Exercício de Cálculo 2

1 LISTA DE CÁLCULO II 1 Dados os pontos no plano R² A2 3 B1 5 C 8 9 D9 4 E9 8 F3 2 DETERMINE a AB 2CD b AD 5BD 4CF c 3 CF 5 BD xCE 3 BF 2 Dados os pontos no espaço R³ A123 B958 C823 D6 2 5 E7 4 6 F1 10 3 determine a2 DF 5 BE xCF 3 AF b O módulo da operação AC 4BF 2DE 3CF 2 cO ângulo entre AB e BD d Oângulo entre AC e BD eO módulode BC 3 CD 4 AB fO valor da área do parale log r amo formado entre AD x BD gO volume do tetraedro formado pelos vetores AB AC e AD 3 3Seja a função f de duas variáveis reais a valores reais dada por fx y 2x3y 3xy Calcule a f23 b fa2b a3b 4Seja fxy 3x² 2y³ Calcule af21 b fx2hyfxy h 5Seja fx y x23xy1 x2y23 calcule af2 4 8 4 4 b f 1 a 2 5b 6Verifique se as funções abaixo são homogêneas Em caso afirmativo determine o seu grau de homogeneidade afxy 3x² 5x²y² y² bfx y xe x y x2y2 7Função de Três ou mais Variáveis a O potencial elétrico U no ponto Pxyz é dado por Px y z 5 x22y24z2 ache o valor do potencial elétrico no ponto P124 b Um objeto está em um sistema coordenado retangular tal que a temperatura T no ponto Pxyz seja dada por Txyz 003x³ 002y² 025 z² em que T é expressa em oC e xy e z em metros Determine a diferença de temperatura entre os pontos A1 52 3 e B121 Resolucao 3 Questao a Calcule f2 3 Para calcular f2 3 basta substituir x por 2 e y por 3 na funcao dada fx y 2x 3y 3x y f2 3 2 2 3 3 3 2 3 f2 3 4 9 6 3 f2 3 5 9 f2 3 5 9 Portanto f2 3 5 9 b Calcule fa 2b a 3b Para calcular fa 2b a 3b substituımos x por a 2b e y por a 3b na funcao fx y 2x 3y 3x y fa 2b a 3b 2a 2b 3a 3b 3a 2b a 3b Agora expandimos e simplificamos a expressao fa 2b a 3b 2a 4b 3a 9b 3a 6b a 3b fa 2b a 3b 5a 5b 2a 9b Portanto fa 2b a 3b 5a5b 2a9b 1 Resolucao a AB 2 CD Encontrando os vetores AB e CD AB B A 1 5 2 3 3 2 CD D C 9 4 8 9 1 5 Calculando AB 2 CD AB 2 CD 3 2 21 5 AB 2 CD 3 2 2 10 AB 2 CD 1 8 b AD 5 BD 4 CF Encontrando os vetores AD BD e CF AD D A 9 4 2 3 11 7 BD D B 9 4 1 5 8 9 CF F C 3 2 8 9 5 11 Calculando AD 5 BD 4 CF AD 5 BD 4 CF 11 7 58 9 45 11 AD 5 BD 4 CF 11 7 40 45 20 44 AD 5 BD 4 CF 49 82 c 3 CF 5 BD CE 3 BF Encontrando os vetores CE e BF CE E C 9 8 8 9 1 17 BF F B 3 2 1 5 2 3 Calculando os vetores dentro dos primeiros parˆenteses 3 CF 5 BD 35 11 58 9 3 CF 5 BD 15 33 40 45 1 3 CF 5 BD 55 78 Calculando os vetores dentro dos segundos parˆenteses CE 3 BF 1 17 32 3 CE 3 BF 1 17 6 9 CE 3 BF 7 8 Calculando o produto vetorial 3 CF 5 BD CE 3 BF 55 78 7 8 O produto vetorial e calculado da seguinte forma a b c d ad bc Aplicando ao problema 55 78 7 8 55 8 78 7 55 78 7 8 440 546 55 78 7 8 986 Resposta a AB 2 CD 1 8 b AD 5 BD 4 CF 49 82 c 3 CF 5 BD CE 3 BF 986 2 Resolucao das Questoes Dados os pontos no espaco R3 A1 2 3 B9 5 8 C8 2 3 D6 2 5 E7 4 6 F1 10 3 a 2 DF 5 BE CF 3 AF Calculando os vetores DF D F 6 2 5 1 10 3 7 12 8 BE B E 9 5 8 7 4 6 2 9 2 CF C F 8 2 3 1 10 3 9 8 0 AF A F 1 2 3 1 10 3 2 12 6 Operacoes com os vetores 2 DF 2 7 12 8 14 24 16 5 BE 5 2 9 2 10 45 10 3 AF 3 2 12 6 6 36 18 Substituindo na expressao original 2 DF 5 BE 14 24 16 10 45 10 24 69 26 CF 3 AF 9 8 0 6 36 18 15 44 18 Calculando o produto vetorial 24 69 26 15 44 18 69 18 26 44 24 18 26 15 24 44 69 15 1242 1144 432 390 1056 1035 98 42 21 O resultado da operacao a e o vetor 98 42 21 1 TA 19075 C Calcular a temperatura no ponto B TB T1 2 1 TB 00313 00222 02512 TB 003 0024 025 TB 003 008 025 TB 014 C Calcular a diferenca de temperatura Diferenca de Temperatura TA TB Diferenca de Temperatura 19075 014 Diferenca de Temperatura 17675 C Resposta A diferenca de temperatura entre os pontos A e B e de 17675 C 2 Resolucao da Questao 6 Verificando se as funcoes sao homogˆeneas e determinando o grau de homogenei dade Uma funcao fx y e considerada homogˆenea de grau n se para qualquer t real e nao nulo ftx ty tn fx y Aplicando essa definicao para cada funcao dada a fx y 3x2 5x2y2 y2 Calculando ftx ty ftx ty 3tx2 5tx2ty2 ty2 ftx ty 3t2x2 5t2x2t2y2 t2y2 ftx ty 3t2x2 5t4x2y2 t2y2 Fatorando t2 ftx ty t23x2 5t2x2y2 y2 Comparando com tn fx y t23x2 5t2x2y2 y2 tn 3x2 5x2y2 y2 Observando que o lado esquerdo nao pode ser expresso na forma tn fx y devido ao termo 5t2x2y2 Conclusao a funcao nao e homogˆenea b fx y xexy x2y2 Calculando ftx ty ftx ty tx etxty tx2 ty2 ftx ty tx exy t2x2 t2y2 Fatorando t2 no denominador ftx ty tx exy t2x2 y2 Simplificando t ftx ty t1 x exy x2 y2 1 Comparando com tn fx y t1 x exy x2 y2 tn x exy x2 y2 Observando que o lado esquerdo pode ser expresso na forma tn fx y com n 1 Conclusao a funcao e homogˆenea de grau 1 Resumo a fx y 3x2 5x2y2 y2 nao e homogˆenea b fx y xexy x2y2 e homogˆenea de grau 1 2 Questao 4 Seja fx y 3x2 2y3 Calcule a f2 1 Para calcular f2 1 substituımos x por 2 e y por 1 na funcao fx y 3x2 2y3 f2 1 322 213 f2 1 3 4 2 1 f2 1 12 2 f2 1 10 Portanto f2 1 10 b fx2hyfxy h Primeiro vamos calcular fx 2h y e fx y separadamente fx 2h y 3x 2h2 2y3 fx y 3x2 2y3 Agora vamos substituir na expressao original e simplificar fx 2h y fx y h 3x 2h2 2y3 3x2 2y3 h 3x2 4xh 4h2 2y3 3x2 2y3 h 3x2 12xh 12h2 2y3 3x2 2y3 h 3x2 12xh 12h2 2y3 3x2 2y3 h 12xh 12h2 h 12x 12h Portanto o resultado da expressao e 12x 12h 1