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Engenharia de Produção ·
Geometria Analítica
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Universidade Federal de Ouro Preto DECEA Disciplina CEA036 Lista de Exercıcios 1 Avaliativa Data da Entrega 18012023 Nome Matrıcula 1 Determine a equacao da reta que passa pelos pontos P1 2 e Q 1 2 2 3 2 Determine a equacao da reta que passa pelos pontos P11 2 e Q 13 7 2 3 1 3 Considere a matriz A 1 2 3 1 1 2 0 1 2 a Calcule A2 b Calcule 2A AT c Calcule trA 2A3 d Encontre a matriz inversa A1 2 4 Resolva o sistema abaixo usando o metoda da matriz inversa x 2y 4z 2 x 3y 9z 3 x 4y 16z 3 5 Resolva usando o metodo de GaussJordan o seguinte sistema a 3z 9w 6 5x 15y 10z 40w 45 x 3y z 5w 7 b x1 x2 3x4 x5 2 x1 2x2 x3 3x4 x5 2x6 3 x1 2x2 3x4 2x5 x6 4 3x1 6x2 x3 9x4 4x5 3x6 9 c x1 3x2 2x3 2x5 0 2x1 6x2 5x3 2x4 4x5 3x6 1 5x3 10x4 15x6 5 2x1 6x2 8x4 4x5 18x6 6 4 6 Encontre um polinˆomio de grau trˆes cujo grafico passa pelo pontos 1 3 2 2 3 5 e 4 0 5 1 A equação geral da reta que passa pelos pontos P12 e Q1223 é dada por 1 2 1 12 23 1 x y 1 0 123 y 212 x 112 y 23x 0 23 y 1 2x 12 y 23 x 0 2x 23 x y 12 y 1 23 0 6 23 x 2 12 y 3 23 0 43 x 32 y 53 0 Portanto a equação geral da reta é r 43 x 32 y 53 0 2 A equação geral da reta que passa pelos pontos P112 e Q13723 é dada por 11 2 1 137 23 1 x y 1 0 1123 y 2137 x 1137 y 23 x 0 223 11 y 267 2x 137 y 23 x 0 2x 23 x 11 y 137 y 267 0 43 x 907 y 23221 0 Portanto a equação da reta é r 43 x 907 y 23221 0 3 Considere a matriz A 1 2 3 1 1 2 0 1 2 a A2 A A 1 2 3 1 1 2 0 1 2 1 2 3 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 3 0 1 2 2 1 3 1 1 3 2 2 3 2 1 1 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 3 1 2 2 2 0 1 1 1 2 0 0 2 1 1 2 1 0 3 1 2 2 2 1 2 0 2 2 3 3 4 6 1 1 0 2 1 2 3 2 4 0 1 0 0 1 2 0 2 4 3 7 13 2 5 9 1 3 6 Portanto A2 3 7 13 2 5 9 1 3 6 Portanto 2A AT 1 2 5 5 3 1 13 7 2 c Temos A3 A2 A 3 7 13 2 5 9 1 3 6 1 2 3 1 1 2 0 1 2 3 7 0 6 7 13 9 14 26 2 5 0 4 5 9 6 10 18 1 3 0 2 3 6 3 6 12 10 26 49 7 18 34 4 11 21 A 2 A3 1 2 3 1 1 2 0 1 2 2 10 26 49 7 18 34 4 11 21 1 2 3 1 1 2 0 1 2 20 52 98 14 36 68 8 22 42 19 50 95 13 35 66 8 21 40 Logo tr A 2 A3 tr 19 50 95 13 35 66 8 21 40 19 35 40 94 Portanto tr A 2 A3 94 d Vamos calcular A1 Temos utilizando eliminação GaussJordan 1 2 3 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 1 w2 L1 L2 1 2 3 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 1 w3 L2 L3 1 L2 L2 1 2 3 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 1 w2 L3 L2 L1 3L3 L1 1 2 0 4 3 3 0 1 1 2 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 2 2 1 0 0 1 0 1 0 2 2 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 A1 Portanto A1 0 1 1 2 2 1 1 1 1 4 Considere o seguinte sistema linear x 2y 4z 2 x 3y 9z 3 x 4y 16z 0 A representação matricial do sistema é dada da seguinte forma AX B 1 2 4 1 3 9 1 4 16 x y z 2 3 0 A X B Logo multiplicando ambos lados à esquerda por A1 temos A1 A X A1 B I X A1 B onde I é a matriz identidade X A1 B Precisamos encontrar a inversa da matriz A para isso usaremos eliminação de GaussJordan 1 2 4 1 0 0 1 3 9 0 1 0 1 4 16 0 0 1 L2 L1 L2 L3 L1 L3 1 2 4 1 0 0 0 1 5 1 1 0 0 2 12 1 0 1 L3 2L2 L3 1 2 4 1 0 0 0 1 5 1 1 0 0 0 2 1 2 1 12 L3 L3 1 2 4 1 0 0 0 1 5 1 1 0 0 0 1 12 1 12 L2 5 L3 L2 L1 4 L3 L1 1 2 4 1 0 0 0 1 0 72 6 52 0 0 1 12 1 12 L1 2 L2 L1 1 0 0 6 8 3 0 1 0 72 6 52 0 0 1 12 1 12 Logo A1 6 8 3 72 6 52 12 1 12 Daí segue X A1 B x y z 6 8 3 72 6 52 12 1 12 2 3 0 6 2 8 3 3 0 72 2 6 3 52 0 12 2 1 3 12 0 12 24 0 7 18 0 1 3 0 12 11 2 Logo X 12 11 2 Portanto a solução do sistema é X 12 11 2 5a 3z 9w 6 5x 15y 10z 40w 45 x 3y z 5w 7 Seja A a matriz ampliada do sistema pelo método de GaussJordan temos A 0 0 3 9 6 5 15 10 40 45 1 3 1 5 7 L2s L1 5 15 10 40 45 0 0 3 9 6 1 3 1 5 7 15 L1 L1 1 3 2 8 9 0 0 3 9 6 1 3 1 5 7 L3 L1 L3 1 3 2 8 9 0 0 3 9 6 1 3 1 5 7 13 L2 L2 1 3 2 8 9 0 0 1 3 2 0 0 1 3 2 L3 L2 L3 1 3 2 8 9 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 L1 2L2 L1 1 3 0 2 5 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 Digitalizado com CamScanner Dai segue x 3y 2w 5 1 z 3w 2 2 De 2 z 3w 2 z 2 3w De 1 x 3y 2w 5 x 3y 2w 5 0 x 5 3y 2w Portanto a solução geral do sistema é X 5 3y 2w y 2 3w w Digitalizado com CamScanner b x1 x2 3x4 x5 2 x1 2x2 x3 3x4 x5 2x6 3 x1 2x2 3x4 2x5 x6 4 3x1 6x2 x3 9x4 4x5 3x6 9 Seja A a matriz ampliada do sistema por GaussJordan temos A 1 1 0 3 1 0 2 1 2 1 3 1 2 3 1 2 0 3 2 1 4 3 6 1 9 4 3 9 L2 L1 L2 L3 L1 L3 L4 3L1 L4 1 1 0 3 1 0 2 0 1 1 0 0 2 1 0 1 0 0 1 2 0 3 1 0 1 3 3 L3 L2 L3 L4 3L2 L4 Digitalizado com CamScanner 1 1 0 3 1 0 2 1 L3 L3 0 1 1 0 0 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 2 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 2 L4 2L3 L4 0 1 1 0 0 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 2 1 L4 L4 L3 L4 L3 L1 L4 L1 1 1 0 3 0 1 0 L2 L3 L2 0 1 1 0 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 1 2 1 1 0 3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 2 L1 L2 L1 1 0 0 3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 2 Logo x1 3x4 x6 0 1 x2 0 2 x3 2x6 1 3 x5 x6 2 4 De 4 x5 x6 2 x5 2 x6 De 3 x3 2x6 1 x3 1 2x6 De 2 x2 0 De 1 x1 3x4 x6 0 x1 3x4 x6 Portanto a solução geral é X 3x4 x6 0 1 2 x6 2 x6 x6 c x1 3x2 2x3 2x5 0 2x1 6x2 5x3 2x4 4x5 3x6 1 5x3 10x4 15x6 5 2x4 6x2 8x4 4x5 18x6 6 Seja A a matriz ampliada do sistema pelo método de GaussJordan temos A 1 3 2 0 2 0 0 2 6 5 2 4 3 1 0 0 5 10 0 15 5 2 6 0 8 4 18 6 L2 2L1 L2 L4 2L1 L4 1 3 2 0 2 0 0 0 0 1 2 0 3 1 0 0 5 10 0 15 5 0 0 4 8 0 18 6 1 L2 L2 1 3 2 0 2 0 0 L3 5 L2 L3 0 0 1 2 0 3 1 L4 4 L2 L4 0 0 5 1 0 15 5 0 0 4 8 0 18 6 1 3 2 0 2 0 0 L4 L3 0 0 1 2 0 3 1 0 0 0 0 0 6 2 0 0 0 0 0 1 0 16 L3 L3 1 3 2 0 2 0 0 L2 3 L3 L2 0 0 1 2 0 3 1 0 0 0 0 0 1 13 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 2 0 0 L1 L2 L1 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 4 2 0 0 0 0 0 0 0 1 13 0 0 0 0 0 1 0 Logo x1 3x2 4x4 2x5 0 1 x3 2x4 0 2 x6 13 3 De 3 x6 13 De 2 x3 2x4 0 x3 2x4 De 1 x1 3x2 4x4 2x5 0 x1 3x2 4x4 2x5 A solução geral é X 3x2 4x4 2x5 x2 2x4 x4 x5 13 6 Queremos encontrar um polinômio de grau 3 cujo o gráfico passa pelos pontos 13 22 35 e 40 A equação de um polinômio de grau 3 é da forma a x3 b x2 c x d 0 Substituindo os pontos nessa equação temos a b c d 3 8a 4b 2c d 2 27a 9b 3c d 5 64a 16b 4c d 0 Resolveremos o sistema por GaussJordan Seja A a matriz ampliada do sistema Então A 1 1 1 1 3 8 4 2 1 26 27 9 3 1 5 64 16 4 1 0 L2 8 L1 L2 1 1 1 1 3 0 4 6 7 26 0 18 24 26 86 0 48 60 63 192 L3 2 7 L1 L3 L4 64 L1 L4 L2 14 L2 1 1 1 1 3 0 1 32 74 132 0 18 24 26 86 0 48 60 63 192 L3 18 L2 L3 L4 48 L2 L4 1 1 1 1 3 0 1 32 74 132 0 0 3 112 31 0 0 12 21 120 13 L3 L3 1 1 1 1 3 0 1 32 74 132 0 0 1 116 313 0 0 12 21 120 L4 12 L3 L4 1 1 1 1 3 0 1 32 74 132 0 0 1 116 313 0 0 0 1 4 1 L4 L4 1 1 1 1 3 0 1 32 74 132 0 0 1 116 313 0 0 0 1 4 L3 116 L4 L3 L2 74 L4 L2 L1 L4 L1 1 1 1 0 1 0 1 32 0 12 0 0 1 0 3 0 0 0 1 4 L2 32 L3 L2 L1 L3 L1 1 1 0 0 4 0 1 0 0 5 0 0 1 0 3 0 0 0 1 4 L1 L2 L1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 0 1 3 0 0 0 0 4 Logo a 1 b 5 c 3 d 4 Portanto o polinômio de grau 3 que passa pelos pontos 1 3 2 26 3 5 e 4 0 é x3 5 x2 3 x 4
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12 y 1 23 0 6 23 x 2 12 y 3 23 0 43 x 32 y 53 0 Portanto a equação geral da reta é r 43 x 32 y 53 0 2 A equação geral da reta que passa pelos pontos P112 e Q13723 é dada por 11 2 1 137 23 1 x y 1 0 1123 y 2137 x 1137 y 23 x 0 223 11 y 267 2x 137 y 23 x 0 2x 23 x 11 y 137 y 267 0 43 x 907 y 23221 0 Portanto a equação da reta é r 43 x 907 y 23221 0 3 Considere a matriz A 1 2 3 1 1 2 0 1 2 a A2 A A 1 2 3 1 1 2 0 1 2 1 2 3 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 3 0 1 2 2 1 3 1 1 3 2 2 3 2 1 1 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 3 1 2 2 2 0 1 1 1 2 0 0 2 1 1 2 1 0 3 1 2 2 2 1 2 0 2 2 3 3 4 6 1 1 0 2 1 2 3 2 4 0 1 0 0 1 2 0 2 4 3 7 13 2 5 9 1 3 6 Portanto A2 3 7 13 2 5 9 1 3 6 Portanto 2A AT 1 2 5 5 3 1 13 7 2 c Temos A3 A2 A 3 7 13 2 5 9 1 3 6 1 2 3 1 1 2 0 1 2 3 7 0 6 7 13 9 14 26 2 5 0 4 5 9 6 10 18 1 3 0 2 3 6 3 6 12 10 26 49 7 18 34 4 11 21 A 2 A3 1 2 3 1 1 2 0 1 2 2 10 26 49 7 18 34 4 11 21 1 2 3 1 1 2 0 1 2 20 52 98 14 36 68 8 22 42 19 50 95 13 35 66 8 21 40 Logo tr A 2 A3 tr 19 50 95 13 35 66 8 21 40 19 35 40 94 Portanto tr A 2 A3 94 d Vamos calcular A1 Temos utilizando eliminação GaussJordan 1 2 3 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 1 w2 L1 L2 1 2 3 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 1 w3 L2 L3 1 L2 L2 1 2 3 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 1 w2 L3 L2 L1 3L3 L1 1 2 0 4 3 3 0 1 1 2 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 2 2 1 0 0 1 0 1 0 2 2 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 A1 Portanto A1 0 1 1 2 2 1 1 1 1 4 Considere o seguinte sistema linear x 2y 4z 2 x 3y 9z 3 x 4y 16z 0 A representação matricial do sistema é dada da seguinte forma AX B 1 2 4 1 3 9 1 4 16 x y z 2 3 0 A X B Logo multiplicando ambos lados à esquerda por A1 temos A1 A X A1 B I X A1 B onde I é a matriz identidade X A1 B Precisamos encontrar a inversa da matriz A para isso usaremos eliminação de GaussJordan 1 2 4 1 0 0 1 3 9 0 1 0 1 4 16 0 0 1 L2 L1 L2 L3 L1 L3 1 2 4 1 0 0 0 1 5 1 1 0 0 2 12 1 0 1 L3 2L2 L3 1 2 4 1 0 0 0 1 5 1 1 0 0 0 2 1 2 1 12 L3 L3 1 2 4 1 0 0 0 1 5 1 1 0 0 0 1 12 1 12 L2 5 L3 L2 L1 4 L3 L1 1 2 4 1 0 0 0 1 0 72 6 52 0 0 1 12 1 12 L1 2 L2 L1 1 0 0 6 8 3 0 1 0 72 6 52 0 0 1 12 1 12 Logo A1 6 8 3 72 6 52 12 1 12 Daí segue X A1 B x y z 6 8 3 72 6 52 12 1 12 2 3 0 6 2 8 3 3 0 72 2 6 3 52 0 12 2 1 3 12 0 12 24 0 7 18 0 1 3 0 12 11 2 Logo X 12 11 2 Portanto a solução do sistema é X 12 11 2 5a 3z 9w 6 5x 15y 10z 40w 45 x 3y z 5w 7 Seja A a matriz ampliada do sistema pelo método de GaussJordan temos A 0 0 3 9 6 5 15 10 40 45 1 3 1 5 7 L2s L1 5 15 10 40 45 0 0 3 9 6 1 3 1 5 7 15 L1 L1 1 3 2 8 9 0 0 3 9 6 1 3 1 5 7 L3 L1 L3 1 3 2 8 9 0 0 3 9 6 1 3 1 5 7 13 L2 L2 1 3 2 8 9 0 0 1 3 2 0 0 1 3 2 L3 L2 L3 1 3 2 8 9 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 L1 2L2 L1 1 3 0 2 5 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 Digitalizado com CamScanner Dai segue x 3y 2w 5 1 z 3w 2 2 De 2 z 3w 2 z 2 3w De 1 x 3y 2w 5 x 3y 2w 5 0 x 5 3y 2w Portanto a solução geral do sistema é X 5 3y 2w y 2 3w w Digitalizado com CamScanner b x1 x2 3x4 x5 2 x1 2x2 x3 3x4 x5 2x6 3 x1 2x2 3x4 2x5 x6 4 3x1 6x2 x3 9x4 4x5 3x6 9 Seja A a matriz ampliada do sistema por GaussJordan temos A 1 1 0 3 1 0 2 1 2 1 3 1 2 3 1 2 0 3 2 1 4 3 6 1 9 4 3 9 L2 L1 L2 L3 L1 L3 L4 3L1 L4 1 1 0 3 1 0 2 0 1 1 0 0 2 1 0 1 0 0 1 2 0 3 1 0 1 3 3 L3 L2 L3 L4 3L2 L4 Digitalizado com CamScanner 1 1 0 3 1 0 2 1 L3 L3 0 1 1 0 0 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 2 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 2 L4 2L3 L4 0 1 1 0 0 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 2 1 L4 L4 L3 L4 L3 L1 L4 L1 1 1 0 3 0 1 0 L2 L3 L2 0 1 1 0 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 1 2 1 1 0 3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 2 L1 L2 L1 1 0 0 3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 2 Logo x1 3x4 x6 0 1 x2 0 2 x3 2x6 1 3 x5 x6 2 4 De 4 x5 x6 2 x5 2 x6 De 3 x3 2x6 1 x3 1 2x6 De 2 x2 0 De 1 x1 3x4 x6 0 x1 3x4 x6 Portanto a solução geral é X 3x4 x6 0 1 2 x6 2 x6 x6 c x1 3x2 2x3 2x5 0 2x1 6x2 5x3 2x4 4x5 3x6 1 5x3 10x4 15x6 5 2x4 6x2 8x4 4x5 18x6 6 Seja A a matriz ampliada do sistema pelo método de GaussJordan temos A 1 3 2 0 2 0 0 2 6 5 2 4 3 1 0 0 5 10 0 15 5 2 6 0 8 4 18 6 L2 2L1 L2 L4 2L1 L4 1 3 2 0 2 0 0 0 0 1 2 0 3 1 0 0 5 10 0 15 5 0 0 4 8 0 18 6 1 L2 L2 1 3 2 0 2 0 0 L3 5 L2 L3 0 0 1 2 0 3 1 L4 4 L2 L4 0 0 5 1 0 15 5 0 0 4 8 0 18 6 1 3 2 0 2 0 0 L4 L3 0 0 1 2 0 3 1 0 0 0 0 0 6 2 0 0 0 0 0 1 0 16 L3 L3 1 3 2 0 2 0 0 L2 3 L3 L2 0 0 1 2 0 3 1 0 0 0 0 0 1 13 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 2 0 0 L1 L2 L1 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 4 2 0 0 0 0 0 0 0 1 13 0 0 0 0 0 1 0 Logo x1 3x2 4x4 2x5 0 1 x3 2x4 0 2 x6 13 3 De 3 x6 13 De 2 x3 2x4 0 x3 2x4 De 1 x1 3x2 4x4 2x5 0 x1 3x2 4x4 2x5 A solução geral é X 3x2 4x4 2x5 x2 2x4 x4 x5 13 6 Queremos encontrar um polinômio de grau 3 cujo o gráfico passa pelos pontos 13 22 35 e 40 A equação de um polinômio de grau 3 é da forma a x3 b x2 c x d 0 Substituindo os pontos nessa equação temos a b c d 3 8a 4b 2c d 2 27a 9b 3c d 5 64a 16b 4c d 0 Resolveremos o sistema por GaussJordan Seja A a matriz ampliada do sistema Então A 1 1 1 1 3 8 4 2 1 26 27 9 3 1 5 64 16 4 1 0 L2 8 L1 L2 1 1 1 1 3 0 4 6 7 26 0 18 24 26 86 0 48 60 63 192 L3 2 7 L1 L3 L4 64 L1 L4 L2 14 L2 1 1 1 1 3 0 1 32 74 132 0 18 24 26 86 0 48 60 63 192 L3 18 L2 L3 L4 48 L2 L4 1 1 1 1 3 0 1 32 74 132 0 0 3 112 31 0 0 12 21 120 13 L3 L3 1 1 1 1 3 0 1 32 74 132 0 0 1 116 313 0 0 12 21 120 L4 12 L3 L4 1 1 1 1 3 0 1 32 74 132 0 0 1 116 313 0 0 0 1 4 1 L4 L4 1 1 1 1 3 0 1 32 74 132 0 0 1 116 313 0 0 0 1 4 L3 116 L4 L3 L2 74 L4 L2 L1 L4 L1 1 1 1 0 1 0 1 32 0 12 0 0 1 0 3 0 0 0 1 4 L2 32 L3 L2 L1 L3 L1 1 1 0 0 4 0 1 0 0 5 0 0 1 0 3 0 0 0 1 4 L1 L2 L1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 0 1 3 0 0 0 0 4 Logo a 1 b 5 c 3 d 4 Portanto o polinômio de grau 3 que passa pelos pontos 1 3 2 26 3 5 e 4 0 é x3 5 x2 3 x 4