Variáveis Separáveis E d o P v i

Cálculo 3 Lista de Exercícios 1 1 Verifique quais edo são de variáveis separáveis a y x2 y b y cosxy c y x 0 d y xy2 1 e y xy xy2 2 Determine as soluções caso existam das seguintes edos a y xy b y senxcosy c y x21y12 d y 1 y2 3 Determine as soluções não constantes das seguintes edos a y y2 x b y cosxy4 c y x2 1ey d y x2 1 4 Encontre as soluções dos seguintes pvi a y xy2 y0 1 b y xy y0 c y xy2 1 y0 1 5 Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo encontre as famílias de soluções a 2xy x2 y 0 b 1 y 0 c 2x 2xyy 0 d xy xyy 0 e cosx cosxyy 0 6 Resolva a y y 2 b y ysenx c y 3y 4 d y y x 7 Um material radioativo se desintegra a uma taxa dmdt proporcional a m em que m mt é a quantidade de matéria no instante t Supondo que a quantidade inicial em t 0 de matéria seja m0 e que 10 anos após já tenha se desintegrado 13 da quantidade inicial pedese o tempo necessário para que metade da quantidade inicial se desintegre Questão 1 Verifique quais EDOs são de variáveis separáveis a y x2 y Para verificar se essa EDO é separável vamos tentar escrever a equação na forma dydx gxhy onde gx é uma função de x e hy é uma função de y Reescrevendo a equação dada temos dydx x2 y Vamos reorganizar a equação para ver se conseguimos isolar termos de x e y separadamente Subtraímos y dos dois lados dydx y x2 Isso não pode ser escrito como um produto de uma função de x e uma função de y Portanto a EDO não é separável b y cosx y Aqui reescrevemos a EDO na forma dydx cosx y Podemos reescrever isso como dydx cosx y Podemos separar as variáveis y e x 1y dydx cosx Integrando ambos os lados com relação a x temos 1y dy cosx dx Isso mostra que a EDO é separável c y x 0 Reescrevemos a EDO como dydx x Aqui a equação pode ser escrita como dydx x o que é uma função apenas de x e não envolve y Portanto a EDO é separável Integrando ambos os lados com relação a x temos Integral dy Integral x dx Isso mostra que a EDO é separável d y xy2 1 Reescrevemos a EDO como dydx xy2 1 Separando as variáveis temos 1y2 1 dy x dx Integrando ambos os lados temos Integral 1y2 1 dy Integral x dx Isso mostra que a EDO é separável e y xy xy2 Reescrevemos a EDO como dydx xy xy2 Podemos fatorar o lado direito dydx xy1 y Separando as variáveis temos 1y1 y dy x dx Integrando ambos os lados temos Integral 1y1 y dy Integral x dx Isso mostra que a EDO é separável Questão 2 Determine as soluções caso existam das seguintes EDOs a y xy Esta EDO é separável Podemos reescrevêla como dydx xy Separando as variáveis temos 1y dydx x Integrando ambos os lados com relação a x Integral 1y dy Integral x dx A integral da esquerda é lny e a integral da direita é x22 lny x22 C onde C é a constante de integração Exponenciando ambos os lados obtemos y ex22 C Podemos simplificar isso para y eC ex22 Chamando eC de C a solução é y C ex22 b y sinxcosy Esta EDO também é separável Podemos reescrevêla como dydx sinxcosy Separando as variáveis temos 1cosy dy sinx dx Integrando ambos os lados com relação a x Integral 1cosy dy Integral sinx dx A integral da esquerda é lnsecy tany e a integral da direita é cosx lnsecy tany cosx C c y x2 1y 1 Esta EDO é separável Reescrevemos como dydx x2 1y 1 Separando as variáveis temos y 1 dy x2 1 dx Integrando ambos os lados temos Integral y 1 dy Integral x2 1 dx A integral da esquerda é y22 y e a integral da direita é x33 x y22 y x33 x C d y 1 y2 Esta EDO é separável Reescrevemos como dydx 1 y2 Separando as variáveis temos 11 y2 dy dx Integrando ambos os lados temos Integral 11 y2 dy Integral dx A integral da esquerda é arctany e a integral da direita é x arctany x C a y xy Esta EDO é separável Podemos reescrevêla como dydx xy Separando as variáveis temos 1y dydx x Integrando ambos os lados com relação a x Integral 1y dy Integral x dx A integral da esquerda é lny e a integral da direita é x22 lny x22 C Exponenciando ambos os lados obtemos yex22 C Chamando eC de C a solução é yCex22 b y sinx cosy Esta EDO é separável Podemos reescrevêla como dydx sinx cosy Separando as variáveis temos 1cosy dy sinx dx Integrando ambos os lados com relação a x 1cosy dy sinx dx A integral da esquerda é ln secy tany e a integral da direita é cosx ln secy tany cosx C Neste caso a solução é implícita e não é possível isolar y explicitamente c y x2 1 y 1 Esta EDO é separável Reescrevemos como dydx x2 1 y 1 Separando as variáveis temos y 1 dy x2 1 dx Integrando ambos os lados temos y 1 dy x2 1 dx A integral da esquerda é y22 y e a integral da direita é x33 x y22 y x33 x C Neste caso a solução é implícita e não é possível isolar y explicitamente d y 1 y2 Esta EDO é separável Reescrevemos como dydx 1 y2 Separando as variáveis temos 11 y2 dy dx Integrando ambos os lados temos 11 y2 dy dx A integral da esquerda é arctany e a integral da direita é x arctany x C Isolando y obtemos y tanx C Questão 3 Determine as soluções não constantes das seguintes EDOs a y y2 x Para resolver esta EDO começamos verificando se ela é separável Podemos reescrevêla como dydx y2 x Separando as variáveis y e x temos 1y2 dy x dx Agora integramos ambos os lados Para a integral da esquerda usamos 1y2 dy x dx A integral da esquerda é y2 dy y1 1y A integral da direita é x dx x22 Assim temos 1y x22 C onde C é a constante de integração Isolando y obtemos 1y x22 C Portanto y 1 x22 C Esta é a solução não constante da EDO b y cosxy4 Esta EDO também é separável Podemos reescrevêla como dydx cosx y4 Separando as variáveis temos 1y4 dy cosx dx Integramos ambos os lados Para a integral da esquerda usamos 1y4 dy cosx dx A integral da esquerda é y4 dy 13 y3 13 y3 A integral da direita é cosx dx sinx Assim temos 13 y3 sinx C Isolando y obtemos 13 y3 sinx C Portanto y3 1 3 sinx 3C E finalmente y 1 3 sinx 3C13 Esta é a solução não constante da EDO Questão 4 Determine as soluções não constantes das seguintes EDOs a y xy² y0 1 Esta EDO é separável Vamos reescrevêla como dydx xy² Separando as variáveis y e x temos 1y² dy x dx Agora integramos ambos os lados Para a integral da esquerda temos 1y² dy x dx A integral da esquerda é y² dy 1y A integral da direita é x dx x²2 Assim temos 1y x²2 C Isolando y obtemos 1y x²2 C y 1 x²2 C Para encontrar a constante C usamos a condição inicial y0 1 1 1 0²2 C C 1 Portanto a solução é y 1 x²2 1 b y xy y0 k Esta EDO é separável Vamos reescrevêla como dydx xy Separando as variáveis y e x temos y dy x dx Agora integramos ambos os lados Para a integral da esquerda temos y dy x dx A integral da esquerda é y dy y²2 A integral da direita é x dx x²2 Assim temos y²2 x²2 C Isolando y obtemos y² x² 2C Para encontrar a constante C usamos a condição inicial y0 k k² 0 2C C k²2 Portanto a solução é y² x² k² y x² k² c y xy² 1 y0 1 Esta EDO é separável Vamos reescrevêla como dydx xy² 1 Separando as variáveis y e x temos 1y² 1 dy x dx Agora integramos ambos os lados Para a integral da esquerda usamos a decomposição em frações parciais Primeiro fatoramos y² 1 y² 1 y 1y 1 Decompondo 1y² 1 em frações parciais temos c y x² 1expy Esta EDO é separável Reescrevemos como dydx x² 1expy Separando as variáveis temos expy dy x² 1 dx Integramos ambos os lados Para a integral da esquerda usamos expy dy x² 1 dx A integral da esquerda é expy dy expy A integral da direita é x² 1 dx x³3 x Assim temos expy x³3 x C Isolando y obtemos y lnx³3 x C Esta é a solução não constante da EDO d y x² 1 Para resolver esta EDO integramos diretamente A EDO pode ser reescrita como dydx x² 1 Integrando ambos os lados com relação a x dy x² 1 dx A integral da direita é x² 1 dx x³3 x C Portanto a solução é y x³3 x C onde C é a constante de integração Esta é a solução não constante da EDO 1 y² 1 1 y 1y 1 A y 1 B y 1 Multiplicando ambos os lados por y 1y 1 obtemos 1 Ay 1 By 1 Expandindo e agrupando termos semelhantes temos 1 A By A B Igualando os coeficientes de y e os termos constantes obtemos A B 0 e A B 1 Resolvendo esse sistema de equações temos A 12 e B 12 Portanto 1 y² 1 12 1 y 1 1 y 1 Integrando a fração temos 1 y² 1 dy 12 1 y 1 1 y 1 dy A integral da esquerda é 12 ln y 1 ln y 1 12 ln y 1y 1 A integral da direita é x dx x² 2 Assim temos 12 ln y 1y 1 x² 2 C Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos ln y 1y 1 x² 2C Para simplificar a constante podemos chamar 2C de uma nova constante C ln y 1y 1 x² C Para isolar y usamos a exponenciação para eliminar o logaritmo y 1y 1 ex² C Podemos escrever eC como uma nova constante C y 1y 1 C ex² Isolando y temos y 1 Cex2y 1 y 1 Cex2y Cex2 y Cex2y Cex2 1 y1 Cex2 Cex2 1 y Cex2 1 1 Cex2 Para encontrar a constante C usamos a condicao inicial y0 1 1 Ce0 1 1 Ce0 1 C 1 1 C Resolvendo para C 1 C C 1 1 C C 1 2C 0 C 0 Portanto a solucao com C 0 e y 1 Questao 5 Verifique se as seguintes equacoes sao exatas e em caso afirmativo encontre as famılias de solucao a 2xy x2y 0 Para verificar se a equacao e exata primeiro precisamos reescrevˆela na forma Mx y dx Nx y dy 0 Reescrevemos a EDO dada como 2xy x2 dy dx 0 Podemos rearranjar para obter x2 dy dx 2xy Dividindo ambos os lados por x2 dy dx 2xy x2 Rearranjando temos dy dx 2y x Reescrevemos isso na forma diferencial xdy dx 2y 0 Aqui Mx y x e Nx y 2y Para que a equacao seja exata a condicao a ser verificada e 12 My Nx Calculando as derivadas parciais My y x 0 Nx x 2y 0 Como My Nx A equação é exata Para encontrar a família de soluções procuramos uma função Φx y tal que Φx M e Φy N Integrando M com relação a x Φx y x dx x²2 gy Onde gy é uma função arbitrária de y Para encontrar gy usamos Φy Φy gy Comparando com N gy 2y Integrando gy gy 2y dy y² C Assim a função Φ é Φx y x²2 y² C Então a família de soluções é x²2 y² C Ou reescrevendo em termos de C x² 2y² 2C b 1 y 0 Para verificar se a equação é exata primeiro precisamos reescrevêla na forma Mx y dx Nx y dy 0 A EDO dada é 1 y 0 Podemos reescrever isso como y 1 Isso pode ser rearranjado para dydx 1 Reescrevendo isso na forma diferencial temos dydx 1 Ou em termos de diferenciais dy dx A equação pode ser reescrita como dx dy 0 Aqui Mx y 1 e Nx y 1 Para que a equação seja exata a condição a ser verificada é My Nx Calculando as derivadas parciais My y 1 0 Nx x 1 0 Como My Nx A equação é exata Para encontrar a família de soluções procuramos uma função Φx y tal que Φx M e Φy N Integrando M com relação a x Φx y 1 dx x gy Onde gy é uma função arbitrária de y Para encontrar gy usamos Φy Φy gy Comparando com N gy 1 Integrando gy gy 1 dy y C Assim a função Φ é Φx y x y C Então a família de soluções é x y C c 2x 2yy 0 Para verificar se a equação é exata primeiro precisamos reescrevêla na forma Mx y dx Nx y dy 0 Reescrevemos a EDO dada como 2x 2y dydx 0 Rearranjando para obter 2y dydx 2x Ou dydx xy Reescrevemos isso na forma diferencial y dy x dx y dy x dx 0 Aqui Mx y x e Nx y y Para que a equação seja exata a condição a ser verificada é My Nx Calculando as derivadas parciais My y x 0 Nx x y 0 Como My Nx A equação é exata Para encontrar a família de soluções procuramos uma função Φx y tal que Φx M e Φy N Integrando M com relação a x Φx y x dx x22 gy Onde gy é uma função arbitrária de y Para encontrar gy usamos Φy Φy gy Comparando com N gy y Integrando gy gy y dy y22 C Assim a função Φ é Φx y x22 y22 C Então a família de soluções é x22 y22 C Ou reescrevendo x2 y2 2C d xy xy y 0 Para verificar se a equação é exata primeiro precisamos reescrevêla na forma Mx y dx Nx y dy 0 Reescrevemos a EDO dada como xy xy dydx 0 Rearranjando para obter xy dydx xy Dividindo ambos os lados por xy dydx 1 Reescrevendo isso na forma diferencial dy dx A equação pode ser reescrita como dx dy 0 Aqui Mx y 1 e Nx y 1 Para que a equação seja exata a condição a ser verificada é Calculando as derivadas parciais My y 1 0 Nx x 1 0 Como My Nx A equação é exata Para encontrar a família de soluções procuramos uma função Φx y tal que Φx M e Φy N Integrando M com relação a x Φx y 1 dx x gy Onde gy é uma função arbitrária de y Para encontrar gy usamos Φy Φy gy Comparando com N gy 1 Integrando gy gy 1 dy y C Assim a função Φ é Φx y x y C Então a família de soluções é x y C e cosx cosxy y 0 Para verificar se a equação é exata primeiro precisamos reescrevêla na forma Mx y dx Nx y dy 0 Reescrevemos a EDO dada como cosx cosxy dydx 0 Rearranjando para obter cosxy dydx cosx Ou dydx cosxcosxy Reescrevendo isso na forma diferencial cosxy dy cosx dx 0 Aqui Mxy cosx e Nxy cosxy Para que a equação seja exata a condição a ser verificada é My Nx Calculando as derivadas parciais My y cosx 0 Nx x cosxy y sinxy Como My 0 y sinxy Nx A equação não é exata Questão 6 Resolva as seguintes equações diferenciais a y y 2 Para resolver a equação diferencial y y 2 usando o método de separação de variáveis começamos rearranjando a equação para separar as variáveis Reescrevemos a equação como dydx y 2 Isolando y no lado direito dydx y 2 Para facilitar a separação das variáveis movemos todos os termos envolvendo y para um lado e os termos envolvendo x para o outro lado dyy 2 dx Agora integramos ambos os lados da equação Primeiro integramos o lado esquerdo com relação a y 1y 2 dy Para integrar essa expressão fazemos uma substituição Deixe u y 2 Então du dy ou dy du Substituindo na integral 1u du 1u du lnu C₁ Voltando para a variável y lny 2 C₁ O lado direito da equação é integrado com relação a x dx x C₂ Agora igualamos as integrais lny 2 x C Onde C C₂ C₁ é uma nova constante de integração Simplificando a expressão lny 2 x C Aplicando a exponenciação para resolver para y y 2 ex C Escrevendo a constante eC como uma nova constante C y 2 Cex Para remover o valor absoluto consideramos duas possibilidades y 2 Cex ou y 2 Cex Resolvendo para y y 2 Cex ou y 2 Cex Onde C é uma constante de integração Portanto a solução geral da equação diferencial é y 2 Cex onde C é uma constante que pode ser positiva ou negativa b y y sinx Para resolver a equação diferencial y y sinx usando o método de separação de variáveis começamos rearranjando a equação para separar as variáveis Reescrevemos a equação como dydx y sinx Isolando y no lado direito dyy sinx dx Agora integramos ambos os lados da equação Primeiro integramos o lado esquerdo com relação a y 1y dy lny C₁ Para o lado direito integramos com relação a x sinx dx cosx C₂ Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração lny cosx C Onde C C₂ C₁ é uma nova constante de integração Para resolver para y aplicamos a exponenciação y ecosxC Podemos escrever eC como uma nova constante C y Cecosx Como y pode ser positivo ou negativo removemos o valor absoluto y Cecosx Onde C é uma constante de integração Para simplificar substituímos C por uma nova constante C que pode ser qualquer valor real y Cecosx Portanto a solução geral da equação diferencial é y Cecosx onde C é uma constante de integração c y 3y 4 Para resolver a equação diferencial y 3y 4 usando o método de separação de variáveis começamos rearranjando a equação para separar as variáveis Primeiro reescrevemos a equação como dydx 3y 4 Podemos reorganizar para isolar dydx dydx 3y 4 Isolamos os termos que envolvem y de um lado e dx do outro lado dy3y 4 dx Agora integramos ambos os lados da equação Primeiro integramos o lado esquerdo com relação a y 13y 4 dy Para integrar essa expressão fazemos uma substituição Deixe u 3y 4 Então du 3 dy ou dy 13 du Substituindo na integral 1u 13 du 13 1u du 13 lnu C₁ Voltando para a variável y 13 ln3y 4 C₁ Para o lado direito da equação integramos com relação a x dx x C2 Igualamos as integrais 13 ln3y 4 x C Onde C C2 C1 é uma nova constante de integração Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar ln3y 4 3x C Aplicando a exponenciação para resolver para y 3y 4 e3xC Podemos escrever eC como uma nova constante C 3y 4 Ce3x Como y pode ser positivo ou negativo removemos o valor absoluto 3y 4 Ce3x Resolvendo para y y Ce3x 4 3 Para simplificar substituímos C por uma nova constante C que pode ser qualquer valor real y Ce3x 4 3 Portanto a solução geral da equação diferencial é y Ce3x 4 3 onde C é uma constante de integração Questão 7 Um material radioativo se desintegra a uma taxa dmdt proporcional a m onde m mt é a quantidade de matéria no instante t Supondo que a quantidade inicial em t 0 de matéria seja m0 e que 10 anos após já tenha se desintegrado 13 da quantidade inicial pedese o tempo necessário para que metade da quantidade inicial se desintegre Para resolver essa questão siga os seguintes passos Passo 1 Modelar a equação diferencial A taxa de desintegração é proporcional à quantidade de matéria presente o que pode ser modelado pela seguinte equação diferencial dmdt km onde k é a constante de proporcionalidade e o sinal negativo indica que a quantidade de matéria está diminuindo com o tempo Passo 2 Resolver a equação diferencial Para resolver essa equação diferencial usamos o método de separação de variáveis Reescrevemos a equação como dmm k dt Agora integramos ambos os lados 1m dm k dt A integral do lado esquerdo é lnm kt C Para encontrar a constante C usamos a condição inicial Quando t 0 m m0 lnm0 C Então substituímos C lnm kt ln m0 Exponenciando ambos os lados para resolver para m m m0 ekt Passo 3 Aplicar a condição dada para encontrar k Foi dado que 10 anos após já se desintegrou 13 da quantidade inicial Portanto após 10 anos a quantidade restante é 23 da quantidade inicial m0 Assim m10 23 m0 Substituímos na fórmula da solução geral 23m0 m0 e10k Dividindo ambos os lados por m0 23 e10k Para encontrar k tomamos o logaritmo natural de ambos os lados ln23 10k k 110 ln23 Passo 4 Determinar o tempo necessário para que metade da quantidade inicial se desintegre Queremos encontrar o tempo t quando a quantidade restante for a metade da quantidade inicial Ou seja queremos m 12 m0 12m0 m0 ekt Dividindo ambos os lados por m0 12 ekt Tomando o logaritmo natural de ambos os lados ln12 kt Substituindo k na equação ln12 110 ln23 t Resolvendo para t t ln12 110 ln23 Podemos simplificar usando a propriedade dos logaritmos ln12 ln 2 Então t ln 2 110 ln23 10 ln 2 ln32 Portanto o tempo necessário para que metade da quantidade inicial se desintegre é t 10 ln 2 ln32 t 612 anos