9959349 99644 298779 reais 5 Suponta z 7 Logo xy7 1400 xy 200 y 200x Então A 6x200x 19600x 8400x200 1200 19600x 42x A 19600x² 42 0 42x² 19600 x 2160 y 925 A 39200x³ e A2160 0 x2160 é mínimo de A Logo as dimensões do mínimo custo serão x 2160 y 925 e z 7 custo mínimo A 301460 reais Se x 75 y 18666x A 67 1866x 19600x 8400 x1866 1120 19600x 45x A 0 19600x² 45 0 45x² 19600 x 2086 y 894 e z 75 custo mínimo A 299829 reais
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