Métodos de Integração: Substituição de Variáveis e Integração por Partes

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Calcular integrais por meio do método de substituição de variáveis Usar o método de integração por partes para a resolução de integrais Resolver problemas aplicados com os métodos de integração por subs tituição de variáveis e integração por partes Introdução Para resolver algumas integrais utilizamos métodos de integração dos quais serão mencionados dois o método por substituição de variáveis e o método de integração por partes ambos aplicados com o objetivo de reduzir a integral original a uma integral elementar de fácil resolução A substituição constitui uma das mais importantes técnicas de integração assim como a integração por partes utilizada para resolver integrais complexas cuja aplicação de técnicas das integrais por substituição não seja suficiente É importante destacar que não existe um método infalível e de fato muitas antiderivadas importantes nem podem ser dadas em termos elementares Neste capítulo abordaremos a integração por substituição de variável e integração por partes conheceremos os processos de resolução alguns pontos Integração por substituição de variável e integração por partes Cristiane da Silva A Figura 1 mostra a tabela com as formas básicas de algumas integrais Figura 1 Fórmulas de integração básica Fonte Finney Weir e Giordano 2002 p 518 A seguir veremos alguns exemplos de Finney Weir e Giordano 2002 envol vendo o cálculo de integrais por meio do método de substituição de variáveis Exemplo 1 Acompanhe o exemplo a seguir Faça u 7θ 5 du 7dθ du dθ Integração por substituição de variável e integração por partes 3 Coloque o à frente da integral e teremos a formapadrão Integraremos em relação a u 1 7 sen Agora fazemos a troca de u por 7θ 5 1 7 sen7 5 Exemplo 2 Para Faça u x3 du 3x3dx du x2dx Coloque o à frente da integral e teremos a formapadrão Integração por substituição de variável e integração por partes 4 Integraremos em relação a u 1 3 cos Agora fazemos a troca de u por x3 1 3 cos 3 Segundo Finney Weir e Giordano 2002 o sucesso do método de substi tuição depende do fato de encontrar uma substituição capaz de transformar uma integral que não conseguimos calcular diretamente em outra que conse guimos Se a primeira substituição não funcionar podemos tentar simplificar o integrando mais adiante com uma ou duas substituições ou ainda começar novamente conforme o exemplo mostrado a seguir Exemplo 3 Calcule Podemos usar o método da substituição na integração como ferramenta de exploração substituir a parte mais problemática do integrando e ver o que acontece Para essa integral uma opção seria u z2 1 ou ainda arriscar e considerar u a raiz cúbica inteira Vejamos cada uma das soluções Solução 1 Substitua u z2 1 Integração por substituição de variável e integração por partes 5 Solução 2 Substitua u 2 1 3 Integração por substituição de variável e integração por partes 6 Como vimos frequentemente precisamos reescrever uma integral para que ela se encaixe em uma fórmulapadrão Observe Nesta seção identificamos como calcular integrais por meio do método de substituição de variáveis conhecemos o processo utilizado para cons truir a fórmula de substituição em cada um de seus passos em diferentes funções bem como uma tabela com as formas básicas de algumas integrais que auxiliam na sua resolução Integração por substituição de variável e integração por partes 7 Integração por partes Nesta seção abordaremos a resolução de integrais por meio do método de integração por partes o que nos permite converter uma integral que não sabemos calcular por uma integral que sabemos calcular A fórmula da integração por partes decorre da regra do produto ROGAWSKI ADAMS 2018 Sejam u e v funções de x De acordo com essa fórmula uv é uma antiderivada do lado direito portanto Passando a segunda integral do lado direito para o outro lado obtemos Escrevendo du dx e dv dx obtemos a fórmula de integração por partes Como a fórmula de integração por partes é aplicável a um produto devemos considerar seu uso quando o integrando for um produto de duas funções ROGAWSKI ADAMS 2018 Acompanhe alguns exemplos de Rogawski e Adams 2018 e de Ayres e Medelson 2013 Integração por substituição de variável e integração por partes 8 Exemplo 1 Calcule x cos x dx Como o integrando é um produto tentamos escrever x cos x dx u dv com cos 1 sen Pela fórmula de integração por partes Vamos conferir a resposta tomando a derivada sen cos cos sen sen cos Exemplo 2 Calcule x2 cos x dx Usamos integração por partes a primeira vez com u x2 e dv cos x dx Integração por substituição de variável e integração por partes 9 Agora aplicamos a integração por partes novamente dessa vez com u x e dv sen x dx Usando esse resultado na equação obtemos Exemplo 3 Calcule x ln x dx Para usar a fórmula de integração por partes devemos dividir o integrando x ln x dx em duas partes u e dv de modo que possamos encontrar facilmente v por uma integração e também v du Neste exemplo fazemos u ln x e dv x dx Então podemos estabelecer v ln 1 1 2 2 x2 e fazer du ln 1 1 2 2 dx Logo a fórmula de integração por partes implica Integração por substituição de variável e integração por partes 10 Para a aplicação da integração por partes convém organizar as informa ções como segue ln 1 1 2 2 Na primeira linha colocamos u e dv e na segunda os resultados do cálculo de du e v O resultado desejado pela fórmula de integração por partes uv v du pode ser obtido multiplicando primeiro o canto superior esquerdo u pelo canto direito inferior v e então subtraindo a integral do produto v du das duas entradas v e du na segunda linha Integração por substituição de variável e integração por partes 11 Exemplo 4 Calcule ex cos x dx Sejam u ex e dv cos x dx Então temos cos sen Assim Agora temos o problema de encontrar ex sen x dx o que parece não ser tão difícil quando a integral original é ex cos x dx No entanto tentaremos encontrar ex sen x dx com outra integração por partes Agora sejam u ex e dv sen x dx sen cos Integração por substituição de variável e integração por partes 12 Então Substituindo em temos Integração por substituição de variável e integração por partes 13 Adicionando ex cos x dx a ambos os lados implica Então Devemos adicionar uma constante arbitrária 1 2 sen cos Observe que esse exemplo exigiu uma aplicação iterada da integração por partes Rogawski e Adams 2018 destacam que o passo crucial na integração por partes consiste em decidir como escrever o integrando na forma de um produto u dv A integração por partes expressa u dv em termos de uv e v du Isso somente é útil se v du for mais fácil de integrar que u dv do contrário o método não faz sentido Escolha dv de tal modo que v dv possa ser calculada Escolha u de tal modo que seja mais simples que a própria u ROGAWSKI ADAMS 2018 Integração por substituição de variável e integração por partes 14 É importante destacar que a fórmula de integração por partes pode ser usada em integrais definidas Conforme Rogawski e Adams 2018 se tomarmos dv dx no caso da in tegral 1 3 ln x dx vemos que o integrando não é um produto então à primeira vista a integral não parece ter solução por meio da integração por partes mas podemos tratar ln x dx como um produto de ln x e dx e assim Nesta seção conhecemos o método de integração por partes para a reso lução de integrais vimos que a fórmula da integração por partes decorre da regra do produto além de exemplos de como usar o método em diferentes funções e sua aplicação em situações em que integramos por partes mais de uma vez Das aplicações Nesta seção veremos como resolver problemas aplicados com os métodos de integração por substituição de variáveis e integração por partes conforme os exemplos de Hoffmann et al 2015 Integração por substituição de variável e integração por partes 15 Para determinar a probabilidade substituímos e integramos como segue Assim a probabilidade de um participante em um experimento de memória recordar a matéria é cerca de 865 RIVA 2014 Exemplo 2 Marília está pensando em fazer um investimento de 5 anos e estima que daqui a t anos esse investimento gerará um fluxo de receita contínuo de 3000 50t reais por ano Se a taxa de juros permanecer constante em 4 ao ano capitalizados continuamente durante todo o termo qual será o valor do investimento daqui a 5 anos O valor do investimento de Marília é igual ao valor futuro do fluxo de receita O valor futuro VF de um fluxo de receita depositado continuamente à taxa ft em uma conta que rende uma taxa anual r de juros capitalizados continuamente por um termo de T anos é dado pela integral Integração por substituição de variável e integração por partes 17 No caso desse investimento temos ft 3000 50t r 004 T 5 portanto o valor futuro é dado por Integrando por partes com 3000 50 0045 50 0045 004 25 0045 Obtemos Assim o investimento de Marília valerá aproximadamente R 1727404 daqui a 5 anos Integração por substituição de variável e integração por partes 18 Nesta seção vimos que os métodos de integração por substituição e de integração por partes são aplicáveis em problemas reais e verificamos tal aplicabilidade no cálculo do preço médio de determinado produto a partir da taxa de variação e no cálculo do valor futuro de um investimento Ainda abordamos as diferentes técnicas de integração como elas podem ser utili zadas e quando uma é mais indicada que a outra além de oferecer diversos exemplos práticos e aplicados para consolidar o conhecimento e instigar o aprofundamento dos estudos Referências AYRES JR F MENDELSON E Cálculo 5 ed Porto Alegre Bookman 2013 Coleção Schaum FINNEY R L WEIR M D GIORDANO F R Cálculo de George B São Paulo Pearson 2002 1 v HOFFMANN L D et al Cálculo um curso moderno e suas aplicações 11 ed Rio de Janeiro LTC 2015 RIVA R D D Integração por substituição 2014 Disponível em httpsinopunemat brsiteantigoproffotopdownloadsfot7783aula44integbayyopobsubsti tuiyyo6slidespobfolhapdfpdf Acesso em 10 jan 2021 ROGAWSKI J ADAMS C Cálculo 3 ed Porto Alegre Bookman 2018 1 v Ebook Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu funcionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os editores declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade precisão ou integralidade das informações referidas em tais links Integração por substituição de variável e integração por partes 19 CÁLCULO INTEGRAIS E FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Raphael de Oliveira Freitas pertencente ao intervalo fechado a b Graficamente temos a representação exibida na Figura 1 Figura 1 Representação gráfica da região delimitada S Fonte Adaptada de Stewart 2014 0 y gx y ƒx S x y b a Utilizando essa ideia para determinar áreas sobre curvas dividimos a região delimitada S em n retângulos de larguras iguais e com isso a aproximamos ao enésimo retângulo com base x e altura com tomando todos os pontos amostrais como as extremidades direitas que ficaram com a soma de Riemann é dada por Então de maneira intuitiva temos a aproximação da região S como uma área entre as curvas formadas por w e z Graficamente há os retângulos de aproximação e o retângulo típico formado conforme indicado na Figura 2 Aplicações da integral 2 Figura 2 a Retângulo típico b retângulos de aproximação Fonte Adaptada de Stewart 2014 a Retângulo típico x y b 0 a wxi xi xi xi xi w z Îx b Retângulos aproximantes x y b 0 a z Tomando n o número de retângulos de aproximação tendendo ao infinito podemos definir a área da região S como o limite das somas das áreas dos retângulos de aproximação isto é Observamos que o limite da área descrita anteriormente é uma integral definida da subtração das funções w e z ou seja w z Com isso a área da região é delimitada pelas curvas y wx e y zx e pelas retas x a e x b em que as funções w e z são contínuas e w é maior ou igual a z para todo x pertencente ao intervalo fechado a b Caso especial do cálculo da área sobre curvas Observe que para zx 0 a região sobre o gráfico de w representa a definição geral da área que é dada por 3 Aplicações da integral De modo mais geral para áreas entre curvas temos Já no caso em que as funções w e z são positivas é dada por Na Figura 3 você pode observar uma representação gráfica desse cálculo Figura 3 Representação genérica de áreas entre curvas ambas positivas Fonte Adaptada de Stewart 2014 0 x y a b y wx y zx S De acordo com a situaçãoproblema é importante avaliar graficamente as funções que delimitarão a área a ser encontrada Para ilustrar essa definição seguem os Exemplos 1 a 3 Aplicações da integral 4 Exemplo 1 Determine a área da região limitada na parte superior por y ex e na parte inferior por y x delimitadas pelas retas x 0 e x 1 Solução inicialmente fazemos um esboço da região delimitada pelas funções wx ex e zx x e a 0 e b 1 como na Figura 4 Figura 4 Representação gráfica das funções wx e zx Fonte Adaptada de Stewart 2014 0 x y 1 y wx ex Δx 1 y zx x Aplicando a definição de área temos 5 Aplicações da integral Exemplo 2 Determine a área delimitada pelas parábolas y1 x2 e y2 2x x2 Solução primeiro precisamos determinar o ponto de interseção das pa rábolas igualando y1 y2 x2 2x x2 2x2 2x 0 2x x 1 0 2x 0 ou x 1 0 x 0 ou x 1 Dessa forma os pontos de interseção são 0 0 e 1 1 Assim esboçamos graficamente as funções no plano cartesiano conforme a Figura 5 Figura 5 Representação gráfica das funções y1e y2 Fonte Adaptada de Stewart 2014 0 0 1 1 y1 2x x2 x y Δx y2 x2 Com isso podemos determinar a área do triângulo típico x y2 y1 x 2x x2 x2 x 2x 2x2 E assim calculamos a área total da região entre x 0 e x 1 Aplicações da integral 6 Exemplo 3 Determine a área delimitada pela y2 2x 6 e pela reta y x 1 Solução substituindo y x 1 em y2 2x 6 temos x 12 2x 6 x2 2x 1 2x 6 x2 4x 5 0 x 1 x 5 0 x 1 ou x 5 Já os pontos de interseção são 1 2 e 5 4 Esboçando graficamente as funções de fronteira x1 y2 3 e x1 y 1 no plano cartesiano temos a representação da Figura 6 Figura 6 Representação gráfica das funções de fronteira x1 e x2 Fonte Adaptada de Stewart 2014 x y 2 4 0 1 2 5 4 x2 y 1 1 x1 2 y2 3 Com isso podemos integrar y 2 a y 4 conforme o esquema mostrado no gráfico e determinar a área entre as funções apresentadas 7 Aplicações da integral Calculando volumes por integrais pelo método do fatiamento No vídeo do link a seguir você acompanha a apresentação do Professor Alexandre Lymberopoulos da Universidade de São Paulo USP do método do fatiamento para calcular volumes por integrais httpsqrgopagelink8K8YF Na seção a seguir apresentaremos o cálculo de volumes utilizando os conhecimentos de integrais pelos métodos da secção transversal e das cascas cilíndricas aplicado a uma situaçãoproblema específica Cálculo de volumes a partir de integrais Para determinar o volume de um sólido geralmente encontramos a área da base e a multiplicamos pela altura Por exemplo para calcular o volume de um prisma regular reto de base quadrada precisamos encontrar a área do quadrado e a multiplicarmos pela altura assim encontraremos o volume desse sólido Já que no prisma a região plana chamada base é paralela à base superior à área delimitada compreende um quadrado o volume seria denominado o V área da base altura Para um sólido S que não é um prisma reto de base quadrada fragmentamos S em fatias cada vez mais próximas pelo prisma reto de base Aplicações da integral 8 quadrada Dessa forma podemos estimar o volume de S acrescentando os volumes dos prismas retos de base quadrada Com isso o volume exato de S é determinado pela aplicação de um limite em que o número de fatias se torna cada vez maior Método das secções transversais Inicialmente colocamos um plano passando por S encontrando assim uma secção transversal a S Assumese então Ax como a área da secção transversal de S no plano αx perpendicular ao eixo x e passando no ponto x que está entre a e b conforme indicado na Figura 7 Figura 7 Representação gráfica da área da secção transversal de S no plano αx Fonte Adaptada de Stewart 2014 y x 0 b a x S Aa Ab Ax P x Depois dividimos S em n secções transversais de larguras x com medidas iguais utilizando os planos αx1 αx2 αxn Além disso escolhemos os pontos amostrais no intervalo xi1 xi com a possibilidade de aproximar a enésima fatia Si à parte que está entre os planos αx1 αx2 αxn de um cilindro com área da base A e altura x conforme indicação da Figura 8 9 Aplicações da integral Figura 8 Representação gráfica do fatiamento do volume de S αx1 αx2 αxn Fonte Adaptada de Stewart 2014 Dessa forma o volume desse cilindro é A x e com isso temos uma noção intuitiva do volume da enésima fatia de Si isto é VSi A x Acrescentando os volumes das fatias encontramos uma aproximação do volume total como Fazendo n tender ao infinito ou seja n podemos definir o volume por somas de Riemann como uma integral definida e assim estabelecer o volume da maneira mostrada a seguir Sendo S um sólido determinado entre x a e x b se a área da secção transversal de S no plano αx perpendicular ao eixo x e passando por x é Ax em que A é uma função contínua então o volume de S é dado por Observe que ao utilizar a fórmula Ax deve ser conside rada uma secção transversal móvel encontrada a partir do fatiamento em x perpendicularmente ao eixo x Com essa ideia intuitiva para determinar volumes por meio do cálculo com integrais é possível determinar as fórmulas do volume de sólidos conhecidos por exemplo o volume da esfera de raio r como visto nos Exemplos 4 a 6 Aplicações da integral 10 Exemplo 4 Demonstre que o volume de uma esfera de raio r é dado pela fórmula Solução se plotarmos a esfera de maneira que o centro da esfera se en contre na origem então o plano αx intercepta a esfera de um círculo no qual o raio é utilizando o teorema de Pitágoras no triangulo formado conforme a Figura 9 Figura 9 Representação gráfica da esfera de raio r Fonte Adaptada de Stewart 2014 Com isso a área da secção da transversal é dada por Ax πy2 πr2 x2 aplicando a definição do volume para a r e b r temos 11 Aplicações da integral Exemplo 5 Determine o volume do sólido encontrado pela rotação em torno do eixo x da região sobre a curva indo de 0 a 1 Solução inicialmente esboçamos a região de rotação em relação ao eixo x e a representação de sua rotação como mostra a Figura 10 Figura 10 Representação gráfica da rotação em torno do eixo x da função Fonte Adaptada de Stewart 2014 x 0 x y y 1 0 x y 1 Δx x x A partir da observação do esboço da Figura 10 seccionamos pelo ponto x encontrando um disco de raio com a área da secção transversal dada por De acordo com a definição temos que o volume do cilindro de aproximação ou seja um disco de espessura x é Ax x πx x Como o sólido se encontra entre x 0 e x 1 o volume é dado por Aplicações da integral 12 Exemplo 6 Determine o volume do sólido encontrado pela rotação em torno do eixo y e pela região delimitada por x 0 y 8 e y x³ Solução inicialmente esboçamos a região de rotação em relação ao eixo y e a representação de sua rotação conforme a Figura 11 Figura 11 Representação gráfica da rotação em torno do eixo y delimitadas pelas funções y x3 y 8 e x 0 Fonte Adaptada de Stewart 2014 0 y 8 y x 0 y x3 x 0 x y y y y x x 8 13 Aplicações da integral Sabendo que o sólido deve ser seccionado perpendicularmente ao eixo y já que é rotacionada em torno desse eixo a integração é realizada em relação a y isto é ao seccionar a uma altura y encontramos um disco circular de raio x no qual Dessa forma a área da secção transversal em y é dada por De acordo com a definição temos que o volume do cilindro de aproximação ou seja um disco de espessura x é Ay y πy23 y Como o sólido se encontra entre y 0 e y 8 o volume é dado por Em algumas situaçõesproblema o método da secção transversal não é simples de aplicar por exemplo determinar o volume do sólido encontrado pela rotação em torno do eixo y e delimitado pelas funções y 2x² x³ e y 0 Ao seccionarmos perpendicularmente sobre o eixo y encontramos uma arruela Nesse caso para determinar os raios externo e interno precisamos resolver a equação de grau 3 dada por y 2x² x³ que não é simples Nessas situações utilizamos o método das cascas cilíndricas descrito a seguir Aplicações da integral 14 Método das cascas cilíndricas Inicialmente consideremos uma casca cilíndrica de raio interno ri raio externo re e altura h conforme indicado na Figura 12 Figura 12 Representação gráfica dos raios inter nos e externos de uma casca cilíndrica de altura h Fonte Adaptada de Stewart 2014 r ri re Δr h O volume V pode ser calculado pela diferença do volume do cilindro externo V2 pelo volume do cilindro interno V1 como Adotando r re ri ou seja a espessura da casca cilíndrica e r como raio médio da casca cilíndrica conseguimos determinar uma fórmula para o volume de uma casca cilíndrica como V 2πrhr com a associação V circunferência altura espessura 15 Aplicações da integral Dessa forma considerando S o sólido determinado pela rotação em relação ao eixo y da região delimitada pela função y wx em que wx 0 y 0 x a e x b e b a 0 ilustramos o sólido S pela rotação do y e a região delimitada descrita anteriormente pela Figura 13 Figura 13 Representação gráfica da região delimitada pela função y wx e a rotação em torno do eixo y Fonte Adaptada de Stewart 2014 x y a b 0 y wx a b x y 0 y wx Se aplicarmos os princípios do cálculo para integrais podemos dividir o intervalo a b em n subintervalos xi1 xi com larguras iguais a com x i sendo o ponto médio do enésimo subintervalo Para o retângulo com altura wx i e base xi1 xi rotacionado em torno do eixo y temos como resultado uma casca cilíndrica com raio médio x i altura x i e espessura x i dessa forma o volume é dado pela expressão Vi 2π x i wx i x conforme a Figura 14 Figura 14 Representação gráfica da relação entre circunferência altura e espessura do método das cascas cilíndricas para determinar o volume de um sólido de revolução por integrais Fonte Adaptada de Stewart 2014 x y a b 0 y wx x i a b 0 x y xi1 xi y wx x y a b 0 y wx Aplicações da integral 16 Após essa explanação observamos que uma aproximação para o volume do sólido S é dada pela soma dos volumes das cascas cilíndricas isto é Levando a quantidade de subintervalos ao infinito n para uma melhor aproximação e aplicando a associação com a definição de integrais temos Com isso podemos observar que o volume do sólido de revolução em torno do eixo y da região sobre a curva y wx no intervalo fechado a b é apresentado como Como lembrar o método de cascas cilíndricas para determinar volumes por integral A melhor maneira de considerar os elementos do cálculo de volumes pelo método de cascas cilíndricas é associálos como um produto entre a circunferência a altura e a espessura conforme esquema a seguir 2π x wx dx Circunferência Altura Espessura Visualmente podemos ilustrar esse esquema a partir da Figura 15 17 Aplicações da integral Figura 15 Representação gráfica do esquema circunferência altura e espessura do método das cascas cilíndricas para determinar o volume de um sólido de revolução em torno do eixo y por integrais Fonte Adaptada de Stewart 2014 2πx wx y x x x wx Δx Esse esquema é uma ferramenta importante para visualizar graficamente no plano cartesiano como a rotação será realizada em torno do eixo y Agora que apresentamos o método das cascas cilíndricas para calcular volumes utilizando de integrais vamos aplicálo nos Exemplos 7 a 10 Exemplo 7 Determine o volume do sólido de revolução encontrado pela rotação em torno do eixo y e delimitado pela região y x² e y x pelo método das cascas cilíndricas Solução inicialmente realizamos um esboço da casca cilíndrica plotada sobre o plano cartesiano como mostra a Figura 16 Ao observar o esboço da Figura 16 verificamos que a casca tem raio igual a x a circunferência é 2πx e a altura consiste na subtração das duas funções que formam a região delimitada isto é x x2 Dessa forma o volume é dado por Aplicações da integral 18 Figura 16 Representação gráfica do esquema circunferência altura e espessura do método das cascas cilíndricas para determinar o volume de um sólido de revolução em torno do eixo y delimitado pela região y x² e y x Fonte Adaptada de Stewart 2014 0 x x x2 altura casca cilíndrica x y x y x2 Exemplo 8 Determine o volume do sólido de revolução encontrado pela rotação em torno do y e delimitado pela região y 0 e y 2x² x³ pelo método das cascas cilíndricas Solução inicialmente esboçamos a casca cilíndrica plotada sobre o plano cartesiano conforme a Figura 17 Ao observar o esboço da Figura 17 verificamos que a casca tem raio igual a x a circunferência é 2πx e a altura é dada pela função wx 2x2 x3 Dessa forma o volume é dado por 19 Aplicações da integral Figura 17 Representação gráfica do esquema circunfe rência altura e espessura do método das cascas cilíndricas para determinar o volume de um sólido de revolução em torno do eixo y delimitado pela região y 2x2 x3 e y 0 Fonte Adaptada de Stewart 2014 y x x x 2 wx 2x2 x3 O método das cascas cilíndricas também serve para determinar volumes a partir da rotação do eixo x a ideia é esboçar o diagrama para a altura e o raio da casca cilíndrica Exemplo 9 Determine o volume do sólido de revolução encontrado pela rotação em torno do x e delimitado pela região y de 0 até 1 pelo método das cascas cilíndricas Solução primariamente realizamos um esboço da casca cilíndrica plotada sobre o plano cartesiano colocando em função de x quando temos a função x y2 conforme mostra a Figura 18 Aplicações da integral 20 Figura 18 Representação gráfica do esquema circunfe rência altura e espessura do método das cascas cilíndricas para determinar o volume de um sólido de revolução em torno do eixo x delimitado pela região de 0 até 1 Fonte Adaptada de Stewart 2014 Ao observar o esboço da Figura 18 verificamos que a casca tem raio igual a y a circunferência é 2πx e a altura é dada pela função wx 1 y2 Dessa forma o volume é dado por Exemplo 10 Determine o volume do sólido de revolução encontrado pela rotação em torno da reta x 2 e delimitado pela região y x x2 e y 0 pelo método das cascas cilíndricas 21 Aplicações da integral Solução inicialmente esboçamos a casca cilíndrica plotada sobre o plano cartesiano colocando em função da reta x 2 conforme Figura 19 Figura 19 Representação gráfica do esquema circunferência altura e espessura do método das cascas cilíndricas para determinar o volume de um sólido de revolução em torno da x 2 delimitado pela região y 2 x2 e y 0 Fonte Adaptada de Stewart 2014 Ao observar o esboço da Figura 19 verificamos que a casca tem raio igual a 2 x a circunferência é 2π2 x e a altura é x x2 Assim o volume é dado por Com prática é possível avaliar a relação raio circunferência e altura pelo esboço da região que delimita o sólido de revolução em torno do eixo x do eixo y ou da reta a partir da aplicação do método das cascas cilíndricas Sólidos de rotação áreas No vídeo do link a seguir o Professor Alexandre Lymberopoulos da USP apresenta o cálculo de áreas por rotação de sólidos httpsqrgopagelinkANU4d Aplicações da integral 22 A seguir apresentaremos a integral como associação de uma taxa de va riação por meio do valor médio das funções à densidade além das situações que também são produto dessa associação Associação da integral como uma taxa de variação O teorema de variação total TVT se configura como umas das aplicações mais importantes da segunda parte do teorema fundamental do cálculo TFC o qual estabelece que se w for uma função contínua no intervalo fechado a b por meio da relação em que W é qualquer antiderivada de w ou seja Wʹ w a equação do TFC parte 2 pode ser reescrita da seguinte forma Nesse sentido Wʹx se configura como uma taxa de variação de y Wx em relação a x e Wb Wa corresponde à variação de y quando x muda de a para b Teorema da variação total A integral de uma taxa de variação consiste na variação total Dessa forma há várias situaçõesproblemas em que a integral está associada a uma taxa de variação como mostrado a seguir 23 Aplicações da integral Taxa de escoamento de água Se Vt representar o volume de água em um reservatório no período t então Vʹt é sua derivada isto é a taxa segundo a qual a água escoa para dentro do reservatório no período t Assim se apresenta como a variação na quantidade de água no reservatório entre os períodos t1e t2 Taxa de concentração de uma substância em uma reação química Se Ct representar a concentração de uma substância em uma reação química no período t então a taxa de reação é a derivada de Assim se apresenta como a variação na concentração C entre os períodos t1e t2 Densidade linear Se a massa de uma barra é medida a partir do extremo esquerdo até um ponto k indicado pela função mk então a densidade linear ρk mk Assim se apresenta como a massa do segmento da barra que entre k a e k b Aplicações da integral 24 Crescimento populacional Se a taxa de crescimento populacional é dndt então se apresenta como o crescimento populacional durante o período de t1a t2 Custo de produção Se Cp é o custo de produção de p unidades de uma mercadoria então o custo marginal consiste na sua derivada apresentada por Cʹp Assim se apresenta como o crescimento do custo quando a produção está crescendo de p1 a p2 unidades Além dessas há outras situaçõesproblema aplicadas às Ciências Sociais e Naturais discutidas em capítulos anteriores Valor médio de uma função como aplicação da integral Para calcular o valor médio de uma quantidade determinada de números finita de uma sequência x1 x2 xn podemos encontrálo pela expressão Mas se desejarmos encontrar a temperatura média ao longo do dia no qual teríamos infinitas leituras para a temperatura consideraremos o cálculo mostrado a seguir 25 Aplicações da integral Para calcular o valor médio da função y wx a x b iniciamos a divisão do intervalo fechado a b em n subintervalos de tamanhos iguais a x b an Depois escolhemos os pontos em subintervalos orde nados sucessivamente calculando a média desses números Reescrevendo x em função do tempo temos n b ax dessa forma a média dos valores pode ser escrita como Na condição de n aumentando infinitamente é possível calcular o valor médio de uma quantidade de valores espaçados de modo igual Com isso o valorlimite é dado pela expressão Associando a definição de integral definida também definimos o valor médio de w no intervalo fechado a b por Aplicações da integral 26 Teorema do valor médio para integrais Se w for uma função contínua no intervalo fechado a b então existe um número c nesse intervalo que e também Particularmente o teorema do valor médio para as integrais é uma consequência do teorema do valor médio para derivadas e do teorema fundamental do cálculo Nos Exemplos 11 a 14 faremos a aplicação desse resultado Exemplo 11 Determine o valor médio da função wx 1 x² no intervalo 1 2 Solução aplicando na fórmula de valor médio para a 1 b 2 e wx 1 x² temos 27 Aplicações da integral Exemplo 12 Sabendo que wx 1 x² no intervalo 1 2 o teorema do valor médio para integrais nos diz que existe um número c nesse intervalo que satisfaz a condição Nessa situação específica é possível determinar o valor de c Já do Exemplo 11 temos wmed 2 Com isso podemos calcular o valor de c que satisfaz a condição w c wmed 2 Dessa forma Nesse caso existem dois números c 1 no intervalo 1 2 que validam o teorema do valor médio para integrais Exemplo 13 Demonstre que a velocidade média de uma moto em um intervalo de tempo t1 t2 é igual à média de suas velocidades durante essa viagem Solução sendo pt o deslocamento da moto no intervalo de tempo t então por definição temos que a velocidade média da moto no intervalo apresentado é Em relação ao valor médio da função da velocidade no intervalo de tempo apresentado temos A seguir vamos apresentar a densidade linear como aplicação da integral Aplicações da integral 28 Densidade como aplicação da integral Considerando um bastão de comprimento L podemos definir ρ como a den sidade linear desse bastão como uma unidade massa sobre comprimento Na condição de ρ ser constante a sua massa total é dada pelo produto da massa linear e o comprimento L ρ Agora associando essa ideia a um bastão que se apresenta ao longo do eixo x delimitado a x a e x b em que a densidade é percebida como a função y ρx contínua em todo eixo x para determinar a massa total subdividimos o bastão em n segmentos de comprimentos iguais a x b an e temos onde Mi representa a massa do enésimo segmento Se Mi se alongar até xi1 e xi e também ci ser um ponto de amostragem qualquer no intervalo xi1 xi temos que Mi ρcix e a massa total com n segmentos indo ao infinito n Aplicando o limite associado à soma de Riemann temos sendo a definição para a massa total de um bastão como a integral de sua densidade de massa linear Aplicaremos esse resultado no Exemplo 14 Exemplo 14 Determine a massa total de um bastão de 1 m com densidade linear ρx 1 2x 3x2 kg por m sendo x a distância de uma das extremidades do bastão Solução aplicando a fórmula da massa total para densidade linear temos 29 Aplicações da integral Em geral a função da densidade é uma função de duas variáveis porque depende apenas da distância com relação à origem mas como coordenadas ρx y Nesse sentido a massa total ou densidade populacional é calculada a partir da ideia de integrais duplas o conteúdo de cálculo para funções de várias variáveis Neste capítulo percebemos que a integral apresenta diversas aplicações sendo as principais o valor médio de funções a densidade o cálculo de áreas entre curvas e o cálculo de volumes Percebemos que a integral também pode ser interpretada como uma taxa de variação o que aumento o seu campo de aplicação para diversas ciências como as naturais e sociais conforme o contexto de interpretação e as condições básicas para a associação da relação Aplicações da integral definida No vídeo do link a seguir você pode assistir ao Professor Cláudio Possani da Universi dade Virtual do Estado de São Paulo Univesp apresentando as principais aplicações da integral definida httpsqrgopagelinkumrrK STEWART J Cálculo 7 ed São Paulo Cengage Learning 2014 v 1 Leituras recomendadas ADAMI A M DORNELLES FILHO A A LORANDI M M Précálculo Porto Alegre Bookman 2015 KOLMAN B HILL D R Introdução à álgebra linear com aplicações 8 ed Rio de Janeiro LTC 2006 MORETTIN P A et al Cálculo função de uma e várias variáveis 2 ed São Paulo Sa raiva 2010 SAFIER F Précálculo 2 ed Porto Alegre Bookman 2011 Coleção Schaum Referência Aplicações da integral 30 Os links para sites da Web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu fun cionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os editores declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade precisão ou integralidade das informações referidas em tais links 31 Aplicações da integral