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SUMÁRIO CAPÍTULO 1 ..............................................................3 Razão e Proporção; Divisão Proporcional...................................4 FAÇA JÁ......................................................................13 CAPÍTULO 2 .............................................................15 Regras de Três Simples e Composta..........................................16 FAÇA JÁ......................................................................30 CAPÍTULO 3 .............................................................31 Porcentagem................................................................32 FAÇA JÁ......................................................................42 CAPÍTULO 4 .............................................................43 Números Inteiros, Racionais e Reais.........................................44 FAÇA JÁ......................................................................56 CAPÍTULO 5 .............................................................57 Sistema Legal de Medidas..................................................58 FAÇA JÁ......................................................................64 CAPÍTULO 6 .............................................................65 Progressão Aritmética e Geométrica......................................66 FAÇA JÁ......................................................................76 CAPÍTULO 7 .............................................................77 Equações e Inequações de 1° e 2° Graus...................................78 FAÇA JÁ......................................................................86 CAPÍTULO 8 .............................................................87 Sistemas Lineares..........................................................88 FAÇA JÁ......................................................................100 CAPÍTULO 9 .............................................................101 Funções; Gráficos........................................................102 FAÇA JÁ......................................................................122 CAPÍTULO 10 ...........................................................123 Problemas de Contagem; Noções de Probabilidade e Estatística ........124 FAÇA JÁ......................................................................149 CAPÍTULO 11 ..........................................................153 Raciocínio Lógico: Problemas Aritméticos ...............................154 FAÇA JÁ......................................................................156 CAPÍTULO 1 Razão e Proporção; Divisão Proporcional 4 Matemática Razão e Proporção; Divisão Proporcional 01. (Cespe - 2016 - FUB - Assistente em Administração) Diariamente, o tempo médio gasto pelos servidores de determinado departamento para executar suas tarefas é diretamente proporcional à quantidade de tarefas executadas e inversamente proporcional à sua produtividade individual diária P. Com base nessas informações, julgue o item a seguir. Se, na segunda-feira, um servidor gastou 6 horas para executar todas as 15 tarefas a seu encargo e, na sexta-feira, ele gastou 7 horas para executar as suas 18 tarefas, então, nessa situação, o servidor manteve a mesma produtividade nesses dois dias. GABARITO: ERRADO. Questão envolvendo razão e proporção Como o exercício pede para verificar a produtividade entre o tempo médio e a quantidade de tarefas, devemos usar a forma diretamente proporcional. Podemos resolver esse exercício igualando as duas razões e verificando se são diretamente proporcionais. Quando igualamos as duas razões obtemos: 6/15 = 7/18 6 × 18 = 15 × 7 → 108 ≠ 105 Como os resultados encontrados são diferentes, concluímos que não existe uma proporcionalidade. Portanto, não manteve a mesma produtividade e, por isso, a resposta está errada. 02. (Cespe - 2012 - PRF - Agente Administrativo) Paulo, Maria e Sandra investiram, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e 50.000,00 na construção de um empreendimento. Ao final de determinado período de tempo, foi obtido o lucro de R$ 10.000,00, que deverá ser dividido entre os três, em quantias diretamente proporcionais às quantias investidas. Considerando a situação hipotética acima, julgue os itens que se seguem. Paulo e Maria receberão juntos mais do que Sandra. GABARITO: ERRADO. Questão envolvendo divisão proporcional. A questão diz que o lucro deve ser dividido proporcionalmente às quantidades investidas. Ou seja, quem mais investiu mais receberá. O total investido é de 100000 (20000 + 30000 + 50000) e o lucro total de 10000. Se alguém tivesse investido o valor total receberia o lucro total, mas como investiu uma parte receberá o lucro proporcionalmente ao que investiu. Faremos primeiro para Sandra. Podemos resolver usando razão. Quando igualamos as duas razões obtemos: 100000 = 50000 10000 x Sabendo que são diretamente proporcionais, precisamos apenas multiplicar os números cruzados e verificar o valor do resultado de x: 100000 = 50000 -> 100000 . x = 50000 . 10000 -> x = 50000 . 10000 10000 x 100000 Então Sandra vai receber 5000 do lucro. Vão sobrar 5000 (10000 – 5000) do lucro para ser dividido entre Paulo e Maria, ou seja, dos dois receberão juntos 5000. Assim, Paulo e Maria receberão juntos o mesmo valor que Sandra. ----------------------------------------------------------------------------------------------- 03. (Cespe – 2002 – PRF - Polícia Rodoviária Federal) Polícia Rodoviária Federal registra redução de acidentes, mortos e feridos nas rodovias federais Em 2001, os números de acidentes, mortos e feridos nas rodovias federais do país diminuíram em relação a 2000, segundo dados da Polícia Rodoviária Federal (PRF) divulgados no dia 2/1/2002. Os índices de mortes, que caíram 12%, se comparados aos do ano anterior, foram os melhores apresentados. Os de acidentes e de feridos, respectivamente, reduziram-se em 7% e 4%. O coordenador operacional da PRF afirmou que os acidentes com mortes foram consequência, principalmente, de ultrapassagens irregulares e de excesso de velocidade. Também ficou comprovada a presença de álcool no organismo dos condutores na maioria dos acidentes graves. Segundo esse coordenador, o comportamento do motorista brasileiro ainda é preocupante. "As tragédias ocorrem em decorrência da falta de respeito às leis de trânsito", disse. Os estados do Acre e de Rondônia tiveram um aumento de 51,52% no número de mortos nas estradas federais, no ano passado, seguidos do Distrito Federal (DF), que teve um crescimento de 43,48%. Já os estados do Tocantins e do Amazonas apresentaram as maiores reduções de mortes, 34,21% e 35,71%, respectivamente. Internet: <http://www.mj.gov.br>. Acesso em 10/3/2002 (com adaptações). A tabela abaixo resume a comparação dos acidentes nas rodovias federais brasileiras nos anos de 2000 e de 2001. Nela, alguns dados foram omitidos e representados pelas letras x, y, z e w. 2000 2001 decréscimo (em %) acidentes 110.100 w x feridos 60.400 57.984 y mortos 6.525 5.742 z Com base no texto I e na tabela acima, julgue o seguinte item. Nas rodovias federais brasileiras, a razão entre o número de mortos e o de feridos em acidentes foi a mesma nos anos de 2000 e 2001. Marco Aurélio Mantovani 6 Matemática GABARITO: ERRADO. Questão envolvendo razão. Como o exercício pede para verificar a razão entre o número de mortos e o de feridos de 2000 e 2001, podemos solucionar esse exercício resolvendo as duas razões e verificando se são iguais. Quando resolvemos as duas razões, obtemos: Razão = mortos feridos (2000) 6525 = 0,11 (valor aproximado) 60400 (2001) 5742 = 0,10 (valor aproximado) 57984 Como os resultados encontrados são diferentes, concluímos que a razão não é a mesma. ------------------------------------------------------------------------------- 04. (Cespe – 2009 - FUB - Administrador de Edifícios) Considere que uma universidade possua 6.300 servidores, entre efetivos e temporários, em uma razão de 5 para 2. Nesse caso, essa universidade possui menos de 1.500 servidores temporários. GABARITO: ERRADO. Questão envolvendo razão e proporção. A questão nos fornece o total de servidores e a razão entre efetivos e temporários. Precisamos dividir estes 6300 servidores proporcionalmente entre efetivos e temporários. Toda vez que possuímos apenas duas opções, como neste caso (efetivos e temporários), podemos resolver da seguinte forma: Razão = efetivos = 5 temporários 2 Fazemos a divisão do total (6300) pela soma da razão (5 + 2 = 7) -> 6300 : 7 = 900 Utilizamos o resultado (900) e multiplicamos o numerador (5) e denominador (2) obtendo: efetivos = 900 . 5 = 4500 temporários = 900 . 2 = 1800 Assim, encontramos 4500 servidores efetivos e 1800 servidores temporários. ------------------------------------------------------------------------------- 05. (Cespe – 2013 - Inpi - Técnico em Propriedade Industrial) Em um processo de pedido de patentes de um novo equipamento consta um desenho esquemático, desse mesmo equipamento, na escala 1:200. Com base nessa informação, julgue os itens a seguir. Se o raio do parafuso no referido desenho for 0,05 cm, então o raio do parafuso real será 1 cm. GABARITO: ERRADO. Questão envolvendo razão e proporção. Como a questão fala que a escala é de 1:200, concluímos que a razão entre o desenho e o real é de 1 para 200. Assim, o tamanho do equipamento real é 200 vezes maior que o desenho. Podemos utilizar razão para resolver esta questão ou multiplicar o tamanho do desenho por 200. Ele diz que o raio do parafuso no referido desenho é de 0,05 cm, para descobrir o tamanho real, faremos pela razão, então: Marco Aurélio Mantovani Razão = desenho = 1 real 200 Precisamos apenas multiplicar os números cruzados e verificar o valor do resultado de x: Razão = 0,05 = x -> x . 1 = 0,05 . 200 -> x = 0,05 . 200 x 1 200 1 Assim, encontramos que o raio do parafuso real será 10 cm. ------------------------------------------------------------------------------- 06. (Cespe – 2011 - Correios - Agente de Correios/Atendente Comercial - Adaptada) O trajeto de 5 km percorrido por um carteiro é formado por 2 trechos. Sabe-se que os comprimentos desses trechos, em metros, são números diretamente proporcionais a 2 e 3. Nesse caso, a diferença, em metros, entre os comprimentos do maior trecho e do menor trecho é igual a 1000 metros. GABARITO: CERTO. Questão envolvendo razão e proporção. A questão diz que um trajeto é formado por 2 trechos e que os comprimentos desses trechos, em metros, são números diretamente proporcionais a 2 e 3. Precisamos primeiro transformar 5 km em metro: Sabemos que 1 km = 1000 m então, ao transformarmos 5 km em metros, precisamos apenas multiplicar o valor de 5 por 1000 que resulta 5000 m. Se o carteiro tivesse percorrido o trajeto todo com apenas um trecho, percorreria 5000 m, mas como ele percorre dois trechos distintos, precisamos determinar quanto tem cada trecho e fazer a diferença. Podemos resolver usando razão: 5 = 2 = 3 5000 x y Sabendo que são diretamente proporcionais, precisamos apenas multiplicar os números cruzados e verificar o valor do resultado de x, y: 5 = 2 5 . x = 2 . 5000 -> x = 2 . 5000 -> x = 2000 5000 x 5 5 5 = 3 5 . y = 3 . 5000 -> y = 3 . 5000 -> y = 3000 5000 y 5 5 Então encontramos um trecho com 3000m e outro com 2000m. Assim, a diferença entre eles é de 1000m (3000 – 2000). ------------------------------------------------------------------------------- 07. (Cespe – 2009 - SEAD/SE/FPH - Auxiliar de Necrópsia) A viagem de ônibus entre duas cidades a uma velocidade média de 90 km/h dura 6 horas — a velocidade média de um objeto é igual à razão entre a distância percorrida por esse objeto e o tempo gasto no percurso. Pretende-se instalar nos próximos anos um trem-bala ligando essas duas cidades. O trem-bala percorrerá a mesma distância entre as duas cidades, porém a uma velocidade média de 360 km/h. A respeito dessa situação, julgue o item seguinte. Marco Aurélio Mantovani 8 Matemática A grandeza tempo é inversamente proporcional à velocidade média e diretamente proporcional à distância percorrida. GABARITO: CERTO. Questão envolvendo razão e proporção. A questão é teórica, então, não precisamos fazer contas para respondê-la. Podemos apenas verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Tempo e velocidade média: são grandezas inversamente proporcionais, pois, quanto maior a velocidade média, menor o tempo para percorrer uma mesma distância. Tempo e distância: são grandezas diretamente proporcionais, pois, quanto maior a distância, maior o tempo para percorrê-la. Então encontramos que a grandeza tempo é inversamente proporcional à velocidade média e diretamente proporcional à distância percorrida. 08. (Cespe - 2008 - Banco do Brasil - Escriturário) O número de mulheres no mercado de trabalho mundial é o maior da História, tendo alcançado, em 2007, a marca de 1,2 bilhão, segundo relatório da Organização Internacional do Trabalho (OIT). Em dez anos, houve um incremento de 200 milhões na ocupação feminina. Ainda assim, as mulheres representaram um contingente distante do universo de 1,8 bilhão de homens empregados. Em 2007, 36,1% delas trabalhavam no campo, ante 46,3% em serviços. Entre os homens, a proporção é de 34% para 40,4%. O universo de desempregadas subiu de 0,2 milhões para 81,6 milhões, entre 1997 e 2007 — quando a taxa de desemprego feminino atingiu 6,4%, ante 5,7% da de desemprego masculino. Há, no mundo, pelo menos 70 mulheres economicamente ativas para 100 homens. O relatório destaca que a proporção de assalariadas subiu de 41,8% para 46,4% nos últimos dez anos. Ao mesmo tempo, houve queda no emprego vulnerável (sem proteção social e direitos trabalhistas), de 56,1% para 51,7%. Apesar disso, o universo de mulheres nessas condições continua superando o dos homens. O Globo, 7/3/2007, p. 31 (com adaptações) Com referência ao texto e considerando o gráfico nele apresentado, julgue o item a seguir. Se a proporção entre a população feminina no mercado de trabalho mundial e a população feminina mundial em 1991 era de 2:5, então a população mundial de mulheres nesse ano era superior a 2,8 bilhões. GABARITO: ERRADO. Questão envolvendo razão e proporção. Como a questão fala que a proporção entre a população feminina no mercado de trabalho mundial e a população feminina mundial era de 2:5 em 1991, concluímos que a razão entre a população feminina no mercado de trabalho mundial e a população feminina mundial é de 2 para 5. Podemos utilizar razão para resolver esta questão: Razão = população feminina no mercado de trabalho mundial / população feminina mundial = 2 / 5 Pelo gráfico verificamos que a população feminina no mercado de trabalho mundial em 1991 era de 950 milhões. Precisamos apenas multiplicar os números cruzados e verificar o valor do resultado de x: Razão = 950 / x = 2 / 5 ⇒ x : 2 = 950 : 5 ⇒ x = 950 ÷ 2 × 5 = 2375 Assim, encontramos que a população feminina mundial em 1991 era de 2,375 bilhões que é inferior a 2,8 bilhões. --------------------------------------- 09. (Cespe - 2009 - MEC - Agente Administrativo) Levando em consideração que, em um supermercado, há biscoitos recheados de chocolate em embalagens de 130 g, 140 g e 150 g, com preços de R$ 1,58, R$ 1,68 e R$ 1,80, respectivamente, julgue o item a seguir. Proporcionalmente, os biscoitos nas embalagens de 140 g e 150 g saem pelo mesmo preço. GABARITO: CERTO. Questão envolvendo razão e proporção. Como o exercício pede para verificar a proporção entre o valor do biscoito e as embalagens de 140g e 150g, podemos resolver esse exercício resolvendo as duas razões e verificando se são iguais. Quando resolvemos as duas razões obtemos: Razão = valor / embalagem(140g) 1,68 / 140 = 0,012 (150g) 1,80 / 150 = 0,012 Encontramos que cada grama de biscoito custa 0,012 reais. Como os resultados encontrados são iguais, concluímos que, proporcionalmente, os biscoitos nas embalagens de 140 g e 150 g saem pelo mesmo preço. --------------------------------------- 10. (Cespe - 2009 - MEC - Agente Administrativo) Levando em consideração que, em um supermercado, há biscoitos recheados de chocolate em embalagens de 130 g, 140 g e 150 g, com preços de R$ 1,58, R$ 1,68 e R$ 1,80, respectivamente, julgue o item a seguir. Proporcionalmente, os biscoitos nas embalagens de 130 g são mais baratos que aqueles nas embalagens de 140 g. GABARITO: ERRADO. Questão envolvendo razão e proporção. 10 Matemática Como o exercício pede para verificar a proporção entre o valor do biscoito e as embalagens de 130g e 140g, podemos solucionar esse exercício resolvendo as duas razões e verificando qual é maior. Quando resolvemos as duas razões, obtemos: Razão = valor / embalagem(130g) 1,58 / 130 = 0,0122 (valor aproximado) (140g) 1,68 / 140 = 0,0120 Encontramos que cada grama de biscoito da embalagem de 130g custa mais que cada grama de biscoito da embalagem de 140g. Como os resultados encontrados são diferentes, concluímos que, proporcionalmente, os biscoitos nas embalagens de 130 g são mais caros que os nas embalagens de 140 g. --------------------------------------- 11. (Cespe - 2014 - MDIC - Agente Administrativo) A respeito de proporções e regra de três, julgue o próximo item. Caso toda a produção de uma fábrica seja destinada aos públicos infantil, jovem e adulto, de modo que as porcentagens da produção destinadas a cada um desses públicos sejam inversamente proporcionais, respectivamente, aos números 2, 3 e 6, então mais de 30% da produção dessa fábrica destinar-se-á ao público jovem. GABARITO: CERTO. Questão envolvendo razão e proporção. A questão diz que as porcentagens da produção são inversamente proporcionais. Para resolver uma proporção inversa temos que multiplicar as proporções relacionadas aos outros, depois, somar o resultado e ver a porcentagem correspondente, assim, temos: Infantil: 3.6 = 18k Jovem: 2.6 = 12k Adulto: 2.3 = 6k 18 + 12 + 6 = 36k ⇒ 36k = 100% ⇒ k = 2,7 (valor aproximado) Jovem: 12k = 12 ⋅ 2,7 = 32,4% (valor aproximado) Portanto, mais de 30% da produção dessa fábrica destinar-se-á ao público jovem. --------------------------------------- 12. (Cespe - 2013 - Inpi - Técnico em Propriedade Industrial) Tendo em vista que um relator analise 3 relatórios em 2 horas e que todos os relatores tenham essa mesma eficiência, julgue o item subsequente. Se, para cada 5 relatórios analisados, 3 são descartados e 2 são aprovados, então, de um total de 300 relatórios, 180 serão aprovados e 120 descartados. GABARITO: ERRADO. Questão envolvendo razão e proporção. Como para cada 5 relatórios analisados, 3 são descartados e 2 são aprovados, a razão entre descartados e aprovados é de 3/2. Quando resolvemos a razão obtemos: Razão = relatórios descartados = 3 relatórios aprovados 2 Fazemos a divisão do total (300) pela soma da razão (3 + 2 = 5) → 300 : 5 = 60 Utilizamos o resultado (60) e multiplicamos o numerador (3) e denominador (2) obtendo: relatórios descartados: 3 . 60 = 180 relatórios aprovados: 2 . 60 = 120 Encontramos que 120 serão aprovados e 180 descartados. (o contrário do que diz a questão). Portanto, de um total de 300 relatórios, 120 serão aprovados e 180 descartados. --------------------------------------------------------------------- 13. (Cespe - 2002 - Banco do Brasil - Escriturário) A figura abaixo é parte da fatura de um cartão de crédito de um cliente do BB. Com base nas informações do texto e considerando que a taxa de juros para pagamento parcelado seja de 6,0% ao mês, julgue o item seguinte. O valor constante do campo “Outros débitos” está para o do campo “Compras/Saques” assim como R$ 170,00 está para R$ 3,40. GABARITO: ERRADO. Questão envolvendo razão e proporção Vamos calcular as razões e verificar se são iguais: Razão = Outros débitos Compras/Saques Razão = 0,40 = 0,02 20 Calculando a outra razão temos: Razão = 170 = 50 3,40 Elas estão nas razões inversas. Então, o valor constante do campo “Outros débitos” não está para o do campo “Compras/Saques” assim como R$ 170,00 está para R$ 3,40. Marco Aurélio Mantovani 11