Ted 02 Eletromagnetismo

LISTA 02 TEORIA ELETROMAGNÉTICA II Professor Mestre Maicon Maciel httplattescnpqbr0500045213932187 mestremaciel12 01 LISTA 02 TEORIA ELETROMAGNÉTICA II Professor Mestre Maicon Maciel httplattescnpqbr0500045213932187 mestremaciel12 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS I Fundamentos de Física Volume 3 Eletromagnetismo Autor David Halliday Jearl Walker e Robert Resnick Edição 10 FIsica 3 Eletromagnetismo Hallidaypdf II Física III Eletromagnetismo Autor Young e Freedman Edição 12 Download MEGA III Eletromagnetismo William H Hayt 8ª Edição Eletromagnetismo William Hayt John Buck 8ª Edicao PDFCOFFEECOM IV Eletromagnetismo para engenheiros I Fawwaz T Ulaby tradução José Luci1nar do Nascimento Porto Alegre Bookman 2007 Eletromagnetismo Para Engenheiros PDFCOFFEECOM 01 a Para determinar o valor de C usaremos a informação de que a diferença de potencial entre o cátodo e o ânodo é de 240 V e a distância x entre eles é de 130 mm A equação do potencial elétrico é dada por Vx C x 43 Substituímos Vx 240 V e x 130 mm 130 x 10 3 m 240 C 130 x 10 3 43 Primeiro calculamos 130 x 10 3 0013 0013 43 000243 Substituindo na equação 240 C x 000243 Resolvendo para C C 240 000243 C 9876543 V m 43 b A diferença de potencial Vx é dada por Vx C x 43 O campo elétrico Ex é a derivada negativa do potencial elétrico em relação à posição x Ex dVdx Calculando a derivada de Vx dVdx ddx C x 43 C 43 x 13 O campo elétrico Ex é Ex C 43 x 13 A fórmula para o campo elétrico Ex em função da posição x é Ex 4C3 x 13 35 Para encontrar o campo elétrico E a partir do potencial elétrico V usamos a relação E V O potencial elétrico é dado por V 20 V m 2 x 2 30 V m 2 y 2 Derivada parcial de V em relação a x Vx 2 x 20 V m 2 x 40 V m 2 x Derivada parcial de V em relação a y Vy 2 x 30 V m 2 y 60 V m 2 y O campo elétrico é E Vx î Vy ĵ 40 V m 2 x î 60 V m 2 y ĵ Substituindo x 30 m e y 20 m E 40 V m 2 30 m î 60 V m 2 20 m ĵ E 120 V m î 120 V m ĵ E 120 V m î 120 V m ĵ O campo elétrico no ponto 30 m 20 m é E 120 V m î 120 V m ĵ 36 a Para determinar o módulo do campo elétrico E entre as placas é necessário utilizar a relação entre o Potencial elétrico O campo elétrico é dado pela derivada negativa do Potencial em relação à distância x Ex dvdx O Potencial V é V 1500 x² Derivada de V em relação a x dvdx ddx 1500 x² 3000 x O campo elétrico Ex é Ex 3000 x Substituindo x 13 cm 0013 m E0013 3000 x 0013 E0013 39 Vm O módulo do campo elétrico é E 39 Vm b Para determinar a direção do campo elétrico é necessário analisar o sinal da derivada do Potencial elétrico em relação à distância x Dado V 1500 x² A relação entre o campo elétrico E e o Potencial elétrico V é E dvdx Derivada V dvdx ddx 1500 x² 3000 x O campo elétrico é E 3000 x Para x 0 E será negativo indicando que o campo elétrico aponta na direção oposta ao aumento de x Ou seja o campo elétrico aponta para a Placa 1 37 Para encontrar o módulo do campo elétrico no ponto dado é necessário calcular o gradiente do Potencial elétrico V e em seguida avaliar esse gradiente no ponto específico O campo elétrico E é dado por E V O Potencial elétrico é dado por V 200 xyz² Passo 1 calcular o gradiente de V V Vx Vy Vz Derivadas Parciais em relação a x Vx x 200xyz² 200 y z² em relação a y Vy y 200xyz² 200 x z² em relação a z Vz z 200xyz² 400 xyz Assim o gradiente de V é V 200 y z² 200 x z² 400 x y z PASSO 2 Avaliar o gradiente no Ponto 300 î 200 ĵ 400 k Substituindo x 300 y 200 z 400 200 yz2 200 x 200 x 4002 200 x 200 x 16 6400 200 xz2 200 x 300 x 4002 200 x 300 x 16 9600 400 xyz 400 x 300 x 200 x 400 9600 o gradiente avaliado no ponto é V 6400 9600 9600 PASSO 3 Calcular o campo elétrico Ē V 6400 9600 9600 PASSO 4 Calcular o módulo de Ē Ē 64002 96002 96002 Ē 4096 9216 9216 Ē 22528 Ē 15009 Vm o módulo do campo elétrico no ponto 300 î 200 ĵ 400 k é aproximadamente 15009 Vm 2347 Usaremos a relação Ē V onde V é o gradiente do Potencial Dado o Potencial Vxyz Axy Bx2 Cz calculando as derivadas parciais para encontrar Ex Ey Ez Componente Ex Ex Vx x Axy Bx2 Cz Vx Ay 2Bx Ex Ay 2Bx Ay 2Bx Componente Ey Ey Vy y Axy Bx2 Cz Vy Ax Ey Ax Componente Ez Ez Vz z Axy Bx2 Cz Vz C Ez C Ex 2Bx Ay Ey Ax Ez C 420 o campo elétrico é dado por Ex dvx dx Dado o Potencial elétrico Vx Po αε0 1 eαx Calculando a derivada 1 A constante Po αε0 não depende de x e permanece inalterada 2 Derivada de uma constante é zero então a derivada de 1 é zero 3 A derivada de eαx em relação a x é αeαx usando a regra da cadeia Portanto temos dvx dx Po αε0 0 αeαx Po ε0 eαx Substituindo na expressão para Ex Ex dvx dx Po ε0 eαx A intensidade no campo elétrico é Ex Po ε0 eαx 421 a calcular V no ponto P321 Substituímos x3 y2 z1 na expressão de V V 2322 13 3 ln32 222 312 2xy2 z3 2341 24 Dentro do logaritmo x2 9 2y2 24 8 3z2 31 3 x2 2y2 3z2 9 8 3 20 Logaritmo 3 ln20 3 x 29957 89871 Portanto V é V 24 89871 150129 b calcular V V 150229 150129 c Calcular E nesse contexto E poderia ser um vetor gradiente mas não está especificado no enunciado Então considerando que E representa o vetor gradiente V calcularemos as derivadas parciais 1 Vx 2y2 z3 6xx2 2y2 3z2 2 Vy 4xy z3 22yx2 2y2 3z2 3 Vz 6xy2 z2 18zx2 2y2 3z2 calculando no ponto P321 1 Vx 2413 6320 8 1820 8 09 71 2 Vy 43213 2420 24 12 228 3 Vz 63412 1820 72 09 711 d calcular E E 712 2282 7112 5041 51984 505521 562546 750 Os resultados são a V 150129 b V 150129 c E 71 228 711 d E 750 423 E V Dado o potencial V 80P06 calcularemos o gradiente em coordenadas cilíndricas como o potencial depende apenas de P temos V VP ρ Calculando a derivada parcial de V em relação a P VP P 80P06 80 x 06 P04 48P04 O campo elétrico E é dado por E V 48P04 ρ O campo elétrico E é E 48P04 ρ Q31 O módulo do gradiente de uma grandeza escalar representa a taxa máxima de variação dessa grandeza em um ponto específico Indica quão rapidamente a grandeza está mudando nesse ponto A direção do gradiente aponta para o sentido de maior crescimento da grandeza escalar Assim se seguir essa direção encontrará a variação mais rápida e intensa do valor da grandeza 31 a T 2 x2 z2 GRADIENTE DE T Derivada Parcial em relação a x Tx x 2 x2 z2 4x x2 z22 Derivada Parcial em relação a y Ty 0 pois T não depende de y Derivada Parcial em relação a z Tz z 2 x2 z2 4z x2 z22 Assim o gradiente de T é T 4x x2 z22 0 4z x2 z22 b V xy2 z3 Gradiente de V Derivada Parcial em relação a x Vx x xy2 z3 y2 z3 Derivada Parcial em relação a y Vy y xy2 z3 2xy z3 Derivada Parcial em relação a z Vz z xy2 z3 3xy2 z2 Assim o gradiente de V é V y2 z3 2xy z3 3xy2 z2