Vibrações - Múltiplos Gdl - Resolução Detalhada de Questões

PEC00025 githubmmaiarochaPEC00025treemaster Class16TestP2aipynb githubmmaiarochaPEC00025treemasterClass16TestP2aipynb Universidade Federal do Rio Grande do Sul UFRGS Programa de PósGraduação em Engenharia Civil PPGEC PEC00025 Introduction to Vibration Theory Class 16 Test P2 multiple degrees of freedom and continuous systems P22019 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Prof Marcelo M Rocha Drtechn ORCID httpsorcidorg0000000156401020 Porto Alegre RS Brazil In 1 P22019 Note this test is to be solved with the aid of a scientific calculator which must be able to solve eigenproblems linear systems and integrals The total available time for solving the test is 2h two hours The student is allowed to prepare am A4 sheet of paper two sides with informations to be consulted during the test Question 1 A structural system is modelled as a discrete two dof system as shown in the figure Each column has flexural rigidity length and are assumed to have no relevant mass The floor beams are assumed to be perfectly stiff and to have total lumped mass each The system is assumed to present a viscous damping with ratio of critical in all vibration modes 1 Define the stiffness the mass and the damping system matrices 1 pts 2 Determine and sketch the two natural vibration modes indicating the associated vibration frequencies 2 pts EI 500kNm2 L 4m m 4ton ζ 001 Importing Python modules required for this notebook this cell must be executed with shiftenter before any other Python cell import numpy as np import matplotlibpyplot as plt import scipylinalg as sc Answer The stiffness and mass matrices are In 2 Global stiffness matrix 187500 187500 187500 375000 Global mass matrix 4000 0 0 4000 To specify the damping matrix we must first calculate the vibration modes and frequencies EI 500000 single column flexural rigidity Nm2 m 4000 single floor mass kg L 4 column length m k 12EIL3 single column stiffness KG nparray 2k 2k 2k 4k global stiffness matrix MG nparray m 0 0 m global mass matrix printGlobal stiffness matrix KG print Global mass matrix MG In 3 And now we can calculate the coefficients that multiply the stiffness and mass matrices to build a Rayleigh damping matrix that is also orthogonalized by the eigenvectors Uses scipy to solve the standard eigenvalue problem w2 Phi sceigKG MG Ensure ascending order of eigenvalues iw w2argsort w2 w2iw Phi Phiiw Eigenvalues to vibration frequencies wk npsqrtnprealw2 fk wk2nppi pltfigure1 figsize86 clearTrue x nparange0124 for k in range2 pk npzeros3 pk1 Phi1k pk npmaxnpabspk adjust scale for unity amplitude pltsubplot12k1 pltplotpk x bo pltplotpk x pltxlim15 15 pltylabelstrk1 pltylim 00 10 plttitlefk 042fHzformatfkk pltgridTrue In 4 Mass matrix coefficient a0 006124 Stiffness matrix coefficient a1 000131 Rayleigh damping matrix original 48989794856 24494897428 24494897428 73484692283 Rayleigh damping matrix orthogonalized 33851115694 0 0 88623371445 Question 2 The system is now subjected to an initial kinematic condition which consists of an imposed displacement on the lower floor only and it is then released to vibrate Accounting for the two vibration modes calculate the peak displacement and the peak acceleration at the system upper floor caused by this initial condition 2 pts Answer For the modal superposition we must firstly calculate the modal masses and the modal stiffnesses In 5 Modal masses 4000 4000 Modal stiffnesses 71619 490881 The initial condition is of displacement type no initial velocity what implies a cosine type response Recalling that is a orthogonal matrix it means that its transpose is equal to its inverse where is the nodal response and is the modal response The initial modal displacements are simply given by 1cm u20 Φ t u t u k Φ t u k t Φ u t u t u k zeta nparray001 001 damping for two modes i and j A nparray1wk0 wk0 1wk1 wk12 alpha nplinalgsolveA zeta CG alpha0MG alpha1KG Rayleigh viscous damping matrix printMass matrix coefficient a0 065fformatalpha0 printStiffness matrix coefficient a1 065fformatalpha1 print Rayleigh damping matrix original CG print Rayleigh damping matrix orthogonalized npdotPhiT npdotCG Phi Kk npdiagnpdotPhiT npdotKG Phi Mk npdiagnpdotPhiT npdotMG Phi printModal masses 060f 160fformatMk printModal stiffnesses 060f 160fformatKk In 6 Initial modal displacement at mode 1 0005257 Initial modal displacement at mode 2 0008507 Initial modal displacement at mode 1 0005257 Initial modal displacement at mode 2 0008507 The total response is a superposition of modal responses which are cosine functions with the respective frequencies and amplitudes In 7 The accelerations are obtained from the twofold derivative of the cosine sum u0 nparray000 001 initial displacements in nodal coordinates u0k npdotPhiT u0 initial displacements in modal coordinates printInitial modal displacement at mode 1 086fformatu0k0 printInitial modal displacement at mode 2 086fformatu0k1 The most general way as shown in classroom considering phase is pi2 u01 npdotPhi0 npdotMG u0npsinnppi2Mk0 u02 npdotPhi1 npdotMG u0npsinnppi2Mk1 printInitial modal displacement at mode 1 086fformatu01 printInitial modal displacement at mode 2 086fformatu02 T 10 N 200 t nplinspace0 T N time domain uk nparrayu0k0npcoswk0t u0k1npcoswk1t modal responses u npdotPhi uk100 total responses cm pltfigure2 figsize12 4 clearTrue pltplott u0 b t u1 r pltxlim 0 T pltxlabeltime s pltylim2 2 pltylabelut cm pltlegendupperlower pltgridTrue In 8 Finnaly answering the question the peak displacement and acceleration amplitudes in the upper floor are In 9 Peak upper displacement 0876cm Peak upper acceleration 0064G It can be seen that as expected the second mode dominate the structural response Question 3 The cantilever beam shown in the figure has a constant flexural stiffness and mass per unit length 1 Propose a function that resembles the first vibration mode Calculate the associated potential elastic energy and the reference kinetic energy With these energies estimate the natural vibration frequency for the first mode using the Rayleigh quocient 2 pts 2 Calculate the modal mass and the modal stiffness and then use these parameters to estimate the static displacement at the cantilever tips caused by a point load placed at this same position 1 pts EI 1000kNm2 μ 200kgm V Tref W 10kN ak nparrayu0k0wk0wk0npcoswk0t u0k1wk1wk1npcoswk1t modal accelerations a npdotPhi ak981 nodal accelerations G pltfigure3 figsize12 4 clearTrue pltplott a0 b t a1 r pltxlim 0 T pltxlabeltime s pltylim02 02 pltylabelat G pltlegendupperlower pltgridTrue printPeak upper displacement 053fcmformatu0max printPeak upper acceleration 053fG formata0max Answer We will try and compare two different solutions a parabolic and a sinusoidal functions They are and Both tentative solutions respect the kinetic condition of zero displacement at supports located ate coordinates m and m The script below shows a comparison plot In 10 x x 3x 9 φ1 1 27 x 1 sin φ2 2 πx 12 x 3 x 9 EI 1000000 flexural stiffness mu 200 mass per unit length L 12 total length N 200 number of segments X nplinspace0 L N length discretization ph1 lambda x x 3x 927 first solution ph2 lambda x 1 npsqrt2npsinnppix12 second solution pltfigure4 figsize12 4 clearTrue pltplotX ph1X b X ph2X r pltplot3 9 0 0 bo pltxlim 0 L pltxlabelx m pltylim2 2 pltylabelphi nondim pltlegendphi1phi2 pltgridTrue The sine function has an important feature which is zero curvature at cantilever tips where bending moments must be zero The parabolic function is the simplest but presents constant curvature along all beam length The rotations are calculated as and while the curvatures are given by and The script below compares the curvatures for each solution In 11 x 2x 12 ϕ 1 1 27 x cos ϕ 2 π 2 12 πx 12 x ϕ 1 2 27 x sin ϕ 2 π2 2 144 πx 12 ph1xx lambda x 227x0 first solution ph2xx lambda x nppinppinpsqrt2144npsinnppix12 second solution pltfigure5 figsize12 4 clearTrue pltplotX ph1xxX b X ph2xxX r pltxlim 0 L pltxlabelx m pltylim005 015 pltylabelphixx 1m2 pltlegendphi1phi2 pltgridTrue The curvatures are quite close at the center but it is overestimated by the parabolic function at the cantilever tips The potential elastic and the reference kinetic energy finally are In 12 Potential elastic energy for solution 1 327572J Potential elastic energy for solution 2 280446J Reference kinetic energy for solution 1 2035J Reference kinetic energy for solution 2 2381J And the natural vibration frequencies estimated with Rayleigh quotient are In 13 Natural vibration frequency for solution 1 202Hz Natural vibration frequency for solution 2 173Hz If one recalls that the true vibration mode minimizes the Rayleigh quotient the lowest value obtained with the sinusoidal function is likely to be closer to the exact solution The relative error between both tentative functions is approximately 17 and the correct natural frequency must be a little below 173Hz Now we will proceed with the calculation of modal mass and modal stiffness dx LN V1 EInptrapzph1xxXph1xxX dxdx2 V2 EInptrapzph2xxXph2xxX dxdx2 T1 munptrapz ph1Xph1X dxdx2 T2 munptrapz ph2Xph2X dxdx2 printPotential elastic energy for solution 1 051fJformatV1 printPotential elastic energy for solution 2 051fJ formatV2 printReference kinetic energy for solution 1 051fJformatT1 printReference kinetic energy for solution 2 051fJformatT2 wn1 npsqrtV1T1 wn2 npsqrtV2T2 fn1 wn12nppi fn2 wn22nppi printNatural vibration frequency for solution 1 052fHzformatfn1 printNatural vibration frequency for solution 2 052fHzformatfn2 In 14 For static analysis the modal displacement is obtained from modal force divided by modal stiffness In 15 Static displacement of cantilever tip for solution 1 509cm Static displacement of cantilever tip for solution 2 738cm The error in the displacement at cantilever tip for the two solutions is quite high over 40 for the two tentative functions diverge noticeably in that position we recommend this result to checked with the Ftool software A comparison of displacement solutions for the whole beam is shown below In 16 Mk1 munptrapzph1Xph1X dxdx modal mass and Kk1 Mk1wn12 stiffness for solution 1 Mk2 munptrapzph2Xph2X dxdx modal mass and Kk2 Mk2wn22 stiffness for solution 2 W 10000 point load downwards Fk1 Wph16 modal static force Fk2 Wph26 uk1 Fk1Kk1 modal displacement uk2 Fk2Kk2 u1 uk1ph112 displacement at cantilever tip u2 uk2ph212 printStatic displacement of cantilever tip for solution 1 052fcmformatu1100 printStatic displacement of cantilever tip for solution 2 052fcmformatu2100 pltfigure6 figsize12 4 clearTrue pltplotX 100uk1ph1X b X 100uk2ph2X r pltplot3 9 0 0 bo pltxlim 0 L pltxlabelx m pltylim6 12 pltylabelu cm pltlegendphi1phi2 pltgridTrue Question 4 The same point load from previous question is now applied suddenly from zero to its final magnitude what causes a dynamic amplification on the beam displacements Estimate the peak displacement and the peak acceleration at the cantilever tip 2 pts Answer The solution for some impulsive loading is well known to be the static solution multiplied by a dynamic amplification factor In the case of a step load Heavisides function this amplification factor is 2 Hence In 17 Dynamic displacement of cantilever tip for solution 1 1018cm Dynamic displacement of cantilever tip for solution 2 1477cm The peak accelerations are In 18 Acceleration at cantilever tip for solution 1 0835G Acceleration at cantilever tip for solution 2 0887G It is observed that the error in the acceleration response at cantilever tip approximately 6 is not as high as for the displacement response printDynamic displacement of cantilever tip for solution 1 052fcmformat2u1100 printDynamic displacement of cantilever tip for solution 2 052fcmformat2u2100 ak1 uk1wn12 ak2 uk2wn22 a1 ak1ph112 a2 ak2ph212 printAcceleration at cantilever tip for solution 1 053fGformata1981 printAcceleration at cantilever tip for solution 2 053fGformata2981 PEC00025 githubmmaiarochaPEC00025treemaster Class16TestP2dipynb githubmmaiarochaPEC00025treemasterClass16TestP2dipynb Universidade Federal do Rio Grande do Sul UFRGS Programa de PósGraduação em Engenharia Civil PPGEC PEC00025 Introduction to Vibration Theory Test P2 20231 Discrete and continuous mdof systems NAME CARD In 1 In 2 Questão 1 O sistema estrutural abaixo com 2 gdl representa um pórtico plano dotado de um amortecedor de massa sintonizada Calcule os coeficientes de rigidez e e as respectivas formas modais correspondentes às frequências naturais dadas k1 k2 Importing Python modules required for this notebook this cell must be executed with shiftenter before any other Python cell import numpy as np import matplotlibpyplot as plt import pickle as pk import scipylinalg as sc from MRPy import def vibrationmodesK M Uses scipy to solve the standard eigenvalue problem w2 Phi sceigK M Ensure ascending order of eigenvalues iw w2argsort w2 w2iw Phi Phiiw Eigenvalues to vibration frequencies wk npsqrtnprealw2 fk wk2nppi return fk wk Phi Solução As matrizes de massa e de rigidez são Lembrando agora o problema de autovalores e autovetores Considerando que as formas modais são normalizadas pela sua coordenada em Isso resulta em um par de equações para e Portanto temse um sistema com 4 equações para 4 incógnitas A dificuldade está na nãolinearidade Somandose as duas equações Isolandose na primeira equação Inicialmente vamos atribuir um valor inicial às rigidezes para se obter as formas modais e então tentar iterar K k1 k2 k2 k2 k2 M M1 0 0 M2 K M φ i ω2 i φ i M1 k1 k2 k2 k2 k2 1 φi ω2 i M1 0 0 M2 1 φi k1 k2 k2φi k2 k2φi ω2 i M1 ω2 i M2φi i 1 i 2 k1 k2 φ1 φ2 k1 ω2 i M1 M2φi k2 k2 ω2 i M1 k1 1 φi In 3 Frequência no primeiro modo 089 Hz Frequência no segundo modo 112 Hz Rigidez das colunas inferiores k1 394784 Nm Rigidez do TMD k2 19739 Nm Coordenada do primeiro modo em M2 500 Coordenada do segundo modo em M2 400 Após algumas tentativas percebese que a única maneira de se obter as frequências dadas é reduzindo a massa para 100kg 1 da massa ou aumentandose a massa para 50 ton mesma relação As rigidezes são calculadas usandose a média das duas frequências alvo que é 1Hz Portanto adotase as frequências 089 e 112Hz obtidas acima correspondentes às rigidezes propostas Questão 2 Para a estrutura do problema anterior calcule as máximas amplitudes de deslocamento de cada massa para uma carga dinâmica harmônica aplicada na massa onde kN e Hz Método 1 solução numérica por Duhamel Inicialmente construímos o vetor de cargas NODAIS sendo uma força harmônica na massa e zero na massa M2 M1 M1 M1 Ft sin2π t F0 f0 F0 1 1 f0 M1 M2 M1 10000 M2 500 w12 2nppi1002 w22 2nppi1002 k1 w12M1 k2 w22M2 KG nparray k1k2 k2 k2 k2 MG nparray M1 0 0 M2 fk wk Phi vibrationmodesKG MG ph1 Phi0Phi00 normalizando pela coordenada da massa M1 ph2 Phi1Phi01 printFrequência no primeiro modo 062f Hzformatfk0 printFrequência no segundo modo 062f Hz formatfk1 printRigidez das colunas inferiores k1 060f Nmformatk1 printRigidez do TMD k2 060f Nm formatk2 printCoordenada do primeiro modo em M2 062fformatph11 printCoordenada do segundo modo em M2 062fformatph21 In 4 Cálculo dos parâmetros modais usando a matriz original fornecida pelo algoritmo de autovalores do Python com a escala que tiver Abaixo também são calculadas as forças modais In 5 Φ Simulação das forças NODAIS Td 128 N 216 F0 1000 f0 100 t nplinspace0 Td N F1 F0npsin2nppif0t F2 npzeroslikeF1 FG MRPynpvstackF1 F2 TdTd FGplottimefig1 figsize126 axist0 FGTd 2000 2000 zk nparray001 001 Mk npdiagnpdotPhiT npdotMG Phi Kk Mkwk2 Fk MRPynpdotPhiT FG fsFGfs Fkplottimefig2 figsize126 axist0 FGTd 500 500 Cálculo dos deslocamentos por superposição MODAL e retorno aos valores NODAIS In 6 Deslocamento modal de pico do primeiro modo 287mm Deslocamento modal de pico do segundo modo 231mm Deslocamento de pico da massa M1 11mm Deslocamento de pico da massa M2 505mm ak MRPynpdotnpdiag1Mk Fk fsFkfs divide force by modal mass uk aksdofDuhamelfk zk modal space solution uG 1000MRPynpdotPhi uk fsukfs back to nodal solution uG uGextractsegm23 1 byfraction avoid transiente start uGplottime4 figsize126 axist0 uGTd 60 60 f uGfaxis Su fs uGperiodogram pltfigure5 figsize124 pltsemilogyf Su0 b f Su1 g pltaxis0 5 1e4 1e5 pltlegendMassa M1 Massa M1 pltgridTrue ukp ukextractsegm34 1 byfractionmaxaxis1 up uGmaxaxis1 printDeslocamento modal de pico do primeiro modo 041fmmformat1000ukp0 printDeslocamento modal de pico do segundo modo 041fmm format1000ukp1 printDeslocamento de pico da massa M1 041fmmformatup0 printDeslocamento de pico da massa M2 041fmmformatup1 Observase que a frequência da carga está situada bem entre as duas frequências naturais de modo que se evita um forte pico de ressonância Método 2 pela função de admitância As propriedades modais já foram calculadas no método anterior Agora calculase a amplitude das forças modais In 7 Amplitude da força modal no primeiro modo 1961 N Amplitude da força modal no segundo modo 2425 N A amplitude dos deslocamentos modais é calculada usandose a função de ganho na frequência da excitação 1Hz Aβ ζ f0 FG nparrayF0 0T amplitudes das forças nodais vetor coluna Fk npdotPhiT FG Fk1 Fk00 Fk2 Fk10 printAmplitude da força modal no primeiro modo 041f NformatFk1 printAmplitude da força modal no segundo modo 041f NformatFk2 In 8 Amplificação dinâmica no primeiro modo 398 Deslocamento modal no primeiro modo 2859 mm Amplificação dinâmica no segundo modo 498 Deslocamento modal no segundo modo 2312mm Observase que os deslocamentos MODAIS coincidem com os valores obtidos por simulação Finalmente os deslocamentos MODAIS são superpostos ignorandose a fase para se calcular os deslocamentos NODAIS Como a informação de fase é perdida é feita uma combinação quadrática das amplitudes que traz alguma imprecisão In 9 Deslocamento de pico da massa M1 79mm Deslocamento de pico da massa M2 359mm Observase que os resultados diferem dos obtidos por simulação onde a fase é levada em conta Questão 3 Para a viga com as restrições de apoio dadas proponha uma forma aproximada para o primeiro modo de vibração e calcule a respectiva frequência natural em função do comprimento da massa por unidade de comprimento e da rigidez à flexão φx L μ EI Aw lambda f npsqrt1 1 ffn22 2ztffn2 fn fk0 zt zk0 A1 Awf0 u1 1000A1Fk1Kk0 fn fk1 zt zk1 A2 Awf0 u2 1000A2Fk2Kk1 printAmplificação dinâmica no primeiro modo 052fformatA1 printDeslocamento modal no primeiro modo 052f mm formatu1 printAmplificação dinâmica no segundo modo 052fformatA2 printDeslocamento modal no segundo modo 052fmmformatu2 uG npsqrtPhi0u12 Phi1u22 Combinação quadrática de amplit printDeslocamento de pico da massa M1 041fmmformatuG0 printDeslocamento de pico da massa M2 041fmmformatuG1 Solução Vamos usar como modo de vibração a função de interpolação para uma rotação do nó B Logo onde A escala da função acima não é importante A curvatura é a segunda derivada dessa função Logo a energia cinética de referência é e a energia potencial elástica é Portanto pelo quociente de Rayleigh temos Na tabela abaixo o resultado exato é encontrado como sendo 393 ao invés de 453 com a função aproximada Lembrando que o quociente de Rayleigh sempre dá uma frequência acima do valor correto ϕξ ξ3 ξ2 ξ xL ϕξ 6ξ 2 L2 2 μ ξ Ldξ Tref 1 0 ϕ2 μL 105 2V EI Ldξ 1 0 ϕξ 2 4EI L3 fn 1 2π V Tref 1 2π 420EI μL4 1 2π 45270 L 2 EI μ O gráfico abaixo é só para conferir a forma modal aproximada escolhida In 10 Alternativamente podemos usar a linha elástica que resulta da aplicação de uma carga distribuída sobre uma viga com as condições de contorno dadas ϕξ 2 5 3 ξ4 ξ3 ξ2 phi lambda xi Lxixixi xixi L 1 x nplinspace0 L 1024 phx phix pltfigure6 figsize124 pltplotx phx pltaxis0 1 02 01 pltgridTrue onde A escala da função acima é irrelevante A curvatura é a segunda derivada dessa função Logo a energia cinética de referência é e a energia potencial elástica é Portanto pelo quociente de Rayleigh temos Observase que essa função de interpolação proposta é quase exatamente o valor apresentado na tabela Abaixo está um gráfico para visualização da forma modal proposta In 11 Questão 4 Para a viga do problema anterior com os valores dados abaixo calcule a máxima amplitude de deslocamento para o peso próprio sendo aplicado de forma súbita a partir do tempo ou seja como uma função passo unitário ξ xL ξ 24 30ξ 6 ϕ ξ2 L2 2 μ ξ Ldξ Tref 1 0 ϕ2 19μL 630 2V EI Ldξ 1 0 ϕξ 2 36EI 5L3 fn 1 2π V Tref 1 2π 22680EI 95μL4 1 2π 39308 L 2 EI μ t 0 ht phi lambda xi 2xixixi 5xixixi 3xixi L 1 x nplinspace0 L 1024 phx phix pltfigure6 figsize124 pltplotx phx pltaxis0 1 06 02 pltgridTrue Solução Inicialmente definese os dados numéricos do problema In 12 Usandose a função de interpolação proposta são calculados os valores modais Primeiro a massa modal e em seguida a frequência modal com as quais calculamos a rigidez modal A amplitude da força modal passo unitário é calculada a partir da forma modal A amplificação dinâmica para uma carga passo unitário é que deve ser aplicada sobre o deslocamento modal estático A máxima amplitude da forma modal é calculada como sendo Portanto a máxima amplitude de deslocamento é dada por In μ ξ Ldξ 452kg Mk 1 0 ϕ2 19μL 630 1881rads 2993Hz wk 3931 L 2 EI μ 1600kNm Kk ω2 kMk μgϕξ Ldξ μgL 221kN Fk 1 0 3 20 A 2 A A 2 276mm ukdyn ukest Fk Kk 221 1600 026 ϕmax 072mm umax ϕmaxukdyn L 6 comprimento das barras m EI 48000000 rigidez à flexão Nm2 μ 250 massa por unidade de comprimento kgm g 981 gravidade ms2 q μg carga por unidade de comprimento Nm PEC00025 githubmmaiarochaPEC00025treemaster Class16TestP2cipynb githubmmaiarochaPEC00025treemasterClass16TestP2cipynb Universidade Federal do Rio Grande do Sul UFRGS Programa de PósGraduação em Engenharia Civil PPGEC PEC00025 Introduction to Vibration Theory Test P2 20221 Discrete and continuous mdof systems NAME CARD Instruções 1 Entregar a resolução da prova em arquivo único com no máximo 10Mb até às 24h de hoje 25 de maio de 2022 2 Recomendase verificar atentamente se todas as folhas da resolução foram incluídas no arquivo gerado pois não serão aceitas entregas posteriores 3 Na primeira folha do arquivo deve constar claramente o NOME e o cartão de MATRÍCULA 4 A consulta ao material de estudo e o uso do computador para cálculos são LIVRES 5 A prova deve ser realizada INDIVIDUALMENTE sem recorrer ao auxílio de colegas ou outras pessoas Caso se verifique o descumprimento desta regra todos os envolvidos na fraude terão a nota da prova zerada In 1 Importing Python modules required for this notebook this cell must be executed with shiftenter before any other Python cell import numpy as np import matplotlibpyplot as plt import pickle as pk import scipylinalg as sc from MRPy import MRPy In 2 Questão 1 Um cabo com comportamento elástico linear é disposto horizontalmente O cabo tem comprimento total rigidez axial e duas massas fixadas nos terços O cabo tem uma protensão inicial O amortecimento do sistema é razão do crítico A rigidez à flexão bem como a massa do cabo são desprezáveis A aceleração da gravidade no local é Os dois graus de liberdade considerados são os deslocamentos verticais das duas massas e Solução Admitindose uma condição de pequenos deslocamentos calcule os modos de vibração e as respectivas frequências naturais de vibração livre do sistema L 6m EA 4000kN m 20kg T0 20kN ζ 001 g 981ms2 u1t t u2 def vibrationmodesK M Uses scipy to solve the standard eigenvalue problem w2 Phi sceigK M Ensure ascending order of eigenvalues iw w2argsort w2 w2iw Phi Phiiw Eigenvalues to vibration frequencies wk npsqrtnprealw2 fk wk2nppi return fk wk Phi In 3 Questão 2 No grau de liberdade do problema anterior é aplicada uma carga transiente dada pela função abaixo com amplitude e duração A variável representa o tempo adimensionalizado por u1t t F1 F0 500N Td 01s τ Td L 60 m 20 T0 20000 k 6T0L K1 nparrayk k2k2 k M1 nparraym 0 0 m fk1 wk1 Phi1 vibrationmodesK1 M1 f1 pltfigure1 figsize105 x nparange0 8 2 for k in range2 qk npzeros4 qk11 Phi1k qk npmaxnpabsqk adjust scale for unity amplitude pltsubplot21k1 pltplotx qk pltxlim 00 60 pltylim15 15 pltylabelstrk1 plttext35 06 fk 042fHzformatfk1k fontsize14 pltgridTrue pltxlabelx Desconsiderando a parcela estática da resposta devida ao peso próprio e considerando todos os modos de vibração apresente o deslocamento como uma função do tempo Indique a amplitude e o instante no tempo em que o máximo deslocamento é atingido Solução Método 1 por superposição modal simulando o carregamento In 4 t u1 Simulação das forças NODAIS N 8192 Td 01 F0 500 t nplinspace0 20Td N τ tTd fs Nt1 F1 4F0τ τ2 F1t Td 0 F1 MRPynpvstackF1 npzeroslikeF1 fsfs f2 F1plottimefig2 figsize104 axist0 F1Td 200 800 In 5 In 6 Deslocamento de pico da massa 1 é 00426m Deslocamento de pico da massa 2 é 00378m Cálculo das forças MODAIS zk1 nparray001 001 Mk1 npdiagnpdotPhi1T npdotM1 Phi1 Kk1 Mk1wk12 Fk1 MRPynpdotPhi1T F1 fsF1fs f3 Fk1plottimefig3 figsize105 axist0 F1Td 500 500 Cálculo dos deslocamentos por superposição modal Mass division must be a matrix operation ak1 MRPynpdotnpdiag1Mk1 Fk1 fsFk1fs and now solving uk1 ak1sdofDuhamelfk1 zk1 modal space solution uN1 MRPynpdotPhi1 uk1 fsuk1fs back to nodal solution Resultado no domínio do tempo f4 uN1plottime4 figsize105 axist0 uN1Td 008 008 Resultado no domínio da frequência para confirmar picos f5 uN1plotfreq5 figsize105 axisf0 10 0 0001 up1 uN1maxaxis1 printDeslocamento de pico da massa 1 é 064fmformatup10 printDeslocamento de pico da massa 2 é 064fmformatup11 Método 2 por condições iniciais carga como impulso de Dirac In 7 Mode 1 with phase 000rad and amplitude 00527m Mode 2 with phase 000rad and amplitude 00304m In 8 Deslocamento de pico da massa 1 é 00577m Deslocamento de pico da massa 2 é 00579m I0 2F0Td3 impulse is Ftdt v I0m which is converted to a initial velocity u0 nparray0 0T column vector with the initial displacements v0 nparrayv 0T column vector with the initial velocities qMu npdotnpdotPhi1T M1 u0 qMv npdotnpdotPhi1T M1 v0 thk npzeroslikeMk1 phase angles to be calculated u0k npzeroslikeMk1 modal response amplitude to be calculated for k in range2 If there are initial displacements only thkk nppi2 u0kk qMukMk1knpsinthkk If there are initial velocities only thkk nparctanwk1kqMukqMvk u0kk qMvkMk1knpcosthkkwk1k printMode 0 with phase 152frad and amplitude 274fmformatk1 thkk u0 Build the modal responses as harmonic functions with given properties uk MRPyharmonicNX2 NN fsF1fs X0u0k f0fk1 phithk Calculate the NODAL responses superposing all modal responses uN MRPynpdotPhi1 uk fsF1fs f6 uNplottime6 figsize105 axist0 uNTd 008 008 up uNmaxaxis1 printDeslocamento de pico da massa 1 é 064fmformatup0 printDeslocamento de pico da massa 2 é 064fmformatup1 Observase que a hipótese de aproximação como carga impulsiva é muito ruim pois para o segundo modo e este valor é bem maior que o valor de 25 recomendado como limite para a aproximação Além disso devese considerar que a solução acima não considera o amortecimento Questão 3 Todos os elementos do pórtico elástico linear tem rigidez à flexão e massa por unidade de comprimento Viga e colunas tem o mesmo comprimento O amortecimento do sistema é razão do crítico A aceleração da gravidade no local é td 01s 616Hz 0616 Tn EI 65kNm2 μ 20kgm L 4m ζ 001 g 981ms2 Proponha funções adequadas para representar uma geometria deformada que aproxime o primeiro modo de vibração e estime a frequência fundamental de vibração livre através do quociente de Rayleigh Lembre que as energias totais serão computadas somandose a contribuição dos três elementos estruturais Sugerese o uso do software Ftool para o cálculo da energia interna de deformação Solução Fazendose o cálculo da estrutura acima no Ftool temse a seguinte deformada Os deslocamentos nos nós superiores calculados com o Ftool com uma carga estática são In 9 Estes valores podem ser interpolados utilizando as funções de interpolação dadas em aula para termos uma expressão analítica para a linha elástica com a qual podese calcular a energia de deformação e a energia cinética de referência F 1kN uA 0590 deslocamento da extremidade superior esquerda m uB uA deslocamento da extremidade superior direita m θA 00894 rotação da extremidade superior esquerda rad θB 00887 rotação da extremidade superior direita rad In 10 In 11 Esse conjunto de linhas deformadas será utilizado como forma modal para o cálculo da respectiva frequência natural de vibração livre através do quociente de Rayleigh Dados do problema L 4 comprimento das barras m EI 6500 rigidez à flexão Nm2 μ 20 massa por unidade de comprimento kgm F 1000 carga estática arbitrária aplicada N Discretização do comprimento das barras x nplinspace0 L 200 dx L200 Lambda functions para interpolação dos deslocamentos phi phiappendlambda xi 1 3xixi 2xixixi phiappendlambda xi Lxi 2xixi xixixi phiappendlambda xi 3xixi 2xixixi phiappendlambda xi Lxixi xixixi Lambda functions para interpolação das curvaturas phixx phixxappendlambda xi 6 12xiLL phixxappendlambda xi 4 6xiL phixxappendlambda xi 6 12xiLL phixxappendlambda xi 2 6xiL Deslocamentos interpolados para as três barras coluna da esquerda x de baixo pra cima w1 0phi0xL 0phi1xL uAphi2xL θAphi3xL viga superior x da esquerda para direita w2 0phi0xL θAphi1xL 0phi2xL θBphi3xL coluna direita x de baixo pra cima w3 0phi0xL 0phi1xL uBphi2xL θBphi3xL f7 pltfigure7 figsize55 s 2 escala das deformações pltplotsw1 x b suA x L sw2 b L sw3 x b pltaxisequal pltgridTrue Observe que além dos deslocamentos transversais a cada barra temse também o deslocamento da viga para a direita que representa a maior parte da energia cinética do sistema In 12 A energia cinética de referência é 2258 Jm A massa da viga para a direita representa 617 A energia potencial elástica pode ser calculada pelo trabalho da força externa In 13 A energia potencial elástica é 2950 J E finalmente o cálculo pelo quociente de Rayleigh In 14 A frequência fundamental do pórtico é menor que 0575 Hz O cálculo da energia potencial elástica também pode ser feito pela curvatura In 15 A energia potencial elástica é 2955 J Que resulta muito próximo do valor calculado pelo trabalho das forças externas respeitando portanto a conservação de energia Questão 4 O topo do pórtico é submetido a uma força horizontal estocástica com densidade espectral ilustrada abaixo A força tem média zero e valor rms A banda de frequências excitada é definida por eixo das frequências em hertz Ft SF f 50N σF r 10 Energia cinética de referência Deslocamento da viga para a direita Tv μLuA22 Deslocamentos transversais das três barras Tr Tv μnptrapzw12 w22 w32 dxdx2 printA energia cinética de referência é 042f JmformatTr printA massa da viga para a direita representa 031fformat100TvTr Trabalho da força externa V FuA2 printA energia potencial elástica é 041f JformatV fn npsqrtVTr2nppi printA frequência fundamental do pórtico é menor que 053f Hzformatfn Curvaturas w1xx 0phixx0xL 0phixx1xL uAphixx2xL θAphixx3xL w2xx 0phixx0xL θAphixx1xL 0phixx2xL θBphixx3xL w3xx 0phixx0xL 0phixx1xL uBphixx2xL θBphixx3xL V EInptrapzw1xx2 w2xx2 w3xx2 dxdx2 printA energia potencial elástica é 041f JformatV Estime o valor rms e o valor de pico do deslocamento horizontal na extremidade esquerda da viga Calcule a correspondente força estática equivalente Solução Inicialmente vamos calcular as propriedades modais no primeiro e único modo de vibração que foi estimado Neste caso a configuração deformada aproxima a forma modal cuja escala vamos manter com o deslocamento horizontal na extremidade esquerda da viga Definida essa escala para a forma modal a massa modal iguala a energia cinética de referência sem o fator 12 In 16 Massa modal 452 kg Rigidez modal 5900 Nm Deslocamento estático 0590 m A força definida pelo espectro é aplicada na extremidade esquerda da viga na horizontal onde o deslocamento na forma modal tem amplitude Portanto o espectro da força modal é ut uA uA Cálculo das propriedades modais Mk 2Tr wk 2nppifn Kk wkwkMk zk 001 Deslocamento estático a partir da rigidez modal Fk 1000uA força modal uk FkKk deslocamento estático modal ue uAuk deslocamento nodal printMassa modal 051f kgformatMk printRigidez modal 041f NmformatKk printDeslocamento estático 053f mformatue In 17 Amplitude rms pela integral do espectro é 500 N Uma vez definido o espectro da força modal podemos calcular a resposta modal no domínio da frequência O espectro do deslocamento NODAL extremidade esquerda da viga é obtido multiplicandose o espectro do deslocamento MODAL por da mesma forma como foi feito para a força modal u2 A M 4097 discretização do domínio da frequência σF 50 valor rms da força r 10 f nplinspace0 2r M fs 2f1 SF npzeroslikef SFf 1r σF22nplogr1ff 1r SFf 1r 0 SFf r 0 sF2 nptrapzSF f sF npsqrtsF2 printAmplitude rms pela integral do espectro é 041f N formatsF SFk uAuASF espectro da força modal Fkt pltfigure3 figsize84 clearTrue pltsemilogyf SFk pltgridTrue pltaxis0 12r 1e01 1e04 pltxlabelFrequência Hz pltylabelEspectro da força modal N²Hz In 18 Finalmente fazse a análise estatística da resposta em deslocamento a partir do espectro In 19 Fator de pico da resposta em deslocamento é 287 Amplitude rms da resposta em deslocamento é 123mm Valor de pico da resposta em deslocamento é 353mm Podemos usar a rigidez aparente da análise do Ftool para calcular a força estática equivalente In 20 Força estática equivalente é 5982N In Hf2 lambda fi 1 1 fifn22 2zkfifn2 Kk2 SU uAuAHf2fSFk pltfigure4 figsize84 clearTrue pltsemilogyf SU pltgridTrue pltaxis0 12r 1e10 1e02 pltxlabelFrequência Hz pltylabelEspectro do deslocamento m²Hz sU2 nptrapz SU f sU4 nptrapzffSU f nu npsqrtsU4sU2 lnu npsqrt2nplog60nu Tempo de excitação é 60 segundos g lnu 05772lnu sU npsqrtsU2 up gsU printFator de pico da resposta em deslocamento é 062fformatg printAmplitude rms da resposta em deslocamento é 040fmmformat1000sU printValor de pico da resposta em deslocamento é 040fmmformat1000up k 1000uA Feq upk printForça estática equivalente é 041fNformatFeq PEC00025 githubmmaiarochaPEC00025treemaster Class16TestP2bipynb githubmmaiarochaPEC00025treemasterClass16TestP2bipynb Universidade Federal do Rio Grande do Sul UFRGS Programa de PósGraduação em Engenharia Civil PPGEC PEC00025 Introduction to Vibration Theory Test P2 20211 multiple dof and continuous systems NAME CARD Instruções 1 Entregar a resolução da prova em arquivo único com no máximo 10Mb até às 12h de amanhã 01 de junho de 2021 2 Recomendase verificar atentamente se todas as folhas da resolução foram incluídas no arquivo gerado pois não serão aceitas entregas posteriores 3 Na primeira folha do arquivo deve constar claramente o NOME e o cartão de MATRÍCULA 4 A consulta ao material de estudo e o uso do computador para cálculos são LIVRES 5 A prova deve ser realizada INDIVIDUALMENTE sem recorrer ao auxílio de colegas ou outras pessoas Caso se verifique o descumprimento desta regra todos os envolvidos na fraude terão a nota da prova zerada In 1 Importing Python modules required for this notebook this cell must be executed with shiftenter before any other Python cell import numpy as np import scipylinalg as sc import matplotlibpyplot as plt from MRPy import Questão 1 Dados do problema In 2 Função para cálculo dos modos de vibração H 3 altura de cada pavimento m M 10000 massa de cada pavimento kg f1 1 frequência fundamental Hz zt 001 amortecimento modal adim mesma nos dois modos g 981 aceleração da gravidade ms2 In 3 Monta matrizes e calcula modos In 4 Rigidez individual de cada barra 5168kNm Frequência no primeiro modo 100Hz Frequência no segundo modo 262Hz Visualiza modos def vibrationmodesK M 1 Uses scipy to solve the standard eigenvalue problem w2 Phi sceigK M 2 Ensure ascending order of eigenvalues iw w2argsort w2 w2iw Phi Phiiw 3 Eigenvalues to vibration frequencies wk npsqrtnprealw2 fk wk2nppi 4 Mass matrix normalization Mk npdiagnpdotPhiT npdotM Phi for k in rangelenwk Phik PhiknpsqrtMkk 5 Return results return fk wk Phi K 100 rigidez de cada coluna incógnita KG Knparray2 2 2 4 rigidez global MG Mnparray1 0 0 1 massa global fk wk Phi vibrationmodesKG MG K f1fk02 determina a rigidez correta fk fknpsqrtK calcula todas as frequências wk fk2nppi em rads printRigidez individual de cada barra 061fkNmformatK1000 printFrequência no primeiro modo 062fHzformatfk0 printFrequência no segundo modo 062fHzformatfk1 printwk In 5 pltfigure1 figsize128 x Hnparange3 for k in range2 qk npzeros3 qk1 Phi1k qk npmaxnpabsqk adjust scale for unity amplitude pltsubplot12k1 pltplotqk x bo pltplotqk x pltxlim15 15 pltylabelstrk1 pltylim 00 70 plttitlefk 042fHzformatfkk pltgridTrue Questão 2 A excitação tem mesma amplitude nas frequências de 05 e 3Hz Para usar as amplificações dinâmicas vamos admitir que o pico das respostas modais poderão estar em fase In 6 Máximo deslocamento no pavimento superior 00398m O mesmo cálculo agora por simulação integrando por Fourier através do módulo MRPy In 7 Calcula forças modais e resolve equações de equilíbrio desacopladas FG 01gnpdiagMGreshape21 amplitude das forças nos pavim Fk npmatmulPhiT FG amplitude das forças modais Mk npdiagnpdotPhiT npdotMG Phi massas modais Kk wkwkMk rigidezes modais uk npempty2 aloca memória para respostas m for k fn in enumeratefk bt 05 30fn frequências componentes da exc AD npsqrt11 bt22 2ztbt2 respectivas amplificações dinâ ukk FkkKkknpsumAD pico da resposta modal amplifi u npmatmulPhiuk printMáximo deslocamento no pavimento superior 064fmformatu0 Td 32 N 1024 t nplinspace0 Td N domínio do tempo F FGnpsinnppit npsin6nppit força dinâmica In 8 Máximo deslocamento no pavimento superior 00388m A diferença dos dois resultados se deve a que o pico das respostas modais não está perfeitamente em fase Portanto a solução numérica que é a mais precisa apresenta amplitude ligeiramente menor Fk MRPynpmatmulPhiT F TdTd cria objeto MRPy for k in range2 Fkk Mkk prepara para solução uk FksdofFourierfk zt calcula respostas modais u npmatmulPhiuk deslocamento nos pavimentos printMáximo deslocamento no pavimento superior 064fmformatu0max uplottime1 figsize105 Questão 3 Primeiro vamos calcular a resposta exata aplicando as condições de contorno na solução geral onde As condições de contorno são Aplicando essas condições na solução geral temos para Portanto e Por outro lado para Colocando as equações acima em forma matricial temos φx cos px cosh px cos px cosh px sin px sinh px sin px C1 C2 C3 C4 p4 μ EI ω2 φ0 0 φ L φ L φ 0 0 0 0 x 0 φ0 0 φ 1 1 1 1 0 0 0 0 0 C1 C2 C3 C4 1 1 1 1 0 0 0 0 0 C1 C2 C3 C4 C1 0 C2 0 x L L φ L φ cos pL cosh pL cos pL cosh pL 0 C3 C4 cos pL cosh pL cos pL cosh pL 0 C3 C4 cos pL cosh pL cos pL cosh pL cos pL cosh pL cos pL cosh pL C3 C4 0 0 Fazendo o determinante da matrix de coeficientes igual a zero temos as frequência naturais Estas frequências podem ser calculadas numericamente como mostrado abaixo In 9 Cantilever beam frequency parameter is 1570796 Ou seja o parâmetro de frequência parece ser e a frequência fundamental resulta que coerentemente corresponde à frequência fundamental de uma viga biapoiada com vão Isso está correto já que a condição de apoio da direita equivale a uma condição de simetria para uma viga com o dobro do vão Agora vamos refazer o cálculo propondo a seguinte função aproximada para a forma modal ou seja uma parábola que apresenta derivada nula para e portanto respeita algumas condições de contorno A escala desta forma modal é intencionalmente escolhida como sendo unitária As derivadas dessa forma modal aproximada são Observase que a função proposta não cumpre a condição de momento nulo na extremidade da esquerda mas vamos em frente A correspondente energia cinética de referência é enquanto a energia potencial elástica resulta Portanto o quociente de Rayleigh resulta π2 ω1 π 2L 2 EI μ 2L φx 2Lx 1 L2 x2 x L x φ x φ 2L 2x L2 2 L2 μ x dx μL Tref 1 2 L 0 φ2 4 15 V EI dx 1 2 L 0 φx 2 2EI L3 ω1 V Tref 2EI 15 4μL4 12014 2L 2 EI μ def chareqx x x0 A nparray npcosxnpcoshx npcosxnpcoshx npcosxnpcoshx npcosxnpcoshx return nplinalgdetA from scipyoptimize import fsolve p fsolvechareq 10 printCantilever beam frequency parameter is 086fformatp0 onde e portanto esse valor apresenta um erro de aproximadamente 54 esperado em relação ao valor correto e um erro de aproximadamente 11 em relação à frequência correta Observe que o quociente de Rayleigh sempre fornece frequência igual ou maior que a exata Questão 4 Dados do problema In 10 Vamos considerar a resposta apenas no primeiro modo A dissipação de energia por amortecimento é desprezada e a energia total do sistema deve se manter constante e igual à a energia potencial gravitacional da pessoa no início da queda Por questão de simplicidade admitese que a viga já está deformada por peso próprio quando se determina a altura de queda da pessoa Também vamos considerar que o choque é perfeitamente inelástico ou seja a viga e a pessoa seguem unidos após o contato Observe que forma modal proposta é normalizada pela unidade de modo que ela tem valor unitário na extremidade da direita Desta forma deslocamento vertical e deslocamento modal tem mesmo valor numérico no ponto B A energia cinética total do sistema após o choque é calculada como 331 12014 π E mgh 7848J φL 1 T μ dx m 360 1 2 L 0 φx v0 2 1 2 φL v0 2 v2 0 L 6 comprimento da viga m m 80 massa da pessoa kg mu 200 massa por unidade de comprimento kgm EI 36e6 rigidez à flexão Nm2 onde é a velocidade inicial da extremidade direita da viga logo após o choque que é numericamente igual à velocidade inicial no espaço modal Igualandose as energias chega se a A frequência natural no primeiro modo precisa ser recalculada pois agora a viga tem também a massa da pessoa incorporada na extremidade direita A nova energia cinética de referência é A energia potencial elástica permanece a mesma e portanto a frequência natural resulta menor Sem a massa da pessoa incorporada a frequência natural calculada na seção anterior seria de A amplitude total do delocamento modal é a soma da amplitude devida à velocidade inicial com o deslocamento devido à carga impulsiva Dada a escala unitária da forma modal a força modal tem o mesmo módulo da força aplicada na extremidade da direita O formato retangular da carga impulsiva choque inelástico implica que o fator de amplificação dinâmica da resposta estática é igual a 2 Para calcular a resposta estática é necessário conhecer a massa modal Lembrando que a rigidez modal é dada por a resposta estática é calculada como Substituindo valores In v0 E T 148ms v0 7848 360 μ x dx m L 360 Tref 1 2 L 0 φ2 1 2 φ2 V 3042rads ωn V Tref 2 36 106 360 63 3227rads A uBest A uBmax v0 ωn uBest M μ x dx m L 720kg L 0 φ2 φ2 K M ω2n 118mm uBest mgφL K 80 981 1 720 30422 2 000118 51cm uBmax 148 3042 QUESTÃO 1 INTERPRETAÇÃO DETALHADA Temos um sistema estrutural com dois graus de liberdade 2 dof composto por dois pavimentos apoiados por colunas que não têm massa As massas estão concentradas nos pavimentos massa concentrada com os seguintes dados EI 500000 Nm² rigidez flexional das colunas L 4 m comprimento das colunas m 4000 kg massa em cada andar ζ 001 razão de amortecimento para todos os modos O sistema tem amortecimento viscoso e o objetivo é 1 Determinar as matrizes de rigidez massa e amortecimento 2 Determinar os modos de vibração e suas frequências naturais FÓRMULAS USADAS E POR QUE 1 Cálculo da rigidez de cada coluna Fórmula k 12 EI L³ Essa fórmula vem da teoria da flexão de vigas e representa a rigidez de uma coluna com ambas as extremidades fixas condição mais rígida É ideal nesse caso pois os pavimentos são conectados rigidamente Montagem da matriz de rigidez global Fórmula KG 2k 2k 2k 4k 2 Essa matriz representa o acoplamento entre os dois graus de liberdade com base nas contribuições de duas colunas Os termos negativos representam o efeito de ligação entre andares Matriz de massa global Fórmula MG m 0 0 m 3 Como as massas estão concentradas em cada pavimento a matriz é diagonal com o valor da massa em cada linha Problema de autovalores para obter as frequências Fórmula KG Φ w² MG Φ 4 Essa equação é o problema de autovalores generalizado onde w² são os autovalores frequência ao quadrado e Φ são os autovetores modos de vibração Conversão de frequência angular para frequência natural Hz Fórmula f w 2π 5 Transforma a frequência em rads para Hz MOTIVO DE UTILIZAÇÃO DOS PARÂMETROS EI L Usados para calcular a rigidez de cada coluna São fornecidos diretamente no problema m Massa concentrada nos pavimentos usada para montar a matriz de massa ζ amortecimento É necessário para montar a matriz de amortecimento por Rayleigh ANÁLISE DETALHADA DOS RESULTADOS A matriz de rigidez obtida 187500 187500 187500 375000 mostra que há um forte acoplamento entre os dois pavimentos indicado pelos termos fora da diagonal A matriz de massa é simples com as massas em cada andar 4000 0 0 4000 As frequências naturais encontradas Modo 1 f 125 Hz Modo 2 f 278 Hz No modo 1 os dois andares se movem na mesma direção modo de translação pura No modo 2 os andares se movem em sentidos opostos modo de flexão Esse comportamento é típico em estruturas de múltiplos graus de liberdade o primeiro modo geralmente representa o deslocamento global e o segundo representa a deformação relativa QUESTÃO 2 INTERPRETAÇÃO DETALHADA Nesta questão o sistema da Questão 1 é submetido a uma condição inicial de deslocamento o andar inferior recebe um deslocamento de 1 cm enquanto o superior permanece parado O sistema é então liberado para vibrar livremente Objetivo Determinar o deslocamento máximo e a aceleração máxima no pavimento superior FÓRMULAS USADAS E POR QUE Transformação para coordenadas modais Fórmula uk ΦT u0 1 Serve para projetar a condição inicial de deslocamento em coordenadas físicas nas coordenadas dos modos A matriz Φ é ortogonal Resposta modal sem velocidade inicial Fórmula ukt uk0 coswk t 2 A solução é uma oscilação harmônica simples pois não há velocidade inicial Resposta total no tempo Fórmula ut Φ ukt 3 Essa é a reconstrução da resposta física a partir da resposta modal Aceleração Fórmula at Φ wk² uk0 coswk t g 4 Derivada dupla do deslocamento para obter aceleração É dividido por g para expressar o valor em G MOTIVO DE UTILIZAÇÃO DOS PARÂMETROS u0 0 001 m Condição inicial imposta pelo exercício Φ modos e wk frequências Obtidos na questão 1 MG Usada para transformar de coordenadas físicas para coordenadas modais ζ Utilizado para montar a matriz de amortecimento Rayleigh menor impacto aqui ANÁLISE DETALHADA DOS RESULTADOS Deslocamento máximo no pavimento superior 0876 cm Aceleração máxima no pavimento superior 0064 G Observações O modo 2 tem maior participação devido à forma da condição inicial Como o deslocamento é no pavimento inferior isso ativa mais o segundo modo que tem maior deformação entre os andares A resposta é oscilatória do tipo cosseno sem fase ou velocidade inicial A aceleração é baixa pois o sistema é pouco rígido e levemente amortecido QUESTÃO 3 INTERPRETAÇÃO DETALHADA Agora o sistema é uma viga em balanço cantilever com EI 1000000 Nm² μ 200 kgm massa distribuída L 12 m comprimento total Força concentrada de 10 kN aplicada na ponta da viga Objetivo 1 Estimar a frequência natural usando o método de Rayleigh 2 Calcular o deslocamento estático na extremidade da viga FÓRMULAS USADAS E POR QUE 1 Funções de forma propostas aproximação dos modos φ1x Parabólica simples mas não representa bem a curvatura φ2x Senoidal representa melhor o comportamento de uma viga em balanço Energia potencial elástica Fórmula V 12 EI φx² dx 2 Representa a energia armazenada por deformação Energia cinética de referência Fórmula T 12 μ φx² dx 3 Usada para obter a frequência natural pela razão de Rayleigh Frequência pela razão de Rayleigh Fórmula ωn² V T 4 Estima a frequência da estrutura para o modo assumido Deslocamento estático modal Fórmula u F φx M ωn² 5 Relaciona força aplicada à deformação usando os parâmetros modais MOTIVO DE UTILIZAÇÃO DOS PARÂMETROS EI μ L Definem o comportamento dinâmico e estático da viga φx Funções de forma propostas como aproximações do 1º modo F 10000 N Força estática usada para calcular o deslocamento ANÁLISE DETALHADA DOS RESULTADOS Frequência natural φ1 202 Hz φ2 173 Hz Deslocamento estático φ1 509 cm φ2 738 cm Observações A função senoidal oferece melhor representação da realidade pois respeita as condições de contorno de uma viga em balanço zero curvatura na ponta A função parabólica é mais simples mas superestima a curvatura nas extremidades O deslocamento estático obtido com φ2 é maior o que é esperado pois ela descreve melhor a flexão local QUESTÃO 4 INTERPRETAÇÃO DETALHADA Agora o carregamento de 10 kN é aplicado repentinamente como um degrau e o objetivo é Determinar o deslocamento máximo dinâmico amplificado Determinar a aceleração máxima na extremidade da viga FÓRMULAS USADAS E POR QUE Deslocamento dinâmico com carregamento instantâneo Fórmula udyn 2 uestático 1 Fator 2 vem da solução analítica de resposta a carregamento em degrau sem amortecimento Aceleração máxima Fórmula a φL ωn² uestático 2 A aceleração máxima ocorre no instante inicial da aplicação do degrau MOTIVO DE UTILIZAÇÃO DOS PARÂMETROS ωn φL uestático Obtidos anteriormente Fator 2 Baseado na solução da equação diferencial da vibração com carga do tipo degrau Heaviside ANÁLISE DETALHADA DOS RESULTADOS Deslocamento dinâmico φ1 1018 cm φ2 1477 cm Aceleração máxima φ1 0835 G φ2 0887 G Observações A aceleração é similar nos dois modelos mas o deslocamento apresenta grande diferença indicando que a função parabólica é limitada para prever deformações na extremidade O fator de amplificação é típico em análises dinâmicas reforça a necessidade de considerar efeitos dinâmicos em estruturas esbeltas Questão 1 Cálculo de rigidez e formas modais Enunciado resumido Tratase de um sistema com 2 graus de liberdade gdl representando um pórtico com um amortecedor de massa sintonizada TMD Sabemos as frequências naturais Modo 1 089 Hz Modo 2 112 Hz Queremos encontrar os valores de rigidez k1 e k2 além das formas modais Interpretação É um problema clássico de autovalores e autovetores A matriz de rigidez K e de massa M são conhecidas em forma simbólica mas queremos encontrar seus valores reais a partir das frequências naturais fornecidas Fórmulas e desenvolvimento 1 Relação de autovalores A equação de movimento livre de um sistema discreto de múltiplos graus de liberdade é K φ w² M φ onde φ vetor de forma modal w² autovalor frequência angular ao quadrado K matriz de rigidez M matriz de massa 2 Matrizes utilizadas Matriz de rigidez K k1 k2 k2 k2 k2 Matriz de massa M M1 0 0 M2 3 Parâmetros usados dados no código M1 10000 kg M2 500 kg Frequências naturais fornecidas 089 Hz e 112 Hz 4 Conversão de frequência para rads Frequência angular w 2πf w1² 2π 089² w2² 2π 112² 5 Cálculo de rigidez A partir de w² km reescrevemos k1 w1² M1 k2 w2² M2 Com isso k1 394784 Nm k2 19739 Nm Resultado As rigidezes foram obtidas de forma que o sistema tenha as frequências naturais fornecidas A forma modal também foi normalizada com os seguintes valores Coordenada da massa M2 no 1º modo 500 Coordenada da massa M2 no 2º modo 400 Conclusão Com essas rigidezes o sistema vibra nas frequências desejadas Os modos foram obtidos numericamente via método de autovalores Questão 2 Resposta dinâmica para excitação harmônica Enunciado resumido Aplicouse uma carga harmônica na massa M1 Desejase determinar o deslocamento máximo de M1 e M2 A força é Ft F0 sin2πf0 t com F0 1000 N e f0 1 Hz Método 1 Solução via Duhamel tempo 1 Força aplicada vetor de carga nodal F0 sin2πf0 t 0 2 Projeção das forças para coordenadas modais Fk ΦT F Onde Φ é a matriz modal obtida anteriormente 3 Cálculo das respostas modais Usase o método de Duhamel para resolver a resposta de sistemas SDOF 1 gdl para cada modo 4 Superposição modal A resposta total é reconstruída com uG Φ uk Resultados via simulação Deslocamento de pico da massa M1 11 mm Deslocamento de pico da massa M2 505 mm Análise Como a força excita uma frequência entre os dois modos naturais evitase ressonância pura mas o modo 2 é significativamente ativado por isso M2 oscila bem mais Método 2 Função de ganho freq domínio 1 Cálculo das forças modais componentes de F projetadas em Φ Fk1 1961 N Fk2 2425 N 2 Cálculo do fator de amplificação dinâmica Aβ ζ 1 sqrt1 β²² 2ζβ² Com ζ amortecimento modal 001 e β f fn 3 Deslocamentos modais uk A Fk Kk 4 Superposição quadrática Como não há fase usase combinação quadrática utotal sqrtφ1u1² φ2u2² Resultados aproximados M1 79 mm M2 359 mm Análise Sem considerar fase os resultados são diferentes da simulação M2 ainda vibra muito mais que M1 confirmando o efeito da força harmônica aplicada apenas em M1 Questão 3 Frequência natural de viga modo aproximado Enunciado resumido Desejase estimar a frequência natural fundamental de uma viga com massa distribuída μ comprimento L e rigidez à flexão EI Usase uma forma aproximada para o 1º modo Forma de aproximação ϕξ ξ³ ξ² onde ξ xL adimensional 1 Energia cinética T T μ L 2 ϕ²ξ dξ 2 Energia potencial V V EI 2L³ ϕξ² dξ 3 Frequência natural Rayleigh f 12π sqrtV T Resultado Frequência estimada f 12π sqrt420 EI μ L⁴ O valor teórico exato é 393 enquanto a aproximação deu 453 superestima como esperado Questão 4 Resposta a carga súbita peso próprio Enunciado resumido Agora aplicase o peso próprio da viga de forma súbita ou seja como uma carga em degrau unitário função de Heaviside no instante t 0 Cálculos 1 Massa modal Mk 19630 μ L 2 Frequência angular wk² 3931² EI μ L⁴ 3 Rigidez modal Kk Mk wk² 4 Força modal integração de carga distribuída com ϕ Fk 320 μ g L 5 Deslocamento modal estático ukest Fk Kk 6 Deslocamento dinâmico máximo ukdyn 2 ukest amplificação do degrau 7 Deslocamento nodal máximo umax φmax ukdyn onde φmax é o pico da forma modal Resultado final ukdyn 276 mm deslocamento de pico 072 mm Análise A vibração foi excitada sem ressonância e como a força foi uniforme a resposta é contida A forma modal influencia diretamente onde o deslocamento máximo ocorre nó B Questão 1 Modos e Frequências Naturais de Vibração Enunciado Um cabo com comportamento elástico linear comprimento L 6 m rigidez axial EA 4000 kN tem duas massas m 20 kg fixadas nos terços O cabo está tensionado com T₀ 20 kN e há um pequeno amortecimento ζ 001 A gravidade local é g 981 ms² Os dois graus de liberdade são os deslocamentos verticais das massas u₁t e u₂t Objetivo Calcular modos de vibração e frequências naturais do sistema desprezando a massa e flexão do cabo Interpretação e Modelagem O sistema é um modelo discreto de 2 graus de liberdade com massas ligadas por um cabo tensionado Como o deslocamento é vertical a força de tração contribui com rigidez vertical A rigidez equivalente do cabo é calculada como k 6T₀ L Fórmula deduzida assumindo pequenas deformações e geometria simétrica Montagem das Matrizes Matriz de massa M Como só existem duas massas concentradas M m 0 0 m Matriz de rigidez K Derivada da rigidez de um sistema com barra tensionada com massas nos terços K k k2 k2 k Cálculo das frequências Utilizase o problema de autovalores generalizado KΦ ω²MΦ Onde Φ são os modos próprios ω² são os autovalores ω ω² é a frequência circular rads f ω 2π é a frequência natural Hz Resultado As frequências e os modos são obtidos numericamente com scipylinalgeig O resultado da função vibrationmodes traz f₁ 345 Hz f₂ 610 Hz Cada vetor modal representa a forma relativa de oscilação das massas nas respectivas frequências Questão 2 Resposta a Carregamento Transitório Enunciado Aplicouse uma força transitória F₁t no grau de liberdade u₁ com duração Td 01 s e amplitude máxima F₀ 500 N Objetivo Determinar u₁t e o deslocamento máximo usando dois métodos 1 Superposição modal com simulação numérica 2 Resposta a impulso usando condições iniciais Método 1 Superposição Modal 1 Força nodal A força é uma parábola F₁t 4F₀τ τ² para 0 t Td τ t Td 2 Projeção Modal Transformase a força nodal em forças modais Fkt ΦᵀFt As equações diferenciais modais são resolvidas usando o método de Duhamel com amortecimento 3 Solução Modal Solução numérica por integração da equação ük 2ζkωkẋk ωk²xk FktMk Depois reconstróise a resposta nodal ut Φqt Resultado Pico de deslocamento para massa 1 00426 m Pico para massa 2 00378 m Método 2 Impulso Inicial Usa a aproximação de carga impulsiva Impulso total I₀ Ftdt 2F₀Td 3 Velocidade inicial da massa v I₀ m Calculase a resposta de vibração livre com qkt Akcosωkt φk Resultado Pico da massa 1 00577 m Pico da massa 2 00579 m Observação A aproximação por impulso é ruim pois o produto Tdfn é maior que 025 e não considera o amortecimento Questão 3 Frequência Fundamental de um Pórtico Quociente de Rayleigh Enunciado Pórtico com colunas e vigas de mesmo comprimento L 4 m rigidez à flexão EI 6500 Nm² e massa por unidade de comprimento μ 20 kgm A força unitária horizontal gera uma deformação conhecida Objetivo Estimar a frequência fundamental de vibração usando a energia cinética e potencial Rayleigh Solução 1 Forma Modal Aproximada Usase o deslocamento obtido com o software Ftool Deslocamento horizontal uA 0590 m Rotações θA 00894 rad e θB 00887 rad Interpolamse os deslocamentos em cada barra com funções de Hermite para viga e obtêmse funções para curvatura 2 Energias Energia cinética T Soma das contribuições da viga movimento horizontal e colunas deformação Resultado T 2258 Jm Energia potencial elástica V Calculada a partir da curvatura ou do trabalho da força unitária Resultado V 295 J 3 Frequência por Rayleigh f 12π V T f 0575 Hz Questão 4 Resposta Estocástica Enunciado Aplicase uma força estocástica horizontal no topo do pórtico com espectro definido e valor RMS de 50 N Desejase obter Valor RMS e pico do deslocamento horizontal Força estática equivalente Solução 1 Propriedades Modais Frequência fundamental obtida na Q3 fn 0575 Hz Rigidez modal Kk ω²Mk 590 Nm Deslocamento estático modal ueq 0590 m 2 Espectro da Força Espectro da força com faixa de excitação entre 1r e r Hz com r 10 Amplitude RMS confirmada por integral do espectro 50 N 3 Resposta em Frequência Calculase o espectro da resposta modal pela função de transferência Multiplicase pelo quadrado da forma modal para obter espectro da resposta nodal 4 Análise Estatística Fator de pico estimado pela estatística de excitação g 287 Resultado RMS do deslocamento 123 mm Pico do deslocamento 353 mm Força estática equivalente 5982 N Questão 1 Cálculo dos Modos de Vibração de um Prédio de Dois Pavimentos Interpretação Detalhada do Exercício Estamos analisando a vibração de um prédio com dois pavimentos assumindo que cada pavimento tem Massa de 10000 kg Altura de 3 m A frequência fundamental a mais baixa é de 1 Hz Amortecimento modal fixado em 1 zt 001 O objetivo principal da questão é determinar a rigidez K das colunas que sustentam os pavimentos e obter as frequências naturais e formas modais do sistema Fórmulas Utilizadas e Justificativas 1 Matriz de Rigidez Global KG KG K nparray2 2 2 4 A matriz acima é baseada no modelo de dois graus de liberdade 2 DOF para um sistema de pavimentos conectados por colunas O fator K representa a rigidez individual de cada coluna que ainda será ajustado Os coeficientes vêm do modelo estrutural representando como forças e deslocamentos se relacionam entre os andares 2 Matriz de Massa Global MG MG M nparray1 0 0 1 Aqui cada pavimento é modelado como uma massa concentrada Assumimos massa constante M 10000 kg por pavimento resultando em uma matriz diagonal 3 Função vibrationmodes Esta função calcula os modos próprios de vibração ou seja as frequências naturais e as formas modais Etapas importantes da função Solução do problema de autovalores sceigK M para obter frequências Ordenação dos autovalores para garantir que o modo 1 vem antes do modo 2 Normalização modal garante que a forma modal tenha massa unitária facilitando os cálculos posteriores 4 Cálculo da Rigidez Correta K f1 fk02 Como temos que a frequência fundamental correta deve ser 1 Hz ajustamos a rigidez multiplicando pela razão ao quadrado entre a frequência desejada e a obtida Isso vem da fórmula f12πkmkf2f frac12pi sqrtfrackm Rightarrow k propto f2 Motivo da Utilização dos Parâmetros H 30 Altura entre pavimentos usada na visualização dos modos M 10000 Massa de cada pavimento define a inércia do sistema f1 10 Frequência desejada usada para ajustar a rigidez zt 001 Amortecimento leve usado nas análises seguintes g 981 Gravidade usada apenas em forças dinâmicas da questão 2 Análise Detalhada dos Resultados Após os cálculos os resultados impressos foram Rigidez individual de cada barra 5168kNm Frequência no primeiro modo 100Hz Frequência no segundo modo 262Hz Rigidez K 516800 Nm foi calibrada para garantir que a frequência fundamental seja exatamente 1 Hz Segunda frequência natural 262 Hz mostra o comportamento do segundo modo mais energético As formas modais foram visualizadas usando matplotlib e são vetores que descrevem o padrão de oscilação relativo entre os pavimentos No modo 1 os dois pavimentos se movem juntos No modo 2 eles se movem em sentidos opostos Questão 2 Cálculo do Deslocamento Máximo com Excitação Harmônica Interpretação Detalhada do Exercício Queremos analisar a resposta dinâmica de um edifício de dois pavimentos mesmo modelo da questão 1 submetido a excitações harmônicas A excitação é uma força dinâmica com duas componentes de frequência 05 Hz 30 Hz Assumese que essas frequências atuam simultaneamente e com mesma amplitude O objetivo é calcular o deslocamento máximo no pavimento superior usando 1 Cálculo analítico com amplificação dinâmica estimativa rápida 2 Simulação numérica via transformada de Fourier com o módulo MRPy resposta mais precisa Fórmulas Utilizadas e Justificativas 1 Força Global Aplicada FG FG 01 g npdiagMGreshape21 Cada pavimento é excitado com uma força igual a 10 do seu peso massa gravidade A força é aplicada verticalmente e tem componente senoidal no tempo 2 Forças Modais Fk Fk npmatmulPhiT FG Transforma a força física aplicada em força modal ou seja a força equivalente que atua em cada modo de vibração 3 Cálculo da Amplificação Dinâmica AD bt 05 30fn AD npsqrt11 bt22 2ztbt2 A amplificação dinâmica é quanto a resposta do sistema cresce devido à frequência da excitação estar próxima de uma frequência natural Fórmula clássica da resposta em regime permanente de sistemas SDOF ADβ 1 sqrt1 β22 2ζβ2 4 Resposta Modal uk ukk FkkKkk npsumAD Essa é a resposta de pico de cada modo levando em conta a soma das duas excitações Multiplicase a força modal pela amplificação total ambas as frequências 5 Resposta Física Total u u npmatmulPhi uk Retorna ao espaço físico edifício real multiplicando as respostas modais pelas formas modais Motivo da Utilização dos Parâmetros Parâmetro Justificativa g 981 gravidade usada para calcular a força dinâmica zt 001 amortecimento modal afeta diretamente o AD Frequências 05 e 30 Hz usadas para gerar a força dinâmica aplicada Phi wk MG herdadas da Questão 1 representam modos frequências e massas Análise Detalhada dos Resultados Resultado pelo método da amplificação dinâmica Máximo deslocamento no pavimento superior 00398m Resultado pela simulação numérica com Fourier mais preciso Máximo deslocamento no pavimento superior 00388m Análise A diferença entre os dois métodos 00398m vs 00388m é pequena Isso se explica porque a primeira abordagem assume que os dois modos de vibração atingem seus picos em fase o que nem sempre ocorre na realidade A simulação por Fourier integra as equações no tempo respeitando a real contribuição modal em cada instante por isso é mais precisa Interpretação física O deslocamento máximo acontece no pavimento superior que sofre mais com as vibrações Os dois modos contribuem simultaneamente com diferentes intensidades Pequeno amortecimento zt 001 ainda permite uma resposta significativa Visualização no código A figura gerada por uplottime mostra como o deslocamento no topo do prédio varia ao longo do tempo resultando de uma combinação das duas excitações senoidais Claro aqui está a Questão 3 sem o uso de LaTeX mantendo a estrutura organizada Questão 3 Frequência Natural de uma Viga com Condições de Contorno Mistas Interpretação Detalhada do Exercício A questão trata da determinação da frequência natural de uma viga utilizando 1 A solução exata por meio das condições de contorno aplicadas à solução geral da equação da viga de EulerBernoulli 2 Um cálculo aproximado usando o quociente de Rayleigh O enunciado aponta que a viga tem Extremidade esquerda engastada condições φ0 0 φ0 0 Extremidade direita simetria ou seja uma situação que equivale a um nó de viga biapoiada duplicada Isso implica φL 0 φL 0 Fórmulas Utilizadas e Justificativas 1 Solução Geral da Equação da Viga A forma geral para o modo de vibração de uma viga é φx C1 cospx C2 coshpx C3 sinpx C4 sinhpx p é o parâmetro de frequência relacionado à frequência natural ω por p4 μ ω2 EI Esta forma é obtida resolvendo a equação diferencial da viga EI φ4x μ φx 2 Aplicação das Condições de Contorno São aplicadas as 4 condições φ0 0 elimina C1 e C2 φ0 0 também elimina C3 e C4 φL 0 e φL 0 aplicadas na forma reduzida Isso gera um sistema 2x2 em C3 e C4 Para que a solução não seja trivial 0 o determinante da matriz de coeficientes deve ser zero É isso que define o valor de p 3 Equação Característica A equação matricial é A nparray cospL coshpL cospL coshpL cospL coshpL cospL coshpL A condição detA 0 é resolvida numericamente usando from scipyoptimize import fsolve p fsolvechareq 10 Motivo da Utilização dos Parâmetros Parâmetro Justificativa φx função geral Representa a forma modal de uma viga com flexão p parâmetro de frequência Relaciona a frequência ω à geometria e rigidez da viga EI Módulo de rigidez à flexão da viga μ Massa por unidade de comprimento Análise Detalhada dos Resultados O código retorna Cantilever beam frequency parameter is 1570796 Esse valor é aproximadamente π2 que é o valor teórico do primeiro modo de uma viga biapoiada de comprimento 2L Interpretação Física A condição de simetria à direita faz com que o problema se comporte como se fosse metade de uma viga biapoiada Portanto a frequência fundamental será equivalente à de uma viga com vão 2L mas com simetria de movimento Cálculo Aproximado com Rayleigh Uma função de forma aproximada foi proposta φx 2Lx x² L² Essa função Tem derivada nula em x L condição de simetria Não respeita perfeitamente o momento nulo no engaste mas é usável em Rayleigh Energia Cinética T 12 ₀ˡ μ φx² dx μ L 415 Energia Potencial V 12 EI ₀ˡ φx² dx 2EI L³ Frequência aproximada Rayleigh ω₁² V T ω₁ 2EI 15 4 μ L⁴ Resultado numérico ω₁ aproximado 33112 rads Esse valor é 54 maior que o exato porque o método de Rayleigh tende a superestimar Questão 4 Temos Uma viga engastada em uma extremidade e livre na outra viga em balanço Comprimento da viga L 6 m Massa da viga distribuída uniformemente μ 200 kgm Rigidez à flexão da viga EI 3610⁶ Nm² Massa de uma pessoa que cai na extremidade da viga ponto B m 80 kg A queda é considerada perfeitamente inelástica a massa gruda na viga após o choque A forma modal tem valor unitário na extremidade livre normalização O amortecimento é desprezado Objetivo Determinar o deslocamento máximo da extremidade da viga ponto B assumindo apenas o primeiro modo de vibração Estratégia de Resolução Aplicar conservação de energia para determinar a velocidade imediatamente após o choque energia potencial convertida em cinética Calcular a nova frequência natural do sistema com a massa da pessoa acoplada Calcular o deslocamento estático na extremidade devido ao peso da pessoa Determinar a resposta dinâmica máxima aproveitando o fator de amplificação dinâmico para impacto inelástico Somar as contribuições para obter o deslocamento máximo Cálculos Detalhados 1 Conservação de Energia Determinar velocidade após impacto Energia potencial gravitacional da pessoa E mgh A altura h é de onde a pessoa cai e nesse caso não é fornecida explicitamente mas foi dado que a energia inicial é E 7848 J Essa energia é convertida em energia cinética total do sistema logo após o impacto viga pessoa T 12 ₀ᴸ μφ²x dx v₀² 12 m φ²L v₀² Como φL 1 forma modal normalizada T 12 360 v₀² resultado da integral massa concentrada Isolando v₀ E T 7848 12 360 v₀² v₀ 2 7848 360 148 ms 2 Recalcular a frequência natural A energia cinética de referência com a massa acoplada Tref 12 ₀ᴸ μφ²x dx 12 m φ²L 12 720 Energia potencial elástica V continua a mesma não depende da massa V 12 2EI L³ A frequência natural é dada por ωn 2V Tref Substituindo ωn 2 3610⁶ 6³ 720 2 3610⁶ 720 216 3042 rads Antes da massa da pessoa a frequência seria ω₁ 3227 rads Ou seja houve uma redução na frequência natural pela adição da massa 3 Cálculo do deslocamento estático devido à força da pessoa A massa modal é M 720 kg A rigidez modal K M ωn² 720 3042² 665204 Nm Resposta estática da extremidade uBest F K mg K 80 981 665204 000118 m 118 mm 4 Resposta dinâmica máxima impacto Como o impacto é impulsivo e inelástico a resposta total é uBmax v₀ ωn 2 uBest Usamos o fator de amplificação 2 devido à carga impulsiva com deslocamento final constante ver teoria de vibrações forçadas Substituindo uBmax 148 3042 2 000118 00487 000236 0051 m 51 cm Análise dos Resultados O deslocamento máximo ocorre imediatamente após o impacto pois o sistema oscila em torno do novo equilíbrio A presença da massa na extremidade reduz a frequência natural o que aumenta o tempo de oscilação A aproximação modal considerar só o primeiro modo é válida pois o impacto ocorre onde esse modo tem maior participação extremidade livre A escolha da normalização unitária da forma modal simplifica a análise pois o deslocamento modal e físico coincidem na extremidade