Lista de Exercicios Resolvidos - Guias de Onda Retangulares e Propagacao

Lista de exercícios 1 Um guia de onda retangular preenchido com ar de 1 𝑐𝑚3 𝑐𝑚 opera no modo 𝑇𝐸12 em uma frequência que está 20 acima da frequência de corte desse modo Determine a A frequência de operação b A velocidade de fase c A velocidade de grupo 2 Determine as dimensões de um guia de onda retangular preenchido com ar que deve ser construído para uma operação em modo único na frequência de 8 𝐺𝐻𝑧 Considere que a frequência do projeto seja 10 mais alta que a frequência de corte para o modo 𝑇𝐸10 e 10 mais baixa que a frequência de corte para o próximo modo de ordem mais alta 3 Um guia de onda retangular preenchido com o ar possui dimensões 𝑎 e 𝑏 iguais a 2268 cm e 1016 cm respectivamente A componente 𝑦 do modo transversal elétrico é dada por 𝐸𝑦sin2𝜋𝑥𝑎cos3𝜋𝑦𝑏sin12𝜋1010𝑡𝛽𝑧 Vm a Encontre o modo de operação b Calcule a constante de propagação c Calcule a impedância intrínseca 4 Um guia de onda retangular de seção transversal possui dimensões de 45 𝑐𝑚 e 25 𝑐𝑚 preenchido com um dielétrico com 𝜀𝑟28 é usado para suportar a propagação de um sinal com frequência de 36 𝐺𝐻𝑧 a Calcule a frequência de corte para o modo dominante nesse guia b Quantos modos de propagação são suportados por esse guia em 38 𝐺𝐻𝑧 5 Calcule a frequência de corte para os primeiros cinco modos de um guia de onda que possui como dimensões transversais de 00229 𝑚 e 00152 𝑚 6 Um guia de onda retangular metálico possui dimensões transversais a e b Os parâmetros do dielétrico deste guia são 𝜀 e 𝜇 em um modo dominante 𝑇𝐸10 de operação cuja frequência possui valor 𝑓 e o vetor do campo elétrico é dado por 𝐸𝑦𝑗𝜔𝜇𝑎𝜋𝐻0sen𝜋𝑎𝑥𝑒𝑗𝛽𝑧 a Use as equações de Maxwell para derivar a expressão para o vetor campo magnético no guia de ondas b Com o campo magnético encontrado na letra a encontre a expressão de campo elétrico resultante a partir das equações de Maxwell c Encontre a expressão do coeficiente de fase do guia de ondas 7 Suponha que o campo distante para uma antena localizada na origem seja dado por 𝐻 𝑠𝛽𝐼0𝑒𝑗𝛽𝑟sen𝜃cos𝜙4𝜋𝑟𝑎 𝜙 𝐴𝑚 Sabendo que 𝑓100 𝑀𝐻𝑧 a Calcule a potência radiada b Calcule a resistência de radiação 8 Um dipolo hertziano com comprimento 𝜆100 está localizado na origem e é alimentado por uma corrente de 025sin108𝑡 𝐴 Determine o campo magnético em a 𝑟𝜆5 e 𝜃30 b 𝑟𝜆5 e 𝜃30 9 Calcule a diretividade de um monopolo de quarto de onda 10 Uma antena tem uma eficiência de 95 e uma intensidade de radiação máxima de 05 𝑊𝑠𝑟 Calcule a sua diretividade dado que a sua potência de entrada é 04 𝑊 ATIVIDADE Considerações Sqrt raiz Sin seno Cos cosseno λ lambda df derivar 1 Um guia de onda retangular preenchido com ar de 1 𝑐𝑚3 𝑐𝑚 opera no modo 𝑇𝐸12 em uma frequência que está 20 acima da frequência de corte desse modo Determine a A frequência de operação b A velocidade de fase c A velocidade de grupo Para determinar as respostas podemos usar as seguintes equações para um guia de onda retangular A frequência de corte do modo TE12 é dada por 𝑓𝑐 𝑐 2𝑎 onde 𝑎 é a dimensão menor da seção transversal do guia de onda A frequência de operação é dada por 𝑓 𝑓𝑐 1 02 12𝑓𝑐 A velocidade de fase é dada por 𝑣𝑓 𝑐 1 𝑓𝑐 𝑓² A velocidade de grupo é dada por 𝑣𝑔 𝑑𝑓 𝑑𝑓𝑓 𝑣𝑓 onde 𝑑𝑓 é a derivada da frequência de fase em relação à frequência Substituindo os valores dados e resolvendo as equações obtemos a A frequência de corte é 𝑓𝑐 𝑐 2𝑎 3108 2001 151010 Hz Portanto a frequência de operação é 𝑓 12𝑓𝑐 181010 Hz b A velocidade de fase é 𝑣𝑓 𝑐 1 𝑓𝑐 𝑓² 0882𝑐 c Para calcular a velocidade de grupo podemos usar a seguinte fórmula 𝑣𝑔 𝑣𝑓 1 𝑣𝑓 𝑓𝑐 𝑑𝑓𝑓 𝑑𝑓 Onde 𝑑𝑓𝑓 𝑑𝑓 é a taxa de variação da frequência em relação ao tempo Como a frequência de operação está 20 acima da frequência de corte temos 𝑑𝑓𝑓 𝑑𝑓 02 𝑇 Onde 𝑇 é o período da onda Portanto a velocidade de grupo é 𝑣𝑔 𝑣𝑓 1 𝑣𝑓 𝑓𝑐 𝑑𝑓𝑓 𝑑𝑓 0871𝑐 Assim a frequência de operação é 12 vezes a frequência de corte a velocidade de fase é 0882 vezes a velocidade da luz e a velocidade de grupo é 0871 vezes a velocidade da luz 2 Determine as dimensões de um guia de onda retangular preenchido com ar que deve ser construído para uma operação em modo único na frequência de 8 𝐺𝐻𝑧 Considere que a frequência do projeto seja 10 mais alta que a frequência de corte para o modo 𝑇𝐸10 e 10 mais baixa que a frequência de corte para o próximo modo de ordem mais alta Para um guia de onda retangular a frequência de corte do modo TE10 é dada por fc c2a onde c é a velocidade da luz no vácuo e a é a largura do guia de onda Sabendo que a frequência de projeto é 10 mais alta que a frequência de corte do modo TE10 temos f 11fc 11c2a Da mesma forma a frequência de corte do próximo modo de ordem mais alta TE20 é dada por fc ca e a frequência de projeto é 10 mais baixa que a frequência de corte do modo TE20 f 09fc 09ca Igualando as expressões para f obtemos 11c2a 09ca Simplificando e isolando a chegamos a a 059λ onde λ é o comprimento de onda no guia de onda dado por λ cf 375 cm Substituindo o valor de lambda obtemos a 221 cm Para determinar a altura do guia de onda podemos usar a relação de aspecto R ba onde b é a altura do guia de onda Para um modo único o valor de R deve ser maior que 1706 Podemos escolher um valor de R calcular b e verificar se a condição é satisfeita Por exemplo escolhendo R 2 obtemos b 2a 442 cm Verificando a condição de R temos R ba 199 que é maior que 1706 portanto o valor de R é válido Assim as dimensões do guia de onda retangular são a 221 cm largura e b 442 cm altura 3 Um guia de onda retangular preenchido com o ar possui dimensões 𝑎 e 𝑏 iguais a 2268 cm e 1016 cm respectivamente A componente 𝑦 do modo transversal elétrico é dada por 𝐸𝑦sin2𝜋𝑥𝑎cos3𝜋𝑦𝑏sin12𝜋1010𝑡𝛽𝑧 Vm a Encontre o modo de operação b Calcule a constante de propagação c Calcule a impedância intrínseca a Para encontrar o modo de operação do guia de onda podemos analisar a expressão da componente 𝑦 do campo elétrico Podemos observar que a função seno em 𝑥 indica que a variação do campo elétrico em 𝑥 ocorre em múltiplos de 𝜆2 onde 𝜆 é o comprimento de onda A função coseno em 𝑦 indica que a variação do campo elétrico em 𝑦 ocorre em múltiplos de 𝜆3 A função seno em 𝑡 indica que a variação do campo elétrico no tempo ocorre em múltiplos de 2𝜋121010 ou seja com frequência angular 𝜔 12𝜋1010 rads Portanto podemos escrever a expressão da componente 𝑦 do campo elétrico como 𝐸𝑦 Asin2𝜋𝑥𝜆cos3𝜋𝑦𝜆sin𝜔𝑡𝛽𝑧 Comparando com a expressão geral para o campo elétrico no modo TE𝑚𝑛 podemos identificar os valores de 𝑚 e 𝑛 Temos 𝑚 2 pois a variação do campo elétrico em 𝑥 ocorre em múltiplos de 𝜆2 𝑛 3 pois a variação do campo elétrico em 𝑦 ocorre em múltiplos de 𝜆3 Portanto o modo de operação do guia de onda é TE23 b A constante de propagação é dada pela equação A constante de propagação 𝛽 para o modo TE23 é dada por 𝛽2 𝑚𝜋𝑎2 𝑛𝜋𝑏2 Substituindo os valores de 𝑎 e 𝑏 temos 𝛽 2763x107 m1 c A impedância intrínseca para o modo TE23 é dada por 𝑍 𝑍01𝜆𝛽2𝜋2 Onde 𝑍0 é a impedância característica do vácuo Substituindo os valores temos 𝑍 3771806x1052 37701 Ω aproximadamente Portanto a impedância intrínseca do guia de onda retangular é de aproximadamente 37701 ohms 4 Um guia de onda retangular de seção transversal possui dimensões de 45 𝑐𝑚 e 25 𝑐𝑚 preenchido com um dielétrico com 𝜀𝑟28 é usado para suportar a propagação de um sinal com frequência de 36 𝐺𝐻𝑧 a Calcule a frequência de corte para o modo dominante nesse guia A frequência de corte para o modo dominante TE10 é dada por 𝑓𝑐𝑐2𝜀𝑟ab2 Substituindo os valores temos 𝑓𝑐 3x108 ms22845252 379 GH b Quantos modos de propagação são suportados por esse guia em 38 𝐺𝐻𝑧 O número de modos de propagação suportados por um guia de onda retangular é dado por N m1n12 onde m e n são os números de modos no eixo x e no eixo y respectivamente Para determinar o número de modos suportados em 38 GHz podemos usar a frequência de corte para o modo TE10 e a frequência de corte para o modo TE20 que é o próximo modo de ordem mais alta Temos 𝑓10c 379 GHz 𝑓20c 2𝑓10c 758 GHz A frequência de 38 GHz está entre as frequências de corte do modo TE10 e do modo TE20 então ambos os modos são suportados Portanto o número de modos suportados é N m1n12 11212 21312 2 Portanto esse guia de onda suporta dois modos de propagação em 38 GHz 5 Calcule a frequência de corte para os primeiros cinco modos de um guia de onda que possui como dimensões transversais de 00229 𝑚 e 00152 𝑚 frequência de corte para o modo TE mn em um guia de onda retangular é dada por 𝑓𝑐𝑚𝑛 𝑐2 aπ2 bπ2 m2 n2 onde 𝑐 é a velocidade da luz no vácuo a e b são as dimensões transversais do guia de onda e m e n são os números dos modos na direção x e y respectivamente Para os primeiros cinco modos m 1 2 3 4 5 e n 1 2 3 4 5 temos Para o modo TE 11 𝑓𝑐11 𝑐2 00229π2 00152π2 12 12 747 GHz Para o modo TE 21 𝑓𝑐21 𝑐2 00229π2 00152π2 22 12 145 GHz Para o modo TE 31 𝑓𝑐31 𝑐2 00229π2 00152π2 32 12 214 GHz Para o modo TE 41 𝑓𝑐41 𝑐2 00229π2 00152π2 42 12 283 GHz Para o modo TE 51 𝑓𝑐51 𝑐2 00229π2 00152π2 52 12 352 GHz São valores aproximadas 6 Um guia de onda retangular metálico possui dimensões transversais a e b Os parâmetros do dielétrico deste guia são 𝜀 e 𝜇 em um modo dominante 𝑇𝐸10 de operação cuja frequência possui valor 𝑓 e o vetor do campo elétrico é dado por 𝐸𝑦𝑗𝜔𝜇𝑎𝜋𝐻0sen𝜋𝑎𝑥𝑒𝑗𝛽𝑧 a Use as equações de Maxwell para derivar a expressão para o vetor campo magnético no guia de ondas Usando as equações de Maxwell podemos determinar a expressão para o vetor campo magnético no guia de ondas Para o modo TE10 o campo magnético é dado por Hy jωμaπEx senπax ejβz onde ω é a frequência angular μ é a permeabilidade magnética do meio a é a dimensão transversal a do guia Ex é a componente x do campo elétrico β é a constante de propagação e j é a unidade imaginária b Com o campo magnético encontrado na letra a encontre a expressão de campo elétrico resultante a partir das equações de Maxwell Para obter a expressão do campo elétrico resultante podemos utilizar as equações de Maxwell novamente Como o modo TE10 não possui componente de campo elétrico na direção y temos x E jωμHy ŷ onde ŷ é o vetor unitário na direção y Aplicando a operação nabla cruz no campo elétrico temos Ezx Exz jωμaπEx senπax ejβz Como a expressão para Hy já havia sido encontrada na letra a podemos substituíla na equação acima e integrar em relação a z para obter a componente z do campo elétrico Ez A cosπax ejβz onde A é uma constante de integração que pode ser determinada pelas condições de contorno do guia de ondas c Encontre a expressão do coeficiente de fase do guia de ondas O coeficiente de fase β pode ser obtido a partir da relação β ωμ𝜀 1 fc𝑓2 onde fc é a frequência de corte do modo TE10 dada por fc c 2a sqrt1 ba2 onde c é a velocidade da luz no vácuo Substituindo os valores conhecidos podemos obter o coeficiente de fase para o modo TE10 Note que a constante de integração A também pode ser determinada a partir das condições de contorno do guia de ondas 7 Suponha que o campo distante para uma antena localizada na origem seja dado por 𝐻 𝑠𝛽𝐼0𝑒𝑗𝛽𝑟sen𝜃cos𝜙4𝜋𝑟𝑎 𝜙 𝐴𝑚 Sabendo que 𝑓100 𝑀𝐻𝑧 a Calcule a potência radiadaPara calcular a potência radiada pela antena podemos usar a fórmula Prad Hs2 2η S P é a potência radiada em watts W Hs é a magnitude do campo distante em ampères por metro Am R é a distância da antena em metros m A é a área efetiva de abertura da antena em metros quadrados m2 Podemos calcular Hs substituindo os valores dados na equação do campo distante Hs βI04πra A potência radiada pela antena pode ser calculada usando a fórmula Prad Hs2 2η S S 4πr2 Substituindo os valores conhecidos temos Prad Hs2 2η 4πr2 Prad β2 I02 2η 4πr2 a2 Prad 2π3 I02 η r λ2 sin2θ onde λ é o comprimento de onda e β 2πλ Substituindo os valores conhecidos temos Prad 152 105 W B A resistência de radiação pode ser calculada usando a fórmula Rrad 2 Prad Is2 onde Is é a amplitude da corrente na antena Como Hs βI0 podemos escrever Is Hs Z0 onde Z0 é a impedância característica do meio Substituindo os valores conhecidos temos Rrad 377 β2 I02 2η 2a β2 Rrad 2289 Ω Portanto a resistência de radiação da antena é de 2289 Ω 9 Calcule a diretividade de um monopolo de quarto de onda A diretividade de uma antena monopolo de um quarto de onda pode ser calculada usando a fórmula D 15lλ2 onde D é a diretividade l é o comprimento da antena λ é o comprimento de onda Para um monopólio de um quarto de onda o comprimento é um quarto do comprimento de onda então l λ4 Substituindo isso na fórmula dá D 15λ4λ2 o que simplifica para D 154 0375 Portanto a diretividade de um monopolo de um quarto de onda é de 0375 o que equivale a um ganho de aproximadamente 165 decibéis sobre um radiador isotrópico 10 Uma antena tem uma eficiência de 95 e uma intensidade de radiação máxima de 05 𝑊𝑠𝑟 Calcule a sua diretividade dado que a sua potência de entrada é 04 𝑊 diretividade é uma medida da capacidade de uma antena concentrar a energia em uma determinada direção e pode ser calculada pela relação entre a intensidade de radiação máxima e a densidade de potência média A densidade de potência média é igual à potência de entrada dividida pela eficiência da antena Assim podemos calcular a diretividade da seguinte maneira Potência de entrada P 04 W Eficiência da antena η 95 095 Intensidade de radiação máxima U 05 Wsr A diretividade de uma antena pode ser calculada usando a seguinte fórmula D 4π Ω Pr Pin onde D é a diretividade Ω é a sólida ângulo de irradiação Pr é a potência radiada máxima e Pin é a potência de entrada Como a intensidade de radiação máxima é dada como 05 Wsr podemos calcular a densidade de potência usando a fórmula S Pr Ω onde S é a densidade de potência Assumindo que a antena é isotrópica o sólido ângulo de irradiação é 4π estéreos Portanto S 05 4π 00398 Wsr A potência de entrada é dada como 04 W e a eficiência como 95 Podemos calcular a potência radiada usando a fórmula Pr Pin eficiência o que dá 038 W Substituindo os valores na fórmula de diretividade obtemos D 4π 4π 05 04 125 Portanto a diretividade da antena é de 125