Exercícios Resolvidos Coordenadas Cartesianas Cilíndricas e Esféricas- Volume e Inércia

1 Converta de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas 1 3 7 2 Converta de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas 2 π4 π3 3 Coordenadas esféricas Determine o volume obtido da esfera ρ β quando a seccionamos pelo cone Ø α Veja a figura abaixo 4 Coordenadas cilíndricas Determine o volume delimitado na parte inferior pelo paraboloide z x² y² e na parte superior pelo plano z 2y 5 Coordenadas cilíndricas Um sólido é limitado na parte inferior pelo plano xy na parte superior pela esfera x² y² z² 4a² e nos lados pelo cilindro r 2acosθ Determine seu momento de inércia Iz 6 Encontre a coordenada z do centro de massa do primeiro octante w da esfera unitária supondo uma densidade de massa δx y z y e massa total MT π16 Obs Considere a integral em coordenadas cartesianas 0¹01x²01x²y² zδx y z dzdydx 7 Encontre a massa de uma esfera de raio 2 centrada na origem com densidade de massa y² 1 Sabemos que r² x² y² r 1 3 2 Assim disso tanθ yx θ tan¹ 3 θ π3 z 7 Logo em coordenadas cilíndricas Temos 2 π3 7 x rcosθ y rsenθ z z 2 Como temos r Ø θ 2 π4 π3 Logo x 2sen π4 cos π3 12 x r sen Ø cos θ y r sen Ø sen θ z r cos Ø y 2sen π4 sen π3 32 z 2cos π4 2 Logo em coordenadas cartesianas temos 12 32 2 3 Nesse caso usamos coordenadas esféricas Vi 0²π 0α 0β ρ² senØ dρ dØ dθ é o volume acima da esfera e abaixo do cone Vi 2 π β³ 1 cos α3 O volume restante da esfera é Vl 02π απ2 dB ρ2 sen ϕ dρ dϕ dθ Vl 2π B3 cos α 3 4 Em coordenadas cilíndricas temos z r2 2 r seno r 2 seno Logo 0 θ π pois y é sempre positivo 0 r 2 seno r2 z 2 r seno Então o volume é V 0π 02 seno r22 r seno r dz dr dθ V 0π 02 seno 2 r2 seno r3 dr dθ V 0π 23 r3 seno r4 4 02 seno dθ V 0π 16 seno4 θ 3 4 seno4 θ dθ V 43 0π seno4 θ dθ π 2 5 O momento de inércia é Iz r2 dm onde dm ρ dV Vamos assumir que o sólido tenha distribuição uniforme de massa então Iz ρ r2 dV Mas pela equação da esfera 0 z 4 a2 r2 Além disso r 2 a seno e o cilindro x2 y 12 a2 de modo que 0 θ π 0 r 2 a seno Logo Iz ρ 0π 02 a seno 04 a2 r2 r3 dz dr dθ Iz ρ 0π 02 a seno r 4 a2 r22 dr dθ I3 ρ 0π 115 4a2 y232 8a2 3y22 dθ Para simplifcar os cálculos parei a 1 Logo I3 ρ 0π 3215 64 4 sin2θ32 3sin2θ 8 dθ I3 1748 ρ onde resolvemos a integral numericamente com um integrador Temos Zcm 1M z dm onde dm δxyz dx dy dz Logo Zcm 16π 01 01x2 01x2y2 z yz dz dy dx Logo Zcm 16π 01 01x2 y 1x2y22 dy dx Zcm 8π 01 1x22 x21x22 1x234 dx Zcm 8π 01 12 x22 x42 14 x22 x44 dx Zcm 8π 01 14 x26 x44 dx Zcm 8π 14 16 120 1615π A massa total é M dm ρ dV mas ρ 2 e em coordenadas esféricas dV r2 sinφ dr dφ dθ Logo M 02π 0π 02 ρ r2 sinφ dr dφ dθ mas ρ 2 sin2φ sin2θ logo M 02π 0π 02 r4 sin3φ sin2θ dr dφ dθ M 02π 0π 02π r4 sin3φ sin2θ dr dφ dθ M 02π 0π 325 sin3φ sin2θ dr dφ dθ M 12815 ₀²π sin²θ dθ 128π15