Prova de Análise Complexa: Igualdades Trigonométricas e Funções Analíticas

1ª 20 pontos Seja x um número real que não é um múltiplo inteiro de 2π Prove as igualdades a 1 cos x cos 2x cos nx cos n12x sen n12x sen 12 b sen x sen 2x sen nx sen n2x sen n12x sen 12 2ª 20 pontos Ache todas as raízes das equações a cosh z 12 onde cosh z expzexpz2 z ℂ b sinh z 1 onde sinh z expzexpz2 z ℂ 3ª 20 pontos Indique os pontos onde a função é contínua fz z² 2z 1 z³ 1 4ª 20 pontos Considere a função fz zImz onde Imz é a parte imaginária de z Mostre que f0 0 Será fz analítica em z 0 5ª 20 pontos Sejam A um subconjunto aberto de ℂ e f A ℂ uma função analítica Considere o conjunto aberto A z z A e defina g A ℂ por gz fz z A α a Usando a definição de função analítica prove que g é uma função analítica e que gz fz b Seja gz g1xy ig2xy com z x iy A Usando derivadas parciais para as funções g1 e g2 prove que as equações de CauchyRiemann são satisfeitas por g1 e g2 em z A onde g é dado em α