Vibrações

1 Um sistema massamola sujeito amortecido é submetido a uma força harmônica de amplitude igual a 120 N e frequencia de 257Hz O sistema oscila com uma amplitude de 70mm Determine o coeficiente de atrito ζ se a massa do sistema for igua a 2kg e a constante elástica for 2100 Nm 2 Uma máquna de 380kg esta montada sobre molas com amortecimento despresível Observa se que a deflexão estática resultante é de 45 mm Se a máquina estiver sob um desbanciamento rotativo de 015kgm determine a A amplitude da vibração a 183259rad s b A força transmitida ao solo a essa velocidade 3 A figura abaixo mostra um sistema massamolaamortecedor x e y são respectivamente os deslocamentos da massa e do ponto Q a Calcule a equação do movimento da massa b Determine o deslocamento em regime permanente da massa c Determine a força transmitida ao ponto P quando a extremidade Q estiver submetida a um deslocamento dado por yt Ycosωt 4 Um sistema massamola com k3000 N m e massa de 8 kg está sujeito a uma força cossenoidal harmonica de amplitude igual a 400 m e frequencia angular de 30rad s Determine a resposta total do sistema quando as condições de contorno forem x01m e x02ms Disciplina Vibrações Lista 02 Entrega Nome Viga em balanço P a x y yx Px²6EI 3a x 0 x a Pa²6EI 3x a a x l Viga simplesmente apoiada com extremidade em balanço P a b c x y yx Mesmo caso que o da viga simplesmente apoiada para 0 x a e a x l Pa6EII l² a²r l l x l c Viga simplesmente apoiada P a b x y yx Pbx6EII l² x² b² 0 x a Pal x6EII 2lx x² a² a x l Viga simplesmente apoiada com carga em balanço l a P x y yx Pax6EII x² l² 0 x l Px l6EII a3x l x l² l x l a Viga fixafixa P a b x y yx Pb²x²6EII³ 3al x3a b 0 x a Pa²l x²6EII³ 3bl l x3b a a x l Viga fixafixa com deslocamento da extremidade x P EI y yx P12EI 3lx² 2x³ 1 F 120 N f 257 Hz w 2 πf 16148 rads X 70 mm 007 m m 2 Kg K 2100 Nm Da definição de frequência natural para um sistema de 1 GDL wm Km 21002 32404 rads Logo a razão de frequências será dada por r wwm 1614832404 r 0498 E a deflexão estática é dada por δst Fk 1202100 00571 m Para um sistema amortecido de 1 GDL sujeito à uma força harmônica a resposta em regime permanente é dada por X δst 1 r²² 2 ξ r²12 1 r²² 2 ξ r² δstX² 2 ξ r² δstX² 1 r²² ξ δstX² 1 r²²12 2r 00571007² 1 0498²²12 20498 ξ 03145 sistema subamortecido ξ 0 amortecimento desprezível δst 0045 m m 380 kg me 015 Kgm a w 183259 rads A equação de movimento para uma máquina de 1 GDL sujeito ao desbalanceamento rotativo é de Mẍ cẋ Kx me w2 coswt F Tal que a amplitude da força gerada pelo desbalanceamento é dada por F me w2 Da definição da deflexão estática δst FK K Fδst me w2 δst 0151832592 0045 K 11195 KNm Assim wm sqrtKm sqrt11195x103 380 17164 rads Da definição a razão de frequência será dada por r wwm 183259 17164 r 10677 Para um sistema subamortecido de 1 GDL sujeito a uma força harmônica de desbalanceamento rotativo a resposta em regime permanente é dada por X meM r2 1r22 2ξr212 015380106772 1106772212 Assim X 398 x 104 m ou 0398 mm b A força transmitida é dada por FT me w2 11r2205 em termos de magnitude considerando ξ0 FT 015183259211106772205 FT 4458 N F me w2 12 ξ r2 1r22 2 ξ r2 12 me w2 11r2212 3 Em termos de forças o DCL de m será de Pelo somatório de forças em x temse ΣFx mẍ c2ẋ k2 x C1 ẏ ẋ mẍ mẍ c2ẋ C1 ẋ k2 x C1 ẏ mẍ C1 c2ẋ k2 x C1 ẏ Lq equação do movimento b O deslocamento do ponto Q é harmônico tal que ẏt w Y senwt Substituindo ẏ na eq do movimento mẍ C1 c2ẋ k2 x c1 w Y senwt Ceq keq Para um sistema de 1 Gdl sujeito a uma excitação harmônica na base a resposta em regime permanente é dada por X Y k2 c w212 k m w22 ceq w212 No qual k é a constante de rigidez entre a massa e a excitação harmônica e c é a constante de amortecimento entre a massa e a excitação harmônica Nesse caso K0 C C1 Ceq C1 c2 Keq K2 Logo X Y gw k2 m w22 C1 c2 w212 c A força transmitida a ponto P é dada pela soma das forças de amortecimento devido a C2 e pela força devido a rigidez K2 Logo F C2 ẍ K2 x Lembrando que xt X sen wt ϕ ẋt ωX coswt ϕ Tal que F c₂ωX coswt ϕ k₂X senwt ϕ Sendo X Yc₁ω k₂ mω²² c₁ c₂ ω²12 Substituindo X na eq da força transmitida podemos afirmar que F FT senwt α No qual FT c₁c₂ω²XY² c₁k₂ωXY²12 XY c₁c₂ω²² c₁k₂ω²12 α tg¹c₁c₂ω² c₁k₂ω tg¹ c₂ω k₂ 4 k 3000 Nm m 8 kg F 400 N ω 30 rads x₀ 1 m ẋ₀ 2 ms ωn km 30008 19365 rads Assim a razão de frequências será dada por r ω ωn 30 19365 1549 Como nada foi mencionado a respeito do amortecimento será considerado que ξ 0 A resposta de um sistema sujeito a uma força harmônica é dada pela soma da solução homogênea e particular tal que xt X₀ eξωnt cosωdt ϕ₀ X coswt ϕ homogenea particular No qual ωd ωn 1 ξ² ωn uma vez que ξ 0 Lembrando que X δst 1 r²² 2ξr² Fk 1 r²² 4003000 1 1549²² X 00952 m ϕ tg¹2ξr 1 r² tg¹0 1 1549² 180 ou π Aplicando as condições iniciais temse que x₀ X₀ cos ϕ₀ X cos ϕ 1 ẋ₀ ξωm X₀ cos ϕ₀ ωd ωm ξ0 X₀ sen ϕ₀ ωX cos ϕ 2 De 1 1 X₀ cos ϕ₀ 00952 cos180 X₀ cos ϕ₀ 10952 3 De 2 2 19365 X₀ sen ϕ₀ X₀ sen ϕ₀ 010328 4 Dividindo 4 por 3 tg ϕ₀ 010328 10952 ϕ₀ 0094 rad ou 54 De 3 X₀ cos0094 10952 X₀ 11 m Logo a resposta geral será dada por xt 11 cos ωnt 0094 00952 coswt π resposta