Algebra Linear - Resumos 2a Unidade

Segunda Unidade - Algebra linear\nTransformação linear\nT: U → V\nT(u + v) = T(u) + T(v)\nT(αu) = αT(u)\nT(0) = 0\nT: U → V\n2[T(u)] = 2[Tc (u)]\n\nV: Espaços Vetoriais\nU: domínio\nV: codomínio\n\nSobre transformações lineares:\npropriedades refletidas, tanto de alcançar\nou diminuir um vetor.\n\nOperador linear\n\nConstruindo Transformações lineares a partir das Imagens sobre uma Base\nU, V: espaços vetoriais\nu_i ∈ U,\nv_j ∈ W. Existe uma imagem\nT: U → V tal que T(u_i) = v_j, T(v_i) = [dados da base da imagem de C] \n\nT(u + v) = Wn e Wn = 2 sim\n\nPropriedades do núcleo\n\nT: U → V é injetiva:\nT(u) = 0 <=> u = 0,\nseu núcleo é 0.\n\n(temos que) T: U → V\nonde T(K) = M é injetiva, dev Injetividade\nUma T é injetiva quando\nnão há exemplo s.t. existe uma\nviga e requiebro que não deu\nna sétima da imagem de T.\n\nT(x1) = T(x2) ⇒ x1 = x2\n\nTeorema:\nT é injetiva ⇔ Num(T) = dim(K) - dim(ker(T))\n\np/ verificarmos se uma T é injetiva, basta terem e não\nzero seus núcleos. 0\n\nK será elemento do contra-domínio e atingido,\npois não 1 vez\n\nSobrejetividade\n\ndim(ker(T) + dim(Im(T)) = dim(D)\n\nO ε de Ber(r) deriva do zero.\n\nA maior ser injeto-implicação unilateral em elaser inxe\n\n\ndim(V) = dim(ker(T) + dim(Im(T)) = dim(domínio) Transformação linear\nLe exemplo não calderão\n\nTeorema Núcleo - Imagem\nT(n) = T(n-1) + 2z + 1z + z + 2 + 0;\nT(1, 0) → (2, 2, 0)\n\nCálculo do Núcleo\n\n1) Im(T) = (2, 2);[\n2, 1, 0];dim(mucm) =\n\n2) Cálculo do núcleo\n\nTn: T =\n\nT(v) = x, T(v) = T(1,1)=x₁ + y \n[2]\n\ndim(ker(T)) = dim(im(T))\n\nT | f, ou T | [T][ \nT] = [T][T] [T]\n[T(v)]= [ Ta1 a b c]\n= x3 T v = a0, [a1 a2 a3]\n\npode ser escrito como:\n[T(u)] = [a1 a2 a3] x3 T(v)\nT(v) autovalores e autovetores\n\nobservações pertinentes :\n- A matriz é quadrada.\n- Autovalores e autovetores estão sempre juntos.\n- Cada autovalor pode estar associado a um autovetor.\n\n- A deve ser zero, mas não!\n- Autovalores estão associados a cada um autovetor.\n\nA1, A2 e A3 = autovalores I.\n\n* * É a questão que irá prever que um vetor é autovetor. Ou seja, Ab = 2b, você bem deve mostrar que b = 0.\n\nautovalores zero\n\nTodos os núcleos são sempre os autovalores associados ao valor null = 0.\n\nSe λ1 = 0, então A é associado a 2.0, excluindo elementos de nul.\n\nSe A possui um autovalor zero (λ = 0), então NU (λ1) = 0, portanto, A não é injetiva. como achá-los:\n\nBasta calcular a raiz do polinômio característico:\n\np(λ) = det(A - λI)\n\nA matriz I é a matriz identidade.\n\nPara encontrar autovalores, basta:\n\np(λ) = 0\n\nPara matrizes nxn:\n\ndet(A) = λ1 * λ2 * ... * λn\ntr(A) = λ1 + λ2 + ... + λn\n\nautovetores:\n\nAb = λb ou \n(A - λI)b = 0\n\n *\n\nmultiplicidade: é um autovalor que tem multiplicidade, ou seja, aparece em dimensões associadas.\n\n- multiplicidade geométrica (m)\n- multiplicidade algébrica (a)\n\na ≤ m. definição: dizemos que uma matriz quadrada A é diagonalizável se existe P invertível e diagonal tal que:\n\nD = P^-1AP\n\nA = PDP \n\n\"diagonalização esperada\"\n\nP é a matriz que tem autovalores de A nas colunas.\n\nD é a matriz diagonal, com os autovalores de A na diagonal principal.\n\nexemplo rápido:\n\nA = [[1,1],[0,2]]\nλ1 = 2 e λ2 = 0;\n\nautovetores: v1 = (1,0) e v2 = (1,1);\n\nD = [2,0]\n\nP = [1,1]\n\nDiagonalizar é escrever matriz de autovetores, no qual é o diagonal.\n\nPasso a passo para diagonalizar uma matriz Anxn:\n- calcular os autovalores\n- det(A - λI) = 0\n- um os autovalores; saíremos os autovetores; então a diagonalização!\n\nPropriedades:\n- De todos os autovalores pers. distintos, autovetores.