Prova Analítica Topologia Espaços Métricos Abertos e Acumulação LaTeX

1 Prove analiticamente que se p Sā r então p B¹ ā R com um programa LATEX Def Um conjunto Ω ℝ³21 denominado ABERTO se para todo ponto p Ω existe uma bola B p r Ω Ex em ℝ² Ω x y x y 0 é aberto x y 0 x y 0 y x reta 1 p x₀ y₀ 2 dp Ω 3 r d2 max difícil 4 Verifica Bp r Ω 05 max pa Exemplo Ω Bā R Qual o conjunto de todos os pontos de acumulação de Ω seja ℝ³ ā R epiderme no bordo da esfera não estão no bola aberta todos os pontos que estão no bordo e dentro da esfera serão pontos de acumulação B¹ādiB¹ Sā R Bā ½ Bola Fechada Ex 1 x0y0 é definida por toda a região abaixo ou à esquerda da reta y x Para mostrar que ΔΩ é aberto devemos provar que x0 y0 ΔΩ Bu r Ω com u x0 y0 Considere então Px0 y0 ΔΩ e π a reta y x 0 Da geometria analítica dP π 1x0 1y0 1² 1² x0 y0 2 veja que d 0 x0 y0 0 x0 y0 0 x0 y0 absurdo já que P ΔΩ x0 y0 0 circunferência Considere agora a de centro x0 y0 e raio r 12 x0 y0 2 12 dPπ Que seja x x0² y y0² 18 x0 y0² Γ1 Considere também a circunferência Γ2 de centro x0 y0 e raio x0 y0 2 Γ1 e Γ2 são concêntricas com Γ2 tangenciando π deixe que Γ1 int Γ2 e todo ponto de Γ2 pertence à região do plano que satisfaz x y 0 com exceção de 1 o ponto de tangência Como Γ1 não tangencia π e Γ1 int Γ2 x y 0 x y Γ1 cqd Há dos conjuntos a serem analisados SaR borda da esfera ie x R³ xa R BaR interior da esfera ie x R³ xa R o BaR é definido como SaR BaR Então se p SaR pa R Sendo BaR x R³ xa R pa R p BaR