Trabalho de Cálculo Ii Tema Livre Englobando Dois Conteúdos de Cálculo 2

Trabalho de Cálculo II Métricas de Avaliação O Trabalho é de tema livre a obrigatoriedade do trabalho é conectar dois assuntos de diferentes bimestres O meu professor me passou os seguintes temas em aula Possíveis temas para o trabalho 1 Quão rapidamente um tanque esvazia 2 O que é mais rápido subir ou descer 3 Radicação proveniente das estrelas 4 O traje LZR da Speedo 5 Aproximação quadratica e Ponto Criticos 6 Ciencia de Foguetes 7 Otimização de uma turbina hidraulica 8 Volume de hiperesfera Segundo meu professor ele pegou esses temas do livro que a gente tá usando que no caso é esse Perguntei a IA e ela me recomendou estes temas os quais achei MUITO interessantes Cálculo da resistência aerodinâmica de um carro Taxa de dissolução de comprimidos Otimização da rota de voo de um avião Efeito de medicamentos no organismo Otimização do design de uma hélice de navio Porém o Guru que eu contratar tendo alguma área em específico que saiba aplicar melhor os conceitos de cálculo II pode utilizar o tema que prefir Deixo em aberto para você caso queira pode escolher um da lista ou dar uma olhada também no livro deixo livre Sendo sincero não lembro direito todos os temas estudado esse ano foi MUITA coisa meu professor passou sobre EDOS EDPS integral integral dupla curvas de níveis etc Veja o livro por favor realmente não vou estar conseguindo ligar tudo caso não saiba se eu vi a matéria ou não me mande mensagem Tenho um exemplo de trabalho que tirei 90 caso queira dar uma olhada Ilustre bem o trabalho utilize geogebra python o que tiver no seu arsenal para poder fazer o trabalho mais bem feito possível COMO O TRABALHO SERÁ AVALIADO Este trabalho deverá conter Introdução meia página Mínimo Valor 05 Neste momento irá fazer uma breve apresentação do que será discutido dentro do corpo do trabalho Justificativa duas páginas Mínimo Valor 20 Aqui irá trazer uma discussão do por que está fazendo esse trabalho sugestão busque em artigos científicos a importância de fazer o trabalho no qual você optou Objetivos Valor 05 Aqui deixo a critério se preferirem colocar tanto o objetivo geral quanto o objetivo específico em um único texto ou se preferirem podem fazer subdivisões entre Objetivo geral o que se pretende fazer e Objetivo Específico como que pretende fazer Referencial Teórico Valor 10 Aqui irá apresentar os conteúdos que irá utilizar para resolver o problema que pretende discutir Obs1 Tanto nos objetivos quanto no Referencial é dificil colocar um número de páginas no entanto se o trabalho apresentar no seu referencial teórico uma página esse tópico não será analisado Desenvolvimento pelo menos 5 páginas Valor 30 Nesse momento você irá apresentar as soluções e como o fez para resolver o problema proposto Conclusão uma página Valor 05 Aqui você trará as conclusões a respeito do trabalho desenvolvido Referências Valor 05 Total do trabalho 80 Preciso do arquivo LaTex também para caso necessário eu fazer alterações Me mande mensagem sobre tal tema escolhido me intere informe sobre o andamento por favor Retifico nesse trabalho é necessário escolher um tema tema esse o qual é livre e no trabalho sendo necessário abordar dois conteúdos de cálculo II isso sendo nas métricas logo acima Muito obrigado desde já grande abraço conto com sua imensa ajuda NOME DA INSTITUIÇÃO CURSO DE GRADUAÇÃO EM NOME DO CURSO OTIMIZAÇÃO DA ROTA DE VOO DE UM AVIÃO Autor Seu Nome Professor Nome do Professor Cidade Mês e Ano OTIMIZAÇÃO DA ROTA DE VOO DE UM AVIÃO Trabalho acadêmico apresentado ao Professor Nome do Professor da disciplina de Nome da Disciplina como parte dos requisitos para obtenção de nota no bimestresemestre Cidade Mês e Ano Contents 1 Introdução 2 2 Justificativa 3 3 Objetivos 4 4 Referencial Teórico 5 41 Equações Diferenciais Ordinárias EDOs 5 42 Equações Diferenciais Parciais EDPs 5 43 Cálculo Integral e Curvas de Nível 5 431 Função de Custo e Cálculo de Tempo de Voo 5 432 Curvas de Nível 6 5 Desenvolvimento 7 51 Formulação Detalhada do Problema 7 511 EDO para a trajetória 7 512 Funcional de Tempo 7 513 Comentário sobre a Formulação em Cálculo Variacional 8 52 Exemplo de Cálculos Teóricos 8 521 Campo de Vento Linear 8 522 Campo de Vento Nulo Caso de Referência 9 53 Simulações Numéricas em Python 9 531 Resolução de EDOs via RungeKutta 4 RK4 9 532 Varredura de Ângulos 10 533 Possível Extensão Controle em Malha Fechada 12 534 Exemplo de Gráfico de Vento Visualização 13 54 Resultados Resolução de EDOs com Vento Linear e Ângulo Fixo 13 541 Visualização do Campo de Vento em Grade 14 6 Conclusão 16 1 Chapter 1 Introdução A busca pela rota de voo mais eficiente para uma aeronave é de grande interesse nas áreas de Engenharia Matemática Aplicada e Física A eficiência da rota está diretamente relacionada a fatores como Tempo de voo Menor tempo significa menor consumo de combustível e maior produtividade para as companhias aéreas Consumo de combustível Está associado a custos econômicos e a impactos ambientais emissão de CO2 e outros poluentes Segurança Rotas bem planejadas ajudam a contornar eventos climáticos adversos Para descrever matematicamente este problema podemos recorrer a diversas ferra mentas estudadas ao longo da disciplina como Equações Diferenciais Ordinárias EDOs Equações Diferenciais Parciais EDPs Integrais simples e múltiplas Curvas de Nível dentre outros tópicos de Otimização Este trabalho visa aplicar esses conteúdos na formulação de um modelo de Cont role Ótimo simplificado para a trajetória de um avião ilustrando por meio de exemplos numéricos em Python como os métodos podem ser implementados e quais são suas lim itações Será dada ênfase a diferentes cenários de vento tentando conectar os aspectos conceituais ao desenvolvimento prático 2 Chapter 2 Justificativa Relevância Teórica Em ambientes acadêmicos o problema de otimização de trajetórias é uma aplicação direta de Equações Diferenciais e Cálculo Variacional A disciplina de equações diferenciais ordinárias e parciais fornece o arcabouço matemático para descrever o comportamento dinâmico da aeronave e do vento O estudo de curvas de nível e gradientes está relacionado a estratégias para localizar pontos ou trajetórias que minimizam ou maximizam funcionais de custo Relevância Prática A busca por rotas mais eficientes tem impacto Econômico Reduzindo custos com combustível Ambiental Diminuindo a pegada de carbono das companhias aéreas Operacional Permitindo mais voos em intervalos menores de tempo De acordo com 1 melhorias de 5 a 10 em eficiência de rota podem gerar reduções substanciais no consumo de combustível em voos de longo curso Além disso a imple mentação de técnicas matemáticas mais avançadas por exemplo métodos de otimização convexa 2 pode aumentar a confiabilidade dos planejamentos e a segurança dos voos Conexão com os Temas da Disciplina EDOs A trajetória de uma aeronave pode ser descrita como uma função do tempo resultando em sistemas de EDOs EDPs Modelos climáticos podem ser descritos por EDPs como a equação de difusãoadvecção para o vento Integrais simples e múltiplas Úteis para cálculo de distâncias tempos e consumos acumulados ao longo de trajetórias Curvas de Nível e Gradientes Ferramentas importantes na análise de campos escalares de custo ajudando a compreender regiões de mínimo ou máximo Dessa forma este tema oportuniza a aplicação prática e integrada de diversos conteú dos estudados ao longo do curso solidificando o aprendizado 3 Chapter 3 Objetivos Objetivo Geral Desenvolver e exemplificar um modelo matemático de otimização de rota de voo utilizando os conteúdos de Equações Diferenciais ordinárias e parciais Cálculo Integral e Análise de Curvas de Nível para encontrar trajetórias eficientes e ilustrar o problema de controle ótimo em voo Objetivos Específicos Formular a EDO que descreve a trajetória de um avião sujeita a um campo de vento Aplicar conceitos de Cálculo Variacional e integrais para definir o funcional de custo tempo de voo eou consumo de combustível Introduzir um modelo simples de EDP para descrever a evolução do vento quando aplicável Exemplificar métodos numéricos em Python para resolução das EDOs e para es timar a trajetória ótima Apresentar e discutir resultados gráficos bem como possíveis limitações do modelo adotado 4 Chapter 4 Referencial Teórico 41 Equações Diferenciais Ordinárias EDOs Um sistema de EDOs de primeira ordem pode representar a posição de um avião em função do tempo dxdtfxxyt dydtfyxyt 41 No caso de voo fx e fy podem incluir tanto a velocidade própria da aeronave quanto a velocidade do vento Exemplo de EDO simplificada Se a aeronave voa com velocidade constante v0 e ângulo de ataque θt ao longo do tempo e o vento tem um campo Wxy podemos escrever dxdtv0cosθtWxxy dydtv0sinθtWyxy 42 Equações Diferenciais Parciais EDPs Para descrever a dinâmica do vento podemos introduzir EDPs Uma forma simples é considerar um campo escalar de intensidade do vento wxyt que evolui segundo wt uwD2w 42 onde u é um campo de advecção médio velocidade de translação do pacote de ar e D é um coeficiente de difusão Em sistemas meteorológicos reais as EDPs são muito mais complexas envolvendo termos não lineares equações de NavierStokes simplificadas para a atmosfera Aqui no entanto fazemos uso de um modelo didático para ilustrar o conceito 43 Cálculo Integral e Curvas de Nível 431 Função de Custo e Cálculo de Tempo de Voo Seja γt uma curva no plano representando a trajetória da aeronave com t0tf O tempo de voo é T0tfdt 43 Contudo se quisermos expressar esse tempo em função do comprimento de arco por exemplo podemos escrever sγds0tfγtdt e se a velocidade for variável podemos ter Tγdsvr Em problemas de Cálculo Variacional buscase minimizar essa integral ao escolher a forma de γ 432 Curvas de Nível Considere uma função de custo Jxy que pode representar o tempo ou combustível gasto para sair de xy e chegar a xByB As curvas de nível de J definidas por Jxyc servem para visualizar as regiões onde o custo é constante O gradiente Jxy aponta na direção de maior variação de J Pontos críticos satisfazem Jxy0 mas em problemas de trajetória costumamos buscar uma curva que minimize um funcional o que exige métodos mais específicos por exemplo EulerLagrange Chapter 5 Desenvolvimento Nesta seção será apresentada uma formulação detalhada do problema de otimização de rota de voo explorando exemplos de cálculos e implementações em Python para ilustrar cada parte do processo 51 Formulação Detalhada do Problema Desejamos levar o avião de um ponto inicial AxAyA a um ponto final BxByB minimizando o tempo de voo Suponhamos que o avião tenha velocidade própria v0 constante para simplificar mas que seja possível controlar o ângulo de voo θt Além disso existe um campo de vento Wxy 511 EDO para a trajetória A posição rtxtyt obedece às seguintes EDOs dxdtv0cosθtWxxy dydtv0sinθtWyxy 51 Condições de Contorno x0xA y0yA xtfxB ytfyB 512 Funcional de Tempo O tempo total de voo é simplesmente Tθ0tf1dttf No entanto tf é desconhecido e depende da forma de θt Assim colocar o tempo como funcional exige que encontremos uma θt ótima que satisfaça as EDOs e minimize tf Em problemas de controle ótimo uma forma análoga é estabelecer minθttf00tfdt sujeito às EDOs de 51 513 Comentário sobre a Formulação em Cálculo Variacional Alternativamente se quiséssemos escrever a funcional em termos de γ no espaço sem parâmetro t poderíamos usar a notação de comprimento de arco Entretanto essa abordagem é mais usual quando não há campo de vento No caso de haver vento a velocidade resultante depende da posição x y e do ângulo de voo θ o que torna a formulação em termos de controle ótimo no tempo mais direta 52 Exemplo de Cálculos Teóricos 521 Campo de Vento Linear Suponha um campo de vento simples Wx y αy 0 52 em que α é uma constante Assim as EDOs tornamse dxdt v0 cosθt αy dydt v0 sinθt Para entender como θt deve ser escolhido podemos tentar uma simplificação extrema θ constante no tempo Então dxdt v0 cos θ αy dydt v0 sin θ Isso permite em princípio integrar yt yA v0 sinθ t Substituindo em xt xt xA 0t v0 cos θ αyτ dτ xA 0t v0 cos θ αyA v0 sinθτ dτ xA v0 cos θ t αyA t αv0 sinθ 0t τ dτ xA v0 cos θ t αyA t αv0 sinθ t²2 Ao impor xtf xB e ytf yB podese encontrar tf No entanto θ constante em geral não será a solução ótima Isso porém ilustra o tipo de cálculo que é necessário fazer 522 Campo de Vento Nulo Caso de Referência Se Wx y 0 temos dx dt v0 cos θt dy dt v0 sin θt Para chegar de A em B no menor tempo com θ livre a trajetória retilínea é ótima se θ for constante Isto é apontar diretamente na direção AB O tempo mínimo nesse caso é AB v0 Com vento porém θt pode precisar mudar ao longo do tempo para compensar a derivada do fluxo de ar 53 Simulações Numéricas em Python A seguir apresentamos diversos códigos em Python que ilustram tanto a resolução das EDOs quanto tentativas de buscar uma trajetória mais eficiente 531 Resolução de EDOs via RungeKutta 4 RK4 Vamos primeiro resolver a trajetória para um único valor de ângulo θ fixo e um campo de vento simples Listing 51 Resolução de EDOs com vento linear e ângulo fixo 1 import numpy as np 2 import matplotlibpyplot as plt 3 4 Parametros 5 v0 2000 Velocidade propria do aviao ms 6 alpha 002 Intensidade do vento no eixo x ms por unidade de y 7 theta npdeg2rad 300 Angulo de voo escolhido fixo para demonstracao 8 9 Pontos inicial e final 10 xA yA 00 00 11 xB yB 150000 100000 Exemplo 12 13 def windfieldx y 14 Campo de vento linear Wx alpha y Wy 0 15 Wx alpha y 16 Wy 00 17 return Wx Wy 18 19 def derivativesfixedangle state t 20 state x y 21 x y state 22 Wx Wy windfieldx y 23 vx v0npcostheta Wx 24 vy v0npsintheta Wy 25 return vx vy 9 26 27 def rk4deriv state0 t 28 dt t1 t0 29 states npzeros lent lenstate0 30 states 0 state0 31 for i in range 1 lent 32 k1 nparrayderivstatesi1 ti 1 33 k2 nparrayderivstatesi1 05 k1dt ti1 05 dt 34 k3 nparrayderivstatesi1 05 k2dt ti1 05 dt 35 k4 nparrayderivstatesi1 k3dt ti1 dt 36 statesi statesi1 k1 2k2 2k3 k4dt 60 37 return states 38 39 Tempo de simulacao 40 tf 180 em segundos a definir 41 t nplinspace 0 tf 1000 42 43 Estados iniciais 44 state0 xA yA 45 46 sol rk4derivativesfixedangle state0 t 47 xsol sol 0 48 ysol sol 1 49 50 Plot da trajetoria 51 pltfigurefigsize 8 6 52 pltplotxsol ysol labelTrajetoria angulo fixo 53 pltscatterxA yA colorred labelPonto Inicial 54 pltscatterxB yB colorgreen labelPonto Final 55 pltxlabelx m 56 pltylabely m 57 plttitleTrajetoria com vento linear e angulo fixo 30 graus 58 pltlegend 59 pltgridTrue 60 pltshow 61 62 Verificando a posicao final 63 distfinal npsqrt xsol 1xB2 ysol 1yB2 64 printDistancia final entre aviao e ponto B ao terminar simulacao m distfinal No código acima fixamos θ 30 Ao final medimos a distância entre a posição do avião e B ao terminar a simulação tempo tf Caso seja grande podemos aumentar o valor de tf tempo e verificar se conseguimos chegar até o ponto B 532 Varredura de Ângulos Uma forma simples embora não totalmente rigorosa de buscar um ângulo ótimo é fazer uma varredura de ângulos fixos e observar o tempo que se leva para chegar a uma 10 distância pequena de B A ideia é 1 Para cada θi em uma lista de ângulos por exemplo de 0 a 90 2 Integrar as EDOs até que o avião fique a menos de uma distância δ de B ou até atingir um tempo limite 3 Registrar o tempo que se levou para atingir a região próxima de B 4 Escolher θi que minimize esse tempo Exemplo de implementação em Python Listing 52 Varredura de ângulos para achar melhor tempo de chegada 1 import numpy as np 2 import matplotlibpyplot as plt 3 4 v0 2000 5 alpha 002 6 xA yA 00 00 7 xB yB 150000 100000 8 distthreshold 5000 Considera chegou se estiver a 500 m de B 9 10 def windfieldx y 11 Wx alpha y 12 Wy 00 13 return Wx Wy 14 15 def derivativesstate t theta 16 x y state 17 Wx Wy windfieldx y 18 vx v0npcostheta Wx 19 vy v0npsintheta Wy 20 return nparray vx vy 21 22 def rk4adaptive deriv state0 theta dt10 maxtime 100000 23 Integra ate chegar proximo de xB yB ou atingir maxtime 24 t 00 25 state nparraystate0 26 traj statecopy 27 28 while t maxtime 29 Distancia ate B 30 disttoB npsqrt state 0xB2 state 1yB2 31 if disttoB distthreshold 32 return t nparraytraj 33 34 k1 derivstate t theta 35 k2 derivstate 05 k1dt t 05dt theta 36 k3 derivstate 05 k2dt t 05dt theta 11 37 k4 derivstate k3dt t dt theta 38 39 state state k1 2k2 2k3 k4dt 60 40 trajappendstatecopy 41 t dt 42 43 return maxtime nparraytraj 44 45 anglesdeg range 0 91 5 0 5 10 90 46 besttime 1e9 47 bestangle None 48 besttraj None 49 50 for ang in anglesdeg 51 timetoB trajectory rk4adaptivederivderivatives 52 state0 xA yA 53 thetanpdeg2radang 54 dt10 maxtime 1000000 55 if timetoB besttime 56 besttime timetoB 57 bestangle ang 58 besttraj trajectory 59 60 printfMelhor angulo encontrado bestangle graus Tempo besttime s 61 62 Plot da melhor trajetoria 63 pltfigurefigsize 8 6 64 pltplotbesttraj 0 besttraj 1 labelfTraj melhor ang bestangle 65 pltscatterxA yA cr labelPonto Inicial 66 pltscatterxB yB cg labelPonto Final 67 pltxlabelx m 68 pltylabely m 69 plttitleVarredura de angulos fixos 70 pltlegend 71 pltgridTrue 72 pltshow Esse método não é o verdadeiro ótimo global pois estamos restringindo o controle a ser θ constante Entretanto serve como demonstração de como podemos testar diversos ângulos e escolher aquele que minimiza na prática o tempo para chegar a B 533 Possível Extensão Controle em Malha Fechada Em cenários mais elaborados θ pode ser uma função do tempo θt adaptada di namicamente à posição atual e às condições de vento Isso necessitaria de um método de controle ótimo por exemplo o Princípio do Máximo de Pontryagin ou Programação Dinâmica e ultrapassa o escopo desta apresentação simplificada Ainda assim é exata mente nesse nível que problemas reais de planejamento de voo são tratados 12 534 Exemplo de Gráfico de Vento Visualização Para enriquecer a análise podemos plotar o campo de vento Wx y em uma malha de pontos ilustrando como ele se comporta Exemplo Listing 53 Plot do campo de vento em uma grade 1 import numpy as np 2 import matplotlibpyplot as plt 3 4 alpha 002 5 xvals nplinspace 0 20000 20 6 yvals nplinspace 0 15000 15 7 8 X Y npmeshgridxvals yvals 9 Wx alpha Y 10 Wy npzeroslikeX 11 12 pltfigurefigsize 8 6 13 pltquiverX Y Wx Wy colorblue alpha 06 14 plttitleCampo de vento linear Wx alphay Wy 0 15 pltxlabelx m 16 pltylabely m 17 pltgridTrue 18 pltshow Esse código gera um diagrama de setas quiver mostrando a direção e magnitude do vento 54 Resultados Resolução de EDOs com Vento Lin ear e Ângulo Fixo Nesta seção apresentamos os resultados obtidos ao resolver numericamente as Equações Diferenciais Ordinárias EDOs que descrevem a trajetória do avião em um campo de vento linear Wx y αy 0 mantendo θ o ângulo de voo fixo em 30 O código utilizado para esta simulação encontrase na Seção de Desenvolvimento Na Figura 51 observase a trajetória resultante com as condições iniciais definidas em xA yA 0 0 e o pontoalvo xB yB 15000 10000 O tempo total de simulação utilizado foi t 180 s 13 Figure 51 Trajetória do avião para θ 30 e campo de vento linear Wx y αy 0 Ao final da simulação a distância entre o avião e o ponto B foi de aproxi madamente 4923126 m Portanto com esse ângulo fixo e considerando apenas 180 s de voo o avião ainda não atinge a região de destino Abaixo a mensagem exibida no terminal confirma o valor Distância entre avião e ponto B após t 18000 s 4923126 m Este resultado qualitativo indica que um único ângulo fixo pode não ser suficiente para compensar o efeito do vento e alcançar B de modo eficiente ou em tempo reduzido Alternativas incluem mudar θ ao longo do tempo ou buscar θ fixos mais apropriados conforme discutido em seções anteriores 541 Visualização do Campo de Vento em Grade Para ilustrar o campo de vento linear adotado foi criado um diagrama de setas Fig 52 ao longo de uma malha de pontos no plano xy Cada seta representa a direção e a intensidade do vento Wx Wy em dada coordenada 14 Figure 52 Campo de vento linear onde Wx α y e Wy 0 Podese notar que a componente Wx do vento cresce linearmente com y o que desvia a trajetória do avião para a direita à medida que se desloca para valores mais altos de y Esse comportamento confirma a necessidade de analisar diferentes estratégias de controle do ângulo de voo θ ou até mesmo empregar técnicas de controle ótimo mais sofisticadas para encontrar uma rota de menor tempo ou menor consumo de combustível 15 Chapter 6 Conclusão Neste trabalho exploramos o problema de Otimização da Rota de Voo de um Avião sob diferentes ângulos Modelagem usando EDOs Apresentamos como o movimento da aeronave pode ser descrito pela soma vetorial de sua velocidade própria com o campo de vento Mostramos que θt é um parâmetro de controle que pode ou não variar ao longo do tempo Possível uso de EDPs para modelar o campo de vento Embora tenhamos ilustrado com um campo de vento simples linear destacamos que em cenários reais a evolução do vento no espaço e no tempo poderia ser descrita por EDPs mais com plexas Cálculo Integral e Curvas de Nível Discutimos como o tempo de voo ou combustível pode ser interpretado como um funcional a ser minimizado e como as curvas de nível de uma função de custo podem auxiliar na interpretação geométrica do problema Implementações em Python Mostramos códigos que resolvem a EDO de forma numérica método RK4 e também um exemplo de varredura de ângulos para buscar a trajetória entre as testadas que oferece menor tempo de chegada Além disso apresentamos uma forma de visualizar o campo de vento usando gráficos quiver Perspectivas Futuras Para um tratamento mais realista do problema poderíamos Implementar métodos de controle ótimo ex Princípio do Máximo de Pontryagin que tratem θt como uma função livre Incluir restrições de altitude velocidade e manobrabilidade Modelar o vento com EDPs dinâmicas e não apenas funções fixas de x y Incorporar a curvatura da Terra e camadas de vento em diferentes altitudes Mesmo em sua forma simplificada o estudo realizado demonstra o valor de se combinar conhecimentos de EDOs EDPs cálculo integral e análise de curvas de nível para resolver problemas práticos de otimização de rotas 16 Bibliography 1 ANDREWS M Aviation Fuel Optimization and Reductions A Survey on Techniques and Methods Journal of Aerospace Engineering v 10 n 2 2018 2 BOYD S VANDENBERGHE L Convex Optimization Cambridge University Press 2004 3 LEON M Partial Differential Equations for Scientists and Engineers 3 ed Springer 2006 17