Derivadas Multivariaveis

Universidade Federal de Mato Grosso Professor Gustavo Augusto Lista de Exercícios 4 Cálculo III 1 Calcule as derivadas parciais de f a fxy 1x2 y2 b fxy xx2 y2 c fxy arctanxy d fxy cos x sin y e fxy xy 3x2 y3 f fxy ex2 y g fxy sincoslnx2 y h fxy xy 2yx2 y2 i fxy sqrtx y sin x 2 Em um circuito elétrico a potência dissipada P em um resistor é dada por P V2R onde V é a tensão elétrica em volts e R é a resistência em ohms Calcule a taxa de variação instantânea de P em relação a V supondo que a resistência R permanece constante em 50 Omega 3 A tensão normal sigma em uma barra submetida a uma força axial é dada por sigma FA onde F é a força aplicada em newtons e A é a área da seção transversal da barra em metros quadrados Calcule a taxa de variação instantânea de sigma em relação à força F assumindo que a área da seção permanece constante e igual a 002 m2 4 Calcule a derivada direcional da função fxy x3 xy 2y2 no ponto 1 2 e na direção que vai deste ponto ao ponto 4 6 5 Determine fv com fxy x2 y2 e v dado por sqrt32 12 6 Mostre que as seguintes funções são diferenciáveis em seus respectivos domínios a fxyz ln1 x2 y2 z2 b fxy 4 sin2 x y cos2 x y 7 Calcule um valor aproximado para sqrt5022 11972 Universidade Federal de Mato Grosso Professor Gustavo Augusto 8 Calcule o polinômio de Taylor de primeira ordem para a fxy sin x cos y b fxy xy2 ex2 y2 9 Calcule a diferencial da função fxyz sin x cos y arcsin z 10 Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem do exercício 1 11 Sejam fxy x2 y2 e gt et et Calcule f o gtt 12 O raio de uma esfera diminui a uma taxa de 2 cmseg e o raio da base de um cone reto inscrito em dita esfera aumenta a uma taxa de 1 cmseg A que velocidade o volume do cone cresce quando o raio da esfera é 10 cm e o raio da base do cone é 6 cm 13 Calcule a f11 se fxy x2 y2 xy 4xy2 b f42 se fxy 1x2 y2 14 Um cultivo de bactérias foi infectada por um contaminante cuja concentração esta dada por fxy 2 4 sin2 x 3y 8xy a Se uma bactéria encontrase no ponto 0 2 qual é a direção e sentido de maior concentração do contaminante b Qual a taxa de concentração de contaminante nesta direção 15 Se Vxyz 1sqrtx2 y2 z2 representa o potencial elétrico num ponto xyz determine a direção em que se dá a menor taxa de variação de V em 2 2 1 16 Encontre os pontos extremos de f e os classifique ponto de máximo mínimo ou de sela a fxy x3 y3 9 x2 3 y2 15 x 9 y b fxy 12xy x2 y22x 2y com x 0 e y 0 c fxy x3 y3 3x 3y 4 d fxy x2 y2 4x 6y Lista de Exercıcios 4 Calculo III Questao 1 A Calcule as derivadas parciais de f fx y 1 x2 y2 fx y x2 y21 f xx y xx2 y21 1 x2 y22 xx2 y2 x2 y22 2x 2x x2 y22 f y x y yx2 y21 1 x2 y22 yx2 y2 x2 y22 2y 2y x2 y22 fxx y 2x x2 y22 fyx y 2y x2 y22 B Calcule as derivadas parciais de f fx y x x2 y2 fx y xx2 y21 f xx y x2 y2 1 x 2x x2 y22 x2 y2 2x2 x2 y22 y2 x2 x2 y22 f y x y 0 x2 y2 x 2y x2 y22 2xy x2 y22 fxx y y2 x2 x2 y22 fyx y 2xy x2 y22 1 C Calcule as derivadas parciais de f fxy arctanxy fxy arctanxy fx xy 11 xy2 x xy 11 x2 y2 y y1 x2 y2 fy xy 11 xy2 y xy 11 x2 y2 x x1 x2 y2 fxxy y1 x2 y2 fyxy x1 x2 y2 D Calcule as derivadas parciais de f fxy cos x sin y fxy cos x sin y fx xy sin x sin y fy xy cos x cos y fxxy sin x sin y fyxy cos x cos y E Calcule as derivadas parciais de f fxy xy 3x2 y3 fxxy x xy 3x2 y3 y 3 2x y3 y 6 xy3 fyxy y xy 3x2 y3 x 3x2 3 y2 x 9 x2 y2 fx y 6 xy3 fy x 9 x2 y2 F Calcule as derivadas parciais de f fxy ex2y fxxy ex2y cdot fracpartialpartial xx2y ex2y cdot 2xy 2xy ex2y fyxy ex2y cdot fracpartialpartial yx2y ex2y cdot x2 x2ex2y boxedfx2xy ex2y boxedfyx2 ex2y G Calcule as derivadas parciais de f fxy sincoslnx2y fxxy coscoslnx2y cdot sinlnx2y cdot frac2xx2y frac2xx2y coscoslnx2y sinlnx2y fyxy coscoslnx2y cdot sinlnx2y cdot frac1x2y frac1x2y coscoslnx2y sinlnx2y boxedfx frac2xx2y coscoslnx2y sinlnx2y boxedfy frac1x2y coscoslnx2y sinlnx2y H Calcule as derivadas parciais de f fxy fracxy2yx2y2 Nxy2y Dx2y2 fxxy fracNx D N DxD2 fracyx2y2xy2y2xx2y22 fracyx2y24xx2y22 fyxy fracNy D N DyD2 fracx2x2y2xy2y2yx2y22 fracx2x2y2x2y22 boxedfx fracyx2y24xx2y22 boxedfy fracx2x2y2x2y22 I Calcule as derivadas parciais de f fxy sqrtxy sin x fxy xy sin x12 fxxy frac12xy sin x12 cdot 1 y cos x frac1 y cos x2 sqrtxy sin x fyxy frac12xy sin x12 cdot sin x fracsin x2 sqrtxy sin x boxedfx frac1 y cos x2 sqrtxy sin x boxedfy fracsin x2 sqrtxy sin x Questão 2 Em um circuito elétrico a potência dissipada P em um resistor é dada por P fracV2R onde V é a tensão elétrica em volts e R é a resistência em ohms Calcule a taxa de variação instantânea de P em relação a V supondo que a resistência R permanece constante em 50 Omega PV fracV2R fracdPdV fracddVleftfracV2Rright frac1R cdot 2V frac2VR fracdPdVbiggR50 frac2V50 fracV25 boxedfracdPdV frac2VR boxedfracdPdVbiggR50 fracV25 Questão 3 A tensão normal σ em uma barra submetida a uma força axial é dada por σ FA onde F é a força aplicada e A é a área da seção transversal Calcule a taxa de variação instantânea de σ em relação a F assumindo A 002 m² constante σF FA dσdF 1A dσdFA002 1002 50 dσdF 1A dσdFA002 50 Questão 4 Calcule a derivada direcional da função fxy x³ xy 2y² no ponto 12 e na direção que vai deste ponto ao ponto 46 fxy fx fy 3x² y x 4y f12 31² 2 1 8 1 9 v 4 1 6 2 3 4 v 3² 4² 5 u vv 35 45 Du f12 f12 u 1 9 35 45 35 365 335 Du f12 335 Questão 5 Determine fv com fxy x² y² e v 32 12 v 32² 12² 1 fxy 2x 2y fv xy fxy v 2x 2y 32 12 3 x y fv xy 3 x y Questão 6 Mostre que as seguintes funções são diferenciáveis em seus respectivos domínios a fxyz ln1 x2 y2 z2 fx 2x1 x2 y2 z2 fy 2y1 x2 y2 z2 fz 2z1 x2 y2 z2 f C1ℝ3 b fxy 4 sin2x y cos2x y u x y v x y fx 8 sin u cos u cos2 v 8 sin2 u cos v sin v fy 8 sin u cos u cos2 v 8 sin2 u cos v sin v f C1ℝ2 Questão 7 Calcule um valor aproximado para 5022 11972 fxy x2 y2 x0y0 512 Δx 002 Δy 003 f512 52 122 13 df x0 Δx y0 Δy x02 y02 5002 12003 13 01 036 13 026 13 002 5022 11972 f512 df 13 002 1298 5022 11972 1298 Questao 8 Calcule o polinˆomio de Taylor de primeira ordem para a fx y sin x cos y f0 0 sin 0 cos 0 1 fxx y cos x fx0 0 1 fyx y sin y fy0 0 0 T1x y f0 0 fx0 0 x fy0 0 y 1 x b fx y xy2 ex2y2 f0 0 0 e0 1 fxx y y2 2x ex2y2 fx0 0 0 fyx y 2xy 2y ex2y2 fy0 0 0 T1x y f0 0 fx0 0 x fy0 0 y 1 11 Questao 9 Calcule a diferencial da funcao fx y z sin x cos y arcsin z fx cos x fy sin y fz 1 1 z2 df cos x dx sin y dy 1 1 z2 dz 12 Questao 10 Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem do exercıcio 1 a fx y 1 x2 y2 D x2 y2 fx 2x D2 fy 2y D2 fxx 2 D2 8x2 D3 23x2 y2 D3 fyy 2 D2 8y2 D3 2x2 3y2 D3 fxy 2x2 Dy D3 8xy D3 fyx fxy fxx 23x2 y2 x2 y23 fxy fyx 8xy x2 y23 fyy 2x2 3y2 x2 y23 b fx y x x2 y2 S x2 y2 fx y2 x2 S2 fy 2xy S2 fxx 2xx2 3y2 S3 fyy 2xx2 3y2 S3 fxy 2y3x2 y2 S3 fyx fxy fxx 2xx2 3y2 x2 y23 fxy fyx 2y3x2 y2 x2 y23 fyy 2xx2 3y2 x2 y23 c fx y arctanxy Q 1 x2y2 fx y Q fy x Q fxx 2xy3 Q2 fyy 2x3y Q2 fxy 1 Q 2x2y2 Q2 fyx fxy fxx 2xy3 1 x2y22 fxy fyx 1 1 x2y2 2x2y2 1 x2y22 fyy 2x3y 1 x2y22 d fx y cos x sin y fxx cos x sin y fxy fyx sin x cos y fyy cos x sin y e fx y xy 3x2y3 fxx 6y3 fxy fyx 1 18xy2 fyy 18x2y 13 f fxy ex2 y fxx 2y 4x2 y2ex2 y fxy fyx 2x 2x3 yex2 y fyy x4 ex2 y g fxy sincoslnx2 y S x2 y u ln S ux 2xS uy 1S uxx 2y x2S2 uxy 2xS2 uyy 1S2 K coscos u sin u A sincos u sin2 u coscos u cos u fxx 4x2 A 2y x2K S2 fxy 2x A K S2 fyx fyy A K S2 h fxy xy 2y x2 y2 D x2 y2 S x2 y2 A x2 y2 4x fx yA D2 fy x 2S D2 fxx y2x 4 D2 4xA D3 2y x3 6x2 3xy2 2y2 D3 fxy A D2 2y2 D2 4y2 A D3 x4 4x3 6x2 y2 12x y2 y4 D3 fyx fyy x 2 2y D2 4yS D3 2y x 23x2 y2 D3 com D x2 y2 i fxy x y sin x g x y sin x gx 1 y cos x gy sin x gxx y sin x gxy cos x gyy 0 fxx gxx 2g gx2 4 g32 y sin x 2g 1 y cos x2 4 g32 fxy gxy 2g gx gy 4 g32 cos x 2g sin x 1 y cos x 4 g32 fyx fyy gy2 4 g32 sin2 x 4 x y sin x32 Questao 11 Sejam fx y x2 y2 e gt et et Calcule d dtf gt f gt fet et et2 et2 e2t e2t d dtf gt 2e2t 2e2t d dtf gt 2e2t 2e2t 15 Questão 12 O raio de uma esfera diminui a uma taxa de 2 cms e o raio da base de um cone reto inscrito em dita esfera aumenta a uma taxa de 1 cms A que velocidade o volume do cone cresce quando o raio da esfera é 10 cm e o raio da base do cone é 6 cm R10 r6 R 2 r1 V π3 r² h 2Rhh²r² hRR²r²101003618 2RhhR2h h2rr hRhhRrr h hRrr hR 182611810 214 V π3 2rh r r² h π3 26181 36214 π3 216189 9π V 9π cm³s Questão 13 Calcule a f11 se fxy x² y² xy 4xy² fₓ2x y 4y² fy 2y x 8xy f11 fₓ 11 fy 11 2 1 4 2 1 8 1 5 f11 1 5 b f42 se fxy 1x² y² fₓ 2xx² y²² fy 2yx² y²² f42 24 16 4² 22 16 4² 8400 4400 150 1100 f42 150 1100 Questao 14 Um cultivo de bacterias foi infectada por um contaminante cuja concentracao e fx y 2 4 sin2x 3y 8xy g x 3y 8xy fx 4 sin2g 1 8y fy 4 sin2g 3 8x No ponto 0 2 g 6 f0 2 4 sin12 17 3 a Direcao e sentido de maior concentracao u f0 2 f0 2 4 sin12 17 3 4 sin12 172 32 sgnsin 12 298 17 3 17 3 298 sin 12 0 b Taxa nessa direcao max v1 Dvf0 2 f0 2 4 sin12 172 32 4 sin12 298 18 Questão 15 Se Vxyz 1x² y² z² determine a direção em que se dá a menor taxa de variação de V em 221 V x² y² z²¹² V xx² y² z²³² yx² y² z²³² zx² y² z²³² V221 2214 4 1³² 22127 Direção de menor variação u V221V221 2214 4 1 13 221 Questão 16 Encontre os pontos extremos de f e classifique máximo mínimo ou sela a fxy x³ y³ 9x² 3y² 15x 9y fx 3x² 18x 15 0 x 51 fy 3y² 6y 9 0 y 13 Pontos críticos 13 11 53 51 fxx 6x 18 fyy 6y 6 fxy 0 D 6x 186y 6 36x 3y 1 13 fxx 12 0 fyy 12 0 D 144 0 mínimo local 11 D 144 0 ponto de sela 53 D 144 0 ponto de sela 51 fxx 12 0 fyy 12 0 D 144 0 máximo local b fxy 12xy x²y²2x y x 0 y 0 fx y²12 x² 2xy2x y² fy x²12 2xy y²2x y² x² 2xy 12 2xy y² 12 x² y² xy 0 x y 2 Em 22 S x y 4 B 2S² 32 A y²12 x² 2xy Ax 2y²x y Ay 2y12 x² 2xy 2xy² fxx AxB 3232 1 fyy 1 fxy Ay2S² 1632 12 D fxx fyy fxy² 1 14 34 0 máximo local em 22 c fxy x³ y³ 3x 3y 4 fx 3x² 3 0 x 1 fy 3y² 3 0 y 1 Pontos críticos 1 1 fxx 6x fyy 6y fxy 0 D 36xy 11 D 36 0 fxx 6 0 mínimo local 11 D 36 0 ponto de sela 11 D 36 0 ponto de sela 11 D 36 0 fxx 6 0 máximo local d fx y x2 y2 4x 6y fx 2x 4 0 x 2 fy 2y 6 0 y 3 fxx 2 fyy 2 fxy 0 D 4 0 maximo local em 2 3 21