Resolução Lista 5 Exercícios Cálculo Vetorial Integrais de Linha e Teorema de Green

RESOLUÇÃO LISTA 5 1 C xy dx x²y³ dy C 00 40 e 12 a C C1 C2 C3 Ao longo de C1 y0 dy0 C1 xy dx x²y³ dy 0⁴ 0 dx 0 Ao longo de C2 xcte4 mas y varia dx0 C2 xy dx x² y³ dy 0² 4 y³ dy 4 0² y³ dy 4 y⁴4 0² 16 16¹⁴ Ao longo de C3 nada é constante parametrize a reta r 𝐎𝐁 𝐎 𝐀 00 42 4 2 x x₁ ab y y₁ bt x 1 t y 2 2t 0 t 1 sendo dx 1 dt dy 2 dt então substituindo na integral C3 xy dx x² y³ dy 0¹ 1 t 2 2t 1 t dt 1 t⁴ 2 2t³ 2 dt 0¹ 1t22t dt 1t⁴ 22t³ dt uma é o dobro da outra peso em evidência e faço substituição simples 0¹ u1u⁴ 2 u³ du ψ3 b Pelo teorema de Green Mxy xy Nxy x² y³ Mxyy x Nxyx 2x y³ Para encontrar os limites de C3 tiro da forma paramétrica e volto para forma cartesiona x 1 t t 1 x y 2 2t Lq y 2 21 x y 2x então pelo teorema de Green 0¹ 0ʸ 2x y³ x dy dx 0¹ 0ʸ 2x y³ x y 2x 0 0¹ x x⁴ x x dx y 0 0¹ x x⁴ x x dx 0¹ 8x⁵ x³ dx 8x⁶6 2x⁴4 0¹ 43 13 33 1 a C1 xy dx x³ dy C 00 20 23 e 03 C C1 C2 C3 C4 Para C1 y 0 dy 0 C1 xy dx x³ dy 0² x 0 dx 0 0 Para C2 x cte 2 y varia dx 0 C2 xy dx x³ dy 0³ 2³ dy 8 y ³₀ 24 Para C3 ycte ³x varia dy0 ou ₀² y9dx C3 xydx x³ dy ₀² x9dx 0 ₂³ 9x dx 18 Para C4 xcte0 y varia dx 0 C4 xy dx x³ dy ₀³ 0 0 0 Logo C 0 18 0 C 18 b C xy dx x³ dy Nxy 3x² Mxy 2xy x y ₀³ ₀⁴ 3x² 2xy dy dx ₀³ 3x² xxy²y y3 dy ₀³ 9x² 9x² dx x³3 9x²2⁰ ₀ 0 3x³ 9x² 0 0 8 3 9 2 18 6 3 y 9 x² Fxy x x³ 3xy² x 20 00 20 2M 0 N1 3x² 3y² y x Em coordenadas polares 0 r 2 0 θ π W ₀π ₀² 3r² cos² θ 3r² sen² θ r dr dθ 3 ₀π ₀² r³ cos² θ sen² θ r dr dθ 3 ₀π ₀² r³ dr dθ 3 ₀π r⁴4 ₀² dθ 3 ₀π 164 dθ 12 ₀π dθ W 12π 1 Fxyz x² y z i x y² z j x y z² k a Rotacional rot F x F i j k x y z x² y z x y² z x y z² x y² y² x i y z² x z² j y x² x y² k rot F x y² y² i yx² z² j zy² x² k b Divergente div F F x x² y z y x y² z z x y z² 2x y z 2x y z 2x y z div F 6x y z 5 Fxyz x2 y3 z î senx y z ĵ x y z k ŝ S é parte do cone y2 x2 z2 que está entre os planos y0 e y3 orientado na direção do eixo y Para calcular a integral S rot Fds podemos utilizar o Teorema de Stokes Temos y2 x2 z2 e como y3 podemos substituir na equação do cone o que nos leva a x2 z2 9 que é uma equação de circunferência a qual podemos parametrizar Parametrização da circunferência y x x 3sen t y 3 z 3cost 0 t 2π Eq vetorial rt 3sen t î 3 ĵ 3cost k Frt 7i89 sen t2 e0st î sen s sen t eost ĵ 0t sent cost k Frtrt 218 t sent e0st 81 sen t cost Utilizando o teorema de stokes temos S rot FdS C Frh 02π Frtrt dt 02π 218 fsen t2 e0st 81 sen t cost dt 02π 218 t senot 2 81 sent eost dt 218t 1 t sen t 81 sen 3 ₀³ π φ t 8 3 0 ² π 0 ² 3 6 Considerando que esfera S está centrada na origem sem raio a e H1 e H2 são suas hemisféricas de cima e de baixo respectivamente podemos então calcular S rot FdS para cada hemisférica Ou seja S rot FdS H1 rot FdS H2 rot FdS C1 F dtk C2 Fdtk mas C1 é a circunferência orientada no sentido antihorário C2 é a circunferência no sentido horário então C2 Fdtk C1 F dtk logo S rot FdS 0 c q d 7 Fxyz yz î xz ĵ xy k ŝ S é a parte da esfera x2 y2 z2 9 que está dentro do cilindro x2 y2 1 e acima do plano xy 1º Encontrar a curva C1 que é parte da esfera fica dentro do cilindro e acima do plano xy substituindo x2 y2 1 em x2 y2 z2 4 chego em z 3 como estamos acima do plano xy z 0 e z 3 logo nossas equações serão x2 y2 1 e z 3 2º Parametrizando a circunferência y1 cost y1 sent 0 t 2π 3º A equação vetorial da curva C pode ser escrita como rt côst î sent ĵ 3 k rt sent î cost ĵ 0 Frt 3 sent î 3 cost ĵ cost sent k 4º Utilizando o Teorema de Stokes S rot FdS C Fdkr ₀ 2π Frtrt dt ₀ 2π 3 eost sengt 3 sent eost dt 3 ₀ 2π 0 dt 0 8 Fxyz z î ĵ k ŝ sobre a esfera x2 y2 1 1º Calcular a divergência de F div F x z y y z x 1 2º Seja a esfera de raio 1 3º Teorema da divergência S F dS B div FdV B 1 dV VB 4πr3 3 π 3 Fxyz ex sin y î ex cos y ĵ yz2 k S é a sup da caixa limitada por x0 x1 y0 y1 z0 e z2 Teorema de Gauss ₛ FdS B div FdV div F xex sin y yex cos y z yz2 ex sin y ex cos y y 2z ex sin y ex cos y 2yz Substituindo no Teorema da Divergência ₛ FdSB div FdV ₀¹ ₀¹ ₀² 2yz dz dy dx 2 10 Fxyz x² y î xy ĵ z k B z 4 x² y² e plano xy div F x x² y y xy z z 2x y x 1 div F 3x 1 20 Para facilitar a integração utiliza coordenadas cilíndricas 0 θ 2π 0 r 2 0 z 4 r² 3x 1 3r cos θ 1 Substituindo no Teorema da Divergência temos B div F dV B 3x 1 dV ₀2π ₀² ₀4r² 3r cos θ 1 r dz dr dθ ₀2π ₀² r 3r cos θ 14 r² dr dθ ₀2π r 4 r²3r cos θ 1₀2 dθ 2π ₀² 4r r³ dθ 2π 2r² r⁴4₀² 2π 8 4 8π