Lista de Exercicios Resolucao de Questoes sobre Espacos Vetoriais Algebra Linear

Questão 1 Mostre que se V é um espaço vetorial de dimensão finita e W é um subespaço de V então existe um subespaço U tal que V U W Esse U tal que V U W é único Questão 2 Seja V um espaço vetorial e β v₁vn um conjunto de vetores em V com vi 0 i1n e vivj 0 se i j Conclua que β é um conjunto LI Questão 3 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e considere W um subespaço de V tal que V W W Prove que dim V dim W dim W Questão 4 Seja M₂ℝ a bc d abcd ℝ Defina AB trAB onde AB M₂ℝ e trAB denota o traço do produto AB Verifique se AA 0 para toda matriz não nula em M₂ℝ Questão 5 Seja P₂ℝ ax² bx c abc ℝ Defina pq ₀¹ pxqxdx pq P₂ℝ Determine uma base ortonormal para P₂ℝ Questão 6 Considere o sistema 2x y z0 x y z0 Qual é a dimensão do subespaço das soluções Construa uma base ortonormal para esse subespaço considerando o produto escalar usual Questão 7 Seja W xx x ℝ ℝ² Verifique que W é um subespaço de ℝ² e encontre subespaços W e W de ℝ² tais que W W W W ℝ² e W W 0 Questão 8 Sejam U xyzt ℝ⁴ xy2zt 0 e V xyzt ℝ⁴ 2xy2zt0 Determine uma base para U V Questão 9 Determine uma base ortonormal para ℝ³ que contenha o vetor v₁ 211 usando o produto escalar usual Questão 10 Seja V ℝ³ com produto escalar usual Se S xx0 x ℝ determine S