Questões de Espaços de Hilbert

Travail en Autonomie Espaces de Hilbert Séries de Fourier Exercice 42 On peut prouver que les polynômes Ln définis pour n N par Lnx 1n ex dⁿdxⁿ xⁿ eˣ sont au signe près les polynômes de Laguerre 1 Calculer L₀ L₁ L₂ et L₃ 2 Déterminer la valeur de m minabcℝ³ ₀ x³ ax² bx c² eˣ dx Exercice 43 Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f périodique de période 1 telle que fx x if 0 x 12 x 1 if 12 x 1 En déduire que la somme de la série n1 1n² π²6 Exercice 44 On considère la fonction f ℝ ℝ périodique de période 1 définie par fx 1 if 0 x 12 0 if 12 x 1 1 Calculer ses coefficients de Fourier complexes cₙf ₀¹ fx e2iπnx dx 2 En déduire la somme de la série k ℕ 12k1² 11² 13² π²8 Exercice 45 Pour tout n ℤ calculer les coefficients de Fourier cₙf ₀¹ fx e2iπnx dx de la fonction f périodique de période 1 telle que fx x if 0 x 12 1 x if 12 x 1 2 Montrer que p0 12p1⁴ π⁴96 Exercicio 42 A definição dada Lnx 1n eˣ dⁿdxⁿ xⁿ eˣ é a fórmula de Rodrigues para os polinômios de Laguerre Ela diz que para cada n N tornase a função xⁿ eˣ derivase n vezes e ao final compensase o fator exponencial multiplicando por eˣ e normalizando por n O peso eˣ vem da teoria de ortogonalidade em 0 com peso wx eˣ A seguir calculamse L₀ L₁ L₂ L₃ explicitamente aplicando essa definição e usando apenas as regras usuais de derivação regra do produto e da cadeia Mantêmse formas exatas em frações Item 1 Cálculo de L₀ L₁ L₂ L₃ Como x⁰ eˣ eˣ L₀x 10 eˣ d⁰dx⁰ eˣ eˣ eˣ 1 Para n 1 começase de x eˣ Pela regra do produto ddx x eˣ 1 eˣ x ddx eˣ eˣ x eˣ 1 x eˣ Logo L₁x 11 eˣ ddx x eˣ eˣ 1 x eˣ 1 x Para n 2 partese de x² eˣ Primeiro derivada ddx x² eˣ 2x eˣ x² ddx eˣ 2x eˣ x² eˣ 2x x² eˣ Segunda derivada novamente por produto ddx 2x x² eˣ 2 2x eˣ 2x x² ddx eˣ 2 2x eˣ 2x x² eˣ Agrupando termos d²dx² x² eˣ x² 4x 2 eˣ Portanto L2x 12 ex d2dx2 x2 ex 12 ex x2 4x 2 ex x22 2x 1 Para n 3 começase de x3 ex Primeira derivada ddx x3 ex 3x2 ex x3 2 ex 3x2 x3 ex Segunda derivada ddx 3x2 x3 ex 6x 3x2 ex 3x2 x3 ex x3 6x2 6x ex Terceira derivada ddx x3 6x2 6x ex 3x2 12x 6 ex x3 6x2 6x ex Reagrupando d3dx3 x3 ex x3 9x2 18x 6 ex Assim L3x 13 ex d3dx3 x3 ex 16 ex x3 9x2 18x 6 ex x36 32 x2 3x 1 Resumindo na convenção do enunciado L0 x 1 L1 x 1x L2x x22 2x 1 L3x x36 32 x2 3x 1 Observação teórica Esses polinômios satisfazem a ortogonalidade 0 Lm x Ln x ex dx 0 para m n o que explica a presença do fator ex na fórmula de Rodrigues e sua importância em problemas definidos em 0 com esse peso Item 2 O problema pede m minabcR3 0 x3 a x2 b x c2 ex dx A ideia teórica é interpretar a integral como o quadrado da norma induzida pelo produto interno em L2 0ex dx f g 0 fx gx ex dx f2 f f O conjunto dos polinômios de grau 2 é um subespaço e o termo entre parênteses é x3 qx onde qx a x2 b x c está nesse subespaço O mínimo é obtido quando q é a projeção ortogonal de x3 sobre esse subespaço o valor mínimo é o quadrado da norma do resíduo ortogonal Os polinômios de Laguerre Ln definidos por Rodrigues Ln x 1n ex dndxn xn ex formam uma base ortogonal para esse espaço ponderado e com esta normalização valem 0 Ln x Lm x ex dx δmn Logo L0 L1 L2 será o subespaço dos polinômios de grau 2 e L0 L1 L2 L3 é uma base ortonormal para os polinômios até grau 3 Escrevese x3 nessa base Como L0 1 L1 1x L2 x22 2x 1 e L3 x36 32 x2 3x 1 os coeficientes obtêmse por produtos internos ck x3 Lk 0 x3 Lk x ex dx Usase a identidade de gama 0 xn ex dx n para calcular esses integrais após expandir os produtos x3 Lk x Seguem os valores explicitando as combinações que aparecem nos integrais c0 0 x3 ex dx 3 6 c1 0 x3 1x ex dx 3 0 x4 ex dx 6 4 18 c2 0 x3 x22 2x 1 ex dx 12 5 2 4 3 1202 48 6 18 c3 0 x3 x36 32 x2 3x 1 ex dx 16 6 32 5 3 4 3 120 180 72 6 6 Portanto x3 c0 L0 c1 L1 c2 L2 c3 L3 6 L0 18 L1 18 L2 6 L3 A projeção ortogonal de x3 no subespaço dos polinômios de grau 2 é 6 L0 18 L1 18 L2 e o resíduo ortogonal é c3 L3 6 L3 Como L32 1 pela ortonormalidade m min x3 q2 c3 L32 c32 L32 62 1 36 Observação Se alguém quiser identificar o polinômio que realiza o mínimo não é pedido mas ajuda a visualizar basta somar os termos até L2 6 L0 18 L1 18 L2 9 x2 18 x 6 de modo que o resíduo é x3 9 x2 18 x 6 6 L3 coerente com o cálculo acima Exercício 43 Considere f 1periódica definida em um período por f x x 0 x 12 x 1 12 x 1 Para séries de Fourier em período 1 usase a base ortogonal A forma geral é fx a02 Σn1 an cos nπxl bn sin nπxl onde os coeficientes de Fourier são dados por an 1l ll fx cos nπxl dx bn 1l ll fx sin nπxl dx e a0 1l ll fx dx Essas fórmulas vêm do fato de que o conjunto 1 cos nπp L sin nπp L n1 forma uma base ortogonal no espaço L2LL Assim o produto interno considerado é fξ 1 L from L to L fxξx dx de modo que cada coeficiente é a projeção de f sobre os vetores base cos e sin No exercício em questão o período é 1 Portanto L 12 Substituindo L 12 nas fórmulas acima temos nπpL nπp12 2nπp e a normalização 1L 2 transforma as fórmulas gerais em a0 2 from 0 to 1 fx dx an 2 from 0 to 1 fx cos2 n π p dx bn 2 from 0 to 1 fx sin2 n π p dx Cálculo de a0 com as integrais escritas e avaliadas a0 2 from 0 to 12 p dp from 12 to 1 p1 dp 2 p2 2012 p12 2121 2 122 2 0 02 2 122 2 218 18 0 Cálculo de an com todas as integrais abertas Dividese o integral no período an 2 from 0 to 12 p cos2 n π p dp from 12 to 1 p1 cos2 n π p dp Para I1 from 0 to 12 p cos2 n π p dp usase integração por partes com u p e dv cos2 n π p dp Então du dp e v sin2 n π p 2 n π I1 p sin2 n π p 2 n π012 from 0 to 12 sin2 n π p 2 n π dp 12 sinπ n 2 n π 0 1 2 n π cos2 n π p 2 n π012 sinπ n 4 n π 1 4 π2 n2 cos0 cosπ n sinπ n 4 n π 1 4 π2 n2 1 cosπ n Como sinπ n 0 e cosπ n 1n obtémse I1 1 4 π2 n2 1 1n Para I2 from 12 to 1 p1 cos2 n π p dp novamente por partes com u p 1 e dv cos2 n π p dp du dp v sin2 n π p 2 n π I2 p1 sin2 n π p 2 n π121 from 12 to 1 sin2 n π p 2 n π dp 0 sin2 n π 2 n π 12 sinπ n 2 n π 1 2 n π cos2 n π p 2 n π121 sinπ n 4 n π 1 4 π2 n2 cosπ n cos2 n π sinπ n 4 n π 1 4 π2 n2 1n 1 Usando sinπ n 0 e cos2 n π 1 fica I2 1 4 π2 n2 1n 1 Logo an 2 I1 I2 2 1 4 π2 n2 1 1n 1n 1 0 n 1 Cálculo de bn com as integrais detalhadas Escrevese bn 2 from 0 to 12 p sin2 n π p dp from 12 to 1 p1 sin2 n π p dp Para J1 from 0 to 12 p sin2 n π p dp por partes com u p e dv sin2 n π p dp du dp v cos2 n π p 2 n π J1 p cos2 n π p 2 n π012 from 0 to 12 cos2 n π p 2 n π dp 12 cosπ n 2 n π 0 1 2 n π sin2 n π p 2 n π012 cosπ n 4 n π 1 4 π2 n2 sinπ n 0 Como sinπ n 0 e cosπ n 1n J1 1n 4 n π Para J2 from 12 to 1 p1 sin2 n π p dp por partes com u p 1 e dv sin2 n π p dp du dp v cos2 n π p 2 n π J2 p1 cos2 n π p 2 n π121 from 12 to 1 cos2 n π p 2 n π dp 0 cos2 n π 2 n π 12 cosπ n 2 n π 1 2 n π sin2 n π p 2 n π121 cosπ n 4 n π 1 4 π2 n2 sin2 n π sinπ n Como sin2 n π sinπ n 0 fica J2 cosπ n 4 n π 1n 4 n π Portanto bn 2J1 J2 2 1n 4 n π 1n 4 n π 1n1 π n n 1 Série de Fourier final com todos os coeficientes exibidos a0 0 an 0 n 1 bn 1n1 π n n 1 Logo fx from n1 to 1n1 π n sin2 n π p Aplicação de Parseval com os integrais abertos O teorema de Parseval para esta normalização fornece 01 fx2 dx a024 12 Σn1 an2 bn2 Como a0 0 e an 0 01 fx2 dx 12 Σn1 bn2 12 Σn1 1π2 n2 O caso esquerdo calculase diretamente abrindo as integrais 01 fx2 dx 012 x2 dx 121 x 12 dx x33012 x 133121 1233 0 03 1233 124 124 112 Igualando os dois valores 112 12 1π2 Σn1 1n2 Σn1 1n2 π26 Exercício 44 Item 1 Considere a versão complexa da série de Fourier no período 1 A base ortogonal é e2πinxnZ em L²01 com produto interno fg 01 fxgx dx Os coeficientes complexos são cnf 01 fx e2πinx dx n Z A função do enunciado em um período é fx 1 0 x 12 0 12 x 1 e é 1periódica Cálculo de c0 Usase a definição com n 0 c0 01 fx dx 012 1 dx 121 0 dx x012 0 12 Cálculo de cn para n 0 Como fx 1 em 0 12 e fx 0 em 12 1 cn 01 fxe2πinx dx 012 e2πinx dx 121 0e2πinx dx 012 e2πinx dx Integrase exponencial complexa usando a primitiva e2πinx dx e2πinx2πin para n 0 Avaliando nos limites cn e2πinx2πin012 e2πin12 e02πin eπin 12πin 1 eπin2πin Usase eπin cosπn i sinπn 1n porque sinπn 0 para n Z Assim cn 1 1n2πin n 0 Conclusão explícita por paridade de n cn 0 n 2Z 0 n par 1πin iπn n ímpar c0 12 Como f é real verificase ainda cn conjcn de fato os coeficientes não puramente imaginários para n ímpar e nulos para n par Item 2 A partir dos coeficientes complexos do item 1 usase Parseval na forma complexa para período 1 Se fx ΣnZ cn e2πinx com cn 01 fxe2πinx dx então 01 fx2 dx ΣnZ cn2 No nosso caso fx 1 em 0 12 e fx 0 em 12 1 Logo f2 f e 01 fx2 dx 012 1 dx 121 0 dx x012 12 Do item 1 já se tem c0 12 cn 1 1n2πin n 0 Portanto cn 0 n par 1πin n ímpar cn2 0 n par 1π2 n2 n ímpar Aplicando Parseval termo a termo ΣnZ cn2 c02 Σn ímpar 1π2 n2 14 Σk0 1π2 2k12 1π2 2k12 Como n2 n2 os pares n 2k 1 dão o mesmo valor então ΣnZ cn2 14 2π2 Σk0 12k 12 Igualando com o caso esquerdo de Parseval já calculado 12 14 2π2 Σk0 12k 12 14 2π2 Σk0 12k 12 Multiplicando por π22 Σk0 12k 12 π28 Exercício 45 Considere a forma complexa da série de Fourier no período 1 Para n Z cnf 01 fx e2πinx dx No enunciado fx x 0 x 12 1 x 12 x 1 e é 1periódica Abrese a integral no período cn 012 x e2πi n x dx 121 1x e2πi n x dx Caso n0 Pela definição c0 01 fx dx 012 x dx 121 1x dx x22012 1x22121 18 18 14 Caso n 0 Seja a 2πi n Usemse primitivas padrão x ea x dx ea x a x 1 a² ea x dx ea x a Para o primeiro integral I1 012 x ea x dx ea x a x 1 a²012 ea2 a2 1 e0 1 a² ea2 a2 1 1 a² Para o segundo integral escrevese 1x ea x ea x x ea x I2 121 1x ea x dx ea x a121 ea x a x 1 a²121 ea ea2a ea a 1 ea2 a2 1a² Somando I1 I2 e usando ea e2πi n 1 ea2 eπi n 1n obtêmse cn I1 I2 1n a2 1 1 a² 1 1n a 1a 1n a2 1a² 1n 1 a² 1n 1 2πi n² 1n 1 4π² n² 1 1n 1 2π² n² Como consequência imediata cn 0 n par 1π² n² n ímpar c0 14 Esses coeficientes satisfazem cn cn a função é real e mostram que apenas as frequências ímpares aparecem o que condiz com a simetria em torno de x 12 do sinal triangular dado Item 2 Do item 1 os coeficientes complexos são c0 14 cn 0 n par 1π² n² n ímpar n Z Pela forma complexa do teorema de Parseval para período 1 01 fx² dx nZ cn² O caso esquerdo calculase abrindo as integrais nos dois subintervalos 01 fx² dx 012 x² dx 121 1x² dx x³3012 1x33121 124 124 112 No caso direito c0² 14² 116 cn² 0 n par 1π⁴ n⁴ n ímpar Usando a simetria n n nZ cn² 116 2 p0 1π⁴ 2 p 14 Igualando os dois lados de Parseval 112 116 2π⁴ p0 12 p 14 148 2π⁴ p0 12 p 14 Multiplicando por π⁴ 2 p0 12 p 14 π⁴ 96