Prova Álgebra Linear

Questão 1 - Decida se o conjunto S abaixo é subespaço vetorial de V com as operações usuais. Justifique suas afirmações. Sabendo que: @ V = R^3 e S = {(x,y,z) ∈ R^3 / x.y = z}; Dados u, v ∈ S tal que u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2,z2) tais que x1.y1=z1 e x2.y2=z2 (i) u+v ∈ S? u+v = (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) = (x1+x2,y1+y2,z1+z2) (x1+x2).(y1+y2) = x1y1+y1x2+x2y1+y2x2 (z1) = z1+x1y2+x2y1+z2 ≠ z1+z2 ∴ o conjunto S não é subespaço vetorial de V. V = M_2 (R) e S = {( a11 a12 ) ( a21 a22 ) / a12=a21 }. Dados u, v ∈ S tal que u = ( b11 b12 ) e v = ( c11 c12 ) ( b21 b22 ) ( c21 c22 ) tais que b12=b21 e c12=c21. (i) u+v ∈ S? u+v = ( b11 b12 ) + ( c11 c12 ) ( b21 b22 ) ( c21 c22 ) = ( b11+c11 b12+c12 ) ( b21+c21 b22+c22 ) alternando b12=b21 e c12=c21. assim b12+c21=b21+c21. (ii) α u ∈ S? Seja α ∈ R temos que: αu = α ( b11 b12 ) ( b21 b22 ) = ( αb11 αb12 ) -> b12=b21 ( αb21 αb22 ) alterando temos que: ( αb11 αb12 ) ( αb21 αb22 ) αb21=αb21, (iii) O ∈ S? Sendo α ∈ R temos α=0 αu = 0 ( b11 b12 ) ( b21 b22 ) = ( 0.b11 0.b12 ) ( 0.b21 0.b22 ) = ( 0 0 ) ( 0 0 ) 0=0 Questão 2- Seja V=P_3(\mathbb{R}). @ Mostre que B={1, 2+x, 3x-x^2, x-x^3} é uma base de V; 1 Mostrando que é L.I. α.(1+0.x+0.x^2+0.x^3)+β(2+x+0.x^2+0.x^3)+γ.(0+3x-x^2+0.x^3)+ λ.(0+x-x^2-x^3)=(0+0.x+0.x^2+0.x^3) ………………………………………………….. (x+0.x+0.x^2+0.x^3)+(2β+β.0.x+0.x^2+0.x^3)+(0+3γ-x^2+0.x^3)+ (0+x-x^2-x^3)=(0+0.x+0.x^2+0.x^3) ………………………………………………….. (α+2β)+(β+3γ+λ)x+(-γ)x^2+(-λ)x^3=(0+0.x+0.x^2+0.x^3) ………………………………………………….. { α+2β=0 (IV) β+3γ+λ=0 (III) -γ=0 →{γ=0}II -λ=0 →{λ=0}I substituindo I e II em III β+3.0+0=0 {β=0}V substituindo V em IV α+2.0=0 {α=0} assim, { α=0 β=0 γ=0 λ=0 logo é L.I. 2) Verificando se o conjunto B gera P_3(\mathbb{R}). α.(1+0.x+0.x^2+0.x^3)+β(2+x+0.x^2+0.x^3)+γ.(0+3.x-x^2+0.x^3)+ λ.(0+x-x^2-x^3)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 ………………………………………………….. (α+0.x+0.x^2+0.x^3)+(2β+β.0.x+0.x^2+0.x^3)+(0+3γ-x^2+0.x^3)+ (0+λ.x+0.x^2-λ.x^3)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 ………………………………………………….. (α+2β)+(β+3γ+λ)x+(-γ)x^2+(-λ)x^3=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 ………………………………………………….. { α+2β=a_0 (IV) β+3γ+λ=a_1 (III) -γ=a_2 →{γ=-a_2}II -λ=a_3 →{λ=-a_3}I substituindo I e II em III temos que: β+3γ+λ=a_1 β+3(-a_2)+(-a_3)=a_1 β-3a_2-a_3=a_1 {β=a_1+3a_2+a_3}V substituindo V em IV temos que: α+2β=a_0 α+2(a_1+3a_2+a_3)=a_0 α=α_0-2a_1-6a_2-2a_3 assim, temos que { α=a_0-2a_1-6a_2-2a_3 β=a_1+3a_2+a_3 γ=-a_2 λ=-a_3 logo formamos todo P_3(\mathbb{R}). ∴ o conjunto B é uma base de P_3(\mathbb{R}). b) Escreva as coordenadas de p(x)=1+x+x^2+x^3 com relacao a base B. λ(1+0x+0x^2+0x^3)+β(2+x+0x^2+0x^3)+γ(0+3x−x^2+0x^3)+ λ(0+x+0x^2−x^3)=1+x+x^2+x^3 λ1+0x+0x^2+0x^3+λ(0+x+0x^2−0x^3)+β(2+βx+0x^2+0x^3)+γ(0+3γx−γx^2+0x^3)+ (0+x+0x^2−γx^3)=1+x+x^2+x^3 (α+2β)+1(β+3γ)−2γ)x+2(−γ)x^3=1+x+x^2+x^3 α+2β=1 IV β+3γ+λ=1 III −γ=1 II γ=−1 I substituindo I e II em III β−3·1−1=1 β−4=1 β=5 V substituindo V em IV α+2(5)=1 α+2·5=1 α=−9 assim temos que: α=−9 β=5 γ=−1 λ=−1 Questao 3 − Mostre que o conjunto S das soluções do sistema linear homogéneo: {5x+y+2z−3w=0 6x+y−3z+2w=0 3x+y+12z−13w=0 é um subespaço vetorial de R^4 e exiba uma base de S. Resolva o sistema {5x+y+2z−3w=0 I 6x+y−3z+2w=0 II 3x+y+12z−13w=0 III IV y=−5x−2z+3w V y=−6x+3z−2w IV V y=y −5x−2z+3w=−6x+3z−2w VI x=5z−5w VI em IV IV y=−5x−2z+3w y=−5(5z−5w)−2z+3w y=−25z+25w−2z+3w y=−27z+28w VII S={(x,y,z,w)∈R^4/x=5z−5w, y=−27z+28w } ou S={(5z−5w,−27z+28w,z,w)|z,w∈R} Mostrando se S é um subespaço vetorial de R^4. Sejam u e v ∈ S tal que u=(5c_1−5d_1,−27c_2+28d_1,c_1,d_1) e v=(5c_2−5d_2,−27c_2+28d_2,c_2,d_2) u+v ∈ S? u+v=(5c_1−5d_1−27c_1+28d_1,c_1,d_1)+(5c_2−5d_2−27c_2+28d_2,c_2,d_2) =(5c_1−5d_1+5c_2−5d_2,−27c_1+28d_1−27c_2+28d_2,c_1+c_2,d_1+d_2) Sendo c_1,c_2,d_1,d_2 ∈ R logo u+v ∈ S • 𝛼. u E 𝑇q ∀𝛼 E R? u = (5a₁ - 5d₁, -27a₁ + 28d₁, c₁, d₁) 𝛼 E R 𝛼u = 𝛼(5a₁ - 5d₁, -27a₁ + 28d₁, c₁, d₁) = (5𝛼a₁ - 5𝛼d₁, -27𝛼a₁ + 28𝛼d₁, 𝛼c₁, 𝛼d₁) Assim sendo 𝛼, d₁ E R logo 𝛼u E S • O E S? Sendo 𝛼u E S ∀𝛼 E R temos que: 𝛼 = 0 assim. 0 . u = (5 . 0 . a₁ - 5 . 0 . d₁, -27 . 0 . c₁ + 28 . 0 . d₁, 0 . c₁, 0 . d₁) = (0, 0, 0, 0) Logo 0 E S :. O conjunto S é um subespaço vetorial de R⁴. © Adri !