2 Exs sobre Métodos de Energia

Técnicas de Análise Estrutural e Projeto UFABCCECSEng Aeroespacial Prof João B de Aguiar Lista de Exercícios I P1 A viga ABC tem secção transversal retangular b x h de 100 mm por 300 mm A barra acoplada DB possui tem diâmetro D de 20 mm Se ambos elementos forem construídos de aço A36 A carga pontual P de 20 kN é aplicada no ponto C As dimensões de elementos da estrutura são incluídas na figura Utilizando o método da energia determine a O deslocamento vertical e rotação no ponto C b O deslocamento e rotação no ponto B P2 Na estrutura em L da figura a seguir material perfil e secções transversais são constantes EI constante Cargas pontuais P de 3 KN e Q de 4 KN são aplicadas como indicado Um momento flexor de M de 18 KNm é aplicado em C As dimensões do problema são apresentadas na figura Utilizando o método da energia determinar a O deslocamento horizontal no ponto C b O deslocamento horizontal no ponto B P3 O anel de raio médio R e secção transversal constante EI constante mostrado abaixo repousa sobre uma superfície rígida A carga pontual vertical P é aplicada como indicado Utilizando o método da energia compute a O deslocamento vertical do ponto onde é aplicada a carga ponto B b O deslocamento lateral dos pontos a 90 graus de B P4 O eixo AC é suportado em mancais A e C como mostrado abaixo e suporta duas polias de diâmetro D de 50 mm Estas correias carregam trações também indicadas na figura O eixo é fabricado de aço A36 tendo diâmetro d de 30 mm Utilizando o método da energia compute a O deslocamento do ponto B do eixo de aço b A inclinação do eixo na posição do mancal esquerdo A P5 Na treliça mostrada todas as barras possuem o mesmo material aço A36 e secção transversal de área 400 mm2 As cargas agentes P de 5 kN e Q de 10 kN agem nos pontos indicados As dimensões necessárias também são apresentadas na figura Utilizando o método da energia determine a O deslocamento horizontal do ponto C b O deslocamento vertical do ponto D Questão P2 a Coordenadas adotadas Adicionando forças fictícias horizontais nos pontos B e C Cálculo dos esforços normal e fletor na barra BC em função de P Q M Fb e Fc F x0 Nbc x Fc0 Nbc x Fc M 0 M bc x MP x0 M bc x MP x Cálculo dos esforços normal e fletor na barra AB em função de P Q e M F y0 Nab y P0 Nab y P M 0 M ab y1M P 18mFc y1Fb y100 y115m M ab y2M P 18mQ y2Fc15 y2Fb15 y200 y215 m M ab y1MP 18mFc y1Fb y10 y115m M ab y2MP 18mQ y2Fc 15 y2Fb15 y20 y215m Derivadas dos esforços em relação às forças fictícias N ab Fb 0 N bc Fb 0 N ab Fc 0 N bc Fc 1 M ab Fb y10 y115m M ab Fb 15 y20 y115m M bc Fb 0 M ab Fc y10 y115m M ab Fc 15 y20 y115m M bc Fc 0 Corrigindo os esforços sabendo que as forças fictícias são nulas Fb0e Fc0 Nbc x 0 M bc x MP x Nab y P M ab y1MP18m0 y115m M ab y2MP 18mQ y20 y215m Energia de deformação U N 2L 2 A E M 2 2 EI dl Cálculo da expressão do deslocamento do ponto C xc U Fc xc Fc N 2 L 2 A E M 2 2E I dl xc N Fc N L A E M Fc M E I dl xc0 N ab Lab A E 1 0Lbc A E y1 MP18m EI d y1 15y2 MP 18mQ y2 E I d y20 M P x E I d x xc00 y1 M P18m E I d y115 y2 MP 18mQ y2 E I d y20 xc 0 15 y1 MP 18m EI d y1 0 15 15 y2 MP 18mQ y2 E I d y20 xc EI 0 15 y1 MP 18md y1 0 1 5 15 y2M P 18mQ y2d y2 xc EI 0 15 72 y1d y1 0 15 1081324 y 2d y2 xc EI 4365kN m 3 xc 4365kN m 3 EI paraesquerda b Cálculo da expressão do deslocamento do ponto B xb U Fb xb Fb N 2 L 2 A E M 2 2 E I dl xb N Fb N L A E M Fb M EI dl xb0 Nab Lab A E 0 Nbc Lbc A E y1 MP 18m E I d y115y2 MP18mQ y2 EI d y2 0 MPx EI dx xb00 y1 M P 18m E I d y1 15 y2 M P 18mQ y2 EI d y20 xb 0 15 y1 M P18m E I d y1 0 1 5 15 y2 M P18mQ y2 EI d y20 xbE I 0 15 y1 M P18md y1 0 15 15 y2 MP 18mQ y2d y2 xbE I 0 15 72 y1d y1 0 1 5 1081324 y 2d y2 xbE I4365kN m 3 xb 43 65kN m 3 EI paraesquerda Os pontos B e C se deslocam para a esquerda na mesma quantidade porque a barra BC não sobre esforço axial Questão P5 a Cálculo das reações de apoio em função de P e Q M B0 Rax2Q 150 Rax0 75Q F x0 RaxRbxP0 075QRbxP0 RbxP075Q F y0 RbyQ0 RbyQ Cálculo do ângulo da barra inclinada θarctan 2 155313 Equilíbrio do ponto B F x0 RbxFbc0 FbcRbx FbcP075Q F y0 RbyFab0 QFab0 FabQ Equilíbrio do ponto D F x0 Fad0 F y0 FcdQ0 FcdQ Equilíbrio do ponto C F x0 FbcPFaccos53130 FbcPFac060 FacPP075Q 06 Fac075Q 06 Fac125Q Cálculo do comprimento da barra inclinada Lac2 215 2 Lac25m Cálculo da energia de deformação total em função de P e Q U F 2 L 2 A E U Fab 2 LabFbc 2 LbcFac 2 LacFad 2 LadFcd 2 Lcd 2 A E U Q 2 2mP075Q 2 15m125Q 2 25m0 215mQ 2 2m 2 400m m 2 20010 3Nm m 2 U 875mQ 215mP 2225mPQ 1610 7 N Cálculo do deslocamento horizontal do ponto C xcU P xc P 875mQ 215m P 2225mPQ 1610 7 N xc 875m015m2 P225m1Q 1610 7 N xc 875m015m2 5000 N 225m110000 N 1610 7N xc 15m2 5000N 225m1 10000 N 1610 7 N xc 37500N m 1610 7N xc0000234375m paraesquerda b Cálculo do deslocamento vertical do ponto D ydU Q yd Q 875mQ 215m P 2225mPQ 1610 7 N yd 875m2Q15m0225m P1 1610 7 N yd 875m2 10000 N 15m0225 m 5000N 1 1610 7N yd 186250 N m 1610 7N yd00011640625m parabaixo Barbershop henning Make an appointment Classic barber shop on the beautiful Kneipstrasse in the medieval quarter of Heidelberg We offer mens haircuts shaves beard trimming and much more See you soon are you ready for a new look Barbershop henning Heuergasse 8 69117 Heidelberg infobarbershophenningde 49 6221 9157077 wwwbarbershophenningde Open Tue to Fri 10 am to 7 pm Sat 10 am to 3 pm RISE KREATIV AN DER KURPFALZ914WEBDE 0163375 05 33 Heiniger 3 Heidelberg KurpfJ Music and more 7AM with STUFFRest of the text is unclear Questão P2 a Coordenadas adotadas Adicionando forças fictícias horizontais nos pontos B e C Cálculo dos esforços normal e fletor na barra BC em função de P Q M 𝐹𝑏 e 𝐹𝑐 𝐹𝑥 0 𝑁𝑏𝑐𝑥 𝐹𝑐 0 𝑁𝑏𝑐𝑥 𝐹𝑐 𝑀 0 𝑀𝑏𝑐𝑥 𝑀 𝑃 𝑥 0 𝑀𝑏𝑐𝑥 𝑀 𝑃 𝑥 Cálculo dos esforços normal e fletor na barra AB em função de P Q e M 𝐹𝑦 0 𝑁𝑎𝑏𝑦 𝑃 0 𝑁𝑎𝑏𝑦 𝑃 𝑀 0 𝑀𝑎𝑏𝑦1 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝐹𝑐 𝑦1 𝐹𝑏 𝑦1 0 0 𝑦1 15 𝑚 𝑀𝑎𝑏𝑦2 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝑄 𝑦2 𝐹𝑐 15 𝑦2 𝐹𝑏 15 𝑦2 0 0 𝑦2 15 𝑚 𝑀𝑎𝑏𝑦1 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝐹𝑐 𝑦1 𝐹𝑏 𝑦1 0 𝑦1 15 𝑚 𝑀𝑎𝑏𝑦2 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝑄 𝑦2 𝐹𝑐 15 𝑦2 𝐹𝑏 15 𝑦2 0 𝑦2 15 𝑚 Derivadas dos esforços em relação às forças fictícias 𝑁𝑎𝑏 𝐹𝑏 0 𝑁𝑏𝑐 𝐹𝑏 0 𝑁𝑎𝑏 𝐹𝑐 0 𝑁𝑏𝑐 𝐹𝑐 1 𝑀𝑎𝑏 𝐹𝑏 𝑦1 0 𝑦1 15 𝑚 𝑀𝑎𝑏 𝐹𝑏 15 𝑦2 0 𝑦1 15 𝑚 𝑀𝑏𝑐 𝐹𝑏 0 𝑀𝑎𝑏 𝐹𝑐 𝑦1 0 𝑦1 15 𝑚 𝑀𝑎𝑏 𝐹𝑐 15 𝑦2 0 𝑦1 15 𝑚 𝑀𝑏𝑐 𝐹𝑐 0 Corrigindo os esforços sabendo que as forças fictícias são nulas 𝐹𝑏 0 𝑒 𝐹𝑐 0 𝑁𝑏𝑐𝑥 0 𝑀𝑏𝑐𝑥 𝑀 𝑃 𝑥 𝑁𝑎𝑏𝑦 𝑃 𝑀𝑎𝑏𝑦1 𝑀 𝑃 18 𝑚 0 𝑦1 15 𝑚 𝑀𝑎𝑏𝑦2 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝑄 𝑦2 0 𝑦2 15 𝑚 Energia de deformação 𝑈 𝑁2 𝐿 2 𝐴 𝐸 𝑀2 2 𝐸 𝐼 𝑑𝑙 Cálculo da expressão do deslocamento do ponto C 𝑥𝑐 𝑈 𝐹𝑐 𝑥𝑐 𝐹𝑐 𝑁2 𝐿 2 𝐴 𝐸 𝑀2 2 𝐸 𝐼 𝑑𝑙 𝑥𝑐 𝑁 𝐹𝑐 𝑁 𝐿 𝐴 𝐸 𝑀 𝐹𝑐 𝑀 𝐸 𝐼 𝑑𝑙 𝑥𝑐 0 𝑁𝑎𝑏 𝐿𝑎𝑏 𝐴 𝐸 1 0 𝐿𝑏𝑐 𝐴 𝐸 𝑦1 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝐸 𝐼 𝑑𝑦1 15 𝑦2 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝑄 𝑦2 𝐸 𝐼 𝑑𝑦2 0 𝑀 𝑃 𝑥 𝐸 𝐼 𝑑𝑥 𝑥𝑐 0 0 𝑦1 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝐸 𝐼 𝑑𝑦1 15 𝑦2 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝑄 𝑦2 𝐸 𝐼 𝑑𝑦2 0 𝑥𝑐 𝑦1 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝐸 𝐼 𝑑𝑦1 15 0 15 𝑦2 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝑄 𝑦2 𝐸 𝐼 𝑑𝑦2 15 0 0 𝑥𝑐 𝐸 𝐼 𝑦1 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝑑𝑦1 15 0 15 𝑦2 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝑄 𝑦2 𝑑𝑦2 15 0 𝑥𝑐 𝐸 𝐼 72 𝑦1 𝑑𝑦1 15 0 108 132 4𝑦2 𝑑𝑦2 15 0 𝑥𝑐 𝐸 𝐼 4365 𝑘𝑁 𝑚3 𝒙𝒄 𝟒𝟑 𝟔𝟓 𝒌𝑵 𝒎𝟑 𝑬𝑰 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂 b Cálculo da expressão do deslocamento do ponto B 𝑥𝑏 𝑈 𝐹𝑏 𝑥𝑏 𝐹𝑏 𝑁2 𝐿 2 𝐴 𝐸 𝑀2 2 𝐸 𝐼 𝑑𝑙 𝑥𝑏 𝑁 𝐹𝑏 𝑁 𝐿 𝐴 𝐸 𝑀 𝐹𝑏 𝑀 𝐸 𝐼 𝑑𝑙 𝑥𝑏 0 𝑁𝑎𝑏 𝐿𝑎𝑏 𝐴 𝐸 0 𝑁𝑏𝑐 𝐿𝑏𝑐 𝐴 𝐸 𝑦1 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝐸 𝐼 𝑑𝑦1 15 𝑦2 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝑄 𝑦2 𝐸 𝐼 𝑑𝑦2 0 𝑀 𝑃 𝑥 𝐸 𝐼 𝑑𝑥 𝑥𝑏 0 0 𝑦1 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝐸 𝐼 𝑑𝑦1 15 𝑦2 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝑄 𝑦2 𝐸 𝐼 𝑑𝑦2 0 𝑥𝑏 𝑦1 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝐸 𝐼 𝑑𝑦1 15 0 15 𝑦2 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝑄 𝑦2 𝐸 𝐼 𝑑𝑦2 15 0 0 𝑥𝑏 𝐸 𝐼 𝑦1 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝑑𝑦1 15 0 15 𝑦2 𝑀 𝑃 18 𝑚 𝑄 𝑦2 𝑑𝑦2 15 0 𝑥𝑏 𝐸 𝐼 72 𝑦1 𝑑𝑦1 15 0 108 132 4𝑦2 𝑑𝑦2 15 0 𝑥𝑏 𝐸 𝐼 4365 𝑘𝑁 𝑚3 𝒙𝒃 𝟒𝟑 𝟔𝟓 𝒌𝑵 𝒎𝟑 𝑬𝑰 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂 Os pontos B e C se deslocam para a esquerda na mesma quantidade porque a barra BC não sobre esforço axial Questão P5 a Cálculo das reações de apoio em função de P e Q 𝑀𝐵 0 𝑅𝑎𝑥 2 𝑄 15 0 𝑅𝑎𝑥 075 𝑄 𝐹𝑥 0 𝑅𝑎𝑥 𝑅𝑏𝑥 𝑃 0 075 𝑄 𝑅𝑏𝑥 𝑃 0 𝑅𝑏𝑥 𝑃 075 𝑄 𝐹𝑦 0 𝑅𝑏𝑦 𝑄 0 𝑅𝑏𝑦 𝑄 Cálculo do ângulo da barra inclinada 𝜃 arctan 2 15 5313 Equilíbrio do ponto B 𝐹𝑥 0 𝑅𝑏𝑥 𝐹𝑏𝑐 0 𝐹𝑏𝑐 𝑅𝑏𝑥 𝐹𝑏𝑐 𝑃 075 𝑄 𝐹𝑦 0 𝑅𝑏𝑦 𝐹𝑎𝑏 0 𝑄 𝐹𝑎𝑏 0 𝐹𝑎𝑏 𝑄 Equilíbrio do ponto D 𝐹𝑥 0 𝐹𝑎𝑑 0 𝐹𝑦 0 𝐹𝑐𝑑 𝑄 0 𝐹𝑐𝑑 𝑄 Equilíbrio do ponto C 𝐹𝑥 0 𝐹𝑏𝑐 𝑃 𝐹𝑎𝑐 cos 5313 0 𝐹𝑏𝑐 𝑃 𝐹𝑎𝑐 06 0 𝐹𝑎𝑐 𝑃 𝑃 075 𝑄 06 𝐹𝑎𝑐 075 𝑄 06 𝐹𝑎𝑐 125 𝑄 Cálculo do comprimento da barra inclinada 𝐿𝑎𝑐 22 152 𝐿𝑎𝑐 25 𝑚 Cálculo da energia de deformação total em função de P e Q 𝑈 𝐹2 𝐿 2 𝐴 𝐸 𝑈 𝐹𝑎𝑏 2 𝐿𝑎𝑏 𝐹𝑏𝑐 2 𝐿𝑏𝑐 𝐹𝑎𝑐 2 𝐿𝑎𝑐 𝐹𝑎𝑑 2 𝐿𝑎𝑑 𝐹𝑐𝑑 2 𝐿𝑐𝑑 2 𝐴 𝐸 𝑈 𝑄2 2 𝑚 𝑃 075 𝑄2 15 𝑚 125 𝑄2 25 𝑚 02 15 𝑚 𝑄2 2 𝑚 2 400 𝑚𝑚2200103 𝑁 𝑚𝑚2 𝑈 875 𝑚 𝑄2 15 𝑚 𝑃2 225 𝑚 𝑃 𝑄 16107 𝑁 Cálculo do deslocamento horizontal do ponto C 𝑥𝑐 𝑈 𝑃 𝑥𝑐 𝑃 875 𝑚 𝑄2 15 𝑚 𝑃2 225 𝑚 𝑃 𝑄 16107 𝑁 𝑥𝑐 875 𝑚 0 15 𝑚 2 𝑃 225 𝑚 1 𝑄 16107 𝑁 𝑥𝑐 875 𝑚 0 15 𝑚 2 5000 𝑁 225 𝑚 1 10000 𝑁 16107 𝑁 𝑥𝑐 15 𝑚 2 5000 𝑁 225 𝑚 1 10000 𝑁 16107 𝑁 𝑥𝑐 37500 𝑁 𝑚 16107 𝑁 𝒙𝒄 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟑𝟒𝟑𝟕𝟓 𝒎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂 b Cálculo do deslocamento vertical do ponto D 𝑦𝑑 𝑈 𝑄 𝑦𝑑 𝑄 875 𝑚 𝑄2 15 𝑚 𝑃2 225 𝑚 𝑃 𝑄 16107 𝑁 𝑦𝑑 875 𝑚 2 𝑄 15 𝑚 0 225 𝑚 𝑃 1 16107 𝑁 𝑦𝑑 875 𝑚 2 10000 𝑁 15 𝑚 0 225 𝑚 5000 𝑁 1 16107 𝑁 𝑦𝑑 186250 𝑁 𝑚 16107 𝑁 𝒚𝒅 𝟎 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟔𝟒𝟎𝟔𝟐𝟓 𝒎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒃𝒂𝒊𝒙𝒐