Eletromagnetismo 2 - Lista de Exercícios 1 - Ondas Eletromagnéticas

Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco Disciplina Eletromagnetismo 2 Lista de exercícios 1 Uma onda eletromagnética com campo 𝐻 10 sen𝜔𝑡 4𝑧 𝑎 𝑦 Am se propaga em um material cujos parâmetros são 𝜎 0 𝜇 𝜇0 e 𝜀 4𝜀0 Calcule a frequência o comprimento de onda e o vetor densidade de corrente de deslocamento associados a essa onda 2 No espaço livre 𝐸 50 cos𝜔𝑡 𝛽𝑧 𝑎 𝑥 Vm Calcule a potência média total que atravessa uma área circular de raio 25 m pertencente a um plano z constante 3 Um campo elétrico no espaço livre em coordenadas esféricas é dado por 𝐸 𝑠𝑟 𝐸0𝑟𝑒𝑗𝑘𝑟𝑎 𝜃 Vm a Calcule 𝐻 assumindo que o comportamento de onda plana uniforme b Calcule a média temporal do vetor de Poynting c Expresse a potência externa média em watts através de uma concha esférica fechada de raio r centrada na origem 4 Uma onda plana uniforme propagandose ao longo de 𝑧 no espaço livre 𝑧 0 incide normalmente em 𝑧 0 sobre um condutor 𝑧 0 para o qual 𝜎 62 MSm e 𝜇𝑟 1 No espaço livre a onda 𝐸 possui frequência de 15 MHz e amplitude 1 Vm Na interface 𝐸 0 𝑡 10 sen 𝜔𝑡 𝑎 𝑦 Vm Ache 𝐻 𝑧 𝑡 para 𝑧 0 5 Um campo elétrico no espaço livre com amplitude 𝐸𝑖0 2 Vm incide normalmente numa interface com água salgada na qual 𝜀𝑟 80 𝜇𝑟 1 e 𝜎 25 Sm Para uma frequência de 30 MHz em qual profundidade esse campo atingirá amplitude de 1 mVm 6 Uma onda plana eletromagnética propagase no ar 𝑧 0 Em 𝑧 0 está a interface com outro meio com 𝜀𝑟 16 A intensidade de campo magnético transmitida é conhecida como sendo 𝐻 𝑡 12 cos𝜔𝑡 𝛽2𝑧𝑎 𝑦 𝑚𝐴𝑚 a Determine o valor instantâneo do campo elétrico incidente b Calcule a densidade de potência média temporal refletida 7 Uma onda plana uniforme propagase em um meio com perdas e tem uma constante de fase de 2 𝑟𝑎𝑑𝑚 em 107 𝐻𝑧 e sua amplitude reduzse para 40 para cada 3 metros de propagação Calcule a A profundidade de penetração pelicular b A velocidade de propagação da onda 8 Uma onda eletromagnética no ar 𝑧 0 cuja componente de campo elétrico é dada por 𝐸 10 sen𝜔𝑡 2𝑧 𝑎 𝑥 𝑉𝑚 incide perpendicularmente sobre uma outra superfície em 𝑧 0 Considerando que essa nova superfície é plana e que possui cimi características 𝜀 80𝜀0 𝜇 𝜇0 e 𝜎 4 𝑆𝑚 Calcule a A frequência angular da onda b O comprimento de onda no ar c A tangente de perdas na nova superfície d A impedância intrínseca na nova superfície e O campo elétrico refletido f O campo elétrico transmitido 9 Um campo magnético com frequência de 10 𝑀𝐻𝑧 propagase em um meio livre de cargas com uma velocidade de 1 108 𝑚𝑠 Inicialmente 𝐻 00 2𝑎 𝑥 𝐴𝑚 e a sua amplitude reduzse para metade do valor inicial após a onda se propagar 5 𝑚 na direção 𝑦 Considere 𝜇 𝜇0 a Determine a expressão instantânea para o campo magnético b Determine a expressão instantânea para o campo elétrico Como o meio não é condutor pois σ0 podemos primeiramente calcular a velocidade dessa onda no meio em questão cujas propriedades são μμ0 e εε 0 A velocidade dessa onda é v 1 με 1 4 ε0μ0 1 2 1 μ0ε0 1 2 c1510 8 m s Como temos o número de onda k4 rad m é o coeficiente de z dentro do seno podemos usar a seguinte relação para descobrir a frequência angular dessa onda vω k ωkv Lembrando que ω2πf temos 2πf kv f kv 2π f 4 rad m 1510 8 m s 2π rad f 9549310 7Hz f 95493 MHz Logo a frequência dessa onda é f 95493 MHz Podemos obter o comprimento de onda pela seguinte relação vλf λv f λ 1510 8 m s 9549310 7 Hz λ15708m Logo o comprimento de onda é λ15708m O vetor densidade de corrente de deslocamento é definido como para meios sem perdas Dε E Então precisamos descobrir a intensidade do campo elétrico pela relação η E H Onde η é a impedância característica do meio definida como η μ ε Logo para ε4 ε0 e μμ0 μ0 4ε 0 E H EH μ0 4 ε0 Substituindo com os dados E10 A m 4 π10 7 Tm A 4885410 12 F m E1883672 V m Logo a intensidade do vetor de corrente de deslocamento é D4 ε0E D4885410 12 F m1883672 V m D6671210 8 C m 2 Para encontrar a direção e sentido do vetor D considere que SEB O vetor B tem a mesma direção e sentido de H ou seja na direção de â y e S tem a direção de âz já que o seno depende de z Pela regra da mão esquerda o produto vetorial acima é verdadeiro quando E e dessa forma também D tem a direção e sentido de âx Logo o vetor corrente de deslocamento é D6671210 8âx C m 2 Se espaço é livre σ0εε0 e μμ0 Logo podemos escrever a seguinte relação P A E 2 2μ0c Onde P é a potência média total que atravessa a área circular Aπr ² E é o campo elétrico máximo e c a velocidade da luz no espaço livre Logo P πr ² E 2 2 μ0c P π r 2E 2 2μ0c Substituindo com os dados P π 25m 250 V m 2 24 π10 7 Tm A 310 8 m s P26W Logo a potência média total é igual a P26W Então precisamos descobrir a intensidade do campo magnético pela relação η E H Onde η é a impedância característica do meio definida como η μ ε Logo para εε 0 e μμ0 μ0 ε0 E H H E μ0 ε0 E η0 Descobrindo o valor de η0 μ0 ε 0 η0 4 π10 7 Tm A 885410 12 F m η0376734Ω Logo o campo Hsr pode ser escrito como Hs r Es r η0 Para obter a direção de H sr temos que lembrar que SEB No caso a direção e sentido de propagação é o mesmo de âr e lembrando que a direção e sentido de E é âθ logo a direção e sentido de H que é o mesmo de B deve ser âϕ Logo H s r E0 r 376734 e jkrâϕ A m A média temporal do vetor de Poynting é no domínio da frequência S 1 2 ℜEsH s Lembrando que a onda se propaga na direção âr S E0 2 r 2η0 âr W m 2 S E0 2 r 753468 âr W m 2 Uma concha esférica fechada de raio r centrada na origem terá uma superfície de A4 πr ² Logo usando a expressão Smed P A P A E0 2 r 753468 P 4 π r 2 E0 2 r 753468 P E0 2 r 753468 4 π r 2 P00166780E0 2 r r 2W Ou simplesmente P4 π r 2 E0 2 r 2η0 W Podemos escrever o campo elétrico Ez t para z0 sabendo que E 0t 10sinωtâ y V m Vamos aproveitar para escrever esse campo na forma complexa sabendo que a onda se propaga na direção de z E z t 10e αze j ωt βz â y V m Os coeficientes α e β são iguais no condutor αβπfμσ π 1510 6 Hz4 π10 7 Tm A 6210 6 S m 1916114m 1 Já a impedância característica em condutores é complexa Na forma fasorial podemos escrever η ωμ σ 45 η 2πfμ σ 45 η 2π 1510 6 Hz4 π10 7 Tm A 6210 6 S m 45 η43706410 4 45 Ω η43706410 4e jπ 4 Ω Como na forma complexa η E H Temos H zt E z t η H zt 10e αze j ωtβz η H zt 228799e αze jωtβzπ 4 A m Agora precisamos descobrir a direção e sentido de H z t Para isso fazemos a análise de SEB regra da mão esquerda sabendo que a onda se propaga em z e assim obtemos H zt 228799e αze jωtβz π 4âx A m Ou expandindo a parte imaginária H zt 228799e αzsinωtβz π 4âx A m Com αβ1916114 m 1 e ω2πf 94247810 6 rad s Vamos calcular o coeficiente β dessa situação βω εμ 2 1 σ εω 2 1 β2 πf εμ 2 1 σ 2πεf 2 1 Substituindo com os dados β2 π 3010 6 Hz 80885410 12 F m4π10 7 Tm A 2 1 25 S m 2 π80885410 12 F m3010 6Hz 2 1 β168m 1 Por conveniência vamos deixar a onda se propagar ao longo da direção âx Logo Ei x Ei0e βx 00012e 168 x 00005e 168x ln 00005168 x x 168 ln 00005 x221026m Ou seja a onda deve atravessar uma camada se aproximadamente 221m para que a amplitude da onda caia para 1 mVm Temos o campo magnético transmitido H t12cosωtβ2 z mA m H t0012cosωtβ2z A m Se multiplicarmos pela impedância intrínseca do meio 2 η2 obtemos o campo elétrico incidente Note que o enunciado não forneceu se o segundo meio é magnético ou não Vamos considerar que μr1 η2 μ2 ε2 μ0 16 ε0 η2 4π10 7 Tm A 16885410 12 F m η2941836Ω Logo Etη2 H t Et11302032cosωtβ2z Já temos a impedância intrínseca do ar η1376734Ω Calculando então o índice de transmitância t t 2η2 η2η1 t 2941836 Ω 941836Ω376734 Ω t04 Logo podemos obter o índice de reflectância t1r rt1 r06 Logo podemos saber o campo elétrico refletido Er Er06 04 11302032cosωtβ1z Er16953048cosωtβ1 z E assim podemos saber o campo elétrico incidente EiEtEr Ei11302032cosωtβ1 z16953048cosωtβ1 z Ei2825508cosωtβ1 z V m Ou na forma vetorial Ei2825508cosωtβ1 zâx V m Sr Er 2 2η0 Sr 16953048 2 2376734 Sr381 mW m 2 Temos que Ei x Ei0e βx 04e β3 ln 043 β βln 04 3 β0305430m 1 A profundidade de penetração peculiar é o inverso de β δ 1 β 1 0305430m 1327407m Como a constante de fase foi dada λ2π k 2π 2 π m Logo a velocidade da onda é v ω 2π λ10 7π 314 10 7 m s Temos cω k ωkc ω2 rad m 310 8 m s ω610 8 rad s Usando a equação fundamental da ondulatória c ω 2π λ λ2π ω c λ 2π rad 610 8 rad s 310 8 m s λ3142m A tangente de perdas é tanθ β α Vamos ter que usar a definição direta de α e β tanθ ω με 2 1 σ εω 2 1 ω με 2 1 σ εω 2 1 tanθ 2εω εωε 2ω 2σ 2 σ 2 1 Substituindo com os dados tanθ 2885410 12 F m610 8 rad s 885410 12 F m610 8 rad s 885410 12 F m 2 610 8 rad s 2 4 S m 2 4 S m 2 1 tanθ0998672781 Calculando o ângulo correspondente ao resultado do item anterior θarctan1π 4 rad Logo a impedância intrínseca é η μ ε e iπ 4 η 4 π10 7 80885410 12 e iπ 4 η421202e iπ 4 Ω Vamos passar essa impedância complexa para coordenadas retangulares η421202 2 2 j421202 2 2 η297835 j 297835Ω O índice de reflectância é rη0η η0η r376734297835 j297835 376734297835 j297835 r0843574j 0135069 Pegando a parte real desse índice r ℜ0843574 Logo o campo elétrico refletido é Er084357410sin ωt2 z âx V m Er843574 sin ωt2z âx V m Obs logo mais ou menos 85 da luz que incide na superfície é refletida Isso significa que a superfície teria uma aparência espelhada Como t1r t10843574 j 0135069 t0156426j 0135069 Logo Et156426sin ωt2 z âx V m Determinando a expressão do campo magnético para y0 e t 0 já que o enunciado não deixou muito claro Vamos determinar o coeficiente β β1 δ β1 5 β02 rad m Vamos determinar a frequência angular ω2πf 2π 1010 662810 7 rad s Vamos determinar a constante de fase α vω α αω v 62810 7 10 8 0628 rad m π 5 rad m Logo uma expressão complexa e instantânea para o campo magnético é H y t 2e 02 y e j π 5 y2π10 7tâx A m Se o meio é livre de cargas εε 0 logo a impedância característica do meio será ηη0e jarctan β α η376734e jarctan 02 π 5 η376734e j0308 Logo uma expressão complexa e instantânea para o campo elétrico é E y t2ηe 02 ye j π 5 y2π 10 7t E y t753468e 02 ye j π 5 y2π10 7t0308âz V m E y t Como o meio não é condutor pois 𝜎 0 podemos primeiramente calcular a velocidade dessa onda no meio em questão cujas propriedades são 𝜇 𝜇0 e 𝜀 𝜀0 A velocidade dessa onda é 𝑣 1 𝜇𝜀 1 4𝜀0𝜇0 1 2 1 𝜇0𝜀0 1 2 𝑐 15 108 𝑚 𝑠 Como temos o número de onda 𝑘 4 𝑟𝑎𝑑 𝑚 é o coeficiente de 𝑧 dentro do seno podemos usar a seguinte relação para descobrir a frequência angular dessa onda 𝑣 𝜔 𝑘 𝜔 𝑘𝑣 Lembrando que 𝜔 2𝜋𝑓 temos 2𝜋𝑓 𝑘𝑣 𝑓 𝑘𝑣 2𝜋 𝑓 4 𝑟𝑎𝑑 𝑚 15 108 𝑚 𝑠 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑓 95493 107 𝐻𝑧 𝑓 95493 𝑀𝐻𝑧 Logo a frequência dessa onda é 𝑓 95493 𝑀𝐻𝑧 Podemos obter o comprimento de onda pela seguinte relação 𝑣 𝜆𝑓 𝜆 𝑣 𝑓 𝜆 15 108 𝑚 𝑠 95493 107 𝐻𝑧 𝜆 15708 𝑚 Logo o comprimento de onda é 𝜆 15708 𝑚 O vetor densidade de corrente de deslocamento é definido como para meios sem perdas 𝜎 0 𝐷 𝜀𝐸 Então precisamos descobrir a intensidade do campo elétrico pela relação 𝜂 𝐸 𝐻 Onde 𝜂 é a impedância característica do meio definida como 𝜂 𝜇 𝜀 Logo para 𝜀 4𝜀0 e 𝜇 𝜇0 𝜇0 4𝜀0 𝐸 𝐻 𝐸 𝐻 𝜇0 4𝜀0 Substituindo com os dados 𝐸 10 𝐴 𝑚 4𝜋 107 𝑇 𝑚 𝐴 4 8854 1012 𝐹 𝑚 𝐸 1883672 𝑉 𝑚 Logo a intensidade do vetor de corrente de deslocamento é 𝐷 4𝜀0𝐸 𝐷 4 8854 1012 𝐹 𝑚 1883672 𝑉 𝑚 𝐷 66712 108 𝐶 𝑚2 Para encontrar a direção e sentido do vetor 𝐷 considere que 𝑆 𝐸 𝐵 O vetor 𝐵 tem a mesma direção e sentido de 𝐻 ou seja na direção de â𝑦 e 𝑆 tem a direção de â𝑧 já que o seno depende de z Pela regra da mão esquerda o produto vetorial acima é verdadeiro quando 𝐸 e dessa forma também 𝐷 tem a direção e sentido de â𝑥 Logo o vetor corrente de deslocamento é 𝐷 66712 108 â𝑥 𝐶 𝑚2 Se espaço é livre 𝜎 0 𝜀 𝜀0 e 𝜇 𝜇0 Logo podemos escrever a seguinte relação 𝑃 𝐴 𝐸2 2𝜇0𝑐 Onde 𝑃 é a potência média total que atravessa a área circular 𝐴 𝜋𝑟² 𝐸 é o campo elétrico máximo e 𝑐 a velocidade da luz no espaço livre Logo 𝑃 𝜋𝑟² 𝐸2 2𝜇0𝑐 𝑃 𝜋𝑟2𝐸2 2𝜇0𝑐 Substituindo com os dados 𝑃 𝜋25 𝑚2 50 𝑉 𝑚 2 2 4𝜋 107 𝑇 𝑚 𝐴 3 108 𝑚 𝑠 𝑃 26 𝑊 Logo a potência média total é igual a 𝑃 26 𝑊 Então precisamos descobrir a intensidade do campo magnético pela relação 𝜂 𝐸 𝐻 Onde 𝜂 é a impedância característica do meio definida como 𝜂 𝜇 𝜀 Logo para 𝜀 𝜀0 e 𝜇 𝜇0 𝜇0 𝜀0 𝐸 𝐻 𝐻 𝐸 𝜇0 𝜀0 𝐸 𝜂0 Descobrindo o valor de 𝜂0 𝜇0 𝜀0 𝜂0 4𝜋 107 𝑇 𝑚 𝐴 8854 1012 𝐹 𝑚 𝜂0 376734 Ω Logo o campo 𝐻𝑠𝑟 pode ser escrito como 𝐻𝑠𝑟 𝐸𝑠𝑟 𝜂0 Para obter a direção de 𝐻 𝑠𝑟 temos que lembrar que 𝑆 𝐸 𝐵 No caso a direção e sentido de propagação é o mesmo de â𝑟 e lembrando que a direção e sentido de 𝐸 é â𝜃 logo a direção e sentido de 𝐻 que é o mesmo de 𝐵 deve ser â𝜙 Logo 𝐻 𝑠𝑟 𝐸0𝑟 376734 𝑒𝑗𝑘𝑟 â𝜙 𝐴 𝑚 A média temporal do vetor de Poynting é no domínio da frequência 𝑆 1 2 𝑅𝑒𝐸 𝑠 𝐻 𝑠 Lembrando que a onda se propaga na direção â𝑟 𝑆 𝐸0 2𝑟 2𝜂0 â𝑟 𝑊 𝑚2 𝑆 𝐸0 2𝑟 753468 â𝑟 𝑊 𝑚2 Uma concha esférica fechada de raio r centrada na origem terá uma superfície de 𝐴 4𝜋𝑟² Logo usando a expressão 𝑆𝑚𝑒𝑑 𝑃 𝐴 𝑃 𝐴 𝐸0 2𝑟 753468 𝑃 4𝜋𝑟2 𝐸0 2𝑟 753468 𝑃 𝐸0 2𝑟 753468 4𝜋𝑟2 𝑃 00166780𝐸0 2𝑟𝑟2 𝑊 Ou simplesmente 𝑃 4𝜋𝑟2𝐸0 2𝑟 2𝜂0 𝑊 Podemos escrever o campo elétrico 𝐸 𝑧 𝑡 para 𝑧 0 sabendo que 𝐸 0 𝑡 10 sin𝜔𝑡 â𝑦 𝑉 𝑚 Vamos aproveitar para escrever esse campo na forma complexa sabendo que a onda se propaga na direção de z 𝐸 𝑧 𝑡 10𝑒𝛼𝑧𝑒𝑗𝜔𝑡𝛽𝑧 â𝑦 𝑉 𝑚 Os coeficientes 𝛼 e 𝛽 são iguais no condutor 𝛼 𝛽 𝜋𝑓𝜇𝜎 𝜋15 106 𝐻𝑧 4𝜋 107 𝑇 𝑚 𝐴 62 106 𝑆 𝑚 1916114 𝑚1 Já a impedância característica em condutores é complexa Na forma fasorial podemos escrever 𝜂 𝜔𝜇 𝜎 45 𝜂 2𝜋𝑓𝜇 𝜎 45 𝜂 2𝜋15 106 𝐻𝑧 4𝜋 107 𝑇 𝑚 𝐴 62 106 𝑆 𝑚 45 𝜂 437064 10445 Ω 𝜂 437064 104 𝑒 𝑗𝜋 4 Ω Como na forma complexa 𝜂 𝐸 𝐻 Temos 𝐻𝑧 𝑡 𝐸𝑧 𝑡 𝜂 𝐻𝑧 𝑡 10𝑒𝛼𝑧𝑒𝑗𝜔𝑡𝛽𝑧 𝜂 𝐻𝑧 𝑡 228799𝑒𝛼𝑧𝑒𝑗𝜔𝑡𝛽𝑧𝜋 4 𝐴 𝑚 Agora precisamos descobrir a direção e sentido de 𝐻 𝑧 𝑡 Para isso fazemos a análise de 𝑆 𝐸 𝐵 regra da mão esquerda sabendo que a onda se propaga em z e assim obtemos 𝐻 𝑧 𝑡 228799𝑒𝛼𝑧𝑒𝑗𝜔𝑡𝛽𝑧𝜋 4 â𝑥 𝐴 𝑚 Ou expandindo a parte imaginária 𝐻 𝑧 𝑡 228799𝑒𝛼𝑧 sin 𝜔𝑡 𝛽𝑧 𝜋 4 â𝑥 𝐴 𝑚 Com 𝛼 𝛽 1916114 𝑚1 e 𝜔 2𝜋𝑓 942478 106 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Vamos calcular o coeficiente 𝛽 dessa situação 𝛽 𝜔𝜀𝜇 2 1 𝜎 𝜀𝜔 2 1 𝛽 2𝜋𝑓𝜀𝜇 2 1 𝜎 2𝜋𝜀𝑓 2 1 Substituindo com os dados 𝛽 2𝜋30 106 𝐻𝑧 80 8854 1012 𝐹 𝑚 4𝜋 107 𝑇 𝑚 𝐴 2 1 25 𝑆 𝑚 2𝜋 80 8854 1012 𝐹 𝑚 30 106 𝐻𝑧 2 1 𝛽 168 𝑚1 Por conveniência vamos deixar a onda se propagar ao longo da direção â𝑥 Logo 𝐸𝑖𝑥 𝐸𝑖0𝑒𝛽𝑥 0001 2𝑒168𝑥 00005 𝑒168𝑥 ln 00005 168𝑥 𝑥 168 ln 00005 𝑥 221026 𝑚 Ou seja a onda deve atravessar uma camada se aproximadamente 221 𝑚 para que a amplitude da onda caia para 1 mVm Temos o campo magnético transmitido 𝐻𝑡 12 cos𝜔𝑡 𝛽2𝑧 𝑚𝐴 𝑚 𝐻𝑡 0012 cos𝜔𝑡 𝛽2𝑧 𝐴 𝑚 Se multiplicarmos pela impedância intrínseca do meio 2 𝜂2 obtemos o campo elétrico incidente Note que o enunciado não forneceu se o segundo meio é magnético ou não Vamos considerar que 𝜇𝑟 1 𝜂2 𝜇2 𝜀2 𝜇0 16𝜀0 𝜂2 4𝜋 107 𝑇 𝑚 𝐴 16 8854 1012 𝐹 𝑚 𝜂2 941836 Ω Logo 𝐸𝑡 𝜂2𝐻𝑡 𝐸𝑡 11302032 cos𝜔𝑡 𝛽2𝑧 Já temos a impedância intrínseca do ar 𝜂1 376734 Ω Calculando então o índice de transmitância 𝑡 𝑡 2𝜂2 𝜂2 𝜂1 𝑡 2941836 Ω 941836 Ω 376734 Ω 𝑡 04 Logo podemos obter o índice de reflectância 𝑡 1 𝑟 𝑟 𝑡 1 𝑟 06 Logo podemos saber o campo elétrico refletido 𝐸𝑟 𝐸𝑟 06 04 11302032 cos𝜔𝑡 𝛽1𝑧 𝐸𝑟 16953048 cos𝜔𝑡 𝛽1𝑧 E assim podemos saber o campo elétrico incidente 𝐸𝑖 𝐸𝑡 𝐸𝑟 𝐸𝑖 11302032 cos𝜔𝑡 𝛽1𝑧 16953048 cos𝜔𝑡 𝛽1𝑧 𝐸𝑖 2825508 cos𝜔𝑡 𝛽1𝑧 𝑉 𝑚 Ou na forma vetorial 𝐸 𝑖 2825508 cos𝜔𝑡 𝛽1𝑧 â𝑥 𝑉 𝑚 𝑆𝑟 𝐸𝑟 2 2𝜂0 𝑆𝑟 16953048 2 2 376734 𝑆𝑟 381 𝑚𝑊 𝑚2 Temos que 𝐸𝑖𝑥 𝐸𝑖0𝑒𝛽𝑥 04 𝑒𝛽3 ln 04 3𝛽 𝛽 ln 04 3 𝛽 0305430 𝑚1 A profundidade de penetração peculiar é o inverso de 𝛽 𝛿 1 𝛽 1 0305430 𝑚1 327407 𝑚 Como a constante de fase foi dada 𝜆 2𝜋 𝑘 2𝜋 2 𝜋 𝑚 Logo a velocidade da onda é 𝑣 𝜔 2𝜋 𝜆 107 𝜋 314 107 𝑚 𝑠 Temos 𝑐 𝜔 𝑘 𝜔 𝑘𝑐 𝜔 2 𝑟𝑎𝑑 𝑚 3 108 𝑚 𝑠 𝜔 6 108 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Usando a equação fundamental da ondulatória 𝑐 𝜔 2𝜋 𝜆 𝜆 2𝜋 𝜔 𝑐 𝜆 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 6 108 𝑟𝑎𝑑 𝑠 3 108 𝑚 𝑠 𝜆 3142 𝑚 A tangente de perdas é tan 𝜃 𝛽 𝛼 Vamos ter que usar a definição direta de 𝛼 e 𝛽 tan 𝜃 𝜔𝜇𝜀 2 1 𝜎 𝜀𝜔 2 1 𝜔𝜇𝜀 2 1 𝜎 𝜀𝜔 2 1 tan 𝜃 2𝜀𝜔𝜀𝜔 𝜀2𝜔2 𝜎2 𝜎2 1 Substituindo com os dados tan 𝜃 2 8854 1012 𝐹 𝑚 6 108 𝑟𝑎𝑑 𝑠 8854 1012 𝐹 𝑚 6 108 𝑟𝑎𝑑 𝑠 8854 1012 𝐹 𝑚 2 6 108 𝑟𝑎𝑑 𝑠 2 4 𝑆 𝑚 2 4 𝑆 𝑚 2 1 tan 𝜃 099867278 1 Calculando o ângulo correspondente ao resultado do item anterior 𝜃 arctan 1 𝜋 4 𝑟𝑎𝑑 Logo a impedância intrínseca é 𝜂 𝜇 𝜀 𝑒 𝑖𝜋 4 𝜂 4𝜋 107 80 8854 1012 𝑒 𝑖𝜋 4 𝜂 421202 𝑒 𝑖𝜋 4 Ω Vamos passar essa impedância complexa para coordenadas retangulares 𝜂 421202 2 2 𝑗 421202 2 2 𝜂 297835 𝑗297835 Ω O índice de reflectância é 𝑟 𝜂0 𝜂 𝜂0 𝜂 𝑟 376734 297835 𝑗297835 376734 297835 𝑗297835 𝑟 0843574 𝑗0135069 Pegando a parte real desse índice 𝑟𝑅𝑒 0843574 Logo o campo elétrico refletido é 𝐸 𝑟 0843574 10 sin𝜔𝑡 2𝑧 â𝑥 𝑉 𝑚 𝐸 𝑟 843574 sin𝜔𝑡 2𝑧 â𝑥 𝑉 𝑚 Obs logo mais ou menos 85 da luz que incide na superfície é refletida Isso significa que a superfície teria uma aparência espelhada Como 𝑡 1 𝑟 𝑡 1 0843574 𝑗0135069 𝑡 0156426 𝑗0135069 Logo 𝐸 𝑡 156426 sin𝜔𝑡 2𝑧 â𝑥 𝑉 𝑚 Determinando a expressão do campo magnético para 𝑦 0 e 𝑡 0 já que o enunciado não deixou muito claro Vamos determinar o coeficiente 𝛽 𝛽 1 𝛿 𝛽 1 5 𝛽 02 𝑟𝑎𝑑 𝑚 Vamos determinar a frequência angular 𝜔 2𝜋𝑓 2𝜋10 106 628 107 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Vamos determinar a constante de fase 𝛼 𝑣 𝜔 𝛼 𝛼 𝜔 𝑣 628 107 108 0628 𝑟𝑎𝑑 𝑚 𝜋 5 𝑟𝑎𝑑 𝑚 Logo uma expressão complexa e instantânea para o campo magnético é 𝐻 𝑦 𝑡 2𝑒02𝑦𝑒𝑗𝜋 5𝑦2𝜋107𝑡â𝑥 𝐴 𝑚 Se o meio é livre de cargas 𝜀 𝜀0 logo a impedância característica do meio será 𝜂 𝜂0𝑒𝑗arctan𝛽 𝛼 𝜂 376734𝑒 𝑗arctan02 𝜋 5 𝜂 376734𝑒𝑗0308 Logo uma expressão complexa e instantânea para o campo elétrico é 𝐸𝑦 𝑡 2𝜂𝑒02𝑦𝑒𝑗𝜋 5𝑦2𝜋107𝑡 𝐸𝑦 𝑡 753468𝑒02𝑦𝑒𝑗𝜋 5𝑦2𝜋107𝑡0308 â𝑧 𝑉 𝑚 𝐸𝑦 𝑡