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Engenharia Civil ·

Cálculo 2

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CÁLCULO INTEGRAIS E FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Raphael de Oliveira Freitas de descargas eletromagnéticas em dispositivos eletrônicos ou até mesmo a vazão associada à taxa de tempo em relação ao escoamento de líquidos Em cada situação apresentada é importante na resolução do problema aplicado encontrar uma função W em que a derivada é uma função que conhecemos w Nos casos em que existir a função W denominase antiderivada ou primitiva de w Nesse sentido podemos definir o que é antiderivada da seguinte forma uma função W é chamada de antiderivada de w sobre um intervalo A se Wu wu para todo u pertencente ao intervalo A Aplicando a definição a função wu 2u percebemos que a antiderivada é Wu u2 a partir da Regra da Potência pensada de maneira inversa já que temos Se derivarmos a função Wu 2u w u obteremos a função inicial Naturalmente outras funções satisfarão essa condição por exemplo Hu u² 5 pois Hu 2u De modo geral tratase de funções da forma Fu u2 C no qual C é uma constante Após essa interpretação observamos que pelo Teorema do Valor Médio se duas funções apresentam a mesma derivada em um intervalo dado estas serão diferentes por uma constante STEWART 2013 O Teorema do Valor Médio Se f é uma função contínua em a b e derivável em a b então existe c pertencente a a b tal que a reta tangente ao gráfico de f traçada pelo ponto c fc é paralela à reta que passa por a fa e b fb isto é Com isso se W e H se configuram como antiderivadas de w concluímos que Wu wu Hu pois Hu Wu C no qual C se caracteriza como uma constante Reescrevendo essa relação isolando H temos Hu W u C resultado do qual surge o seguinte teorema se W se caracterizar como uma antiderivada de w em um intervalo A então concluímos que sua antiderivada mais geral é Wu C no qual C é uma constante arbitrária Antiderivadas 2 A Figura 1 descreve um grupo de funções antiderivadas da função wu 2u Figura 1 Gráfico que representa a família das antiderivadas de wu 2u As leis de formação das funções g h q e p são descritas respectivamente por gu u2 1 hu u2 1 pu u2 2 qu u2 2 Ao observarmos o gráfico apresentado na Figura 1 percebemos que as antiderivadas do grupo destacado são translações da parábola u2 A seguir você observará alguns exemplos de antiderivadas gerais de algumas funções 3 Antiderivadas Exemplo 1 Determine a antiderivada geral das funções a seguir a wu sen u b wu 1u c wu un n 1 Solução Se Wu cos u pois Wu sen u Dessa forma uma antiderivada de wu sen u é cos u e de modo geral Fu cos u C se caracteriza como antiderivada geral de wu Lembrando que a derivada de ln u 1u No intervalo 0 concluímos que ln x C se caracteriza como uma antiderivada geral de wu observando que zero não está definido nessa função ou seja não está no domínio dessa função Avaliando essa interpretação especificamente temos A partir da Regra da Potência de diferenciação utilizada de forma inversa temos Com isso A validade dessa relação para n 0 Adotando W w e H h é possível elaborar um quadro com a função e sua respectiva antiderivada particular como apresentado no Quadro 1 Antiderivadas 4 Fonte Adaptado de Stewart 2013 Função Antiderivada particular cos u sen u sen u cos u sec² u tg u sec u tg u sec u c wu c Wu wu hu Wu Hu un n 1 1u ln u 11x² tg1 x ou arc tg eu eu Quadro 1 Antiderivadas de funções conhecidas Observando o quadro temos basicamente algumas formas básicas de antiderivadas No exemplo a seguir vamos determinar a antiderivada de uma função que corresponde a uma composição de uma função trigonométrica polinomial e racional Exemplo 2 Determine a antiderivada mais geral da função a partir de sua derivada 5 Antiderivadas Solução Inicialmente ajustamos a expressão a qual a derivada está associada Após realizar esse procedimento de ajuste aplicamos os conhecimentos de antiderivadas desenvolvidos anteriormente Com isso temos A regra apresentada no quadro anterior pode ser estendida para racionais e será explicada na próxima seção Nos estudos de equações diferenciais são comuns expressões de funções em problemas aplicados que envolvam o cálculo de antiderivadas Agora apresentaremos exemplos em que são dadas a derivada de uma função e uma localização ou relação dessa função para determinar o valor de C constante da antiderivada No caso vamos determinar a função particular que atende as condições enunciadas nos dados Exemplo 3 Sabendo que w se wu eu 20 11 u² e w0 2 Solução Inicialmente calculando a antiderivada geral de wu temos wu eu 20tg 1u C Agora fazemos u 0 em w0 2 com isso temos w0 e0 20tg10 C 2 1 0 C 2 C 2 1 3 Dessa forma a antiderivada procurada é wu eu 20tg1u 3 Antiderivadas 6 Exemplo 4 Dados wu 12u² 6u 4u w0 4 e w1 1 Determine a função w no caso específico das condições apresentadas Solução Calculando a antiderivada de wu 12u2 6u 4u temos Repetindo o procedimento temos Para encontrar as constantes C e D aplicamos as condições descritas no problema w0 4 e w1 1 Da relação w0 4 temos w0 0 D 4 o que implica que D 4 Da relação w1 1 temos w1 1 1 2 C 4 1 C 1 4 3 Substituindo os valores de C e D em wu wu u4 u3 2u2 3u 4 Avaliando os exercícios apresentados nos exemplos 3 e 4 observamos que a quantidade de relações informadas está associada à ordem de diferenciação Com a primeira derivada precisamos de uma relação da função com a segunda precisamos de duas relações da função e assim sucessivamente A seguir apresentaremos a antiderivada como integral indefinida No link a seguir o Professor Cláudio Possani da Universidade Virtual do Estado de São Paulo UNIVESP apresenta os principais aspectos das antiderivadas httpsqrgopagelinkttx5o 7 Antiderivadas As leis para antiderivadas ou primitivas nas suas respectivas formas gerais são as fórmulas de diferenciação lidas da direita para a esquerda de uma função de variável real Com essas leis podemos calcular as integrais indefinidas descritas no exemplo 6 9 Antiderivadas A Figura 2 descreve as formas básicas de integração indefinidas Figura 2 Tabela com as formas básicas de integrais indefinidas Fonte Stewart 2013 p 6 A seguir apresentaremos problemas aplicados que utilizam propriedades conceitos e definições desenvolvidos anteriormente de antiderivadas ou in tegrais indefinidas Problemas aplicados a partir das propriedades das antiderivadas Nas investigações de Cinemática relacionadas ao movimento retilíneo de ob jetos os procedimentos de determinação de antiderivadas integral indefinida são bastante importantes visto ser possível relacionar os modelos matemáticos das grandezas físicas posição espaço velocidade e aceleração As notações e terminologias a seguir são relacionadas p wt vt p t at v t v a dt s p dt 11 Antiderivadas A partir da função que está associada à posição com a antidiferenciação podemos determinar as funções da velocidade e derivada Se particularmente são dadas condições por exemplo os valores iniciais p0 e v0 consegui mos encontrar as possíveis constantes que se apresentariam no processo de antidiferenciação Nos exemplos 7 e 8 vamos apresentar problemas aplicados que envolvem essas relações descritas anteriormente Exemplo 7 Uma partícula tem o seu movimento descrito por uma reta e apresenta ace leração sendo representada pela equação at 6t 4 Sabendo que sua velocidade inicial é v0 6 cms e o seu deslocamento inicial dado por p0 9 cm determine a função da posição pt Solução Como vt at 6t 4 a sua antidiferenciação é Sabendo que v0 C e que v0 6 temos C 6 Então vt 3t2 4t 6 Usando a relação vt pt p é a antiderivada de v dessa forma temos Sabendo que p0 D e que p0 9 temos D 9 Então pt t32t2 6t 9 Assim encontramos a função da posição solicitada no exemplo Antiderivadas 12 A condição em que a esfera atinge o solo é pt 0 Dessa forma temos 49t215t 140 0 Aplicando o método analítico para a resolução de equações do 2º grau temos Escolhemos apenas o valor positivo pois não existe tempo negativo Quando um objeto está próximo à superfície terrestre está sujeito à força gravitacional denominada g Nos movimentos de objetos que estão associados a essa condição g é constante e tem valor numérico de 98 metros por segundo ao quadrado STEWART 2013 No link a seguir você terá acesso a diversos materiais didáticos sobre o cálculo diferencial e integral do Instituto de Física da Universidade de São Paulo httpsqrgopagelinkBNZwc STEWART J Cálculo 7 ed São Paulo Cengage Learning 2013 v 1 Leituras recomendadas ADAMI A M DORNELLES FILHO A A LORANDI M M Précálculo Porto Alegre Bookman 2015 AYRES JUNIOR F MENDELSON E Cálculo 5 ed Porto Alegre Bookman 2013 KOLMAN B HILL D R Introdução à álgebra linear com aplicações 8 ed Rio de Janeiro LTC 2006 Referência Antiderivadas 14 MORETTIN P A HAZZAN S BUSSAB W O Cálculo função de uma e várias variáveis 2 ed São Paulo Editora Saraiva 2010 SAFIER F Précálculo mais de 700 problemas resolvidos 2 ed Porto Alegre Bookman 2011 15 Antiderivadas CÁLCULO INTEGRAL E FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Raphael de Oliveira Freitas problema de aproximações de uma tangente por secantes e o cálculo integral da investigação do problema de áreas sob curvas por retângulos aproximadores e somas de Riemann Ao associar esses dois problemas em um método mate mático sistemático o TFC possibilita o cálculo de integrais e áreas de forma simples Essa organização é atribuída a dois cientistas Gottfried Wilhelm Leibniz 16461716 e Isaac Newton 16421727 considerados inventores ou precursores do cálculo diferencial e integral BOYER 1959 Primeira parte A interpretação da parte 1 do TFC está inicialmente associada à compreensão de equações definidas por em que w se configura como uma função contínua no intervalo fechado a b e o valor de x oscila entre a e b Ao avaliar a equação a função g depende exclusivamente de x que se apresenta como variável superior do limite da integral associada Outro ponto observado reside no fato de que se o valor de x for fixo então a integral se configura como número definido Quando ocorre a variação de x o número também varia No caso em que w se apresenta como função positiva g tem a interpretação geométrica de uma área sob a curva na qual w se limita de a até x com a possibilidade de x variar de a até b conforme a Figura 1 Figura 1 Interpretação geométrica da primeira parte do TFC Fonte Adaptada de Stewart 2014 Teorema fundamental do cálculo 2 No exemplo a seguir vamos realizar uma interpretação geométrica de uma função w contínua em um gráfico apresentado para esboçar o gráfico da função gx Exemplo 1 Sabendo que w é uma função contínua e gx determine os valores de g0 g1 g2 g3 g4 e g5 e esboce o gráfico dessa função Observação utilize o gráfico de w descrito na Figura 2 Figura 2 Gráfico de w no Exemplo 1 Fonte Adaptada de Stewart 2014 Solução Inicialmente observamos que Ao secionarmos o gráfico w em x 1 2 3 4 e 5 temos a interpretação geométrica das áreas desses pontos na função gx conforme a Figura 3 Figura 3 Interpretação de gx como áreas nos pontos x 1 2 3 4 e 5 do Exemplo 1 Fonte Adaptada de Stewart 2014 Analisando cada caso é possível estimar os valores de gx como áreas Para g1 temos a área de um triângulo de base 1 e altura 2 isto é 3 Teorema fundamental do cálculo Para determinar g2 observamos que a área da região sombreada é composta da região anterior g1 ou seja a área do triângulo encontrada anteriormente mais o retângulo de base 1 e altura 2 com isso temos Aplicando um raciocínio análogo estimamos que a área abaixo da curva definida por w em 2 3 é aproximadamente 13 então g3 é dado por Para os valores t maiores que três wt tem sinal negativo então g4 e g5 são determinados pela subtração de áreas A partir dos valores encontrados podemos elaborar um esboço do gráfico da função g conforme a Figura 4 Figura 4 Esboço do gráfico da função g do Exemplo 1 Fonte Adaptada de Stewart 2014 Do gráfico esboçado observamos que como wt é positiva para t 3 e continuamos somando área para t 3 a função g é crescente até x 3 onde alcança o seu valor máximo Já para x 3 g decresce pois wt é negativa Teorema fundamental do cálculo 4 Do exemplo apresentado é possível indicar algumas conjecturas Obser vamos que gx x ou seja g w Se traçarmos um esboço para a derivada da função g pelas inclinações estimadas das tangentes é possível encontrar um gráfico parecido com o de w Conjectura da primeira parte do teorema fundamental do cálculo De modo geral se considerarmos qualquer função contínua w com w 0 a função gx pode ser interpretada como a área sobre o gráfico de w de a até x Utilizando a definição de derivada tomamos h 0 onde gx h gx é encontrada subtraindo as áreas de maneira que as áreas sobre o gráfico w de x até x h conforme a Figura 5 Figura 5 Representação de gx h gx pela subtração de áreas Fonte Adaptada de Stewart 2014 5 Teorema fundamental do cálculo Dessa ilustração observamos que para h pequeno a área é aproximada mente igual à área do retângulo com altura wx e largura h ou seja gx h gx h x portanto Instintivamente percebemos que Tomando como verdadeira essa conjectura observamos que a função w não precisa ser positiva Essa reflexão se configura como a primeira parte do TFC Então podemos definilo como Se w for contínua no intervalo fechado a b então a função g é definida por com a x b e é contínua em a b além de deri vável no intervalo aberto a b com a condição de gx wx Vamos aplicar o TFC parte 1 TFC1 no Exemplo 2 Exemplo 2 Determine a derivada da função Solução Sabendo que é contínua a TFC1 indica que Combinando a regra da cadeia e o TFC1 podemos resolver o Exemplo 3 Teorema fundamental do cálculo 6 Exemplo 3 Determine Solução Inicialmente fazemos u x3 portanto Regra da cadeia Para calcular esse limite pela definição por meio das somas de Riemann no Exemplo 2 o processo seria no mínimo dispendioso daí a importância de saber usar corretamente o TFC Segunda parte A segunda parte do teorema fundamental do cálculo TFC2 se configura como um método mais eficaz e objetivo para calcular integrais Podemos definila como Se w for contínua no intervalo fechado a b então na qual W se apresenta como antiderivada de w ou seja W w Para aplicar a TFC2 vamos apresentar os Exemplos 4 a 6 7 Teorema fundamental do cálculo Exemplo 4 Calcule a integral Solução Considerando que a função wx ex para todo R e que sua antiderivada é Wx ex pela TFC2 temos Nesse sentido o TFC2 indica que é possível utilizar qualquer antiderivada W de w No caso desse exemplo usamos Wx ex mas poderíamos indicar nessa posição ex C Ao aplicarmos o TFC utilizamos uma antiderivada específica W da fun ção w não sendo necessário dessa forma usar a antiderivada mais geral STEWART 2014 Há outras notações comuns para representar ou indicar o TFC2 por exemplo A equação que representa o TFC2 pode ser reescrita como Lembrese também que fazemos o uso frequente da notação Teorema fundamental do cálculo 8 Outro exemplo de cálculo de integrais que se torna mais simples com o uso do TFC é o Exemplo 5 Exemplo 5 Calcule Solução Escolhendo uma antiderivada de ws 1s temos Ws ln s particularmente para 2 s 4 podemos escrever Ws ln s STEWART 2014 Portanto Uso do teorema fundamental do cálculo para calcular áreas sob curvas Os problemas de calcular áreas sob curva podem ser solucionados utilizando o TFC a partir de integrais definidas Também é possível associar o TFC2 para encontrar áreas sob curvas como é o caso dos Exemplos 6 e 7 Exemplo 6 Determine a área sob a curva do cosseno de 0 até k onde 0 k π2 Solução Sabendo que a antiderivada de wx cos x é Wx sen x temos STEWART 2014 sen sen sen sen 9 Teorema fundamental do cálculo Se considerarmos k π2 indicamos que a área sob a curva cosseno de 0 até π2 é sen π2 1 Figura 6 Figura 6 Representação gráfica do Exemplo 6 Fonte Adaptada de Stewart 2014 Exemplo 7 Determine a área sobre a parábola s k2 de 0 até 1 Solução Sabendo que uma antiderivada de sk k2 é Sk k33 A área solicitada pela TFC2 é Figura 7 Figura 7 Representação gráfica do Exemplo 7 Teorema fundamental do cálculo 10 Avaliando os exercícios apresentados nos Exemplos 1 a 6 observamos que os TFC 1 e 2 facilitam o processo de cálculo de integrais e a estimativa de áreas sob curvas No Exemplo 8 apresentamos um exemplo de situação na qual não se pode aplicar o teorema pelo fato de a função não ser contínua Exemplo 8 Qual seria o erro do cálculo a seguir Solução Observamos que o TFC não se aplica a funções não contínuas pois wx 1x2 não é contínua no intervalo 1 3 Para x 0 a função w apresenta uma descontinuidade infinita Nesse caso dx não existe STEWART 2014 Na seção a seguir apresentaremos a antiderivada como integral indefinida No link a seguir você verá um vídeo autoexplicativo sobre o desenvolvimento das ideias e dos raciocínios do Teorema Fundamental do Cálculo partes 1 e 2 do portal eletrônico Khan Academy httpsqrgopagelinkExW3G Diferenciação e integração como processos inversos A parte 1 do TFC pode ser reescrita como 11 Teorema fundamental do cálculo O que estabelece que se w for integrada e o resultado diferenciado obte remos de volta a função original Já que Wx wx a parte 2 do TFC pode ser reescrita como Em outras palavras cada versão do TFC desfaz o procedimento do outro portanto tratase de processos inversos Integrais indefinidas e teorema da variação total como aplicações do teorema fundamental do cálculo As integrais indefinidas e definidas são relacionadas pelas partes do TFC Se observarmos a integral indefinida como a representação de um conjunto de todas as funções ou seja uma antiderivada para cada valor C ou da constante isso permite aplicar de maneira mais simples o TFC A diferença básica entre integral indefinida e definida está na perspectiva de repre sentação pois enquanto a integral indefinida wt dt é uma função ou uma família de funções a integral definida é um número A ligação entre esses conceitos do cálculo é apresentada na TFC2 A facilidade em aplicar o TFC está associada ao conhecimento das an tiderivadas das funções por isso a importância da tabela de fórmulas de antidiferenciação Quadro 1 Teorema fundamental do cálculo 12 Fonte Adaptado de Stewart 2014 Quadro 1 Formas básicas de integrais indefinidas Os Exemplos 9 e 10 ilustram a importância da tabela de fórmulas com as formas básicas de integrais indefinidas combinando com o TFC 13 Teorema fundamental do cálculo Exemplo 9 Calcule Solução Inicialmente reescrevemos a expressão como STEWART 2014 Aplicando a integração temos Exemplo 10 Calcule Solução Fonte Adaptado de Stewart 2014 p 362 e 407 No link a seguir você verá um utilitário para calcular integrais indefinidas httpsqrgopagelinkPiJKS Teorema fundamental do cálculo 14 Teorema da variação total O Teorema da variação total TVT é um princípio com aplicação prática em taxas de variação em diversas ciências naturais e sociais configurandose como uma reformulação do TFC Então podemos definilo o como A integral de uma taxa de variação é a variação total Dessa forma são diversas as aplicações do TVT como movimento retilíneo para calcular a distância percorrida e o deslocamento a partir da função da velocidade ou da aceleração Se calcularmos a integral de vt avaliando o deslocamento para a direita vt 0 ou vt 0 o deslocamento para a esquerda se dará nos intervalos de tempo apresentados Dessa forma a distância total percorrida D é Como exemplo podemos ilustrar essa situação por meio do gráfico da Figura 8 Figura 8 Representação gráfica do deslocamento da velocidade versus tempo Fonte Stewart 2014 p 364 15 Teorema fundamental do cálculo Observamos que a distância total percorrida e o deslocamento constituem uma interpretação geométrica em termos de áreas sob a curva que expressa a velocidade Assim Dessa relação também é possível determinar a aceleração do objeto com at vt Portanto Apresentase como a mudança da velocidade do período de t1 a t2 Para ilustrar essa aplicação do TVT há o Exemplo 11 Exemplo 11 Um objeto que se move ao longo de uma reta apresenta a função da velocidade em função do tempo dada por vt t² t 6 medida em metros por segundo Determine o deslocamento do objeto durante o período de 1 t 4 e a distância percorrida nesse intervalo de tempo Solução O deslocamento é dado por Teorema fundamental do cálculo 16 Em outras palavras o objeto se moveu 45 metros para a esquerda Para a distância percorrida reescrevemos a função da velocidade vt t² t 6 t 3 t 2 com isso vt 0 no intervalo 1 3 e vt 0 no intervalo 3 4 a distância percorrida é metros A Figura 9 descreve a função da velocidade Figura 9 À esquerda a associação entre o gráfico da função vt t² t 6 no centro a função vt nos trechos dos intervalos 1 3 e 3 4 e à direita as áreas das curvas em verde e azul determinadas pelas integrais calculadas anteriormente Além dessa aplicação a taxa de escoamento de água o custo de produção a densidade linear e o crescimento populacional entre outras grandezas físicas podem ser relacionadas por uma taxa de variação 17 Teorema fundamental do cálculo BOYER C The history of the calculus and its conceptual development New York Dover 1959 346 p The concepts of the calculus series STEWART J Cálculo volume1 7 ed São Paulo Cengage Learning 2014 664 p Leituras recomendadas ADAMI A M DORNELLES FILHO A A LORANDI M M Précálculo Porto Alegre Bookman 2015 208 p KOLMAN B HILL D R Introdução à álgebra linear com aplicações 9 ed Rio de Janeiro LTC 2013 607 p MORETTIN P A HAZZAN S BUSSAB W O Cálculo função de uma e várias variáveis 3 ed São Paulo Saraiva 2016 437 p SAFIER F Précalculo 2 ed Porto Alegre Bookman 2011 412 p Coleção Schaum Teorema fundamental do cálculo 18