Resistência dos Materiais em Estruturas 1

DESCRIÇÃO A aplicação das equações matemáticas no estudo das principais propriedades geométricas de uma seção reta de área A. PROPÓSITO Compreender as propriedades geométricas de uma seção de área A como requisito fundamental na formação do engenheiro, pois tais propriedades geram uma importante ferramenta no aprendizado de efeitos comuns, como: torção, flexão e cisalhamento, em estruturas. PREPARAÇÃO Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphone/computador. OBJETIVOS MÓDULO 1 Calcular o centroide de uma área MÓDULO 2 Calcular o momento estático de uma área MÓDULO 3 Calcular o momento de inércia de uma área MÓDULO 4 Empregar o produto de inércia de uma área APRESENTAÇÃO DAS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE ÁREA E SUAS APLICAÇÕES AVISO: orientações sobre unidades de medida. Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e das unidades. MÓDULO 1 Calcular o centroide de uma área. O CENTROIDE DE UMA ÁREA INTRODUÇÃO No estudo das propriedades geométricas de uma área A, é fundamental reconhecer o ponto denominado centroide, uma vez que várias expressões matemáticas dos fenômenos ocorridos em uma estrutura o utilizam como referencial (eixos que passem por esse ponto). Além disso, é importante calcular as coordenadas desse ponto em relação a um dado conjunto de eixos. A figura mostra uma área A, no plano xy, e o seu centroide C cujas coordenadas são dadas por \( \bar{x} \) e \( \bar{y} \). Figura 1 - Centroide de uma área CENTROIDE VERSUS CENTRO DE MASSA O centroide de uma área e centro de massa são identificados pelas coordenadas de um ponto. Seus conceitos são distintos, mas sob determinadas condições, esses pontos podem ser coincidentes, apresentando a mesma localização em relação a um par de eixos. Centro de massa O centro de massa é um ponto onde pode-se considerar toda a massa concentrada. Centroide O centroide, independe da massa, é uma característica geométrica. Supondo uma placa no plano xy de espessura constante e massa específica uniforme, os pontos que definem o centro de massa e o centroide coincidem. A figura a seguir apresenta uma área A cujo material possui massa específica não constante. Nesse caso, o centroide e o centro de massa não coincidem. Figura 2 - Centroide e centro de massa No caso de uma superfície geométrica com massa específica constante, os pontos associados ao centroide e ao centro de massa são coincidentes, isto é, apresentam as mesmas coordenadas para um mesmo par de eixos. Figura 3 - Centroide e centro de massa coincidentes ATENÇÃO O centroide está associado exclusivamente à geometria da área. Assim, dois retângulos congruentes, sendo um constituído de alumínio e o outro, de madeira, apresentarão o mesmo centroide para o mesmo par de eixos. EXEMPLO 1 Considere dois retângulos com dimensões b e h (em centímetros) e um mesmo par de eixos xy. O primeiro dos retângulos é constituído de aço 1020 e o segundo de alumínio 7012. A respeito das coordenadas dos centroides (em centímetros) dessas duas seções geométricas, qual é a opção que pode apresentar corretamente as coordenadas do centroide de cada retângulo? (1, 2) e (2 e 1) (1, 2) e (5 e 6) (4, 1) e (4 e 1) (0, 0) e (1 e 1) (2, 1) e (6 e 5) RESOLUÇÃO O centroide independe do tipo de material que compõe a área. É função apenas da área. Considere as figuras a seguir que representam os dois retângulos descritos no exemplo para o eixo xy. Como as dimensões são iguais e os eixos de referências são idênticos, os centroides apresentarão mesmas coordenadas (a, b). Assim, a alternativa C é a única possível. DETERMINAÇÃO DO CENTROIDE No item anterior, foi feita uma análise qualitativa sobre o centroide de uma área A. Agora, o objetivo é a determinação do centroide, ou seja, encontrar suas coordenadas (x̅, y̅). Na figura abaixo tem-se uma representação esquemática de uma área A, o ponto centroide e as coordenadas para o par xy considerado. Figura 4 - Representação do centroide de uma área. As coordenadas do centroide são determinadas a partir das equações 1 e 2, a seguir: x̅ = ∫ x dA / ∫ dA (equação 1) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal y̅ = ∫ y dA / ∫ dA (equação 2) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Em que o denominador, ∫ dA, é igual à área A da figura. ATENÇÃO Caso a superfície não esteja no plano xy, será determinada, também, a coordenada: z̅ = ∫ z dA / ∫ dA EXEMPLO 2 Determinar as coordenadas do centroide de um retângulo de base b e altura h em relação aos eixos x e y. RESOLUÇÃO Inicialmente, deve-se individualizar um elemento infinitesimal de área dA. Nesse exemplo, o elemento de área é um retângulo vertical de base dx e altura h. A abscissa do centroide desse elemento é x. Assim, é possível escrever que dA = h · dx (área do retângulo). Substituindo na equação 1, tem-se que: x = \frac{\int_{a}^{b} x.h.dx}{\int_{a}^{b} h.dx} = \frac{\int_{a}^{b} x.h.dx}{A} = \frac{h \int_{a}^{b} x.dx}{b.h} = \frac{h \frac{x^2}{2}}{b.h} = \frac{h \frac{b^2}{2}}{b.h} = \frac{b}{2} Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal De maneira análoga, é possível determinar a ordenada do centroide, ou seja, \bar{y} = \frac{h}{2}. EXEMPLO 2.1 - APLICAÇÃO Determine o centroide de uma placa retangular de base 20cm e altura 8cm em relação ao par de eixos x e y, de tal forma que x passe pela base do retângulo e y, pela altura, à esquerda. Figura 5 - Centroide de uma área. RESOLUÇÃO A partir das expressões encontradas no exemplo anterior, basta fazer a substituição dos valores da base e da altura. Assim: x = \frac{b}{2} = \frac{20}{2} = 10cm e \bar{y} = \frac{h}{2} = \frac{8}{2} = 4cm Logo, C (10, 4) cm. O centroide de uma área pode ser um ponto pertencente ou não à área A.