Prova de Vibrações Mecânicas 2

Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME608 Vibrações Mecânicas II Prof José Juliano de Lima Junior Nome No Nota 1a Prova de EME608 Término 9 h 30 min Data 18102022 Observações Esta prova contém 5 páginas e 4 questões totalizando 10 pontos Escrever as equações literalmente e depois substituir os valores com letra legível Comprovar as resposta através de cálculos exceto para as questões de múltipla escolha Destacar os resultados finais e as respectivas unidades com caneta As questões de múltipla escolha tem uma opção correta e A interpretação faz parte da prova 1 2 pontos Utilizandose um analisador de vibração para determinar o desbalanceamento em um disco de esmeril que gira a 2400 rpm em sentido horário observase uma amplitude de 4 mils e um ângulo de fase de 45 em sentido antihorário em relação a marca de fase com o desbalanceamento original Quando um peso experimental de 6 oz é acrescentado a 20 em sentido horário em relação à marca de fase a amplitude tornase 8 mils e o ângulo de fase 145 Se os ângulos de fase forem medidos no sentido antihorário em relação à horizontal do lado direito calcule a magnitude e a localização do peso de balanceamento necessário Rao 2008 98338 16775 63º 16755 63º 16735 63º 25175 63º 25155 63º 25135 63º Nenhuma das opções Solução i Dados n 2400 rpm V0 4 mls 45 mt 6 oz 20 Mc V1 8 mil 145 ii Vef Vef V1 V0 8 145 4 45 65532 j 43888 28284 j 28284 Vef 93816 j 17602 95453 1694 iii Massa de correção Mc mt V0 Vef 6 20 x 4 45 180 95453 1694 Mc 251 oz 3563 V2Vef V12 V02 Vef2 2 V0 Vef cosα 82 42 9542 2 x 4 x 954 cosα α cos1 0156436 α 5516 356 145 20 Re Im θt mt k1 k2 J01 J02 θ1 θ2 2 2 pontos Considere o sistema dinâmico torcional mostrado na figura A matriz de rigidez torcional do sistema é Balakumar 2019 Case 2 p 403 kt1 kt2 kt2 kt2 kt1 kt2 kt2 kt2 kt2 kt1 kt1 kt2 kt1 kt2 kt1 kt1 kt2 kt1 kt2 kt2 kt2 kt2 kt1 kt2 kt2 kt2 kt2 Nenhuma das opções Solução i Diagrama de corpo livre ii 2ª Lei de Newton ΣM0 t J01 θ1 t J01 θ1 t kt1 θ1 t kt2 θ1 t θ2 t J01 θ1 t kt1 kt2 θ1 t kt2 θ2 t 0 1 ΣM0 t J02 θ2 t kt2 θ2 t θ1 t J01 θ2 t kt2 θ2 t kt2 θ1 t 0 2 iii Equação de movimento Colocando 1 e 2 na forma matricial vem J01 0 0 J02 θ1t θ2t kt1 kt2 kt2 kt2 kt2 θ1t θ2t 0 0 3 One model that has been used to study the vibratory motion of motor vehicles is shown in Figure The body of the vehicle has a mass m1 and a rotary inertia JG about an axis through the center The elasticity of the tires is represented by springs k2 and the elasticity of the suspension by springs k1 The mass of the tire assemblies is m2 Balakumar 2019 Figure E739454 θ G 2L m1 JG k1 k1 x2 m2 k2 x3 m2 k2 a 1 ponto Obtenha a equação matricial de movimento do sistema b 1 ponto Determine as frequências naturais com m1 800 kg m2 25 kg k1 60 kNm k2 20 kNm L 14 m and JG 180 kgm2 e c 1 ponto Determine os modos de vibração apresentando um esboço de cada modo Solução i Diagrama de corpo livre ii 2ª Lei de Newton Para massa m1 ΣFt m1 x1 t m1 x1 t k1 x1tL sen θ t x2t k2 x1t L sen θ t x3 t k1 x2t x1t L sen θ t k1 x1t L sen θ t x2 t cos θ t k1 x1t L sen θ t x3 t k1 x1t L sen θ t x3 t cos θ t θ t θ t m1 JG L L L θ t k1 x2 t x1 t L sen θ t k1 x3 t x1 t L sen θ t m2 m2 x2 t x3 t k2 x2 t k2 x3 t Para a inércia Jg Σ Mglt Jg θt Jg θt Lk1 cos θt x1t L sen θt x2 t Lk1 cos θt x1 t L sen θt x3 t Jg θt 2 l²k1 cos θt sen θt L k1 ω θt x2 t L k1 ω θt x3 t 0 2 Para massa m2 Σ F t m2 x2t m2 x2 t k2 x2 t k1 x2 t x1 t L sen θt m2 x2 t k1k2 x2 t k1 x1 t k1 L sen θt 0 3 Para massa m2 Σ Ft m2 x3 t m2 x3 t k2 x3 t k1 x3 t x1 t L sen θt m2 x3 t k1k2 x3 t k1 x1 t k1 L sen θt 0 4 iii Equação de movimento na forma matricial Escrevendo as equações de 1 a 4 na forma matricial temse m1 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 Jg x1t x2t x3t θt 2k1 k1 k1 0 k1 k1k2 0 k1 0 k1 k1k2 0 Lk1 ωθ Lk1 ωθ 2l² k1ωθ x1t x2t x3t θt 0 0 0 0 iv Equação linearizada Para pequenos ângulos isto é 0 θt 10 sen θt θt e cos θt 1 m1 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 Jg x1t x2t x3t θt 2k1 k1 k1 0 k1 k1k2 0 Lk1 0 0 k1 k1 2l² k1 x1t x2t x3t θt 0 0 0 0 Substituindose os valores temse 800 0 0 0 0 25 0 0 0 0 25 0 0 0 0 180 x1t x2t x3t θt 120 x 10³ 60 x 10³ 60 x 10³ 0 60 x 10³ 80 x 10³ 0 84 x 10³ 0 0 80 x 10³ 84 x 10³ 0 84 x 10³ 84 x 10³ 2352 x 10³ x1t x2t x3t θt 0 0 0 0 v Autovetores λI Kt 0 calculando o determinante temse 120 x 10³ 800λ 60 x 10³ 60 x 10³ 0 60 x 10³ 80 x 10³ 25λ 0 84 x 10³ 0 80 x 10³ 25λ 84 x 10³ 0 84 x 10³ 84 x 10³ 2352 x 10³ 180λ 0 9 x 10⁷ λ⁴ 70710 x 10¹¹ λ³ 14636 x 10¹⁵ λ² 36384 x 10¹⁷ λ 11290 x 10¹⁹ 0 Logo ωni λi λ1 362123 λ2 2453050 λ333138 λ4 42414 ωn1 60177 rads ωn2 156622 rads ωn3 575655 rads ωn4 652731 rads vi Autovetores Modos de Vibração para λ1 362123 λ2 2453050 λ333138 λ4 42414 u41 1 07586 07586 0 u42 2 1 1 08734 u43 00474 1 1 0 u44 0 1 1 03159 vii Esboço Modo 1 0 0 Modo 2 08734 07586 07586 L 1 Modo 3 Modo 4 03159 00474 1 1 viii Deslocamentos Solução por Energia L senθt x1t L sen θt L sen θt ix Coordenadas generalizadas q1t x1t q2t x2t q3t x3t e q4t θt x Energia cinética T 12 m1 q1² 12 m2 q2² 12 m2 q3² 12 Jg q4² xi Energia Potencial Elástica U 12 k2 q2² 12 k1 q2 q1 L sen q4² 12 k2 q3² k1 q3 q1 L sen q4² xii Lagrangeano L T U 12 m1 q1² 12 m2 q2² 12 m2 q3² 12 Jg q4² 12 k2 q2² 12 k1 q2 q1 L sen q4² 12 k2 q3 12 k1 q3 q1 L sen q4² xiii Equação de EulerLagrange ddt Lqi Lqi Qi p i 1 vem ddt Lq1 Lq1 Q1 Lq1 12 m1 2 q1 q1q1 m1 q1 Lq1 12 k1 2 q2 q1 L sen q4 q1q1 12 k1 2 q3 q1 L sen q4 q1q1 k1 q2 k1 q1 k1 L sen q4 k1 q3 k1 q1 k1 L sen q4 2 k1 q1 k1 q2 k1 q3 Q1 0 ddt m1 q1 2 k1 q1 k1 q2 k1 q3 0 m1 q1 2 k1 q1 k1 q2 k1 q3 0 1 pl i 2 vem ddt Lq2 Lq2 Q2 Lq2 12 m2 2 q2 q2 q2 m2 q2 Lq2 12 k2 2 q2 12 k1 2 q2 q1 L sen q4 q2q2 k2 q2 k1 q2 k1 q1 k1 L sen q4 k1 k2 q2 k1 q1 k1 L sen q4 Q2 0 logo ddt m2 q2 k1 k2 q2 k1 q1 k1 L sen q4 0 m2 q2 k1 k2 q2 k1 q1 k1 L sen q4 0 2 pl i 3 vem ddt Lq3 Lq3 Q3 Lq3 12 m2 2 q3 q3q3 m2 q3 Lq3 12 k2 2 q3 12 k1 2 q3 q1 L sen q4 q3q3 k2 q3 k1 q3 k1 q1 k1 L sen q4 k1 k2 q3 k1 q1 k1 L sen q4 Q3 0 logo ddt m2 q3 k1 k2 q3 k1 q1 k1 L sen q4 0 m2 q3 k1 k2 q3 k1 q1 k1 L sen q4 0 3 pl i 4 vem ddt Lq4 Lq4 Q4 Lq4 12 JG 2 q4 q4q4 JG q4 Lq4 12 k1 2 q2 q1 L sen q4 L cos q4 2 q4 12 k1 2 q3 q1 L sen q4 L cos q4 q4 k1 q2 k1 q1 k1 L sen q4 L cos q4 k1 q3 k1 q1 k1 L sen q4 L cos q4 2 k1 L sen q4 k1 q2 k1 q3 L cos q4 2 k1 L2 cos q4 sen q4 k1 L cos q4 q2 k1 L cos q4 q3 Q4 0 logo ddt JG q4 2 k1 L2 cos q4 sen q4 k1 L cos q4 q2 k1 L cos q4 q3 0 JG q4 2 k1 L2 cos q4 sen q4 k1 L cos q4 q2 k1 L cos q4 q3 0 4 xiv Equação de movimento na forma matricial Escrevendo as equações de 1 a 4 na forma matricial e substituindo a coordenadas generalizadas pelos seus respectivos valores tem m1 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 JG x1t x2t x3t θt 2 k1 k1 k1 0 k1 k1 k2 0 k1 0 k1 k2 k1 L k1 cos θt k1 L cos θt 2 L2 k1 cos θt x1t x2t x3t θt 0 0 0 0 xv Equação linearizada Para pequenos ângulos isto é 0 θt 10 sen θt θt e cos θt 1 m1 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 JG x1t x2t x3t θt 2 k1 k1 k1 0 k1 k1 k2 0 L k1 0 k1 k2 k1 L k1 2 L2 k1 x1t x2t x3t θt 0 0 0 0 resp 4 Constatouse que a tubulação que conduz a água que abastece uma caldeira em uma usina termelétrica vibra violentamente à velocidade de operação da bomba de 800 rpm Para reduzir as vibrações um absorvedor que consiste em uma mola de rigidez k2 e uma massa experimental m2 de 1 kg foi ligado à tubulação Observouse que as frequências naturais do sistema com esse arranjo são 750 rpm e 1000 rpm Desejase manter as frequências naturais do sistema fora da faixa de velocidade de operação da bomba que é 700 a 1040 rpm Determine Rao 2008 953341 Figura 1 ADV DYNTechnologies DYN 2019 a 1 ponto Os valores de k2 e m2 que satisfazem esse requisito b 1 ponto As respostas no tempo solução numérica do sistema primário e do sistema com absorvedor num mesmo gráfico e c 1 ponto as FRFs do sistema primário e do sistema com absorvedor em um mesmo gráfico solução i Dados n 800 rpm n11 750 rpm k2 n12 1000 rpm m2 1 kg 700 nφ 1040 rpm ii Modelo Matemático Ft F0 cos ω t Aplicando a 2ª Lei de Newton temse m1 0 0 0 m2 0x1t x2t k1 k2 k2 k k1x1t x2t F0 0 cos ω t A solução é xt Xcos ω t com x x1 x2 Substituindo a solução na equação de movimento vem ω²Mkx 3F₀ ω² m₁ 0 0 m₂ k₁k₂ k₂ k₂ k₂ 0 x₂ F₀ 0 x₁0 massa m₁ parada k₁k₂ω²m₁ k₂ k₂ k₂ω²m₂ 0 x₂ F₀ 0 1 2 De 1 vem k₂x₂ F₀ x₂ F₀k₂ De 2 vem k₂ ω²m₂ 0 k₂m₂ ω² iii Frequências naturais do sistema com Observador de Vibrações λ m₁ 0 0 m₂ k₁k₂ k₂ k₂ k₂ 0 Fazendo µ m₂m₁ ω₁² k₁m₁ ω₂² k₂m₂ vem k₁ m₁ω₁² m₂µ ω₁² k₂ m₂ω₂² m₁ m₂µ e substituindo na equação de frequência temse λ m₂µ 0 0 m₂ m₂ω₁²µ m₂ω₂² m₂ω₂² m₂ω₂² m₂ω₂² 0 m₂ω₁²µ m₂ω₂² λm₂µ m₂ω₂² m₂ω₁² m₂ω₂² λm₂ 0 ω₁⁴ ω₁²λ µω₁⁴ µω²λ ω²λ λ² µω² 0 µω₁²λ ω₁⁴ 2ω₁λ λ² µ ω₁⁴ 2ω₁λ λ² ω₁²λ iv Determinação de m₁ e k₁ Para m₁ 750 rpm ωₙ₁ π nₙ₁30 πx75030 ωₙ₁ 7854 rads λ₁ ωₙ₁² λ₁ 61685 n 800 rpm ω π n 30 πx80030 ω 8378 rads substituindo na equação de µ tem µ 8378⁴ 2x 8378² x 61685 61685² 8378² x 61685 µ 00167 logo µ m₂m₁ m₁ m₂ µ 100167 m₁ 5994 kg ω² k₁m₁ k₁ m₁ω² 5994 x 8378² k₁ 42066 kNm v Determinação de m₂ e k₂ Para a condição tal as frequências naturais fiquem entre 700 rpm e 1040 rpm vem p1 n 700 rpm ω π n 30 π x 70030 ω 7330 rads substituindo na equação de µ vem µ 7330⁴ 2x 7330² x 61685 61685² 7330² x 61685 µ 01717 Logo µ m₂m₁ m₂ m₁µ 5994 x 01717 m₂ 43 kg k₂ m₂ ω² 43 x 8378² k₂ 30182 kNm vi Verificação das frequências naturais substituindo m₁m₂k₁k₂ na equação das frequências naturais encontrase nₙ₁ 700 rpm e nₙ₂ 9142 rpm Devese corrigir os valores de k₂ e m₂ assim para m₂ 169 kg e k₂ 11771 kNm nₙ₁ 6153 rpm e nₙ₂ 10401 rpm viii Gráficos de resposta do sistema primário e secundário Solução de equações diferenciais ordinárias lineares de coeficientes constantes usando a função ODE45 do MatLab Equação Matricial de 2a Ordem M ydot C ydott Kyt B0ut Universidade Federal de Itajubá Graduação em Engenharia Mecânica EM0905 Controle de Sistemas Mecânicos Professor Prof Dr José Juliano de Lima Junior Copyright c October 2022 by José Juliano de Lima Jr preparação do ambiente clearvars close all clc dados m15995 kg m243 kg k142066e3 Nm k230182e3 Nm rpm800 rpm F0981 N m2g dados do sistema M diagm1 m2 nlengthM Kk1k2 k2k2 k2 Czerosn B0F0 00 0 tempo de simulação ti0 tf2 tspanti tf condições iniciais y00 0 ydot00 0 tipo de excitação nula impulso degrau rampa cosseno seno wpirpm30 rads uit uttipow tipocosseno u1t uttipow sistema com 1 gdl resposta homogênea ICy01 ydot01 mm1 kk1 c0 zdottz z2 cmz2kmz1F0mcoswt t1z1ode45zdottspanIC x1z11 Sistema com 2 gdl Equação diferencial zdot1z2 zdot2invMCz2Kz1B0u ICy0 ydot0 zdottz zn12n1 MCzn12n1Kz1n1B0u1t0 Solução usando ODE45 zyydot tzode45zdottspanIC yz1n x1t sistema primário x2t sistema secundário ydotzn12n gráfico figure plott1x1ty1 titleResposta do Sistema Primário xlabeltempo s ylabelx1tInterpreterlatex legends ADVc ADVInterpreterlatex grid figure plotty titleResposta do Sistema Primário e Secundário xlabeltempo s ylabelx1t x2tInterpreterlatex legendPrimárioSecundárioInterpreterlatex grid excitações ut function futtipow escolha do tipo da excitação switch tipo case nula f0 case impulso if t 0 t eps f1eps else f0 end case degrau f1 case rampa ft case cosseno rrcii Gráfico FRF function Xsistemam1m2c1c2k1k2w sistema com 2 gdl massa Mm1 0 0 m2 rigidez Kk1k2 k2 k2 k2 amortecimento Cc1c2 c2 c2 c2 força impulsiva aplicada na massa 1 F1 0 FRF para o sistema com 2 gdl X for wdw XX invwd2M1iwdCKF end programa que faz o gráfico da Função Resposta em Frequência para um sistema de um 1 gdl e para 2 gdl sitema com absorvedor dinâmico de vibrações de massa sintonizada Universidade Federal de Itajubá Professor Prof Dr José Juliano de Lima Jr Copyright c Oct 2022 by José Juliano de Lima Jr preparação do ambiente clear all close all clc frequência de excitação wdrpi80030 rads dados do sistemas primário 953341 Rao m15994 kg m243 kg k1m1wd2 Nm k2m2wd2 Nm c10 c20 FRF para 1 gdl sistema primário variação frequência wlinspacepi60030pi100030211 X11k1m1w21iwc1 FRF para 2 gdl projeto do ADV X1sistemam1m2c1c2k1k2w nome1num2strm2 gráficos plotw30piabsX1w30piabsX11 plotw30pi20log10absX1w30pi20log10absX11 semilogyw30piabsX1w30piabsX11 titleADV de Massa Sintonizada xlabeln rpm ylabeldB X1j omega1 gdl dB X1j omega 2 gdl m grid legenddB X 1 gdldB X 2 gdl m2 nome1 kg Referências Balachandram B and Magrab E B Vibrations Third Edition Cambridge University Press 2019 Rao Singiresu S Vibrações Mecânicas 4 ed Pearson Prentice Hall 2008 DYNTechnologies Absorvedores Viscoelásticos ADVDYN httpswwwdyntechnologiescombrabsorvedoresvibracao acessado 20221017 Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME608 Vibrações Mecânicas II Prof José Juliano de Lima Junior Nome Gabarito No Nota 1a Prova de EME608 Término 18 h 30 min Data 07052024 Observações Esta prova contém 2 páginas e 2 questões totalizando 10 pontos Escrever as equações literalmente e depois substituir os valores com letra legível Comprovar as resposta através de cálculos exceto para as questões de múltipla escolha Destacar os resultados finais e as respectivas unidades com caneta As questões de múltipla escolha tem uma opção correta e A interpretação faz parte da prova 1 Considere o sistema da figura que vibra livremente na direção horizontal Determinar a 2 pontos as equações diferenciais de movimento na forma matricial utilizando a 2a Lei de Newton b 15 pontos as frequências naturais e c 15 pontos os modos de vibração Solução i Diagrama de corpo livres 2cẋ1t cẋ2tẋ1t c k2 x1t kx1tx2t kx2tx1t kx2t ii Equação de movimento Aplicando a 2a Lei de Newton vem p massa 3m ΣFt 3 mẍ1t 3mẍ1t 2cẋ1t cẋ2t ẋ1t k2 x1t k x1t x2t 3mẍ1t 3cẋ1t cẋ2t 3k2 x1t k x2t 0 p massa 2m ΣFt 2 mẍ2t 2mẍ2t cẋ2tẋ1t k x2tx1t k x2t 2mẍ2t c ẋ2t c ẋ1t 2k x2t k x1t 0 Na forma matricial temse 3m 0 ẍ1t 3c c ẋ1t 3k2 k x1t 0 0 2m ẍ2t c c ẋ2t k 2k x2t 0 iii Frequências naturais λM K 0 λ 3m 0 3k2 k 0 3k2 3mλ k k 2k 2mλ 0 3k2 3mλ 2k 2mλ kk 0 3k2 3kmλ 6kmλ 6m2λ2 k2 0 6m2λ2 9kmλ 2k2 0 Discriminante Δ 9km2 4 x 6m2 x 2k2 81 k2 m2 48 k2 m2 Δ 33 k2 m2 Raízes λ12 9km Δ 2 x 6m2 9km 33 km 12m2 λ12 9 33 12 x km λ1 0271 km λ2 1229 km Como ωni λi vemo ωη1 0271km wη1 0521 km ωη2 1229km wη2 1109 km iv Modos de Vibração Os modos de vibração são determinados por lambdaiM kui 0 Assim beginbmatrix frac3k2 3mlambdai k k 2k 2mlambdai endbmatrix beginbmatrix u1i u2i endbmatrix beginbmatrix 0 0 endbmatrix Como existe uma combinação linear entre linhas logo ku1i 2k 2mlambdaiu2i 0 quad herefore quad u2i frack2k2mlambdai u1i Para i1 u21 frack2k2mlambda1 u11 frack2k2m imes 027 frackm u11 u21 0686 u11 Então u1 u11 beginbmatrix 1 0686 endbmatrix Para i2 u22 frack2k2mlambda2 u12 frack2k2m imes 1225 frackm u12 u21 2183 u12 Então u2 u12 beginbmatrix 1 2183 endbmatrix 2 Um motor elétrico de massa 300 kg operando a uma rotação de 1500 rpm possui um desbalanceamento de 2 kgcm e é posicionado em uma viga em balanço a uma distância L da extremidade engastada A viga tem seção uniforme com módulo de rigidez EI e comprimento 2L igual a 2 m Observase que o conjunto apresenta grandes níveis de vibração na rotação de operação do motor A proposta é acrescentar um absorvedor dinâmico de vibrações de massa m na extremidade livre da viga para reduzir a vibração a 1 ponto Obtenha a equação de movimento do sistema sem o ADV de forma literal b 2 pontos Obtenha a equação de movimento do sistema na forma matricial com ADV e c 2 pontos Determine os valores de m e Xm massa e deslocamento do ADV para que o motor elétrico fique parado Solução i Dados M300 kg 2L2 m n1500 rpm moc2 kgcm ii Modelo matemático Ftmocω² senωt ai Modelo matemática sôo ADV Ftmocω²senωt aii Determinação de kM Da Resistência dos Materiais vem Para aL Posição da carga xL deflexão sob a carga yL fracPL6EI 3LL fracPL33EI P frac3EIL3yL implies kM frac3EIL3 aiii Equação de movimento M ddotxm t frac3EIL3 xm t moc omega2 sen omega t aiv Frequência Natural Obs Não considerando a massa da viga omegan sqrtfrac3EIMl3 quad extmod delta bi Modelo Ft mocω²senωt bii Matriz Massa M beginbmatrix m 0 0 m endbmatrix biii Matriz Rigidez Aplicando o Método dos Coeficientes indeterminados encontramos a matriz de flexibilidade Para a L x L δ11 fracPL26EI3L L δ11 fracPL33EI Para a L x 2L δ12 fracPL26EI6L L δ12 frac56fracPL3EI Para a 2L x L δ21 fracPL26EI6L L δ21 frac56fracPL3EI Para a 2L x 2L δ22 fracPaX2L26EI6L 2L δ22 frac83fracPL3EI Matriz Flexibilidade A beginbmatrix delta11 delta12 delta21 delta22 endbmatrix quad herefore quad A fracL33EI beginbmatrix 1 frac56 frac56 8 endbmatrix quad K Ck1 biv Equação de movimento Mddotxt Kxt Ft Prémultiplicando por A vem 𝐌𝑥𝑡 𝐊𝑥𝑡 𝐅𝑡 𝐌𝑥𝑡 𝐈𝑥𝑡 𝐅𝑡 𝐿33𝐸𝐼 1 52 52 8 𝑀 0 0 𝑀 𝑥𝑡 1 0 0 1 𝑥𝑡 𝐿33𝐸𝐼 1 52 52 8 𝐹10 0 𝑠𝑒𝑛 ω𝑡 𝐿33𝐸𝐼 𝑀 52𝑀 52𝑀 8𝑀 𝑥𝑡 1 0 0 1 𝑥𝑡 𝐿33𝐸𝐼 𝐹10 52𝐹10 𝑠𝑒𝑛 ω𝑡 Prémultiplicando a equação por 6𝐸𝐼𝐿3 vem 2𝑀 5𝑀 5𝑀 16𝑀 𝑥𝑚𝑡 𝑥𝑚𝑡 6𝐸𝐼𝐿3 1 0 0 1 𝑥𝑚𝑡 𝑥𝑚𝑡 2𝐹10 5𝐹10 𝑠𝑒𝑛 ω𝑡 ci Determinação de m e 𝑥𝑚 A resposta do sistema é 𝑥𝑚𝑡 𝑥𝑚𝑡 𝑿𝑚 𝑿𝑚 𝑠𝑒𝑛 ω𝑡 Assim ω2𝑀 𝐾𝑿 𝑭0 Ou prémultiplicando por 𝐌 ω2𝑀𝑀 𝐈𝑿 𝑀𝐹0 Então ω2 2𝑀 5𝑀 5𝑀 16𝑀 6𝐸𝐼𝐿3 1 0 0 1 𝑿𝑚 𝑿𝑚 2𝐹10 5𝐹10 Fazendo 𝑿𝑚 0 motor elétrico parado vem 6𝐸𝐼𝐿3 2𝑀ω2 5𝑀ω2 5𝑀ω2 6𝐸𝐼𝐿3 16𝑀ω2 0 𝑿𝑚 2𝐹10 5𝐹10 Logo 5𝑀ω2 𝑿𝑚 2𝐹10 1 6𝐸𝐼𝐿3 16𝑀ω2 𝑿𝑚 5𝐹10 2 Como ω ω𝑛 3𝐸𝐼𝑀𝐿3 3 Substituindo 3 em 1 e 2 vem 5𝑀 3𝐸𝐼𝑀𝐿3 𝑿𝑚 2𝐹10 3𝐸𝐼𝑀𝐿3 5𝑀 𝑿𝑚 2𝐹10 4 6𝐸𝐼𝐿3 16𝑀 3𝐸𝐼𝑀𝐿3 𝑿𝑚 5𝐹10 5 Dividindo 4 por 5 vem 5𝑀2𝑀 16𝑀 25 4𝑀 32𝑀 25 𝑀 4𝑀 7𝑀 𝑚 47 𝑀 47300 𝑚 1714 𝑘𝑔 e 5𝑀ω2 𝑿𝑚 2𝐹10 𝑿𝑚 2𝐹105𝑀ω2 2 x 𝑚𝑜𝑐χ25𝑚ω2 2 x 0025 x 1714 𝑿𝑚 467 x 105 𝑚 𝑿𝑚 005 𝑚𝑚 Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME608 Vibrações Mecânicas II Prof José Juliano de Lima Junior Nome Gabarito No Nota 1a Prova de EME608 Término 18 h 30 min Data 09052023 Observações Esta prova contém 4 páginas e 3 questões totalizando 10 pontos Escrever as equações literalmente e depois substituir os valores com letra legível Comprovar as resposta através de cálculos exceto para as questões de múltipla escolha Destacar os resultados finais e as respectivas unidades com caneta As questões de múltipla escolha tem uma opção correta e A interpretação faz parte da prova 1 1 ponto Quando se pode obter a solução de um sistema amortecido com n gdls usando a análise modal Quando a matriz de amortecimento for proporcional as matrizes massa eou a rigidez do sistema O Quando a matriz de amortecimento não for proporcional as matrizes massa eou a rigidez do sistema O Sempre O Quando o sistema possuir excitação harmônica O Nenhuma das opções 𝐂 α𝑴 β 𝐊 para desacoplar as equações modais 2 1 ponto seja 𝜆𝑖𝐼 𝐾 𝑣𝑖 0 É correto afirmar que o vetor 𝑣𝑖 representa os modos de vibração do sistema O Verdadeiro Falso 3 Considere o sistema mostrado na figura O sistema primário é composto pela massa 𝑚1 e rigidez 𝑘 O sistema secundário é composto pelo pêndulo sabese que 𝑚1 100 𝑘𝑔 𝑘 38494 𝑁𝑚 𝐹0 19247 N e ω 1962 rads a 2 pontos Obtenha a equação de movimento literal na forma matricial b 1 ponto Determine os valores de 𝑚2 e 𝐿 para que a massa 𝑚1 fique parada isto é 𝑋 0 c 1 ponto Obtenha as frequências naturais do sistema com 2 gdls d 1 ponto Obtenha os modos de vibração do sistema e 1 ponto Apresente as respostas no tempo solução numérica do sistema primário e do sistema com absorvedor num mesmo gráfico e f 2 pontos Apresente as FRFs do sistema primário e do sistema com absorvedor em um mesmo gráfico Solução i Deslocamento de m2 xmt xt L senθt ymt L cosθt ii Velocidade de m2 ẋmt dxmtdt ẋt L θt cos θt ẏmt dẏmtdt L θt senθt iii Coordenadas generalizadas q1t xt e q2t θt iv Energia Cinética T 12 m1 ẋ1²t 12 m2 ẋm²t 12 m2ẏm²t 12 m1 q1² 12 m2 q1 L q2 cos q2² 12 m2 L q2 sen q2² T 12 m1 q1² 12 m2 q1² 2L q1 q2 cos q2 L² q2² cos² q2 L² q2² sen² q2 T 12 m1 q1² 12 m2 q1² 2L q1 q2 cos q2 L² q2² v Energia Potencial U m2 g L 1 cos q2 12 k q1² ri Lagrangeano L T U L 12 m1 q1² 12 m2 q1² 2L q1 q2 cos q2 L² q2² m2 L 1 cos q2 12 k q1² Nii Equação de Lagrange ddtLqi Lqi Qi Coordenada q1 ddtLq1 Lq1 Q1 q1 F0 cos ωt Lq1 22 k q1 q1q1 k q1 Lq1 32 m1 q1 q1q1 12 m2 2 q1 q1q1 2L q1q1 q2 cos q2 m1 m2 q1 m2 L q2 cos q2 Substituindo na equação de Lagrange vem ddt m1 m2 q1 m2 L q2 cos q2 k q1 F0 cos ωt m1 m2 q1 m2 L q2 cos q2 m2 L q2² sen q2 k q1 F0 cos ωt 1 Coordenada 2 ddt Lq2 Lq2 Q2 q2 0 Lq2 32 m2 L q1 q2 sen q2 q2q2 m2 g L sen q2 q2q2 m2 L q1 q2 sen q2 m2 g L sen q2 Lq2 12 m2 2L q1 q2q2 cos q2 2L² q2 q2q2 m2 L q1 cos q2 m2 L² q2 Substituindo na equação de Lagrange vem ddt m2 L q1 cos q2 m2 L² q2 m2 L q1 q2 sen q2 m2 g L sen q2 0 m2 L q1 cos q2 m2 L q1 q2 sen q2 m2 L² q2 m2 L q1 q2 sen q2 m2 g L sen q2 0 Linearizando as equações 1 e 2 vem q1 0 θ 10 cos θt 1 e sen θt θt z desconsiderando as diferenças de alta ordem vem m1 m2 q1 m2 L q2 k q1 0 m2 L q1 m2 L² q2 m2 g q2 0 viii Forma matricial resp q dT m1 m2 m2 L m2 L m2 L² xt k 0 0 m2 g xt F0 cos ωt 0 θt θt 0 ix Projeto do ADV γt γ cos ωt γγ x x 0 Loop ω² m1 m2 m2 L m2 L m2 L² k 0 0 m2 g 0 F0 0 ω² m1 m2 k m2 L m2 L m2 L² m2 g 0 F0 0 ω² m2 L θ F0 θ F0ω² m2 L 3 ω² m2 L² m2 L g 0 ω² L g 0 L gω² 4 Substituindo os valores em 4 vem L 9811962² L 255 m resp b Limitando o movimento do pêndulo a 20 temse m2 F0θ ω² L 19247200 π180 1962² 255 resp b m2 5617 kg x Frequências naturais Sistema Primário ωn1 km1 38494100 ωn1 1962 rads Sistema Secundário ωn2 gL 981255 ωn2 1962 rads Sistema primário com o ADV λ M k 0 λ m1 m2 m2 L m2 L m2 L² k 0 0 m2 g 0 λ 100 2865 2865 255 2865 255 2865 255² 3844 0 0 2865 255 981 0 Resolvendo λ1 16452 ωn1 136 rads resp c λ2 8002 ωn2 283 rads xi Modo de Vibração λi M k ui 0 15617 λi 3844 14324 14324 36526 λi 9405 u1i u2i 0 0 Pλ118492 φξ1 0057 00207 Pλ280082 φξ2 010822 010620 Modo 1 Modo 2 xi Resposta no tempo sistema primário e ADV xii FRF do sistema primário e ADV xiij Programa programa que faz o gráfico da Função Resposta em Frequência FRF para um sistema de um 1 gdl e para 2 gdl sistema com absorvedor dinâmico de vibrações de massa sintonizada Universidade Federal de Itajubá PósGraduação em Engenharia Mecânica MPF09 Vibrações Mecânicas Professor Prof Dr José Juliano de Lima Jr Copyright c May 2023 by José Juliano de Lima Jr preparação do ambiente clearvars dados do sistemas primário g981 ms2 L255 m m1100 kg w11962 rads kw12m1 Nm F019247 N nome0num2strm1 frequência de excitação igual a natural wdrsqrtkm1 rads FRF para 2 gdl projeto do ADV Theta20pi180 rad m2F0Thetaw12L mi1m1m2 relação entre m1m2 matriz Massa Mm1m2 m2L m2L m2L2 matriz Rigidez Kk 0 0 m2Lg Matriz força FF0 0 Frequências Naturais e Modos de Vibração ULambeigKM Frequências naturais WnsqrtdiagLamb FRF para 1 gdl sistema primário variação frequência wlinspace05wdr15wdr200 X11km1w2 FRF para 2 gdl F10 X1sistemaMKFw nome1num2strm2 nome2num2strmi1 FRF para 2 gdl X1sistemaMKFw nome1num2strm2 nome2num2strmi1 gráficos plotwabsX1 plotwabsX1wabsX11 titleADV de Massa Sintonizada xlabelomega rads ylabelX1j omega 1gdl X1j omega 2gdl m grid legendX 1 gdl m1 nome0 kgX 2 gdl m2 nome1 kg mu nome2 axis1 3 0 4 resposta no tempo tempo de simulação ti0tf40n200 sistema primário tempo de simulação tlinspacetitfn condições iniciais x00 xd00 Clx0 xd0 função zdot zdottz z2 kz1F0cosw1tm1 solução numérica t1z1ode45zdottCl xpz11 sistema com ADV n2 número de gdl condições iniciais y00 0 ydot00 0 Cly0 ydot0 vetores de estado zdottz zn12n1 MKz1n1F0cosw1t Solução usando ODE45 zyydot tzode45zdottCl yz1 deslocamento yz2 deslocamento angular ydotzn12n gráficos plott1xpty xlabeltempo s ylabelxt m legendPrimário ADV grid function XsistemaMKFw FRF para o sistema com 2 gdl X for wdw XX invwd2MKF end end Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME608 Vibrações Mecânicas II Prof José Juliano de Lima Junior Nome Gabarito No Nota 1a Prova de EME608 Término 18 h 30 min Data 16052022 Observações Esta prova contém 3 páginas e 3 questões totalizando 10 pontos Escrever as equações literalmente e depois substituir os valores com letra legível Comprovar as resposta através de cálculos exceto para as questões de múltipla escolha Destacar os resultados finais e as respectivas unidades com caneta As questões de múltipla escolha tem uma opção correta e A interpretação faz parte da prova 1 Considere o sistema mostrado na figura A viga possui massas m1 m2 e m3 iguais a 10 kg comprimento L igual 6 m módulo de elasticidade longitudinal igual a 200 x 109 Nm2 e seção transversal 20 mm x 10 mm a 1 ponto Obtenha as matrizes massa e rigidez na forma literal b 1 ponto Determine as frequências naturais e c 1 ponto Determine os modos de vibração apresentando um esboço de cada modo Solução i Dados L 6 m E 200 GPa h 20 mm b 10 mm m1 m2 m3 m 10 kg ii Momento de inércia de área da seção transversal I bh312 0010 x 00203 12 I 667 x 109 m4 iii Configuração da viga L3 L3 L3 m m m Linha elástica iii Matriz Flexibilidade e Rigidez Utilizando do coeficiente de influência obtémse a matriz de Flexibilidade Equação da linha elástica Fazendo a L3 a 2L3 a L página 400 Rao 4a Edição p a 13 x 13 δ11 yAB L32 6EI 3L3 L3 δ11 L3 81EI x 2L3 δ12 yBC 4L32 6EI 3 2L3 L3 δ12 5L3 162EI x L δ13 yBC L32 6EI 3L L3 δ13 4L3 81EI p a 2L3 x 13 δ21 yOB L32 6EI 3x 2L3 L3 δ21 5L3 162EI x 2L3 δ22 yAB 2L32 6EI 3x 2L3 L3 δ22 8L3 81EI x L δ23 yBC 2L3 6EI 3L 2L3 δ23 14L3 81EI p a L x L3 δ31 yAB L32 6EI 3L L3 δ31 4L3 81EI x 2L3 δ32 yAB 2L32 6EI 3L 2L3 δ32 14L3 81EI x L δ33 yAB L2 6EI 3L L δ33 L3 3EI A L3 3EI 127 554 427 354 827 1427 427 1427 1 K A1 iv Matriz Massa Como m1 m2 m3 m temse M m 1 0 0 0 1 0 0 0 1 v Frequências Naturais O autoproblema é λM K uε 0 uε 0 Prémultiplicam la por A K1 tem λAM AK uε 0 λ AM I uε 0 λAM I 0 Pλ 0 λ 00549 127 554 427 554 827 1427 427 1427 1 10 0 0 0 10 0 0 0 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 λ1 1426 λ2 61130 λ3 441201 logo ωn1 120 rads ωn2 782 rads ωn3 2100 rads vi Modos de Vibração λ AM I uε 0 P x1 1426 0972 01071 0114 01071 0772 01399 0114 0399 0230 u11 u21 u31 0 0 0 uε1 01154 0532 1000 P x2 61130 01223 3057 4850 3057 8781 17116 4850 17116 22020 u12 u22 u32 0 uε2 1269 1508 1000 P x3 2100 7823 22065 35303 22065 69607 123561 35303 123561 237237 u13 u23 u33 0 uε3 1000 0699 0215 Gráfico dos modos Modos de Vibração 1194 7819 2101 2 3 pontos Um sistema rotativo com uma massa desbalanceada é modelado como um sistema de um grau de liberdade com uma massa de 10 kg uma frequência natural de 40 Hz e um fator de amortecimento de 02 O sistema exige um absorvedor de vibrações não amortecido para que as frequências naturais do sistema com dois graus de liberdade fiquem fora da faixa de 30 Hz a 50 Hz Além disso o absorvedor deve ser projetado de tal maneira que para amplitudes de forças até 6000 N a 40 Hz a amplitude de regime permanente da resposta do absorvedor não exceda 20 mm Solução i Dados m1 10 kg fn1 40 Hz 02 absorvedor f 30 Hz e f 50 Hz F0 6000 N f 40 Hz x2 20 mm ii Modelo Matemático Ft 6000 cos 2π x 40 t iii Rigidez k2 ωn1² k1m1 k1 m1ωn1² m12xπx fn1² 10 x 2 π x 40 k1 6317 x 105 Nm iv Constante de amortecimento c12m1ωn1 c1 2𝜁m1ωn1 2 x 02 x 10 x 2xπx40 C1 1005 x 103 Nsm v Equação do Sistema Aplicando a 2ª Lei de Newton temse m1 0 0 m2 xt c1 0 0 0 xt k1k2 k2 k2 k2 xt F0 0 cos 2π 40 t Para uma solução harmônica temse 𝜔²M K X 𝜔CY Ff1 𝜔²M KY 𝜔CX Ff2 xt x1 cos 𝜔 t y1 sen 𝜔 t e X10 para massa m2 parada 𝜔² m1 0 0 m2 k1k2 k2 k2 k2 0 X2 𝜔 c1 0 0 0 0 Y2 F0 0 k1k2 𝜔² m1 k2k2 k20 X2 0 0 F0 0 k2 X2 F0 1 k2 𝜔² m2 X2 0 𝜔² k2m2 2 𝜔²m1 0 0 m2 k1k2 k2 k2 k2 0 Y2 𝜔 c1 0 0 0 0 X2 0 0 k1k2 𝜔² m1 k2k2 k2 𝜔² m2 0 Y2 0 0 0 0 k2 𝜔² m2 Y2 0 Y2 0 vi Determinação das Frequências naturais do sistema com absorvedor de vibrações 𝜆M K 0 𝜆 m1 0 0 m2 k1k2 k2 k2 k2 0 Fezendo 𝜇 m2m1 m2 𝜇 m1 e 𝜔² k2m2 k2 m2 𝜔² 𝜇 m1 𝜔² Logo 𝜆 m1 0 0 𝜇 m1 k1 𝜇 m1 𝜔² 𝜇 m1 𝜔² 𝜇 m1 𝜔² 𝜇 m1 𝜔² 0 k1 𝜇 m1 𝜔² 𝜆 m1 𝜇 m1 𝜔² 𝜇 m1 𝜔² 𝜇 m1 𝜔² 𝜆 𝜇 m1 0 𝜔 2πf1 2π x 40 𝜔 25132 rads k1 m1 𝜔² 10 x 25132² k1 6317 x 105 Nm Após tentativas para 𝜇 016 𝜆1 17218 fn1 2744 Hz 𝜆2 36686 fn2 586 Hz vii Massa do absorvedor me 𝜇 m1 016 x 10 m2 6 kg viii Deslocamento do absorvedor X2 F0k2 k2 m2 𝜔² 6 x 25132² k2 37887 kNm Então X2 6000 37887 x 103 00158 m ou X2 158 mm 20 mm ok 3 4 pontos Os dados obtidos em um procedimento de balanceamento em dois planos são apresentados a seguir Determine a magnitude e a posição angular dos pesos de balanceamento considerando que todos os ângulos são medidos em relação a uma marca de fase arbitrária e que todos os pesos são acrescentados no mesmo raio Desbalanceamento original V10 72 238º mms V20 135 296º mms massa de teste no plano 1 mt1 25 90º g V11 49 114º mms V21 92 347º mms massa de teste no plano 2 mt2 25 90º g V12 40 79º mms V22 120 292º mms Solução i Massas de Correção mc A¹ V0 4 matriz de coeficientes de influência ã A α11 α12 α21 α22 ii Determinação dos coeficientes de influência α11 V11 V10 mt1 49 114º 72 238º 25 90º α11 4295 35012º veca12 fracvecv12 vecv10mt2 frac40 angle 79circ 72 angle 238circ25 angle 30circ Rightarrow veca12 4411 angle 3355circ quad veca21 fracvecv21 vecv20mt1 frac912 angle 347circ 135 angle 296circ25 angle 30circ Rightarrow veca21 4206 angle 3432circ quad veca22 fracvecv22 vecv20mt2 frac120 angle 232circ 135 angle 296circ25 angle 30circ Rightarrow veca22 0681 angle 547circ quad extbfii Determinação das Massas de Correção quad vecMc C A31 vecV0 Rightarrow C A3 vecMc vecV0 quad Usando Cramer temse quad beginbmatrix veca11 veca12 veca21 veca22 endbmatrix beginbmatrix vecMc1 vecMc2 endbmatrix beginbmatrix vecV10 vecV20 endbmatrix quad Logo quad D left beginarraycc veca11 veca12 veca21 veca22 endarray right left beginarraycc 4255 angle 3503circ 4411 angle 3355circ 4206 angle 3432circ 0681 angle 547circ endarray right Rightarrow D 186 angle 1294circ quad D1 left beginarraycc vecV10 veca12 vecV20 veca22 endarray right left beginarraycc 72 angle 238circ 180circ 4411 angle 3355circ 135 angle 296circ 180circ 0681 angle 547circ endarray right Rightarrow D1 549 angle 2695circ quad D2 left beginarraycc veca11 vecV10 veca21 vecV20 endarray right left beginarraycc 4255 angle 3503circ 72 angle 238circ 180circ 4206 angle 3432circ 135 angle 296circ 180circ endarray right Rightarrow D2 529 angle 1375circ quad Logo quad vecMc1 fracD1D frac549 angle 2695circ186 angle 1294circ Rightarrow vecMc1 295 angle 1401circ g quad vecMc2 fracD2D frac529 angle 1375circ186 angle 1294circ Rightarrow vecMc2 294 angle 811circ g Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME608 Vibrações Mecânicas II Prof José Juliano de Lima Junior Nome Gabarito No Nota 1a Prova de EME608 Término 9 h 45 min Data 03102023 Observações Esta prova contém 6 páginas e 4 questões totalizando 10 pontos Escrever as equações literalmente e depois substituir os valores com letra legível Comprovar as resposta através de cálculos exceto para as questões de múltipla escolha Destacar os resultados finais e as respectivas unidades com caneta As questões de múltipla escolha tem uma opção correta e A interpretação faz parte da prova 1 1 ponto Seja o sistema não amortecido em vibração livre representado pela equação diferencial beginbmatrix 1 0 0 4 endbmatrix ddotxt beginbmatrix 1 1 1 1 endbmatrix xt beginbmatrix 0 0 endbmatrix Os modos de vibração são left beginarrayc 04472 04472 endarray right left beginarrayc 08944 02236 endarray right left beginarrayc 04472 08944 endarray right left beginarrayc 08944 04472 endarray right left beginarrayc 01735 04924 endarray right left beginarrayc 09848 00868 endarray right left beginarrayc 01735 09848 endarray right left beginarrayc 09848 01735 endarray right Nenhuma das opções quad extbfSolução quad extbfi Autovalores e Frequências naturais quad lambda M K 0 herefore left lambda beginbmatrix 1 0 0 4 endbmatrix beginbmatrix 1 1 1 1 endbmatrix right 0 quad left beginarraycc 1lambda 1 1 14 lambda endarray right 0 herefore 1lambda14lambda 11 0 quad 14lambdalambda4 lambda2 1 0 herefore 4 lambda2 5 lambda 0 herefore lambda 4 lambda 5 0 quad lambda1 0 herefore omegan1 0 quad lambda2 frac54 125 herefore omegan2 112 extrad s1 extbfii Autovetores e Modos de Vibração quad lambdai M K ui 0 quad Logo quad beginbmatrix 1lambdai 1 1 14 lambdai endbmatrix beginbmatrix u1i u2i endbmatrix beginbmatrix 0 0 endbmatrix quad 1 lambdai u1i u2i 0 herefore u2i 1 lambdai u1i quad Para i1 Rightarrow lambda1 0 Logo quad u21 u11 quad Assim quad u1 beginbmatrix u11 u11 endbmatrix u11 beginbmatrix 1 1 endbmatrix quad se u11 04472 Rightarrow quad u1 beginbmatrix 04472 04472 endbmatrix quad Para i2 Rightarrow lambda2 frac54 quad Logo quad u22 1 frac54 u1 Rightarrow u22 frac14 u1 quad Assim quad u2 beginbmatrix u12 frac14 u12 endbmatrix u12 beginbmatrix 1 frac14 endbmatrix quad Assim quad se u12 08944 Rightarrow u22 02236 quad u2 beginbmatrix 08944 02236 endbmatrix quad 2 1 ponto Considere o sistema em vibração livre amortecida quad left beginarraycc 9 0 0 1 endarray right ddotxt left beginarraycc 27 03 03 03 endarray right dotxt left beginarraycc 27 3 3 3 endarray right xt left beginarrayc 0 0 endarray right quad A solução aqui apresenta foi obtida usando a Análise Modal Teórica quad x1t 05013 e01 t sen141 t 150 05025 e02 t sen199 t 147 quad x2t 15038 e01 t sen141 t 150 15076 e02 t sen199 t 147 quad Posso utilizar este método para obter a solução da equação diferencial apresentada quad Sim Não quad extbfSolução quad Para se utilizar a solução por análise modal teórica temse quad Phi alpha M beta K quad Neste caso quad alpha 0 quad e quad beta 01 quad Rightarrow OK Neste caso α 0 e β 01 OK O gráfico apresenta a solução analítica usando a análise modal teórica e a solução numérica 3 1 ponto Considere o sistema torcional da figura A equação de movimento do sistema é J01 0 0 J02 φt kt1 kt2 kt2 kt2 φt 0 0 Verdadeiro Falso solução i Coordenadas Generalizadas q1t φ1t e q2t φ2t ii Energia Cinética T 12 J01 q12 12 J02 q22 iii Energia Potencial Elástica U 12 k1 q12 12 k2 q1 q22 iv Lagrangeano L T U L 12 J01 q12 12 J02 q22 12 k1 q12 12 k2 q1 q22 v Equação de Euler Lagrange ddt L qi L qi Qi Para i1 ddt L q1 L q1 Q1 Q1 Mot L q1 12 k1 2 q1 d q1dq1 12 k2 2 q1 q2 d q1dq1 k1 q1 k2 q1 k2 q2 L q1 12 J01 2 q1 d q1dq1 J01 q1 ddt J01 q1 k1 k2 q1 k2 q2 Mot J01 q1 k1 k2 q1 k2 q2 Mot Para i2 ddt L q2 L q2 Q2 Q2 0 L q2 12 k2 2 q1 q2 d q2 d q2 k2 q1 k2 q2 L q2 12 J0 2 2 q2 d q2 d q2 J0 q2 ddt J0 2 q2 k2 q1 k2 q2 0 J0 2 q2 k2 q2 k1 q1 0 vi Na forma matricial J01 0 0 J02 φt k1k2 k2 k2 k2 φt Mot 0 4 A figura representa um pórtico formado por uma viga rígida de massa M e duas colunas de rigidez K e fator de amortecimento 0005 As colunas são fixas nas extremidades com deslocamento da extremidade superior A ação do vento representada pela força harmônica Ft faz o pórtico se movimentar excessivamente na direção horizontal Uma solução para reduzir o movimento do pórtico é utilizar um absorvedor dinâmico de vibrações ADV com massa m e rigidez k Desejase que o movimento horizontal do pórtico seja menor do que 25 mm Sabese que a massa do pórtico é de 1605 kg o módulo de elasticidade do material da coluna é de 20 GPa a seção transversal das colunas é quadrada de 30 mm x 30 mm e que a força do vento pode ser representada pela força harmônica de amplitude 10 N e frequência de 502 rads a 1 ponto Qual é o deslocamento horizontal máximo do pórtico b 1 ponto Obtenha a equação de movimento do pórtico com ADV de forma literal e na forma matricial c 1 ponto Determine os valores de m e k para que o movimento do pórtico seja menor do que 1 mm d 1 ponto Obtenha as frequências naturais do sistema primário secundário e do sistema com o ADV e 1 ponto Obtenha os modos de vibração do sistema e faça uma representação gráfica dos mesmos f 1 ponto Apresente as respostas no tempo solução numérica do sistema primário e do sistema com ADV num mesmo gráfico e g 1 ponto Apresente as FRFs do sistema primário e do sistema com ADV em um mesmo gráfico solução i Modelo do sistema primário Pórtico k1eq M Ft 10 sen 502 t N ii Determinação do keq Para condição de contorna de colunas fixas com deslocamento da parte superior segundo Rao 2008 página 401 temse Viga fixafixa com deslocamento da extremidade yx P 12 EI 3 L x2 2 x3 Para x L temse yL P 12 EI 3 L L2 2 L3 PL3 12 EI mas P 12 EI L3 yL k1 12 EI L3 Como as colunas são iguais temse keq k1 k1 2 x 12EI L3 I a4 12 Logo keq 2 x 12 x 20 x 109 x 00304 12 x 23 keq 4050 Nm e k1 2025 Nm ii Determinação da Ceg As colunas tem fator de amortecimento 0005 A constante de amortecimento C1 é ζ c1 2keq M c1 2m ωn1 c1 2 ζ keq M 2 x 0005 x 4050 x 1605 c1 0806 Nsm Para amortecimento em paralelo vem Ceg c1 c1 2 x 0806 Ceg 1612 Nsm J1 001 iii Resposta x1t x1t X1 senωt θ X1 Fo keq β β 1 1r22 2ζr2 r ω ωn1 X1 máx Fo keq βpico Como σpico 1 2ζ2 βpico βmáx 1 2ζ 1ζ2 p 0 ζ 2 2 Logo rpico 1 2 x 0012 rpico 110 βpico 1 2 x 0047 10012 βpico 500 Assim X1 máx 10 4050 x 500 X1 máx 01235 m o X1 máx 1235 mm iv Modelo Portico mais ADV Ft 10 sen 502t 40 v Diagrama de Corpo livre Ft 10 sen 502t vi 2ª Lei de Newton ΣF1t M x1 t M x1t keq x1t k2x1t x2t Ceg x1 t 10 sen 502t M x2t Ceg x1 t keq k2 x1t 10 sen 502 t 2 ΣF2t M x2t m x2t k x2t x1t m x2t k x2t k x1t 0 3 vii Equação Matricial rep b M 0 0 m x1t x2t Ceg 0 0 0 x1t x2t keq k k k k x1t x2t 10 0 sen 502 t viii Valores de m e k Para uma excitação harmônica temse ω2 M kb1 b2 ω C β1 β2 F 0 0 com x1t β1 cos ωt β2 sen ωt β1 x1 x2 β2 y1 y2 x10 para M parado ω2 M 0 0 m keqk k k k 0 x2 ω Ceg 0 0 00 y2 F0 0 keqkω2 M k k k ω2 m 0 x2 ω 0 0 F0 0 Logo kx2 F0 x2 F0 k 41 k ω2 m x2 0 como x2 0 para t 0 então k ω2 m 0 k ω2 m keq k ω2 M k k k ω2 m 0 y2 ω 0 0 0 0 k ω2 m y2 0 como k ω2 m 0 y2 0 Logo xt 0 x2 cos ωt x2 Fk 10 4045 x2 0247 m Massa do ADV Fazendo μ m M 001 escolha m μM 001 x 1605 m 1605 kg resp c k ω2 m 5022 x 1605 k 4045 Nm resp c x Frequências naturais do sistema com ADV λMk0 keq k λM k k k λm 0 4050 4045 1605 λ 4045 4045 4045 λ1605 0 25760 λ2 1305740 λ 16382250 λ12282 e λ22787 Ωn1 λ1 Ωn1 478 rads respd Ωn2 λ2 Ωn2 528 rads respd Frequência natural do sistema primária ωn1 keq m 4050 1605 ωn1 502 rads respd Frequência natural do sistema secundário ωn2 k m 4045 1605 ωn2 502 rads respd xi Modos de Vibração λi M Kui 0 405040145 1605 λi 4045 ui1 0 4045 4045 λi 1605 ui2 0 409045 1605 λiui1 4045 u2i 0 u2i 409045 1605 λi ui1 4045 Para i1 e u111 u21 1058 logo u1i 1 1058 Para i2 e u121 u22 945 logo u2i 1 945 1 Modo 10158 m 1058 1 M Resp e 2 Modo 945 m 945 no 1 M xii Resposta no tempo do sistema com ADV Resf f x1 max 0 mm 43 xiii FRF do sistema com ADV resp θ xiv Programa solução da Prova1 022023 EME608T Prof José Juliano de Lima Junior Outubro2023 clearvars dados M11605 kg mi001 relação de massas mM mmiM1 massa do ADV F010 N w502 rads rigidez das colunas E20e9 GPa L2 m h30e3 m b30e3 m Ibh312 m4 k112EIL3 Nm k2k1 freq natural sistema primário wnsqrtkM1 amortecimento das colunas csi0005 c12csimwn c2c1 Nsm csic2sqrtkm kadvw2m Nmrad matriz massa MM1 0 0 m matriz rigidez Kkkadv kadv kadv kadv matriz amortecimento Cc 0 0 0 vetor de força FF0 0 B01 00 0F frequência natural e modo de vibração ULambeigKM wnsqrtdiagLamb U1maxU1 U2minU2 resposta no tempo nlengthM tempo de simulação ti0 tf100 tspanti tf condições iniciais y00 0 ydot00 0 ICy0 ydot0 Equação diferencial zdot1z2 zdot2invMCz2Kz1B0u zdottz zn12n1 MCzn12n1Kz1n1B0sinwt Solução usando ODE45 zyydot tzode45zdottspanIC yz1n ydotzn12n maxy gráfico plotty titleResposta Harmônica Amortecida solução Numérica yt xlabeltempo s ylabelx1t m x2t radInterpreterlatex legendMADVInterpreterlatex 44 construção da FRF dados da simulação fmin42pi Hz fmax62pi Hz npt210 número de pontos iin1 ponto de aplicação do impulso entrada iout1 2 ponto de colocação do sensor saída gerando o vetor de freq freqlinspacefminfmaxnpt FRF de Deslocamento via força bruta Xx for w2pifreq XX Kw2Msqrt1wCF sistema c adv xx kw2M1sqrt1wc1 sistema primário end FRF de Fase Patan2imagXrealX180pi Hsaídaentrada for q1lengthiout figure hAxhLine1hLine2plotyy2pifreqabsXq2pifreqPq titleEspectro de Frequências FRF Receptância xlabelomega rads ylabelhAx1Xj omega Fj omega mN ylabelhAx2phij omega Graus hLine1LineStyle hLine2LineStyle nomeX num2strioutq num2striin j omega phi num2strioutq num2striin omega legendnome grid end if CzeroslengthM figure plot2pifreqimagXiout titleEspectro de Frequências FRF xlabelomega rads ylabelImagXj omega mN nome for q1lengthiout nomenomejX num2strioutq num2striin j omega end legendnome grid end semilogy2pifreqabsX12pifreqabsx titleEspectro de Frequências xlabelomega rads ylabellogXj omegaFj omega mN legendc ADVs ADV grid ai coordenadas generalizadas q1t x1t q2t θt q3t x2t aiii Energia cinética T 12 m1 q12 12 J0 q22 12 m2 q32 aiv Energia potencial elástica V 12 k1 q1 L1 sen q22 12 k3 q1 L2 sen q22 12 k2 q1 q32 av Lagrangeano L T V L 12 m1 q12 12 J0 q22 12 m2 q32 12 k1 q1 L1 sen q22 12 k3 q1 L2 sen q22 12 k2 q1 q32 avi Equação de Euler Lagrange ddtLqi Lqi Qi i 123 avii Equação para coordenada q1t Φ1t Ft força externa Lq1 12 k1 q1 L1 sen q2 q1q1 12 k3 q1 L2 sen q2 q1q1 12 k2 q1 q3 q1q1 k1 q1 L1 sen q2 k3 q1 L2 sen q2 k2 q1 q3 k1k2k3 q1 kL1 k3 L2 sen q2 k2 q3 Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME608 Vibrações Mecânicas II Prof José Juliano de Lima Junior Nome Gabarito No Nota 1a Prova de EME608 Término 9 h 30 min Data 01102024 Observações Esta prova contém 2 páginas e 1 questões totalizando 10 pontos Escrever as equações literalmente e depois substituir os valores com letra legível Comprovar as resposta através de cálculos exceto para as questões de múltipla escolha Destacar os resultados finais e as respectivas unidades com caneta As questões de múltipla escolha tem uma opção correta e A interpretação faz parte da prova 1 A figura apresenta o conjunto motor elétrico acoplamento flexível mancal monobloco e uma bomba hidráulica Quando o motor é acionado aparece uma força harmônica Ft devido ao desbalanaceamento de 2 kgmm Sabese que massa do conjunto é de 100 kg o raio de giração é de 01 m a rigidez k1 de 10 kgfmm a rigidez k3 de 20 kgfmm e os comprimentos são L1 de 06 m e L2 de 04 m O motor trabalha em uma rotação de 5127 rpm A massa m2 e a rigidez k2 fazem parte de um absorvedor dinâmico de vibração ADV Determine a 3 pontos as equações diferenciais de movimento do sistema com ADV na forma matricial utilizando o Método da Energia Obtenha a equação na forma analítica b 15 pontos as frequências naturais sem o ADV c 15 pontos os modos de vibração sem o ADV d 2 pontos as funções resposta em frequência de forma analítica sem o ADV e 1 ponto os valores de m2 e k2 massa e rigidez do ADV para que o conjunto não apresente deslocamento na direção x1t e f 1 ponto numericamente a função resposta em frequência do sistema sem ADV e com ADV e apresente o resultado em um único gráfico Solução a Equação de Movimento ai Deslocamentos Lq1 m1 q1 substituindo na equação de Euler Lagrange tem ddtm1 q1 k1k2k3q1 kL1 k3 L2 sen q2 k2 q3 Ft m1 q1 k1k2k3 q1 kL1 k3 L2 sen q2 k2 q3 Ft 1 aii Equação para coordenada q2t Φ2t 0 não existe momento externo aplicado Lq2 12 k1 q1 L1 sen q2 L1 cos q2 12 k3 q1 L2 sen q2 L2 cos q2 k1 L1 q1 L12 sen q2 cos q2 k3 L2 q1 L22 sen q2 cos q2 kL1 k3 L2q1 cos q2 kL12 k3 L22 sen q2 cos q2 Lq2 12 J0 q2 substituindo na equação de Euler Lagrange tem ddtJ0 q2 kL1 k3 L2 q1 cos q2 kL12 k3 L22 sen q2 cos q2 0 J0 q2 kL1 k3 L2 q1 cos q2 kL12 k3 L22 sen q2 cos q2 0 2 aix Equação para coordenada q3t Φ3t 0 não existe momento externo aplicado Lq3 12 k32 q1q3 q3 k3 q1 k3 q3 Lq3 12 m2 q3 substituindo na equação de Euler Lagrange tem ddt m2 q3 k2 q1 k2 q3 0 m2 q3 k2 q3 k2 q1 0 3 x forma matricial Colocando 1 2 e 3 na forma matricial temse m1 0 0 0 J0 0 0 0 m2 q1 q2 q3 k1k2k3 k1L1 k3L2 k2 k1L1 k3L2 k1L12 k3L22 cos q2 k2 0 k2 q1 q2 q3 F0 0 0 sen ω t Considerando pequenos deslocamentos tem 0q210 cos q2 1 e sen q2 q2 Logo m1 0 0 0 J0 0 0 0 m2 q1 q2 q3 k1k2k3 k1L1 k3L2 k2 k1L1 k3L2 k1L12 k3L22 0 k2 q1 q2 q3 F0 0 0 sen ω t ou m1 0 0 0 J0 0 0 0 m2 x1 t θ t x2 t k1k2k3 k1L1 k3L2 k2 k1L1 k3L2 k1L12 k3L22 0 k2 x1t θ t x2t F0 0 0 senω t b Frequências naturais Eliminando a coordenada x2t da equação matricial temse m1 0 0 J0 x1 t θ t k1k3 k1L1 k3L2 k1L1 k3L2 k1L12 k3L22 x1t θ t F0 0 senω t Substituindo os valores tem 100 0 0 1 x1 t θ t 294300 19620 19620 66708 x1t θ t F0 0 senω t M K x1 t ft O autovalor é determinado fazendo λM K 0 294300 100 λ 19620 19620 66708 λ 0 100 λ2 6965100 λ 19247220000 0 λ1 288269 ωn1 λ1 288269 ωn1 5365 rads λ2 6676834 ωn2 λ2 6676834 ωn2 25835 rads c Modos de Vibração Os modos de vibração são determinados por xi M K φi 0t φi u1i u2i Logo 294300 100 λi 19620 19620 66708 λi u1i u2i 0 0 Assim 19620 u1i 66708 λi u2i 0 u2i 19620 66708 λi u1i Para i1 temse λ1 2883 u21 19620 66708 288269 u21 030794 u11 Então φe1 u11 1 03074 Para i2 temse λ2 66768 u22 19620 66708 6676834 u22 32516 então φe2 u12 1 32516 d Função Resposta em Frequência FRF Seja o sistema M x t K xt Ft Passa a Transformada de Fourier com condições iniciais nulas tem ω2 M K Xjω Fjω Substituindose os valores vem 294300 100 ω2 19620 19620 66708 ω2 X1jω X2jω F1jω F2jω Usando o Método de Cramer tem X1jω D1 D X2jω D2 D com D 294300 100 ω2 19620 19620 66708 ω2 100 ω4 6965100 ω2 19247220000 D1 F1jω 19620 F2jω 66708 ω2 F1jω ω2 66708 F1jω 19620 F2jω D2 294300 100 ω2 F1jω 19620 F2jω 100 F2jω ω2 254300 F2jω 19620 F1jω Logo X1jω ω2 66708 100 ω4 6965100 ω2 19247220000 F1jω 19620 100 ω4 6965100 ω2 19247220000 F2jω X2jω 19620 100 ω4 6965100 ω2 19247220000 F1jω 100 ω2 254300 100 ω4 6965100 ω2 19247220000 F2jω Assim H11jω ω2 66708 100 ω4 6965100 ω2 19247220000 H12jω H21jω 19620 100 ω4 6965100 ω2 19247220000 H22jω 100 ω2 254300 100 ω4 6965100 ω2 19247220000 e Massa e rigidez do ADV Para vibração forçada harmônica não amortecida temse ω²mkXFlogo ω² m1 0 0 0 J0 0 0 0 m2 k1k2k3 k1L1k3L2 k2 k1L1k3L2 k1L1²k3L2² 0 k2 0 k2 X1 θ X2 F0 0 0 k1k2k3ω²m1 k1L1k3L2 k2 k1L1k3L2 k1L1²k3L2²ω²J0 0 k2 0 k2ω²m2 X1 θ X2 F0 0 0 Usando Cramer tem D k1k2k3ω²m1 k1L1k3L2 k2 k1L1k3L2 k1L1²k3L2²ω²J0 0 k2 0 k2ω²m2 D1 F0 k1L1k3L2 k2 0 k1L1²k3L2²ω²J0 0 0 0 k2ω²m2 F0 k2ω² m2 k1L1²k3L2²ω² J0 para X10 massa m1 parada temse X1 D1D 0 D10 F0k2ω² m2 k1L1²k3L2²ω² J0 0 0 0 0 logo k2 ω² m2 Fazendo m2 m110 100101010 m210 kg resp é Assim k2ω² m2 π５1230²10 k22882597 Nm resp é k2 294 kgfmm resp é f FRFs numéricas Espectro de Frequências FRF de Receptância Ampliano o gráfico vem Espectro de Frequências FRF de Receptância Frequências s ADV f1 854 Hz f2 4112 Hz c ADV f1 844 Hz f2 1305 Hz f3 2717 Hz XsADV 0567 m XcADV1341104 m Redução XsADV XcADVXcADV Redução 428812 e Programa Matlab Solução da Prova 01 022024 EME608T Vibrações Mecânica II Prof José Juliano de Lima Junior Outubro2024 clearvars dados m1 100 kg r01 m2 raio de giração k110981e3 Nm k320981e3 Nm L106 m L204 m n5127 rpm FRFs saídas 1 delocamento conjunto motobomba x1 2 ângulo inclinação conjunto motobomba theta 3 deslocamento do ADV x2 entradas 1 força aplicada no conjunto motobomba 2 momento aplicado no conjunto motobomba frequência angular wpin30 rads fn60 Hz Momento de inércia de massa J0m1r2 kgm2 1 sem ADV 2 com ADV tipo2 switch tipo case 1 sem o ADV matriz massa Mdiagm1 J0 nlengthM matriz rigidez Kk1k3 k1L1k3L2 k1L1k3L2 k1L12k3L22 matriz de amortecimento Czeros2 case 2 com ADV matriz massa m2m110 massa do ADV Mdiagm1 m2 J0 nlengthM matriz k2m2w2 rigidez do adv Kk1k2k3 k1L1k3L2 k2 k1L1k3L2 k1L12k3L22 0 k2 0 k2 matriz amortecimento Czeros3 end Frequência natural e modos de vibrar ULambeigKM wnsqrtdiagLamb rads fnwn2pi Hz modos de vibar for i1n UiUiU1i end FRFs switch tipo case 1 sem ADV syms w F1 F2 solução por Cramer FF1F2 Dw2MK D1F D2 D2D1 F X1detD1detD X2detD2detD H11subsX1F1 F21 0 H12subsX1F1 F20 1 H21subsX2F1 F21 0 H22subsX2F1 F20 1 case 2 com ADV syms w F1 F2 F3 solução por Cramer FF1F2F3 Dw2MK D1F D23 D2D1 F D3 D3D12 F X1detD1detD X2detD2detD X3detD3detD H11subsX1F1 F2 F31 0 0 H12subsX1F1 F2 F30 1 0 H13subsX1F1 F2 F30 0 1 H21subsX2F1 F2 F31 0 0 H22subsX2F1 F2 F30 1 0 H23subsX2F1 F2 F30 0 1 H31subsX3F1 F2 F31 0 0 H32subsX3F1 F2 F30 1 0 H33subsX3F1 F2 F30 0 1 end construção da FRF dados da simulação fmin05fn1 Hz fmax11fnn Hz npt210 número de pontos iin1 ponto de aplicação do impulso entrada iout1n ponto de colocação do sensor saída gerando o vetor de freq freqlinspacefminfmaxnpt Fzerosn1 Fiin1 FRF de Deslocamento via força bruta Xx for w2pifreq XX Kw2Msqrt1wCF deslocamento end armazenando dados das FRFs switch tipo case 1 save sADV freq X case 2 save cADV freq X end FRF de Fase Patan2imagXrealX180pi Gráficos FRF Hsaídaentrada for qiout figure hAxhLine1hLine2plotyyfreqabsXqfreqPq titleEspectro de Frequências FRFR de Receptância xlabelf Hz ylabelhAx1Xj omega Fj omega mN ylabelhAx2phij omega Graus hLine1LineStyle hLine2LineStyle nomeH num2strioutq num2striin j omega phi num2strioutq num2striin omega legendnome grid end if CzeroslengthM figure semilogyfreqimagXiout titleEspectro de Frequências FRF de Receptância xlabelf Hz ylabelImagXjomegaFj omega mN nome for q1lengthiout nomenomeH num2strioutq num2striin j omega end legendnome grid end FRFs sem ADV e com ADV load sADV X1X freq1freq load cADV X2X freq2freq gráficos FRFs q1 deslocamento motobomba plotfreq1absX1qfreq2absX2q titleEspectro de Frequências FRF de Receptância xlabelf Hz ylabelH num2strioutq num2striin jomega legends ADVc ADV grid zoom axis75 9 0 18e3