Integração por Substituição - Guia Completo e Exercícios Resolvidos

62 Integração por Substituição Na Seção 61 desenvolvemos certas regras de integração que guardam estreita relação com as correspondentes regras de diferenciação dos Capítulos 3 e 5 Nesta seção introduziremos um método de integração chamado método de substituição que está relacionado com a regra da cadeia para diferenciação de funções Quando usado conjuntamente com as regras de integração desenvolvidas anteriormente o método de substituição é uma ferramenta poderosa para a integração de ampla classe de funções Como Funciona o Método de Substituição Considere a integral indefinida 22x 45 dx 3 Uma maneira de calcular essa integral é expandir a expressão 22x 45 e em seguida integrar o integrando resultante termo a termo Alternativamente vejamos se é possível simplificar a integral fazendo uma mudança de variáveis Escreva u 2x 4 com diferencial du 2 dx Se substituirmos essas expressões na Equação 3 obtemos 22x 45 dx 2x 45 2 dx u5 du u 2x 4 du 2 dx Reescreva Essa última integral envolve uma função potência e é facilmente calculada utilizandose a Regra 2 da Seção 61 Assim u5 du 16 u6 C Portanto usando esse resultado e substituindo u por u 2x 4 obtemos 22x 45 dx 16 2x 46 C Podemos verificar que o resultado que acabamos de obter está correto calculando ddx 16 2x 46 C 16 62x 45 2 Use a Regra da Cadeia 22x 45 e observando que a última expressão é precisamente o integrando de 3 O Método de Integração por Substituição Para ver por que o método usado no cálculo da integral em 3 foi bemsucedido escreva fx x5 e gx 2x 4 Então gx 2 Além disso o integrando de 3 é precisamente 2 vezes a composta de f e g ou seja 2 f o g x 2f gx 2 gx5 22x 45 Portanto a integral 3 pode ser escrita como 2f gx gx dx 4 Mostraremos em seguida que uma integral da forma 4 pode ser sempre escrita como fu du 5 Suponha que F seja uma antiderivada de f Pela Regra da Cadeia temos ddx Fgx Fgx gx Portanto Fgx gx dx Fgx C Fazendo F f e efetuando a substituição u gx temos fgx gx dx Fu C Fu du fu du como queríamos demonstrar Assim se a integral transformada pode ser diretamente calculada como é o caso da integral 3 então o método de substituição será bemsucedido Antes de examinar alguns exemplos adicionais resumiremos os passos envolvidos na integração por substituição Integração 423 Integração por Substituição