Cálculo Diferencial e Integral II

1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II LUIZ GONZAGA ALVES DA CUNHA EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA FACULDADE ÚNICA 1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II LUIZ GONZAGA ALVES DA CUNHA 1 2021 Faculdade Única Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autoriza ção escrita do Editor FACULDADE ÚNICA EDITORIAL Diretor GeralValdir Henrique Valério Diretor ExecutivoWilliam José Ferreira Ger do Núcleo de Educação a Distância Cristiane Lelis dos Santos Coord Pedag da Equipe Multidisciplinar Gilvânia Barcelos Dias Teixeira Revisão Gramatical e Ortográfica Izabel Cristina da Costa RevisãoDiagramaçãoEstruturação Bruna Luíza mendes Leite Carla Jordânia G de Souza Guilherme Prado Design Aline De Paiva Alves Bárbara Carla Amorim O Silva Élen Cristina Teixeira Oliveira Taisser Gustavo Soares Duarte Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB 62920 NEaD Núcleo de Educação a Distância FACULDADE ÚNICA Rua Salermo 299 Anexo 03 Bairro Bethânia CEP 35164779 IpatingaMG Tel 31 2109 2300 0800 724 2300 wwwfaculdadeunicacombr 2 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 1 edição Ipatinga MG Faculdade Única 2021 4 LEGENDA DE Ícones São os conceitos definições ou afirmações importantes aos quais você precisa ficar atento Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo aplicado ao longo do livro didático você irá encontrar ícones ao lado dos textos Eles são para chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo cada um com uma função específica mostradas a seguir São opções de links de vídeos artigos sites ou livros da biblioteca virtual relacionados ao conteúdo apresentado no livro Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade associandoos a suas ações Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos conteúdos abordados no livro Apresentação dos significados de um determinado termo ou palavras mostradas no decorrer do livro FIQUE ATENTO BUSQUE POR MAIS VAMOS PENSAR FIXANDO O CONTEÚDO GLOSSÁRIO SUMÁRIO UNIDADE 1 INTEGRAÇÃO E INTEGRAL DEFINIDA 11 Motivação 9 12 A ideia das soma finitas 12 13 Integral definida 13 14 Propriedades operatórias da integral definida 15 15 Resumo das propriedades operadores de integral definida 16 FIXANDO O CONTEÚDO 17 UNIDADE 2 CÁLCULO DAS INTEGRAIS DEFINIDAS E INDEFINIDAS 21 Teorema fundamental do cálculo 21 211 Teorema do Valor Médio TVM 21 22 Teorema Fundamental 22 23 A integral indefinida 23 24 Propriedades da Integral Indefinida 26 25 Integrais Trigonométricas 27 FIXANDO O CONTEÚDO 32 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS 31 Cálculo da primitiva pela regra de substituição de variáveis 35 32 Regra da substituição para calcular Integrais Definidas 36 33 Regra da substituição para calcular áreas entre curvas 37 FIXANDO O CONTEÚDO 39 UNIDADE 4 INTEGRAÇÃO POR PARTES 41 Cálculo da primitiva pela regra da integração por partes 42 42 Cálculo da integral definida pela regra da integração por partes 44 FIXANDO O CONTEÚDO 45 UNIDADE 5 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 51 Decomposição em frações parciais 48 52 Resolução de integrais por decomposições em frações parciais 51 FIXANDO O CONTEÚDO 54 UNIDADE 6 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 61 integrais envolvendo as expressões 57 FIXANDO O CONTEÚDO 64 RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO 64 REFERÊNCIAS 65 ANEXOS 66 6 UNIDADE 1 Na unidade 1 veremos uma introdução de integrais onde será realizado estimativas por meio de somas finitas e utilização de notações que irão designar somas de grandes quantidades de termos UNIDADE 2 Na unidade 2 será apresentada um poderoso método para o cálculo de integrais definidas de uma função encontramos a primitiva dessa função Será introduzido uma notação com a finalidade de tornar mais acessível sua aplicação nas mais diversas áreas profissionais UNIDADE 3 Na unidade 3 veremos o método de integração que permite a reversão da derivada por meio da regra da cadeia Será aplicado uma técnica de trocas de variáveis que permitirá a substituição da função original por outra facilitando sua resolução UNIDADE 4 Na unidade 4 veremos o método de integração que permite a reversão da derivada por meio da regra do produto Será aplicado uma técnica em que a integral original será fracionada com o objetivo de encontrar seu resultado de forma parcial encontrando uma integral mais simples resolvêla UNIDADE 5 Na unidade 5 veremos a técnica que permitirá calcular os resultados de integrais cujos integrandos são funções racionais Tal técnica utilizará métodos da matemática fundamental tais como fatoração e soma de frações algébricas UNIDADE 6 Na unidade 6 veremos a técnica que permitirá calcular os resultados de integrais cujos integrandos são funções trigonométricas Tal técnica utilizará métodos da matemática fundamental por meio identidades trigonométricas e conhecimento de trigonometria no triângulo retângulo CONFIRA NO LIVRO 7 A questão primordial não é o que sabemos mas como sabemos Aristóteles APRESENTAÇÃO A criação deste livro levou em consideração a ideia de Aristóteles apresentada acima O maior objetivo é levar ao estudante os conhecimentos de Cálculo Diferencial e Integral de forma que tenham aplicabilidades no cotidiano e torne a aprendizagem significativa e efetiva Buscouse explorar fundamentos matemáticos de forma intuitiva deixando de lado o formalismo sem esquecer no entanto o rigor inerente a esta disciplina Esperase com esta obra contribuir para a formação acadêmica do estudante tornandoo autônomo no seu processo de aprendizagem e consolidando dessa forma sua formação Para que você possa ter um melhor aproveitamento deste material segue abaixo uma tabela com os ícones que aparecerão ao longo do texto Tais ícones com suas respec tivas funções chamarão sua atenção para determinado tópico do conteúdo e indicarão uma ação que deverá ser executada 8 INTEGRAÇÃO E INTEGRAL DEFINIDA UNIDADE 01 9 11 MOTIVAÇÃO A determinação de fórmulas para o cálculo de áreas e volumes de figuras planas e espaciais foi sem dúvida um grande marco da geometria Aqui nesta unidade de apren dizagem abordaremos uma metodologia para o cálculo dessas áreas e volumes em situa ções geométricas bem mais gerais Tal metodologia se trata da integração numérica que além das obtenções de áreas e volumes diversas aplicações nas mais variadas áreas do conhecimento tais como estatística economia ciências e engenharia A dinâmica aqui utilizada consiste em efetuar cálculos para a obtenção de quanti dades fracionandoas em quantidades menores efetuando em seguida a adição de cada valor obtido nos cálculos de cada fragmento Dessa forma podemos utilizar o conceito de integral para solucionar problemas que envolvem comprimento de curvas predições po pulacionais excedentes de consumo e muitos outros 12 A IDEIA DAS SOMA FINITAS Nesta seção apresentaremos o cálculo de áreas valores médios distância percorrida por meio da soma finita que é o fundamento para a definição de integral Vamos iniciar nosso estudo abordando a problematização da área Suponhamos que desejamos encontrar a área da região R sob a curva de uma determinada função y fx no intervalo iniciando em a e terminando em b conforme a figura abaixo Em outras palavras queremos obter o valor da área compreendida entre o gráfico gerado pela função e o eixo das abscissas eixo x e pelas retas verticais x a e x b Se pensarmos que a curva gerada pela função é formada por linhas retas nossa ta refa será sem dúvida nenhuma simplificada uma vez que se a região R for um retângulo basta calculas o produto entre sua base e sua altura e fosse um triângulo poderíamos re correr à metade do produto entre a sua base e sua altura Veja na figura abaixo 10 Por outro lado caso tenhamos uma figura poligonal um hexágono por exemplo teremos que fragmentálos em quatro triângulos calcular as áreas de cada um dos triân gulos encontrados para em seguida somar os resultados obtidos Veja na figura abaixo O maior problema que podemos encontrar são as áreas de figuras que possuem la dos não lineares ou seja curvos Com certeza podemos calcular tal área de forma intuitiva ou aproximada porém as vezes temos a necessidade de obter a sua área de forma mais precisa Então para obtermos a área exata de uma região curva devemos fragmentála em vários retângulos calcular as áreas de cada retângulo e em seguida somar os resulta dos obtidos Veja este procedimento de forma mais detalhada nas figuras a seguir Para podermos calcular a área R entre a curva da função e o eixo das abscissas eixo x primeiramente devemos observar os limites em que a região está compreendida que no caso considerado está entre 0 e 1 Após levantar os limites em que a região está defi nida devemos fragmentála em quatro retângulos A1 A2 A3 e A4 por meio de cinco retas verticais a saber x 0x ¼x ½x ¾ e x 1 Dessa forma podemos aproximar cada repartição criada por meio de um retângulo com bases iguais à distância compreendida entre as retas verticais ou seja ¼ e altura igual ao lado esquerdo de cada retângulo formado ou seja as alturas desses retângulos serão os valores de fx nas extremidades esquerdas dos intervalos 01414121234 e 341 Efetuando os cálculos considerando teremos 𝑓 𝑥 𝑒𝑥 11 Este método de fragmentação da região R pode ser repetido para qualquer quanti dade de retângulos que desejarmos É razoável pensar que quanto mais subdivisões utilizarmos melhor será a aproximação do resultado em relação à área real FIQUE ATENTO Uma vez constatado que podemos utilizar retângulos para calcular áreas aproxima das vamos utilizar esta mesma ideia para calcular as áreas das mais diversas regiões obti das pelas mais variadas funções Veja na figura abaixo 12 Temos que a largura do intervalo ab é b a e dessa forma a altura de cada um dos trapézios será dada por Logo a área da região sob a curva se dará por O que irá acontecer com nossos cálculos se resolvermos fazer o número de subdivisões tender a infinito VAMOS PENSAR Exemplo Suponha que queiramos estimar a distância percorrida por um carro durante um in tervalo de tempo de 30 segundos A cada 5 segundos registramos a leitura do velocímetro na seguinte tabela Convertendo a velocidade em ms temos Temos a seguinte situação gráfica para este problema Podemos efetuar os cálculos por aproximação da área sob a curva utilizando 6 seis retângulos aproximantes e utilizando como altura o extremo esquerdo de cada um deles Assim temos 13 INTEGRAL DEFINIDA Na seção anterior mostramos que a área sob a curva de uma função é dada por lim n n i1 fxiΔx lim n fx1Δx fx2Δx fxnΔx Dessa forma podemos definir a integral definida da seguinte forma Se fx é uma função contínua definida em ab dividimos este intervalo em n subintervalos de comprimentos iguais a Δxban Sejam x0 a x1 x2 xn b as extremidades desses subintervalos Então a integral definida de fx de a até b é b a fxdx lim n n i1 fxiΔx Desde que este limite existe e dê o mesmo valor para todas as possíveis escolhas de pontos Se ele existir dizemos que f é integrável em ab OBSERVAÇÕES 1 O Símbolo de é denominado sinal de integração onde na notação b a fxdx fx é chamado de integrado a e b são os limites de integração e o dx indica que a variável depende de x O procedimento de calcular a integral é chamado integração 2 A integral definida b a fxdx é um número e x é apenas uma letra que representa a variável Podemos alterála para qualquer outra letra que o valor da integral não altera 3 A soma n i1 fxiΔx denominada soma de Riemann se aproxima do valor da integral por aproximações sucessivas dependendo apenas de quanto queremos que seja essa aproximação 4 Quando fx assume valores positivos e negativos podemos dizer que a soma de Riemann é o resultado da adição das áreas dos retângulos situados acima do eixo x e do oposto das áreas dos retângulos situados abaixo do eixo x A integral acima não pode ser considerada como uma área devido ao fato de fx assumir valores positivos e negativos e assim essa integral é a soma algébrica das áreas A1 e A2 conforme indicado na figura Se em vez de utilizarmos pontos médios em vez de extremos esquerdos ou direitos para o cálculo das somas das áreas dos retângulos como podemos julgar o resultado encontrado 16 Integrais definidas em intervalos adjacentes 15 RESUMO DAS PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DA INTEGRAL DEFINIDA Para se inteirar mais sobre os assuntos abordados nesta unidade sugerimos o livro Cálculo VOL I 2018 de Jon Rogawski e Colin Adams Disponível no link httpsbitly3gnjUjB BUSQUE POR MAIS 17 1 Lendo os valores do gráfico dado da função fx utilize o extremo esquerdo de quatro retângulos para encontrar as estimativas para a área sob o gráfico dado da função de x 0 até x 8 Fazendo o que se pede podemos afirmar que a área encontrada será a 30 b 31 c 32 d 33 e 34 2 Lendo os valores do gráfico dado da função fx utilize o extremo direito de quatro retângulos para encontrar as estimativas para a área sob o gráfico dado da função de x 0 até x 8 Fazendo o que se pede podemos afirmar que a área encontrada será a 38 b 39 c 40 d 41 e 42 3 A velocidade de um corredor aumenta regularmente durante os três primeiros segundos de uma corrida Sua velocidade em intervalos de meio segundo é dada em uma tabela Utilizando os extremos esquerdos de cada intervalo podemos dizer que a distância percorrida pelo atleta é a 1055 b 1155 c 1255 FIXANDO O CONTEÚDO 1065 19 a 23 b 25 c 52 d 32 e 1 20 CÁLCULO DAS INTEGRAIS DEFINIDAS E INDEFINIDAS UNIDADE 02 212 Teorema Fundamental Podemos definir o teorema fundamental do cálculo em duas partes Na primeira parte definimos da seguinte forma Teorema Fundamental do Cálculo parte 1 Se fx é contínua em ab então Fx ₐˣ ft dt é contínua em ab e derivável em ab sendo sua derivada igual a fx Fx ddx ₐˣ ft dt fx Vejamos um exemplo Use o teorema fundamental para determinar a ddx ₐˣ cos t dt b ddx ₐˣ 11t² dt c ddx se y ₓ⁵ 3t sen t dt d ddx se y ₁² cos t dt fazendo u x² teremos y ₁ᵘ cos t dt A segunda parte será definida da seguinte forma Teorema Fundamental do Cálculo parte 2 Se fx é contínua em qualquer ponto de ab e se F é qualquer primitiva de f em ab então ₐᵇ fx dx Fb Fa FIQUE ATENTO Este teorema diz que devemos seguir os seguintes passos para resolver a integral definida de f em ab Encontrar a primitiva F de f Calcular o valor de ₐᵇ fx dx Fb Fa Vejamos um exemplo Calcule as integrais abaixo a ₀ˇ cos x dx sen x₀ˇ sen π sen 0 0 0 0 b ₁⁴ 32x 2x dx x32 2lnx₁⁴ 342 2ln4 1 2ln1 8 ln16 1 0 7 ln16 VAMOS PENSAR Os resultados encontrados nos exemplos representam área sob a curva da função 22 ANTIDERIVADA Até aqui nosso estudo sinalizou que o cálculo da integral definida pode representar áreas sob gráficos de funções com precisão A partir de agora iremos apresentar alguns resultados fundamentais acerca do cálculo de integrais que também podem ser denominadas de antiderivada Vamos então dar uma definição formal do que seria antiderivada ANTIDERIVADA Dizemos que uma função Fx é uma antiderivada de uma função fx em um dado intervalo se Fx fx para cada x do intervalo Exemplo considerando Fx 13 x³ como uma antiderivada de uma função fx no intervalo Para cada valor desse intervalo teremos Fx ddx 13 x³ x² fx Dessa forma se ddxFx fx então integrando a função fx encontraremos uma antiderivada na forma Fx C Para formalizar essa ideia utilizaremos a notação de integral abaixo Os símbolos de diferencial dx derivada e da antiderivação integral são respectivamente ddx e dx 26 Vamos exemplificar utilizando a fórmula de integração nº 2 da tabela ou seja 24 PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA É muito importante para nossos estudos o conhecimento de algumas propriedades operatórias das integrais indefinidas Tais propriedades seguem as regras do fator constan te da soma e da diferença de derivadas Iremos apresentar essas propriedades por meio de um teorema TEOREMA Sejam Fx e Gx antiderivadas de fx e gx respectivamente e C uma constante qualquer Dessa forma Uma constante pode ser movida através do sinal de integração Uma antiderivada de uma soma é a soma das antiderivadas Uma antiderivada de uma diferença é a diferença das antideriva das Em resumo o que o teorema acima nos diz está representada pelas fórmulas abaixo Exemplos 27 25 INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS Algumas vezes a resolução de integrais se tornam um pouco mais trabalhosas e dessa forma é necessário utilizar artifícios para simplificar nosso trabalho Pensando nisso iremos apresentar algumas fórmulas de redução que permitirá a resolução de integrais de funções trigonométricas Integração de potências de seno e cosseno Exemplos a Tomando n 2 teremos De forma alternativa podemos utilizar identidades trigonométricas para a resolução das integrais acima Para isso devemos lembrar que e também que Integração de produto de senos e cossenos Para as integrais do tipo senm x cosn x dx devemos considerar os casos de m e n serem pares ou ímpares e tomar como regra de resolução as opções apresentadas na tabela abaixo Ou seja tg x dx sen x cos x dx ln cos x C ln sec x C Algumas integrais clássicas a Para n 2 teremos tg² x dx tg x x C 1 tg² x sec² x tg² x dx sec² x 1 dx tg x x C e sec² x dx tg x C b Para n 3 teremos tg³ x dx 12 tg² x ln sec x C tg³ x dx 12 tg² x ln sec x C sec³ x dx 12 sec x tg x 12 ln sec x tg x C 31 Exemplos a Caso em que n 4 par b Caso em que m 3 ímpar Caso em que Para aprofundar seus conhecimentos sobre integrais indefinidas assista a aula disponível no canal da UNIVESP Universidade Virtual de São Paulo no Youtube Disponível no link httpsbitly3hn6uWn BUSQUE POR MAIS Integração de produto de tangente e de secante Para as integrais do tipo tgm secn x dx devemos considerar os casos de m e n serem pares ou ímpares e tomar como regra de resolução as opções apresentadas na tabela abaixo d x⁸ c e x⁷ 7 c 6 Calculando a antiderivada de 5x dx encontraremos a 5x² 2 c b 5x² 3 c c 5x² 2 c d 5x³ c e 5x³ 3 c 7 Calculando a antiderivada de sen x cos x dx encontraremos a cos xsen xc b cos xsen xc c cos xsen xc d cos xsen xc e tg xc 8 Calculando a antiderivada de 2 3x⁵ dx encontraremos a 1 x⁴ b 1 x⁴ c 1 6x⁴ d 1 6x⁴ e 2 3x⁴ 34 INTEGRAÇÃO POR SUBSTUIÇÃO DE VARIÁVEIS UNIDADE 03 31 CÁLCULO DA PRIMITIVA PELA REGRA DA SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS Agora iremos iniciar nossos estudos acerca de algumas técnicas de integração que nos ajudará a encontrar as antiderivadas primitivas de funções Nesta unidade iremos detalhar a técnica de integração por substituição de variáveis Podemos enunciar está técnica da seguinte forma A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS Se ugx é uma função derivável cuja imagem é um intervalo I e fx é uma função contínua em I então fgxgx dx fu du Em determinadas situações podemos utilizar identidades trigonométricas para transformar integrais que não sabemos como calcular pelo método tradicional tais como FIQUE ATENTO Para efeito de cálculo de área entre curvas por meio de integrais pontos de interseção abaixo do eixo x devem ser descartados 32 REGRA DA SUBSTITUIÇÃO PARA CALCULAR INTEGRAIS DEFINIDAS Podemos utilizar a regra da substituição para o cálculo de integrais definidas INTEGRAIS DEFINIDAS PELA REGRA DA SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS Se gx é contínua em um intervalo ab e fx é uma função contínua na imagem de g então b a fgxgx dx gb ga fu du Exemplos a ¹¹ 3x²x³ 1 dx Faça x x³ 1 du 3x² dx Quando x 1 u 1³ 1 0 Quando x 1 u 1³ 1 2 ⅔ 22 0² ⅔ 22 423 b ₀² eˣ dx eˣ₀² e² e⁰ e² 1 u 3x ⅓ du dx u0 0 uln 2 3 ln 2 ln 2² ln 8 c π4²π4 tg x dx 22π4²π4 ln u₂2 u cos x du sen x dx Quando x π4 u 22 Quando x π4 u 22 Integre intervalo de largura zero 33 REGRA DA SUBSTITUIÇÃO PARA CALCULAR ÁREAS ENTRE CURVAS Uma vez que podemos calcular integrais definidas pelo método da substituição de variáveis por consequência podemos calcular também áreas sob curvas ou entre duas curvas CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE CURVAS PELA REGRA DA SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS Se fx e gx são contínuas com fx gx ao longo do intervalo ab então a área da região entre as curvas yfx e ygx de a até b é a integral de fxgx desde a até b A ₐᵇ fx gx dx 38 Exemplos Determine por meio de integral a área compreendida entre a parábola y2x2 e a reta yx Primeiramentedevemos encontrar os limites de integração epara issocalculamos Uma vez que y1 nos fornece um ponto de interseção entre as curvas abaixo do eixo xdeveremos adotar os limites inferior e superiorrespectivamente iguais a 0 e 2 Assim Para aprofundar seus conhecimentos sobre o que foi abordado nesta unidade as sista a aula do Prof Paulo Pereira Disponível no link httpsbitly3hnC6uF BUSQUE POR MAIS 5 Utilizando a fórmula de substituição calcule ₃₀y 1 dy encontraremos a 143 b 173 c 193 d 233 e 253 6 Utilizando a fórmula de substituição calcule ₁₀ x²1 t⁴³ dt encontraremos a 1316 b 1416 c 1516 d 1716 e 1916 7 A área compreendida entre a reta y2 e a curva yx²2 é a 233 b 253 c 293 d 313 e 323 8 A área compreendida entre as curvas yx² e yx²4x é a 53 b 63 c 73 d 83 e 103 INTEGRAÇÃO POR PARTES 42 41 CÁLCULO DA PRIMITIVA PELA REGRA DA INTEGRAÇÃO POR PARTES Aqui nesta unidade trataremos no método de integração que visa a reversão da de rivada pela regra do produto ou seja queremos abordar situações que abrangem integrais do tipo fxgx dx Vamos considerar em primeiro momento a antiderivada de uma função gx que denominaremos Gx Dessa forma temos que G xgx e assim podemos representar a regra do produto para derivar fxGx como Podemos observar que fxGx é a antiderivada de fxgxf xGx então podemos escrever De forma mais prática utilizase esta fórmula da seguinte forma logo Exemplos a Use a integração por partes para integrar x cos x dx Primeiramente vamos escolher u e dv para podermosna fórmulasubstituir u dv Então teremos ux e dvcos x dx Agorapara encontramos os outros elementos da fórmula v e dudeveremos derivar u e integrar dv respectivamente Logo teremos dudx e dv cos x dx sen x Efinalmentesubstituiremos os dados obtidos na fórmula da integral por partes b 43 c Existem algumas integrais que exigem a aplicação da integração por partes mais de uma vez Abaixo vamos apresentar alguns exemplos neste sentido Exemplos a b 44 42 CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA PELA REGRA DA INTEGRAÇÃO POR PARTES As integrais definidas também podem ser resolvidas pelo método da integração por partes e a fórmula que será utilizada pode ser escrita por É importante não esquecer que as variáveis u e v nessa fórmula são funções de x e que os limites de integração são limites sobre as variáveis x É bom ressaltar escrevendo a expressão acima como FIQUE ATENTO Exemplos Para aprofundar seus conhecimentos sobre o que foi abordado nesta unidade as sista a aula do Prof Paulo Pereira Disponível no link httpsbitly3gmTS01 BUSQUE POR MAIS 5 Calculando a integral 2 0 x e 2 x dx pelo método da integração por partes teremos a 3 ln 3 2 47 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS UNIDADE 05 51 DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS Para podermos utilizar o método da integração por frações parciais devemos primeiramente entender como decompor uma fração racional em uma soma de frações mais simples que denominaremos de frações parciais Tomando como exemplo a fração racional frac5x 3x2 2x 3 Esta fração após passar pelo processo de decomposição poderá ser expressa da seguinte forma frac5x 3x2 2x 3 frac2x 1 frac3x 3 De fato se resolvemos o lado direito da igualdade obtemos a fração racional original Uma vez decomposta a fração racional podemos calcular a integral conforme o seguinte procedimento int frac5x 3x2 2x 3 dx int frac2x 1 dx int frac3x 3 resultando em 2lnx 1 3lnx 3 c O procedimento de reescrever uma função racional em soma de frações simplificadas denominase método das frações parciais Tal método visa encontrar duas constantes A e B de forma que frac5x 3x2 2x 3 fracAx 1 fracBx 3 Para encontrar A e B devemos primeiramente eliminar todas as frações da equação 5x 3 Ax 3 Bx 1 5x 3 Ax 3A Bx B 5x 3 A Bx 3A B 49 e por comparação de polinômios teremos 𝐴 𝐵 5 𝑒 3𝐴 𝐵 3 resolvendo o sistema proposto pelas duas equações encontraremos A2 e B3 Logo O sucesso ao escrever uma função racional fxgx como a soma de frações parciais depen de de duas coisas O grau de fx deve ser menor que o grau de gx Ou seja a fração deve ser própria Se não for devese dividir fx por gx e trabalho com o resto da divisão Devemos conhecer os fatores de gx Na teoria qualquer polinômio com coeficientes reais pode ser escrito como um produto de fatores reais lineares e fatores reais quadráticos FIQUE ATENTO Exemplos a Fatores lineares distintos Resolvendo o sistema teremos 50 Logo b Um fator linear repetido c Fração racional imprópria d Fator quadrático irredutível 51 52 RESOLUÇÃO DE INTEGRAIS POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS Aqui apresentaremos como integrar qualquer função racional após serem decomposta em soma de frações parciais Caso em que a fração racional é imprópria ou seja o grau do numerador é maior do que o grau do denominador 𝑥3𝑥 𝑥 1 𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥2 𝑥 2 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2 Caso em o denominador é um produto de fatores lineares distintos a b Caso em que o denominador é um produto de fatores lineares repetidos 52 Caso em que o denominador contém fatores quadráticos irredutíveis Se o denominador da função racional contém um fator na forma ax2bxc que apresenta b24ac0 então dizemos que temos um fator irredutível a b b int frac2x2 x 4x3 4x dx int frac2x2 x 4xx2 4 dx int fracAx fracBx Cx2 4 2x2 x 4 Ax2 4 Bx Cx A B 2 C 1 4A 4 c int frac4x2 3x 24x2 4x 3 dx int left1 frac14x2 4x 3right dx x frac1sqrt2 ln2x 1 C FIQUE ATENTO Como procedimento geral para se integrar uma fração parcial da forma fracAx Bax2 bx c onde b2 4ac 0 Devemos completar o quadrado no denominador e então fazemos uma substituição que traz a integral para a forma int fracCu Du2 a2 du C int fracuu2 a2 du D int frac1u2 a2 du A primeira integral resulta em um logaritmo e a segunda expressa em termos da inversa da função tangente 54 1 Ao decompor o quociente encontraremos a b c d e 2 Ao decompor o quociente encontraremos a b c d e 3 Ao decompor o quociente encontraremos a b c d e 4 Ao decompor o quociente encontraremos a b c FIXANDO O CONTEÚDO 5𝑥 13 𝑥 3𝑥 2 2 𝑥 3 3 𝑥 2 2 𝑥 2 3 𝑥 3 3 𝑥 3 2 𝑥 2 3 𝑥 2 2 𝑥 3 2 𝑥 3 3 𝑥 2 𝑥 4 𝑥 1 2 3 𝑥 1 1 𝑥 1 2 2 𝑥 1 3 𝑥 1 2 1 𝑥 1 3 𝑥 1 2 3 𝑥 1 2 𝑥 1 2 1 𝑥 1 2 𝑥 1 2 𝑧 1 𝑧2𝑧 1 2 𝑧 1 𝑧2 2 𝑧 1 2 𝑧 1 𝑧2 2 𝑧 1 2 𝑧 1 𝑧2 2 𝑧 1 2 𝑧 1 𝑧2 2 𝑧 1 2 𝑧 1 𝑧2 2 𝑧 1 𝑧 1 𝑧2𝑧 1 1 17 𝑡 3 12 𝑡 2 1 17 𝑡 3 12 𝑡 2 1 17 𝑡 3 12 𝑡 2 d 1 frac12t 3 frac17t 2 e 1 frac17t 3 frac12t 2 5 Ao calcular a integral int fracxx 6 dx a x 6 lnx 6 c b x 6 lnx 6 c c x 6 lnx 6 c d x 6 lnx c e x lnx 6 c 6 Ao calcular a integral int fracx 9x 5x 2 dx a 2 lnx 5 lnx 2 c b 2 lnx 5 lnx 2 c c 2 lnx 5 lnx 2 c d 2 lnx 5 lnx 2 c e lnx 5 lnx 2 c 7 Ao calcular a integral int fracaxx2 bx dx 56 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS UNIDADE 06 Integrais envolvendo a expressão a²x² com a0 Primeiramente devemos observar que a expressão a²x² só faz sentido se tivermos o valor de a²x²0 ou seja axa Para resolver a integral com essa expressão temos que eliminar a raiz do integrando utilizando x a sec θ Assim x²a² a²sec²θa² a²sec²θ1 a²tg²θ a tg θ a tg θ Para estabelecer uma restrição sobre a variação de θ convém observar que sec θ xa de modo que se xa temos sec θ1 e se xa temos sec θ1 Logo π2 θ 3π2 se xa 0 θ π2 se xa Para facilitar as substituições evitando memorizizações iremos apresentar um esquema por meio de triângulo retângulo que irá auxiliar a encontrar os termos necessários para a transformação da integral TERMOS NECESSÁRIOS PARA CÁLCULO A INTEGRAL COM x²a² 59 Exemplos a b FIQUE ATENTO 60 Para se inteirar mais sobre o cálculo de integrais pelo método de substituição tri gonométrica assista a aula do Prof Onezimo Cardos Disponível no link httpsbitly3l6XeaW BUSQUE POR MAIS d ln x x² a² c e ln x x² a² c 64 RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO UNIDADE 1 UNIDADE 3 UNIDADE 5 UNIDADE 2 UNIDADE 4 UNIDADE 6 QUESTÃO 1 D QUESTÃO 2 D QUESTÃO 3 A QUESTÃO 4 D QUESTÃO 5 B QUESTÃO 6 B QUESTÃO 7 E QUESTÃO 8 D QUESTÃO 1 D QUESTÃO 2 B QUESTÃO 3 A QUESTÃO 4 E QUESTÃO 5 B QUESTÃO 6 C QUESTÃO 7 A QUESTÃO 8 D QUESTÃO 1 A QUESTÃO 2 B QUESTÃO 3 D QUESTÃO 4 C QUESTÃO 5 A QUESTÃO 6 C QUESTÃO 7 E QUESTÃO 8 D QUESTÃO 1 E QUESTÃO 2 A QUESTÃO 3 B QUESTÃO 4 C QUESTÃO 5 A QUESTÃO 6 D QUESTÃO 7 B QUESTÃO 8 C QUESTÃO 1 A QUESTÃO 2 C QUESTÃO 3 B QUESTÃO 4 E QUESTÃO 5 A QUESTÃO 6 C QUESTÃO 7 E QUESTÃO 8 D QUESTÃO 1 B QUESTÃO 2 A QUESTÃO 3 E QUESTÃO 4 A QUESTÃO 5 D QUESTÃO 6 D QUESTÃO 7 C QUESTÃO 8 A 65 ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo Tradução de Claus Ivo Doering 8 ed Porto Alegre Bookman v I 2007 BONAFINI F C Matemática São Paulo Pearson Prentice Hall 2012 BOULOS P Cálculo Diferencial e Integral São Paulo Pearson Makron Books v 1 1999 LEITHOLD L O Cálculo com Geometria Analítica 3 ed São Paulo Harbra v I 1994 PENNEY D E EDWARDS JR C H Cálculo com Geometria Analítica Tradução de Alfredo Alves de Farias São Paulo Pearson Prentice Hall 1997 ROGAWSKI J Cálculo 3 ed Porto Alegre Bookman 2018 SALAS S L ETGEN G J HILLE E Cálculo Tradução de Alessandra Bosquilha 9 ed Rio de Janeiro LTC v I 2005 SILVA S M Matemática básica para cursos superiores 2 ed São Paulo Atlas 2018 STEWART J Cálculo 7 ed São Paulo Cengage Learning v I 2013 THOMAS G B WEIR M D HASS J Cálculo Tradução de Carlos Scalic 2 ed São Paulo Addison Wesley v I 2009 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 66 ANEXOS ANEXO A TABELA DE INTEGRAÇÃO x² ax dx 13 x³ 12 ax² C POTÊNCIAS DE u MULTIPLICANDO OU DIVIDINDO a²u² OU SUA RECÍPROCA x² a²¹ dx 1a tan¹xa C graduacaoeadfaculdadeunicacombr