Transformacao Linear R3 - Calculo Polinomio Caracteristico e Diagonalizacao

Seja T R3 R3 uma transformação linear seja ξ 100 0 1 0 0 0 1 a base canônica de R3 e Tξ 1 2 3 0 1 2 0 0 1 a matriz da transformação linear em relação à base ξ a Encontre o polinômio característico de T b Encontre uma base C de R3 se for possível tal que TC seja diagonal Observação As entradas abaixo aceitam a digitação de números inteiros e frações mas não números decimais Assim por exemplo se uma das entradas é igual a 12 digitea na forma 12 e não como 0 5 Pλ λ λ2 λ3 É possível encontrar uma base C de R3 tal que TC seja diagonal Se sim preencha as entradas abaixo com os números obtidos pelos cálculos efetuados se não preencha cada entrada abaixo com um x xis minúsculo C Questão 1 a Note que para esta transformação temos a seguinte matriz A 1 2 3 0 1 2 0 0 1 O polinômio característico é calculado por det AλI det 1 2 3 0 1 2 0 0 1 λ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 det 1λ 2 3 0 1λ 2 0 0 1λ 1λ 1λ 1λ 1λ 3 Logo temos P λ13 λ3 λ 2λ 3 Os autovalores são as raízes da equação acima No caso temos λ1 raíz tripla B Para encontrar os autovetores autoespaços associados recorrese à seguinte relação AλI V 0 Para λ1 temse Considere a matriz A 1 0 1 0 1 1 1 1 0 Encontre uma matriz invertível P tal que P1AP D Observação As entradas abaixo aceitam a digitação de números inteiros e frações mas não números decimais Assim por exemplo se uma das entradas é igual a 12 digitea na forma 12 e não como 0 5 Sendo D 2 0 0 0 1 0 0 0 1 então temse que P p11 p12 p13 p21 p22 p23 p31 p32 p33 com p11 p12 p13 p21 p22 p23 p31 p32 p33 1 2 3 0 1 2 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 V0 0 2 3 0 0 2 0 0 0 x y z 0 0 0 Daí temse o sistema de equações a seguir 2 y3 z0 2 z0 00 Assim temos yz0 Fazendo x1 o vetor V 1100 é um autovetor associado Como A é uma matriz de dimensões 3x3 e foi encontrado apenas 1 autovetor associado concluise que A não é diagonalizável preencher com x Questão 2 Temse a seguinte matriz A 1 0 1 0 1 1 1 1 0 O polinômio característico é calculado por det AλI det 1 0 1 0 1 1 1 1 0 λ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 det 1λ 0 1 0 1λ 1 1 1 λ 1λ 1λ λ 1λ 1111λ 1 1λ 2λ 2 1λ 12 λ λ 2 λ22 λ λ2 λ 2λ 322 λ 2λ2 λ 2λ 3 2λ2λ λ 2 2λ 2λ λ 2 2λ λ 21 Os autovalores são as raízes da equação acima No caso temos λ2 λ1 e λ1 Como A é uma matriz de dimensões 3x3 e foram encontrados 3 autovalores associados concluise que A é diagonalizável Note que para toda matriz diagonalizável existem P e D tais que P 1 APD No caso P é a matriz que diagonaliza A e D é a matriz com os autovalores de A na diagonal D 2 0 0 0 1 0 0 0 1 Assim toda matriz diagonalizável pode ser escrita da seguinte maneira APD P 1 Para encontrar os autovetores autoespaços associados recorrese à seguinte relação AλI V 0 Para λ2 temse 1 0 1 0 1 1 1 1 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 V 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 x y z 0 0 0 Daí temse o sistema de equações a seguir xz0 yz0 x y2 z0 Logo xz yz Fazendo z1 o vetor V 1111 é um autovetor associado Para λ1 temse 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 V0 2 0 1 0 2 1 1 1 1 x y z 0 0 0 Daí temse o sistema de equações a seguir 2 xz0 2 yz0 x yz0 Logo xz 2 yz 2 Fazendo z2 o vetor V 2112 é um autovetor associado Para λ1 temse 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 V 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 x y z 0 0 0 Daí temse o sistema de equações a seguir z0 x yz0 Logo xy Fazendo y1 o vetor V 3110 é um autovetor associado Assim colocando os autovetores nas colunas temos P 1 1 1 1 1 1 1 2 0 Questão 1 a Note que para esta transformação temos a seguinte matriz 𝐴 1 2 3 0 1 2 0 0 1 O polinômio característico é calculado por det𝐴 𝜆𝐼 det 1 2 3 0 1 2 0 0 1 𝜆 1 0 0 0 1 0 0 0 1 det 1 𝜆 2 3 0 1 𝜆 2 0 0 1 𝜆 1 𝜆1 𝜆1 𝜆 1 𝜆3 Logo temos 𝑷𝝀 𝟏 𝟑𝝀 𝟑𝝀𝟐 𝝀𝟑 Os autovalores são as raízes da equação acima No caso temos 𝜆 1 raíz tripla B Para encontrar os autovetores autoespaços associados recorrese à seguinte relação 𝐴 𝜆𝐼𝑉 0 Para 𝜆 1 temse 1 2 3 0 1 2 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 𝑉 0 0 2 3 0 0 2 0 0 0 𝑥 𝑦 𝑧 0 0 0 Daí temse o sistema de equações a seguir 2𝑦 3𝑧 0 2𝑧 0 0 0 Assim temos 𝑦 𝑧 0 Fazendo 𝑥 1 o vetor 𝑽 𝟏 𝟏 𝟎𝟎 é um autovetor associado Como 𝐴 é uma matriz de dimensões 3x3 e foi encontrado apenas 1 autovetor associado concluise que 𝐴 não é diagonalizável preencher com x Questão 2 Temse a seguinte matriz 𝐴 1 0 1 0 1 1 1 1 0 O polinômio característico é calculado por det𝐴 𝜆𝐼 det 1 0 1 0 1 1 1 1 0 𝜆 1 0 0 0 1 0 0 0 1 det 1 𝜆 0 1 0 1 𝜆 1 1 1 𝜆 1 𝜆1 𝜆𝜆 1 𝜆11 11 𝜆1 1 𝜆2𝜆 21 𝜆 1 2𝜆 𝜆2𝜆 2 2𝜆 𝜆 2𝜆2 𝜆3 2 2𝜆 2 𝜆 2𝜆2 𝜆3 2 𝜆 2 𝜆𝜆2 2 𝜆 2 𝜆𝜆2 2 𝜆𝜆2 1 Os autovalores são as raízes da equação acima No caso temos 𝜆 2 𝜆 1 e 𝜆 1 Como 𝐴 é uma matriz de dimensões 3x3 e foram encontrados 3 autovalores associados concluise que 𝐴 é diagonalizável Note que para toda matriz diagonalizável existem 𝑃 e 𝐷 tais que 𝑃1𝐴𝑃 𝐷 No caso 𝑃 é a matriz que diagonaliza 𝐴 e 𝐷 é a matriz com os autovalores de 𝐴 na diagonal 𝑫 𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 Assim toda matriz diagonalizável pode ser escrita da seguinte maneira 𝐴 𝑃𝐷𝑃1 Para encontrar os autovetores autoespaços associados recorrese à seguinte relação 𝐴 𝜆𝐼𝑉 0 Para 𝜆 2 temse 1 0 1 0 1 1 1 1 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 𝑉 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 𝑥 𝑦 𝑧 0 0 0 Daí temse o sistema de equações a seguir 𝑥 𝑧 0 𝑦 𝑧 0 𝑥 𝑦 2𝑧 0 Logo 𝑥 𝑧 𝑦 𝑧 Fazendo 𝑧 1 o vetor 𝑉 1 111 é um autovetor associado Para 𝜆 1 temse 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 𝑉 0 2 0 1 0 2 1 1 1 1 𝑥 𝑦 𝑧 0 0 0 Daí temse o sistema de equações a seguir 2𝑥 𝑧 0 2𝑦 𝑧 0 𝑥 𝑦 𝑧 0 Logo 𝑥 𝑧 2 𝑦 𝑧 2 Fazendo 𝑧 2 o vetor 𝑉 2 11 2 é um autovetor associado Para 𝜆 1 temse 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 𝑉 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 𝑥 𝑦 𝑧 0 0 0 Daí temse o sistema de equações a seguir 𝑧 0 𝑥 𝑦 𝑧 0 Logo 𝑥 𝑦 Fazendo 𝑦 1 o vetor 𝑉 3 1 10 é um autovetor associado Assim colocando os autovetores nas colunas temos 𝑷 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟎