Máximos e Mínimos Absolutos de Funções: Teoremas e Exemplos

CÁLCULO LIMITES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL E DERIVADAS Mariana Sacrini Ayres Ferraz Problemas de maximização e minimização Figura 1 Exemplo de gráficos de dados ou funções Fonte robuartShutterstockcom Embora as funções possam variar seus valores é possível que exista um ponto em seu domínio cujo valor da função é o maior ou o menor Esses seriam o seu máximo ou mínimo absolutos ou seja a função possui um extremo absoluto definido por Anton Bivens e Davis 2014 p 266 Considere um intervalo no domínio de uma função f e um ponto x0 nesse intervalo Dizemos que f tem um máximo absoluto em x0 se fx fx0 com qualquer x no intervalo e que f tem um mínimo absoluto em x0 se fx0 fx com qualquer x do intervalo Se f tiver em x0 qualquer um dos dois máximo absoluto ou mínimo absoluto dizemos que f tem em x0 um extremo absoluto Dado um intervalo no domínio da função não necessariamente a mesma apresentará extremos absolutos nesse intervalo Alguns exemplos disso são mostrados na Figura 2 a seguir Problemas de maximização e minimização 2 Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir máximos e mínimos absolutos Identificar quando um ponto é máximo ou mínimo de uma função Resolver problemas de otimização aplicada Figura 2 Exemplos de funções que contêm ou não pontos extremos em um dado intervalo Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 267 Esses exemplos mostram funções que contêm ou não pontos extremos Nos casos cujos intervalos são abertos às vezes a função contém ou não pontos extremos Mas se o intervalo for fechado a função necessariamente tem pelo menos um ponto de máximo e um de mínimo A seguir o teorema do valor extremo segundo Anton Bivens e Davis 2014 p 267 Se uma função f for contínua em um intervalo fechado finito a b então f tem um máximo e um mínimo absolutos em a b O teorema do valor extremo afirma a existência dos pontos de extremo absoluto mas não diz muito em relação a como os achar Na próxima seção você verá como encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos de uma função Identificação de pontos de máximo e mínimo Se a função for contínua com intervalo finito fechado os pontos extremos absolutos podem ocorrer no final do intervalo ou dentro dele Caso os pontos se encontrem dentro do intervalo eles ocorrem nos pontos críticos da função A seguir o teorema segundo Anton Bivens e Davis 2014 p 267 Se f tiver um extremo absoluto em um intervalo aberto a b então ele deve ocorrer em um ponto crítico de f 3 Problemas de maximização e minimização Introdução Quando plotamos uma função é possível observar como ela varia seu valor ao longo do eixo x ou seja à medida que a variável independente muda seu valor Olhando em certo intervalo a função pode apresentar picos e vales o que se chama de máximo ou mínimo absoluto ou seja o maior pico ou o menor vale Esses pontos são muito importantes pois revelam o valor máximo e mínimo que a função pode chegar e quando eles ocorrem Além disso são muito úteis em problemas de otimização em que se quer maximizar ou minimizar o valor de uma função Neste capítulo você estudará como definir os pontos de máximo e mínimo absolutos e como os encontrar Além disso verá exemplos de problemas de otimização Na Figura 3 veja alguns exemplos de pontos máximos de funções a o máximo absoluto encontrase no extremo do intervalo em b b o ponto de máximo ocorre um ponto estacionário em x0 c o ponto de máximo ocorre onde a função não é diferenciável em x0 Figura 3 Exemplos de pontos de máximo ab soluto de funções Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 268 Problemas de maximização e minimização 4 Máximos e mínimos absolutos As funções podem apresentar pontos com maiores ou menores valores ao longo de seu domínio conforme a Figura 1 com exemplos de gráficos de dados ou funções Para se encontrar os pontos de extremo absoluto você pode seguir o pro cedimento para chegar aos extremos absolutos de uma função contínua f em um intervalo finito fechado a b conforme a seguir ANTON BIVENS DAVIS 2014 1 Encontre os pontos críticos de f em a b 2 encontre o valor de f em todos os pontos críticos e nas extremidades a e b 3 o maior entre os valores do Passo 2 é o valor máximo absoluto de f em a b e o menor valor é o mínimo absoluto Primeiro encontrase os pontos críticos da função depois os valores da função nos pontos críticos e nos pontos de extremo O ponto cujo valor da função for maior é considerado o ponto de máximo absoluto e o ponto cujo valor da função for mínimo é considerado o ponto de mínimo absoluto Determine os extremos absolutos da função fx 6 x43 3 x13 no intervalo 11 Primeiro vamos encontrar os pontos críticos da função Para isso temos que dife renciar a função e igualar a zero Assim Igualando a derivada a zero encontramos que Portanto fx 0 em x 18 e é não diferenciável em x 0 5 Problemas de maximização e minimização Agora vamos calcular os valores da função para os pontos críticos encontrados e para os extremos do intervalo dado Assim temos que x 1 f1 9 x 0 f0 0 x 18 f18 98 x 1 f1 3 Assim podemos concluir que o valor de mínimo absoluto é 98 e ocorre em x 18 e o valor de máximo absoluto é 9 e ocorre em x 1 Extremos absolutos quando os intervalos são infinitos Caso o intervalo de interesse de uma função seja infinito ela pode ou não ter extremos absolutos Se a função f for contínua em podese deduzir alguns comportamentos da mesma conforme a Figura 4 Figura 5 Extremos absolutos para o caso de intervalo aberto Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 270 Extremos absolutos quando a função contiver um extremo relativo Podemos afirmar que se a função contiver um extremo relativo em um inter valo finito ou infinito esse extremo relativo necessariamente será um extremo absoluto conforme o teorema ANTON BIVENS DAVIS 2014 p 271 Suponha que f seja contínua e tenha exatamente um extremo relativo em um intervalo digamos em x0 1 Se f tiver um mínimo relativo em x0 então fx0 é o valor mínimo absoluto de f no intervalo 2 Se f tiver um máximo relativo em x0 então fx0 é o valor máximo absoluto de f no intervalo Você sabe a diferença entre extremo relativo e extremo absoluto Os máximos e mínimos relativos são pontos de máximo e mínimo que ocorrem em um intervalo Ou seja x0 é máximo relativo se houver um intervalo aberto contendo x0 no qual fx0 fx para cada x no intervalo E x0 é mínimo relativo se houver um intervalo aberto contendo x0 no qual fx0 fx para cada x no intervalo Lembrese de que nesses pontos a derivada é zero ou não existe Já os extremos absolutos são os máximos absolutos ou mínimos absolutos Ou seja dentre os pontos de extremo relativo e de extremo de intervalo o máximo absoluto é aquele cujo valor da função é o maior dentre todos enquanto o mínimo absoluto é aquele cujo valor da função é o menor dentre todos 7 Problemas de maximização e minimização Extremos absolutos quando os intervalos são abertos Caso o intervalo de interesse de uma função seja aberto ela também pode ou não ter extremos absolutos Dada uma função f no intervalo aberto a b podese tirar algumas conclusões de seu comportamento conforme a Figura 5 Problemas de otimização Os métodos apresentados neste capítulo podem ser usados para resolver pro blemas de otimização que são aqueles em que se pretende maximizar ou minimizar alguma função contínua em certo intervalo Problema 1 Suponha que você está construindo um jardim retangular Se você dispuser apenas de 100 m de cerca qual é a maior área possível Como o jardim é retangular ele possui 4 lados com comprimentos x e y em metros como mostrado na Figura 6 Figura 6 Esquema de um jardim retangular com lados x e y Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 275 Como você dispõe apenas de 100 m de cerca o seu perímetro será 2x 2y 100 Já a área do jardim em m2 pode ser escrita como A x y Problemas de maximização e minimização 8 Portanto o ponto de máximo absoluto ocorrerá em algum dos extremos ou em x 25 Vamos checar cada um deles x 0 A 50 0 0² 0 x 25 A 50 25 25² 1250 625 625 x 50 A 50 50 50² 2500 2500 0 Podese ver que a área máxima será 625 m² e ocorre quando x 25 m Você pode verificar esse resultado plotando a função área Figura 7 As duas equações estão relacionadas Podemos isolar uma variável em uma delas e substituir na outra Assim isolaremos a variável y na equação do perímetro ficando com Agora substituiremos na equação da área A x50 x A 50x x2 A variável x é um comprimento e não pode ser negativa O perímetro também não deve ser ultrapassado e assim os dois lados que medem x não devem ultrapassar 100 m Assim a variável x deve satisfazer 0 x 50 Agora o problema se resume em achar o máximo absoluto de A no intervalo 0 50 de x Assim vamos derivar a área A em relação a x Igualando a derivada a zero encontramos 9 Problemas de maximização e minimização Figura 7 Gráfico da função da área no intervalo 0 50 Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 276 Para encontrarmos o valor da variável y basta substituir o valor de x na equação do perímetro ou o valor da área máxima na equação da área Assim temos que y 50 x 50 25 25 Ou seja podemos concluir que a maior área ocorre quando se tem um quadrado de lado 25 A partir do exemplo que você acabou de ver podese definir alguns passos para resolver problemas de otimização ANTON BIVENS DAVIS 2014 1 faça uma figura apropriada e identifique as quantidades relevantes ao problema 2 obtenha uma fórmula para a quantidade a ser maximizada ou minimizada 3 usando as condições dadas no problema para eliminar variáveis ex presse a quantidade a ser maximizada ou minimizada como função de uma variável 4 encontre o intervalo de valores possíveis para essa variável a partir das restrições físicas do problema Às vezes os intervalos considerados nos problemas de otimização não necessariamente serão fechados Problema 2 Suponha que você esteja planejando confeccionar uma lata cujo volume interno seja de 1 litro 1000 cm3 Qual é a altura e o raio da lata para minimizar a quantidade de material utilizado em sua confecção Vamos supor que o material utilizado seja exatamente igual à área de su perfície do cilindro A lata consiste em dois discos circulares e um retângulo lateral como mostrado na Figura 8 Figura 8 Lata cilíndrica e suas áreas das bases e lateral Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 279 11 Problemas de maximização e minimização As áreas das bases serão dadas por π r2 e a área lateral por 2 π r h A área total de sua superfície será S 2 π r2 2 π r h A área depende de duas variáveis r e h Assim temos de encontrar alguma relação para eliminar uma delas Outra informação que temos do problema é o volume dado por V π r2 h Assim temos que Agora podemos substituir a equação de h na equação da área Assim ficamos com O problema passa a se resumir em encontrar o mínimo absoluto da função S no intervalo 0 de r Analisando os limites do intervalo obtemos que Problemas de maximização e minimização 12 Como visto na Figura 5 é esperado que S tenha um mínimo em 0 Então derivaremos S em relação a r e igualaremos a zero para encontrar o mínimo Assim Igualando a zero obtemos Substituindo na equação de S encontramos a área 13 Problemas de maximização e minimização Já o valor de h será Veja o plote de S por r na Figura 9 a seguir Figura 9 Plote de S por r mostrando o ponto de mínimo Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 280 ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 Referência Problemas de maximização e minimização 14 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo CÁLCULO LIMITES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL E DERIVADAS Mariana Sacrini Ayres Ferraz A derivada em gráficos e aplicações Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Identificar os intervalos em que uma função é crescente decrescente ou constante Descrever a concavidade de uma função Encontrar os pontos críticos de uma função Introdução Gráficos de funções e dados são muito utilizados para a visualização e compreensão do seu comportamento Os gráficos mostram comportamentos diversos com períodos de flutuação crescimento decrescimento estabilidade ponto de máximo mínimo e assim por diante Assim entender essas características é crucial principalmente se o gráfico está modelando algum fenômeno como a variação do valor das ações na bolsa de valores Neste capítulo você saberá como identificar se as funções são crescentes decrescentes ou constantes descrever sua concavidade e encontrar seus pontos críticos Além disso verá diversos exemplos É importante destacar que esses conceitos serão abordados tanto algebraicamente quanto graficamente Funções crescentes decrescentes e constantes As funções podem ter intervalos nos quais elas sejam crescentes decrescentes ou constantes Pelo exemplo mostrado na Figura 1 intuitivamente podemos dizer que até x 0 a função é crescente de 0 a 2 é decrescente de 2 a 4 ela é crescente e a partir de 4 constante Figura 1 Exemplo de gráfico de função com intervalos crescente decrescente e constante Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 232 Embora possamos descrever intuitivamente a função existe uma definição formal para tal A Figura 2 a seguir mostra as definições de função crescente decrescente e constante Figura 2 Definição de funções crescente decrescente e constante Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 A derivada em gráficos e aplicações 2 Embora seja possível visualmente definir intervalos no gráfico da função com as diferentes características como na Figura 1 é impossível ter uma alta precisão fazendo dessa maneira Por isso é necessário ter uma metodologia mais precisa para tal Uma maneira de estudar essas características de uma função é utilizando derivadas Na Figura 3 a seguir note que para o intervalo cuja função é crescente as retas tangentes nos pontos indicados têm inclinação positiva para o intervalo cuja função é decrescente as retas tangentes nos pontos indicados têm inclinação negativa e para o intervalo cuja função é constante elas têm inclinação nula Figura 3 Comportamento das retas tangentes para as funções crescente decrescente e constante Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 233 As inclinações das retas tangentes nos pontos indicados representam as derivadas naqueles pontos Assim podemos usar as derivadas para estudar com mais precisão os intervalos das funções A Figura 4 mostra um teorema das características das funções usando derivadas 3 A derivada em gráficos e aplicações Figura 4 Teorema sobre derivadas e funções crescente decrescente e constante Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 234 Esse gráfico representa a função y fx x2 4x 3 Encontre os intervalos para os quais a função é crescente e decrescente Visualmente podemos dizer que a função é decrescente na sua metade esquerda e crescente na sua metade direita Para afirmarmos com maior precisão usaremos a derivada da função Calculando sua derivada obtemos que A derivada em gráficos e aplicações 4 Observando o resultado podemos dizer que Como y é contínua em todos os pontos podemos concluir que Podemos fazer um gráfico da derivada de y para a visualização como a imagem a seguir O gráfico em vermelho é a derivada de y e o ponto x 2 está representado em preto Abaixo desse ponto a derivada é negativa e acima ela é positiva Note que ela apresenta um comportamento linear indo de valores mais negativos para mais positivos passando por zero no ponto x 2 Concavidade de uma função Uma função pode apresentar concavidades Intuitivamente a Figura 5 mostra uma função côncava para cima ou côncava para baixo 5 A derivada em gráficos e aplicações Figura 5 As funções podem ser côncavas para cima ou côncavas para baixo Fonte Khan Academy 2019 documento online Embora visto na seção anterior a derivada da função nos indica se ela é crescente ou decrescente mas isso não é suficiente para nos dizer a concavidade Os gráficos mostrados na Figura 5 apresentam suas concavidades bastante acen tuadas mas nem sempre é assim Elas podem ser mais suaves como demonstrado na Figura 6 a seguir Embora a derivada no intervalo mostrado seja positiva a função apresenta inicialmente concavidade para cima e depois para baixo Figura 6 Exemplo de concavida des de uma função crescente Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 A derivada em gráficos e aplicações 6 Usando a derivada para estudar a concavidade podese dizer duas coisas Figura 7 ANTON BIVENS DAVIS 2014 a função f é côncava para cima se em um intervalo aberto as retas tangentes apresentam inclinações crescentes no mesmo intervalo e côncava para baixo se elas têm inclinações decrescentes no mesmo intervalo a função f é côncava para cima em um intervalo aberto se o gráfico está sempre acima de suas retas tangentes e côncava para baixo se o gráfico estiver sempre abaixo de suas retas tangentes A seguir a Figura 8 apresenta a definição de concavidade segundo Anton Bivens e Davis 2014 Figura 8 Definição de concavidade Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 As derivadas da função referemse à inclinação da reta tangente Podemos usar o teorema dado na seção anterior substituindo fx por fx Assim dize mos que f é crescente em um intervalo no qual f for positiva e decrescente em um intervalo no qual f for negativa Figura 9 Figura 9 Teorema sobre concavidade Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 Como visto no exemplo anterior o gráfico da função fx x2 4x 3 sugere que a concavidade dessa função é para cima no intervalo Vamos checar esse resultado por meio do teorema dado Primeiramente encontramos a primeira derivada da função Assim temos que A derivada em gráficos e aplicações 8 Vamos analisar a concavidade mostrada no seguinte gráfico da função fx x³ Agora buscamos pela segunda derivada Assim Portanto temos que fx 2 0 Ou seja a função é côncava para cima No exemplo anterior vimos um caso cuja função é côncava para cima em todo intervalo Mas as funções podem ter diversas concavidades em intervalos diferentes como mostrado na Figura 6 Nesse sentido veremos um segundo exemplo com um desenvolvimento um pouco diferente do anterior usando uma função com mais de uma concavidade 9 A derivada em gráficos e aplicações Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 234 Primeiramente encontramos a primeira derivada Temos então que Ou seja a função é crescente em todo intervalo Agora buscamos pela segunda derivada da função Analisando a segunda derivada encontramos que Ou seja a função é côncava para baixo se o intervalo for 0 e côncava para cima no intervalo 0 A derivada em gráficos e aplicações 10 Pontos de inflexão No início desta seção você viu que uma mesma função poder ter concavidade para cima e para baixo O ponto exato em que a concavidade muda é de grande interesse em especial ele é chamado de ponto de inflexão Figura 10 Figura 10 Ponto de inflexão Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 Dada a função fx x3 3x2 1 encontre os pontos de inflexão por meio das derivadas primeira e segunda Calculando as derivadas encontramos que 11 A derivada em gráficos e aplicações e Agora analisamos o sinal das derivadas iniciando pela derivada primeira Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 236 Vemos que a função f apresenta três comportamentos crescente em 0 decres cente em 0 2 e crescente em 2 Em seguida o sinal da segunda derivada Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 236 Aqui vemos que a função é côncava para baixo em 1 e côncava para cima em 1 conforme figura a seguir A derivada em gráficos e aplicações 12 Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 236 Como as funções são muito utilizadas para a modelagem de fenômenos observáveis saber em que ponto a concavidade muda é identificar quando a taxa de variação da uma variável começa a crescer ou decrescer Ou seja conhecer o ponto de inflexão é muito importante em análises de dados como em que ponto começa uma alta ou baixa da bolsa de valores ou quando há altas e baixas do preço da gasolina Pontos críticos de uma função Além dos pontos de inflexão há outros bastante relevantes em uma função A Figura 11 mostra pontos em que a função tem valores maiores e pontos cuja função tem valores menores O ponto com valor da função maior em todo o intervalo é chamado de máximo absoluto ou global enquanto os picos menores são os máximos locais Já o ponto cuja função tem o seu menor valor em todo o intervalo é o mínimo absoluto ou global enquanto os vales menos profundos são chamados de mínimos locais 13 A derivada em gráficos e aplicações Figura 11 Exemplo de função com diversos pontos máximos e mínimos e definição desses pontos Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 A função f tem um máximo absoluto ou máximo global no ponto c se fc fx para todo x no domínio da função o número fc é chamado de máximo valor da função Similarmente f tem um mínimo absoluto no ponto c se fc fx para todo x no domínio da função o número da fc é chamado de valor mínimo de f Os valores máximo e mínimo de f são chamados de valores extremos de f STEWART 2007 A Figura 12 mostra alguns exemplos de funções a função y x² tem um ponto de mínimo absoluto e também local em x 0 a função y x³ não tem pontos extremos máximos nem mínimos e nem locais a função y x3 3x 3 tem um mínimo local em x 1 e um máximo local em x 1 já a função tem dois mínimos locais um em x 1 e x 2 sendo o ponto x 1 um mínimo absoluto e um máximo local em x 1 Figura 12 Exemplos de funções com pontos máximos e mínimos Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 245 A derivada em gráficos e aplicações 14 A seguir está mostrado o gráfico da função fx 3x4 16x3 18x2 Fonte Stewart 2007 p 206 Iniciamos analisando os pontos de máximo O ponto f1 5 é um máximo local e o ponto f1 37 é um máximo absoluto Note que nem o ponto f1 37 nem o ponto f4 são máximos locais pois eles são os pontos finais da função Portanto não existe um intervalo aberto que os contenha Agora vamos aos mínimos O ponto f0 0 é um ponto de mínimo local e o ponto f3 27 é um ponto de mínimo local e absoluto da função Vistos os exemplos anteriores passamos à definição de ponto crítico Um ponto crítico de uma função f é um ponto no seu domínio cuja derivada é zero reta tangente horizontal ou que f não seja diferenciável Figura 13 Dizemos que os pontos cuja derivada é igual a zero são chamados de estacionários 15 A derivada em gráficos e aplicações Figura 13 Teorema e esquema sobre pontos críticos Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 Encontre os pontos críticos da seguinte função fx x3 3x 1 Para tal devemos encontrar os pontos cujas derivadas são nulas e pontos cuja função não é diferenciável Neste caso a função é diferenciável em toda parte ou seja ela só possui pontos críticos estacionários Derivando a função temos que Igualando a zero encontramos que A derivada em gráficos e aplicações 16 Assim os pontos críticos estacionários de f são x 1 Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 245 Teorema do valor médio Muitos resultados deste capítulo dependem do teorema do valor médio Con tudo primeiramente veremos o teorema de Rolle Teorema de Rolle Seja f uma função que satisfaça as seguintes três hipóteses 1 f é contínua no intervalo fechado a b 2 f é diferenciável no intervalo aberto a b 3 fa fb Então existe um número c em a b tal que fc 0 Fonte Stewart 2007 p 214 17 A derivada em gráficos e aplicações A Figura 14 a seguir mostra alguns gráficos de funções Note que em todos os casos existe ao menos um ponto no intervalo que satisfaz o teorema No caso mostrado em a todos os pontos do intervalo satisfazem o teorema Em b existe um ponto que satisfaz o teorema nesse caso a função é crescente a partir do ponto a e para ela retornar ao mesmo valor fa no ponto b ela deve decrescer resultando em um ponto de máximo Exatamente o oposto ocorre no caso d Por fim em c é mostrado que pode haver mais de um ponto que satisfaz o teorema Figura 14 Funções para ilustração do teorema de Rolle Fonte Stewart 2007 p 215 O teorema do valor médio será apresentado a seguir por meio de dois exemplos Pode ser visto que inclinação das retas tangentes ao ponto c e a inclinação da reta que passa por a e b são as mesmas A derivada em gráficos e aplicações 18 Teorema do valor médio Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses 1 f é contínua no intervalo fechado a b 2 f é diferenciável no intervalo aberto a b Então existe um número c em a b tal que ou equivalentemente Fonte Stewart 2007 p 216 Teste das derivadas Podemos usar as derivadas para estudar os pontos críticos Dessa maneira intuímos que as funções apresentam extremos relativos se a primeira derivada troca de sinal no ponto em questão Figura 15 19 A derivada em gráficos e aplicações Figura 15 Funções com extremos relativos Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 246 A Figura 16 a seguir enuncia um teorema em relação às primeiras deri vadas e aos pontos críticos Figura 16 Teorema da derivada primeira Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 A derivada em gráficos e aplicações 20 A função fx 6x53 30x23 tem pontos críticos em x 2 e x 0 e derivada igual a fx 10x 2x13 Analise os pontos críticos Dividindo em intervalos em relação aos pontos críticos e analisando o sinal da derivada encontramos o seguinte Intervalo 10x 2x13 fx x 0 0 x 2 x 0 A derivada no ponto x 0 muda de positiva para negativa Assim o ponto é de máximo relativo Já no ponto x 2 a derivada muda de negativa para positiva Assim o ponto é de mínimo relativo A segunda derivada também pode ser utilizada para o estudo dos pontos críticos Na Figura 17 se a função for côncava para baixo temos um máximo relativo e se for côncava para cima temos um mínimo relativo Figura 17 Concavidades da função e pontos críticos estacionários Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 247 21 A derivada em gráficos e aplicações O teorema da derivada segunda está enunciado na Figura 18 a seguir Figura 18 Teorema da derivada segunda Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 Encontre os pontos críticos da função fx 3x5 5x3 Primeiramente encontramos a primeira e a segunda derivada da função Assim e A derivada em gráficos e aplicações 22 Igualando a derivada a zero obtemos os pontos críticos da função Assim temos que os pontos críticos estacionários são x 0 x 1 e x 1 Agora fazemos o teste da derivada segunda Veja a seguir os valores e o sinal da segunda derivada em relação aos pontos críticos No ponto x 0 a análise é inconclusiva Assim usamos o teste da derivada primeira Veja a seguir os sinais da derivada primeira em relação aos pontos críticos Como não há mudança de sinal da derivada primeira em relação a antes e depois do ponto x 0 não há pontos de mínimos nem de máximos locais nesse ponto Veja o gráfico da função a seguir 23 A derivada em gráficos e aplicações ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 v 1 KHAN ACADEMY Revisão de concavidade 2019 Disponível em httpsptkhanacademy orgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab56baconcavity review Acesso em 15 out 2019 STEWART J Single variable calculus 6th ed Pacific Grove Brooks Cole 2007 A derivada em gráficos e aplicações 24 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo