Notas de Aulas: Vibrações Mecânicas - 3ª Versão

Universidade Estadual do Oeste do Paraná UNIOESTECampus de Foz do Iguaçu Centro de Engenharias e Ciências Exatas CECE Vibrações Mecânicas Notas de Aulas 3o Versão Samuel da Silva Foz do Iguaçu 2010 Prefácio Este texto apresenta a 3o versão das notas de aulas da disciplina Vibrações do curso de graduação em Engenharia Mecânica do Centro de Engenharias e Ciências Exatas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná UNIOESTE Campus de Foz do Iguaçu Estas notas foram elaboradas em 2008 e não tem a pretensão de substituir os excelentes livros textos existentes na área 9 7 12 13 ou 17 entre uma enorme lista mas apenas servir como um instrumento conciso e simples para que os alunos e o professor possam seguir durante as aulas teóricas e práticas Portanto o leitor não encontrará nada de original ou revolucionário nesta apostila para o ensino de vibrações pelo contrário O texto é uma simples compilação de literatura diversa no assunto que eu julgo interessante ser abordada para orientar o estudo Sendo assim a consulta estudo resolução de exercícios e leitura dos livros textos é essencial como parte do aprendizado dos estudantes visando o sucesso ao final do curso Em 2009 a apostila passou por algumas mudanças em especial com a inclusão de alguns exercí cios adaptados do ENADE e de concursos públicos diversos e adicionando no capítulo 3 temas como solução numérica de problemas forçados e vibração causada por movimento de fluido Na 3o edição 2010 incluiuse dois novos capítulos o capítulo 6 que trata do problema de vibrações em sistemas contínuos e o capítulo 7 que procura dar uma visão geral para os alunos na manutenção preditiva por análise de vibrações Mesmo assim alguns capítulos ainda não foram completamente revisados Alguns tópicos estudados no curso como absorvedores dinâmicos de vibrações ainda continuam apenas na versão de manuscrito e deverão ser incorporados neste texto nos próximos anos Outro ponto que está se trabalhando para incluir nas próximas versões deste texto diz respeito a práticas de laboratório e testes experimentais usando os recursos disponíveis no Laboratório de Dinâmica de Estruturas e Máquinas LaDEMaq da UNIOESTE Os alunos podem consultar o meu site pessoal onde colocarei informações sobre os roteiros destas práticas É aconselhável que os alunos mais interessados busquem informações em outros livros e sites de outros professores neste ponto para complementar e reforçar o assunto Estou consciente de que este texto apresenta erros e enganos até pelo fato de ter sido escrito de maneira muito rápida para atender a demanda dos alunos matriculados e interessados Assim espero contar com o apoio dos alunos e demais colaboradores para melhorar este texto constantemente sendo assim sugestões correções e comentários são muito bem vindos1 Gostaria de agradecer ao Prof Milton Dias Junior da FEMUNICAMP por ceder algumas figuras ilustrativas presentes no capítulo 1 Também agradeço ao Prof Geraldo Carvalho Brito Jr pela cuidadosa leitura da 1o versão desta apostila e por seus comentários e correções Especial agradecimento a todos os alunos e interessados que utilizaram este material e que deram várias sugestões e comentários desde de 2008 Se vocês se sentirem motivados e empolgados com esta área a partir da leitura deste texto e estudo desta disciplina da mesma forma que eu já me sentirei recompensado e ciente de dever cumprido Boa leitura estudo e divertimento Samuel da Silva Março de 2011 1email samsilvaunioestebr 2 Sumário Lista de Figuras 5 1 Introdução 9 11 Exemplos de aplicação 9 111 Análise vibroacústica 9 112 Análise modal experimental e modificação estrutural 10 113 Manutenção preditiva por análise de vibrações 10 114 Integridade estrutural 10 12 Conceitos básicos 11 121 Graus de liberdade e coordenadas generalizadas 12 122 Componentes de sistemas mecânicos 13 123 Forças de excitação 14 124 Análise de sistemas equivalentes 15 125 Posição de equilíbrio estático 18 13 Classificação das vibrações mecânicas 18 14 Exercícios resolvidos 19 15 Organização do texto 22 16 Exercícios 23 2 Vibrações Livres em Sistemas com 1 Grau de Liberdade 26 21 Vibrações livres nãoamortecidas 27 22 Vibrações livres amortecidas 33 221 Movimento oscilatório subamortecido ou subcrítico 0 ξ 1 35 222 Movimento superamortecido ou supercríticoξ 1 37 223 Movimento amortecido criticamente ou crítico amortecido ξ 1 38 23 Decremento logarítmico 38 24 Exercícios 41 3 Vibrações Forçadas em Sistemas com 1 Grau de Liberdade 48 31 Vibração causada por excitação harmônica 48 32 Vibração causada por força de desbalanceamento em máquinas rotativas 53 33 Função de resposta ao impulso IRF 55 34 Resposta para excitação do tipo degrau unitário 56 35 Método da integral de convolução 58 36 Função de transferência e métodos frequênciais 59 361 Transformada de Laplace 59 362 Função de resposta em frequência FRF 61 37 Estimativa experimental de IRFs e FRFs Análise Espectral 62 3 38 Determinação experimental do coeficiente de amortecimento por vibrações forçadas 68 39 Métodos numéricos para solução de equações do movimento 69 391 Método de Série de Taylor 70 392 Método de RungeKutta 71 393 Método de Newmark 71 310 Vibrações em sistemas autoexcitados 73 3101 Análise de estabilidade 74 3102 Instabilidade dinâmica causada por escoamento de fluido 75 311 Exercícios 76 4 Isolamento de Vibrações Tipos de Amortecimento e Técnicas de Medição 85 41 Isolamento de Vibrações 85 411 Isolamento ativo 85 412 Isolamento passivo 88 42 Tipos de Amortecimento 90 421 Amortecimento de Coulomb 90 422 Amortecimento histerético 91 423 Amortecimento proporcional 92 43 Técnicas de Medição 93 431 Medição em campo 93 432 Medição em laboratório 94 433 Transdutores para medição de vibrações 94 44 Exercícios 95 5 Sistemas Mecânicos com Múltiplos Graus de Liberdade 97 51 Equações de Lagrange 97 52 Solução via modos normais análise modal analítica 100 521 Vibrações livres sistema sem amortecimento 101 522 Vibrações livres sistema com amortecimento proporcional 105 53 Vibrações forçadas 109 54 Introdução à análise modal experimental 112 55 Exercícios 119 6 Sistemas Contínuos 131 61 Vibrações em barras 131 611 Condições de contorno 134 612 Condição de ortogonalidade dos modos 135 613 Exemplo vibração livre de uma barra engastadalivre 136 62 Vibração transversal em vigas 137 621 Vibração livre em vigas 140 622 Condições de contorno 142 623 Exemplo viga engastadalivre 143 63 Métodos aproximados para análise dinâmica de sistemas contínuos 143 631 Método de Rayleigh 144 632 Método de RayleighRitz 144 633 Método de Galerkin 144 634 Método dos elementos finitos 144 64 Exercícios 145 4 7 Manutenção Preditiva usando Análise de Vibrações 148 71 Valor global de vibrações 148 72 Diagnóstico via análise do espectro 148 73 Análise de envelope 148 74 Considerações finais 148 Referências Bibliográficas 149 5 Lista de Figuras 11 Análise modal experimental em porta e retrovisor de carros 11 12 Alguns modos de vibrar da porta 12 13 Desabamento de ponte sobre o o rio Mississipi em 2007 12 14 Sistema torcional 13 15 Exemplo de força harmônica 15 16 Exemplo de força periódica 15 17 Exemplo de força transitória 16 18 Exemplo de força aleatória 16 19 Sistema massamolaamortecedor 17 110 Sistema mecânico como molas em paralelo 17 111 Sistema mecânico como molas em série 18 112 Exemplo 1 19 113 Exemplo 2 19 114 Exemplo 2 solução 20 115 Exemplo 3 20 116 Exemplo 3 solução 21 117 Exemplo 4 22 118 Exercício 1 23 119 Exercício 2 24 120 Exercício 3 24 121 Exercício 4 25 122 Exercício 5 25 21 Sistema massamolaamortecedor 27 22 Exemplo de resposta de sistema livre nãoamortecido com 1 gdl para várias condições iniciais diferentes 29 23 Sistema massamola com 1 gdl 30 24 Vagão batendo em uma mola 31 25 Sistema com 1 gdl 32 26 DCL do sistema 32 27 Exemplo de resposta do sistema subamortecido 36 28 Exemplo de resposta de sistema livre amortecido com 1 gdl com movimento suba mortecido 37 29 Sistema massamolaamortecedor com dois amortecedores 37 210 Resposta do sistema superamortecido 38 211 Resposta do sistema criticamente amortecido 39 212 Resposta de sistema subamortecido evidenciando amplitudes sucessivas 40 213 Resposta livre do sistema 41 214 Resposta livre do sistema estrutural 43 6 215 Resposta ao impulso ht 43 216 Vista do fórmula 1 44 217 Amortecedor para uma motocicleta 44 218 Sistema 1 45 219 Sistema 2 45 220 Sistema 3 45 221 Barra rígida 46 222 Barra rígida 46 223 Eixo com turbina montada 47 224 Sistema mecânico oscilatório 47 31 Curvas de ampliação de amplitudes de vibração para um sistema com 1 gdl 50 32 Exemplo de batimento para um sistema com 1 gdl 51 33 Exemplo de máquina rotativa com massa desbalanceada 53 34 Curva da função Λ r ξ 54 35 Exemplo de resposta ao impulso ht de um sistema 57 36 Exemplo de resposta ao degrau unitário para um sistema com um grau de liberdade 58 37 Funções de resposta em frequência para um sistema com 1 grau de liberdade 63 38 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade para um sistema com 1 grau de liberdade 63 39 Gráfico da parte real e imaginária da FRF compliância para um sistema com 1 grau de liberdade 64 310 Realizações de sinais medidos em um processo estocástico 65 311 Exemplo de um sinal estacionário 66 312 Distribuição de partes de um sinal estacionário 66 313 Sistema linear e invariante com o tempo representado por uma IRF discreta hn 67 314 Esquema de aceleração média constante de Newmark 72 315 Conjunto motobomba 78 316 Motor elétrico a ser instalado 79 317 FRF Compliância para um sistema com 1 grau de liberdade 79 318 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade 80 319 Antena de carro 81 320 Turbina hidráulica Francis 81 321 Conjunto de testes 82 322 Força versus deslocamento medido em cada mola 83 323 Deslocamento medido com 800 RPM 83 324 Deslocamento medido com 1800 RPM 84 41 Exemplo de máquina montadas sobre uma base com isoladores 86 42 Transmissibilidade Absoluta do sistema 87 43 Exemplo de máquina como isolamento passivo 88 51 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade 98 52 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade 99 53 Mapeamento dos pólos do sistema no plano complexo 108 54 Exemplo de sistema com dois graus de liberdade com força de excitação harmônica 110 55 Respostas do sistema mecânica para o sinal de excitação Ft aplicado na massa 1 111 56 Resposta experimental da estrutura ensaida 116 57 FRFs experimentais 116 58 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade 119 7 59 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade 119 510 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade 120 511 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade 120 512 Exemplo de uma viga com múltiplos graus de liberdade 121 513 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade 121 514 Esquema simplificado de uma plataforma 122 515 FRF experimental da plataforma 123 516 Sistema mecânico com três graus de liberdade 123 517 Assuma como coordenadas generalizadas x e θ m 5 kg I 05 kgm2 L 08 m e k 2 109 Nm2 124 518 Assuma como coordenadas generalizadas θ1 θ2 e x 124 519 Assuma como coordenadas generalizadas θ1 e θ2 124 520 Assuma como coordenadas generalizadas θ1 e θ2 124 521 Assuma como coordenadas generalizadas θ1 e θ2 125 522 Assuma como coordenadas generalizadas θ x1 e x2 125 523 Assuma como coordenadas generalizadas θ x1 e x2 125 524 Assuma como coordenadas generalizadas θ e x 126 525 Modelo simplificado para análise da suspensão de um carro Assuma como coorde nadas generalizadas x1 x2 x3 e x4 Considere M 200 kg m 30kg a 3 m b 1 m I 200 kgm2 k1 k2 4 105 Nm k3 k4 1 105 Nm c1 c2 c3 c4 0 126 526 Motor naval 126 527 Eixo com polia e motor 127 528 Embreagem automotiva 127 529 Conjunto de equipamentos 128 530 Conjunto de equipamentos conectados 128 531 Conjunto de equipamentos conectados 128 532 Esquema de uma carro 129 533 Mecanismo 129 534 Avião 130 61 Flexão em vigas 2 137 62 Forças e momentos agindo em um elemento diferencial da viga 2 138 63 Simulação em realidade virtual de ingestão de água nos motores de um avião 143 64 Teste em vôo em condição real 144 65 Barra com massa M na extremidade 145 66 Barra não uniforme 146 67 Barra uniforme com mola k na extremidade 146 68 Viga com massa m na extremidade 146 69 Viga suportada por duas molas nas extremidades 147 8 Capítulo 1 Introdução A meta deste capítulo é introduzir os conceitos básicos envolvidos no estudo de vibrações mecâ nicas Inicialmente apresentase uma lista de algumas aplicações práticas na indústria dos conceitos envolvidos nesta disciplina com o propósito de motivar o leitor ao estudo de vibrações Em seguida destacase formalmente algumas definições básicas necessárias para estudar vibrações como graus de liberdade elementos de um sistema vibratório forças de excitação análise de sistemas equivalen tes e posição de equilíbrio estático Por fim é mostrada uma forma de classificar os problemas de vibrações Ao longo deste capítulo são apresentados alguns exercícios resolvidos 11 Exemplos de aplicação Esta seção apresenta alguns exemplos de aplicações industriais que podem ser feitas a partir do conhecimento desta disciplina 111 Análise vibroacústica A análise vibroacústica apresenta uma lugar de destaque no projeto de máquinas automóveis aeronaves etc Um nível de ruído ou vibração excessivo em sistemas mecânicos pode comprometer o correto funcionamento de sistemas de engenharia prejudicar o conforto humano e diminuir a vida útil do sistema Portanto uma análise sobre os níveis de vibração que um sistema mecânico pode atingir é extremamente necessária e desejada em projetos modernos seja no momento de síntese ou análise de algum protótipo Um exemplo é a vibração de um motor de automóvel O motor é montado em cima de coxins que são presos a estrutura metálica do automóvel O estudante deve lembrar do conceito de ressonância1 estudado em física básica Assim se a frequência de rotação do motor coincidir com alguma frequên cia natural da estrutura do automóvel como as frequências naturais do capo pode ocorrer um efeito trágico Portanto durante o projeto de um carro os engenheiros devem conhecer muito bem quais são as frequências naturais do sistema como um todo e de seus componentes para se evitar ressonância ou mesmo ruído indesejável em painéis interior etc2 Outro exemplo interessante é o fenômeno aeroelástico de flutter que ocorre principalmente em es truturas aeronáuticas 3 Flutter é uma vibração em vôo de estruturas flexíveis causada pela energia de fluxos de ar absorvidas por superfícies de sustentação ocasionadas sobretudo devido ao despre endimento de vortíces Este efeito conduz a uma instabilidade potencialmente destrutiva resultante 1O Cap 2 irá definir formalmente o que é ressonância 2Quem já não andou em um carro onde todo o seu interior vibra completamente 9 de uma interação entre forças elásticas de inércia e aerodinâmicas Assim para uma aeronave ser certificada pelo CTAFAA as empresas aeronáuticas devem ter total conhecimento sobre frequências de ressonância em função das velocidades de vôo peso altitude pressão etc Conseqüentemente as exigências básicas para os engenheiros envolvidos neste processo é ter conhecimentos básicos sólidos em vibrações mecânicas muitos deles serão apresentados durante este curso introdutório 112 Análise modal experimental e modificação estrutural A análise modal experimental AME consiste em extrair os chamados parâmetros modais de um sistema mecânico Os parâmetros modais são parâmetros característicos do sistema e são compostos por frequências naturais fatores de amortecimento e modos de vibrar Se forem corretamente obti dos é possível descrever o comportamento de um sistema vibratório sem necessitar de um modelo matemático A AME também é muito usada pela indústria automobilística e aeronáutica Um exemplo interes sante de aplicação é a extração dos modos naturais de uma porta de carro visando otimizar o projeto de retrovisores 10 Nesta aplicação a empresa fabricante do automóvel constatou que em determi nadas velocidades o retrovisor vibrava muito e refletia a luz do sol diretamente na face do motorista o que poderia provocar desconforto além do risco de acidente Com o intuito de descobrir qual a origem desta vibração em velocidades tão características foi realizada uma AME na porta do carro com o retrovisor vista na figura 11 Depois de extraído os modos naturais vistos na figura 12 constatouse que as frequências naturais destes modos eram excitadas nesta faixa de velocidades A partir de um procedimento de otimização usando uma malha de elementos finitos foi possível propor uma modificação estrutural na porta e retrovisor visando reduzir este problema 113 Manutenção preditiva por análise de vibrações Quando um componente mecânico de um máquina rotativa3 como rolamentos mancais cone xões etc apresentam algum defeito como desalinhamento desbalanceamento trinca etc o com portamento vibratório do sistema muda o seu padrão Caso se conheça algum sinal de referência da máquina é possível realizar uma comparação entre dois estados referência sem dano e com dano Assim é possível dar um diagnóstico se a máquina está ok ou não Adicionalmente com aplicação de análise espectral pode ser possível inclusive dar um diagnóstico de que tipo de dano a máquina apresenta As unidades de geração de usinas hidrelétricas como as de Itaipu são exemplos de siste mas que são monitorados periodicamente a partir de sinais de vibração para que se avalie se os níveis de vibração global estão dentro do estabelecido pelos fabricantes das máquinas 114 Integridade estrutural Integridade estrutural é o procedimento de extrair informações dinâmicas de estruturas como pontes fuselagens de aeronaves estruturas offshore barragens etc visando detectar modificações estruturais correspondentes a falhas Esta é uma área multidisciplinar que compreende estudo de materiais ferramentas estatísticas reconhecimento de padrões análise de tensões e principalmente vibrações mecânicas Assim como na manutenção preditiva em sistemas rotativos por análise de vibrações a medição de vibração mecânica em grandes estruturas pode fornecer informações úteis para diagnóstico e prognóstico de saúde estrutural de sistemas de engenharia 3Sistemas rotativos compreendem ventiladores industriais compressores turbinas etc 10 a Carro com instrumentação usada no ensaio b Detalhe da porta Fig 11 Análise modal experimental em porta e retrovisor de carros Um acidente estrutural que teve destaque recente na mídia foi a queda de uma ponte sobre o rio Mississipi na cidade de Mineápolis nos Estados Unidos figura 13 A ponte tinha sido inspecio nada em 2005 e 2006 através de medidas de vibrações e na ocasião nenhum defeito estrutural foi encontrado porém um estudo conduzido anteriormente emi2001 pelo Departamento de transportes de Minnesota mostrou vários defeitos por tempo de uso4 que foram ignorados pelas autoridades O desastre teve um saldo trágico de 7 mortos e dezenas de feridos 12 Conceitos básicos Vibração é definida como um movimento periódico ie uma oscilação de uma partícula um sistema de partículas ou um corpo rígido em torno de uma posição de equilíbrio A seguir alguns 4A ponte foi construída em 1967 11 Fig 12 Alguns modos de vibrar da porta Fig 13 Desabamento de ponte sobre o o rio Mississipi em 2007 conceitos básicos envolvidos no estudo de vibrações mecânicas 121 Graus de liberdade e coordenadas generalizadas O número de graus de liberdade gdl usado na análise de um sistema mecânico é o número de coordenadas cinematicamente independentes necessárias para descrever completamente localizar e orientar o movimento espacial de toda partícula de um sistema em qualquer instante de tempo Qualquer conjunto de coordenadas é chamado de conjunto de coordenadas generalizadas Deve ficar claro para o estudante que a escolha de um conjunto de coordenadas generalizadas não é única Quantidades cinemáticas como deslocamentos velocidades e aceleração são escritas em função das coordenadas generalizadas e de suas derivadas temporais 12 122 Componentes de sistemas mecânicos Um sistema mecânico contém componentes de inércia de rigidez e amortecimento Os compo nentes de inércia têm energia cinética quando o sistema está em movimento A energia cinética de um corpo rígido5 em movimento é T 1 2mv2 1 2 Iω2 11 sendo v a velocidade do centro de massa do corpo ω a velocidade angular do eixo perpendicular ao plano de movimento m é a massa do corpo e I é o momento de inércia de massa paralelo ao eixo de rotação que atravessa o centro de massa Já um componente de rigidez uma mola linear tem uma relação força deslocamento conforme a equação abaixo F kx 12 onde F é a força aplicada e x é a mudança do comprimento A rigidez k tem dimensão de força por unidade de comprimento No SI6 a unidade de rigidez é Nm Medir experimentalmente massa e rigidez não é tão difícil agora medir amortecimento pode ser um enorme desafio pois os sistemas mecânicos podem dissipar energia de formas diferentes O mais comum é considerar um modelo de amortecedor com amortecimento viscoso Um componente linear de amortecimento viscoso tem uma relação forçavelocidade da forma F cv 13 sendo c o coeficente de amortecimento A unidade no SI é Nsm Existem outros tipos comuns de amortecimento como amortecimento de Coulomb amortecimento estrutural etc que serão descritos mais a frente durante este curso Já quando uma coordenada angular é empregada como coordenada generalizada para um sistema linear o sistema pode ser modelado como um sistema torcional figura 14 Fig 14 Sistema torcional O momento aplicado na mola linear torcional é proporcional à sua rotação angular enquanto o momento aplicado no amortecimento viscoso torcional é proporcional à velocidade angular Os valores dos coeficientes do sistema torcional equivalente são determinados pelo cálculo da energia 5Lembrando que um corpo rígido é definido como um corpo onde as suas dimensões devem ser consideradas na análise dinâmica e assim o momento de inércia deve ser levado em conta 6Sistema Internacional 13 cinética total energia potencial e trabalho feito pelo amortecedor viscoso do sistema original em termos da escolha da coordenada generalizada empregada 1 55 T 5 leah 14 1 2 V 5 hted 15 02 W Cteq9d0 16 01 123 Forcas de excitacao De acordo com a forga de excitagéo que age em um sistema mecanico as respostas de vibracgao podem ter caracteristicas diferentes A seguir os tipos de excitagao mais comuns Forca harmO6nica forma mais simples de excitagéo em sistemas mecAnicos descrita pela equacdo F t Fsen wt 17 sendo F a amplitude da excitagao e w a frequéncia de excitagao em rads Também é usual descrever as frequéncias em Hertz Hz A frequéncia em Hz é nomeada de f e descrita por 1 f p 18 sendo T o periodo de oscilagdes tempo que o movimento harmO6nico leva para repetir seu padrao medidos em s A relacao entre as frequéncias em Hz e rads é dada por 1 f w 19 20 Um movimento harménico é definido completamente a partir do conhecimento das variaveis acima Um exemplo pratico de excitagéo harmO6nica aparece em rotores com massa desbalan ceada A figura 15 mostra um exemplo grafico de uma forga deste tipo Forca periéddica Tipo de excitagéo que se repete apds um periodo mas nao de forma exatamente igual conforme o exemplo da figura 16 Motores de combustao interna séo exemplos deste tipo de excitaao Fora transitéria Excitagao caracterizada por uma liberagao de energia grande em um intervalo curto de tempo Intiimeros exemplos descrevem este tipo de forga explosdo impacto etc A figura 17 ilustra graficamente este tipo de excitaao Fora aleatéria Sdo forcas de excitagao que nao descrevem um padrao deterministico que possa ser definido por uma equacao Para tratar sistemas excitados por forcas aleatorias necessario utilizar métodos estatisticos Fendmenos aeroelasticos sao exemplos de sistemas excitados por forgas aleatérias como forgas em asas de avides ventos em colunas de pontes etc A figura18 ilustra um sinal tipico de excitaao aleatéria 7Em homenagem ao cientista alem4o Hertz o primeiro a estudar as ondas de radio que também siio vibracdes porém de origem elétrica 14 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 Tempo s Amplitude N Fig 15 Exemplo de força harmônica 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 Tempo s Amplitude N Fig 16 Exemplo de força periódica 124 Análise de sistemas equivalentes Todo o sistema linear de 1 grau de liberdade com amortecimento viscoso pode ser modelado como um sistema massamolaamortecedor simples como a figura 19 onde meq keq e ceq são a massa equivalente rigidez equivalente e amortecimento viscoso equivalente Denotando a variável x como a coordenada generalizada a energia cinética de um sistema linear pode ser escrita como 15 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 Tempo s Amplitude N Fig 17 Exemplo de força transitória 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 3 2 1 0 1 2 3 Tempo s Amplitude N Fig 18 Exemplo de força aleatória T 1 2meq x2 110 Já a energia potencial de um sistema linear pode ser escrita na forma V 1 2keqx2 111 O trabalho realizado pela força de amortecimento viscoso em um sistema linear entre duas loca 16 Keg Coq Mag x Fig 19 Sistema massamolaamortecedor lizag6es arbitrarias x e x2 podem ser escritas como x2 W Ceqhd 112 ry Molas em paralelo O sistema da figura 110 tem molas em paralelo que sao fixadas a um bloco com massa m A meta é definir qual a rigidez equivalente desta combinaao de molas visando modelar 0 sistema com uma Unica mola similar ao da figura 19 k Sa Ky Fig 110 Sistema mecanico como molas em paralelo Se o bloco estiver sujeito a um deslocamento arbitrario x todas as molas sofrem este desloca mento assim 7 y Lp Assim a forga exercida é n P keg hye hot hye s4 wr 113 i1 Analisando a Eq 113 observase que a rigidez equivalente para um sistema com molas em paralelo é dada por n Keg hy 114 i1 Molas em série JA o sistema da figura 111 tem molas em série que sao fixadas a um bloco com massa m Novamente a meta é definir qual a rigidez equivalente desta combinagao de molas 17 k k k3 k AN NV 8 a Fig 111 Sistema mecanico como molas em série Definindo o deslocamento do bloco como sendo x na 7ésima mola e assumindo que cada mola nao tem massa a forca desenvolvida na extremidade de cada mola tem a mesma magnitude mas diregdes opostas Assim a forga em cada mola é F Kegh ky kot Sr Kn 2n 115 Sendo assim o deslocamento total sera descrito por FF F TH UM Xt Uy Ue e Hee te 116 1 2 n d a ky ko k Resolvendo para x da Eq 115 e substituindo na Eq 116 conduz a x i1 k A partir da Eq 117 podese concluir que para um sistema com molas em série a rigidez equivalente é descrita por 1 Keq yr 1 18 i1 kj 125 Posicado de equilibrio estatico Sistemas mecanicos como os da figura 19 tém elementos eldasticos que estao sujeitos a for cas quando o sistema esta em equilfbrio A deflexao resultante no elemento eldstico é chamada de deflexao estatica geralmente nomeada por A O efeito de deflexao estatica de um elemento elastico em um sistema linear nao tem efeito na rigidez equivalente do sistema 13 Classificacéo das vibracdes mecanicas Ha diferentes formas de classificar as vibragdes em sistemas mecanicos Quanto a excitacao As vibracdes podem ser livres ou forcadas Quanto ao amortecimento As vibragdes podem ser amortecidas ou naoamortecidas Quanto ao deslocamento Pode ser retilineo ou torcional ou combinagao de ambos 80 sistema vibra nas suas frequéncias naturais e nao ha forga de excitagao externa O sistema vibra na frequéncia de excitacio 18 Fig 112 Exemplo 1 Fig 113 Exemplo 2 Quanto às propriedades físicas O sistema pode ser discreto neste caso tem um número finito de gdl ou contínuo10 neste caso tem um número infinito de gdl Quanto às equações envolvidas O sistema pode ser linear potência 0 ou 1 e não existe produto entre estas e suas derivadas ou nãolinear quando não é válido o princípio da superposição 14 Exercícios resolvidos Exemplo 11 Determine o número de graus de liberdade gdl para ser usado na análise de vibrações da barra rígida da figura 112 e especifique um conjunto de coordenadas generalizadas que pode ser usado nesta análise Solução Uma vez que a barra é rígida o sistema têm apenas um grau de liberdade Uma possível escolha para coordenada generalizada é θ deslocamento angular da barra medido positivo no sentido antihorário da posição de equilíbrio do sistema Exemplo 12 Determine o número de gdl necessários para analisar o sistema mecânico composto por uma barra rígida com comprimento L e duas molas da figura 113 e especifique um conjunto de coordenadas generalizadas que pode ser usado nesta análise de vibrações Solução Assumese x como sendo o deslocamento do centro de massa da barra rígida medido a partir da posição de equilíbrio Infelizmente o conhecimento apenas de x é insuficiente para determinar totalmente o deslocamento de qualquer partícula na barra Assim o sistema tem mais de um grau de liberdade Para descrever totalmente este movimento devese considerar 10Também chamado de sistema com parâmetros distribuídos 19 Fig 114 Exemplo 2 solução Fig 115 Exemplo 3 também a rotação angular θ no sentido antihorário da barra com respeito ao eixo da barra em sua posição de equilíbrio Se θ é pequeno11 então o deslocamento do fim do lado direito da barra é x L2θ Portanto o sistema tem 2 gdl e x e θ são um possível conjunto de coordenadas generalizadas como ilustrado na figura 114 Exemplo 13 Dado o sistema da figura 115 encontre um modelo equivalente composto apenas por uma mola fixa ao bloco de massa m Solução Primeiro devese substituir as combinações de molas em paralelo por rigidez equivalente usando a Eq 114 Este primeiro resultado é mostrado na figura 116a Em seguida calcula se a rigidez equivalente do lado esquerdo do bloco 1 1 3k 1 3k 1 k 1 3k k 2 119 Por sua vez as molas fixadas do lado direito do bloco têm rigidez equivalente da forma 1 1 k 1 2k 2k 3 120 Como resultado temse o sistema da figura 116b Quando o bloco tem um deslocamento arbitrário x os deslocamentos em cada mola da figura 116b são os mesmos e a força total agindo sobre o bloco é a soma das forças desenvolvidas nas molas Assim estas duas molas 11Hipótese feita para assumir que o sistema é linear 20 Fig 116 Exemplo 3 solução se comportam como se estivessem em paralelo e portanto a rigidez equivalente do sistema é descrita por k 2 2k 3 7k 6 121 que é mostrada na figura 116c Exemplo 14 Determine a rigidez equivalente do sistema mostrado na figura 117 usando o deslo camento do bloco como uma coordenada generalizada Solução A deflexão da viga engastadalivre na sua extremidade livre é devido a uma carga concen trada neste ponto e é definida como δ FL33EI sendo F a carga aplicada L o compri mento da viga E o módulo de elásticidade e I o momento de inércia de área Assim a rigidez equivalente da viga é dada por12 kb 3EI L3 3 210 109 15 105 253 605 105 N m 122 A rigidez da viga e a mola superior que está presa agem como se estivessem em paralelo pois a força na viga provocada pelo efeito de rigidez na viga é Fb kbx e a força na mola superior é 12A rigidez é definida como o inverso da deflexão com uma carga unitária aplicada 21 Fig 117 Exemplo 4 F1 k1x assim a força total é Fb F1 Assim a deflecção no ponto de junção da extremidade livre da viga e da mola é δ x Fb F1 L3 3EI 123 o que leva a x Fb k1 3EI L3 124 Assim observase que a rigidez da viga com a mola superior agem como duas molas em paralelo Esta combinação em paralelo está em série com a mola entre a viga e o bloco Por fim esta combinação em série está em paralelo com a mola inferior entre o bloco e a parte fixa Portanto a rigidez equivalente é escrita como keq 1 1 6051055105 1 2105 3 105 469 105 N m 125 15 Organização do texto Esta apostila está organizada em sete capítulos que descrevem Cap 1 Introdução Este capítulo apresenta motivações para o estudo de vibrações e conceitos básicos necessários Cap 2 Vibração livre em sistema 1 dof Apresenta o problema de vibração livre em sistemas me cânicos com 1 grau de liberdade 22 Fig 118 Exercício 1 Cap 3 Vibração forçada em sistemas 1 dof Apresenta o problema de vibração forçada em sis temas mecânicos com 1 dof Em especial este capítulo destaca a resposta permanente para excitação harmônica resposta ao desbalanceamento resposta ao impulsodegrau uso de trans formadas de Laplace e Fourier integral de convolução métodos numéricos para solução de EDOs Ainda mostra de forma superficial o tema vibração autoexcitada Cap 4 Isolamento de vibrações tipos de amortecimento e técnicas de medição Este capítulo detalhe o conceito de transmissibilidade absoluta tipos de amortecimento e discute instrumen tação e ténicas de medição de vibração Cap 5 Sistemas com múltiplos graus de liberdade Este capítulo revisa as equações de La grange e descreve de maneira detalhada a aplicação do problema de autovalor e autovetor Uma introdução a análise modal experimental é realizada Cap 6 Vibrações em sistemas contínuos A meta é apresentar as equações diferenciais parciais e condições de contorno comuns para descrever vibração em barras e vigas finas Uma pequena discussão em métodos aproximados para solução de problemas contínuos é feita Cap 7 Manutenção preditiva usando análise de vibrações O último capítulo da apostila pre tende realizar uma pequena incursão no uso de análise de vibração para detecção de diagnóstico de danos em equipamentos mecânicos como redutores bombas turbinas motores elétricos etc Destaque para a discussão sobre nível global de vibrações uso de espectros e análise de envelope para detecção de defeitos em rolamentos 16 Exercícios 13 Ex 11 Determine o número de gdl usados na análise do sistema mecânico da figura 118 e especifique um conjunto de coordenadas generalizadas que pode ser usado na análise deste sistema 13Parte dos exercícios foram adaptados livremente de livros citados nas referências bibliográficas desta apostila 23 Fig 119 Exercício 2 Fig 120 Exercício 3 Ex 12 Determine a massa equivalente meq e a rigidez equivalente keq do sistema mecânico da figura 119 quando x o deslocamento do bloco medido da posição de equilíbrio é usado como coordenada generalizada Ex 13 Determine a massa equivalente meq e a rigidez equivalente keq do sistema mecânico da figura 120 quando x o deslocamento do bloco medido da posição de equilíbrio é usado como coordenada generalizada Assuma que o disco é fino e rola sem atrito Ex 14 Determine a rigidez equivalente do sistema da figura 121 Ex 15 O conceito de rigidez é um dos mais importantes em projeto de máquinas A esse respeito responda ao solicitado abaixo14 Explique em poucas palavras o que é rigidez Quais os fatores que 14Questão extraída do Provão de Cursos EM 99 24 Fig 121 Exercício 4 determinam a rigidez de um componente mecânico Como a rigidez e a massa de um componente estão relacionadas com sua frequência natural Entre os perfis apresentados na fig 122 qual você escolheria como o mais adequado à estrutura de um veículo que será submetido a carregamentos combinados de flexão e torção variáveis em direção e intensidade de modo que o mesmo possa ter rigidez satisfatória com um peso relativamente reduzido Justifique sua resposta Fig 122 Exercício 5 25 2 Capitulo 2 e e e Vibracoes Livres em Sistemas com 1 Grau de e Liberdade Como ja visto no capitulo 1 muitos sistemas mecanicos lineares complexos podem ser modelados como um sistema equivalente massamolaamortecedor com grau de liberdade gdl Sendo assim é necessario saber como obter a equagao do movimento de um sistema deste tipo e como resolver esta equacao Inimeros métodos podem ser usados para obter a equacao do movimento do sistema Um método popular é construir um diagrama de corpo livre DCL em um instante arbitrario e descrever as forcas atuantes externas e de inércia em termos de coordenadas generalizadas As leis basicas de mecanica sao entao aplicadas no DCL conduzindo as equagoes diferenciais ordinarias que descrevem oO movimento Para um corpo rigido 0 movimento oscilatério é descrito pelas equagdes de NewtonEuler So Fma 21 S Mg 16 22 sendo F 0 somatério de forgas externas Mg 0 somatério de momentos no centro de gravi dade G J o momento de inércia de massa e a aceleracdo angular Uma versao do método DCL para corpos rigidos usa uma variacao do principio de D Alembert Nesta nova configuragao outro DCL mostrando forgas externas em um instante arbitrario um se gundo DCL é desenhado em um mesmo instante mostrando as forgas efetivas do sistema As forgas efetivas para um corpo rigido sao definidas como forgas iguais a ma agindo no centro de massa e um conjugado igual a As Eqs 21 e 22 sao aplicadas na forma F F 23 externas efetivas M M 24 So A externas A efetivas aplicadas a um ponto A A figura 21 apresenta um sistema massamolaamortecedor com gdl Considerando que esta massa sofra a ago de uma forga Ft a equagéo do movimento para este sistema é dada por S F ma 25 26 Keg Coq I Fig 21 Sistema massamolaamortecedor Ft kat ct ma 26 mzt cxzt kat Ft 27 A eq 27 uma equagao diferencial ordinaria EDO linear com coeficientes constantes com deslocamento xt velocidade xt e aceleragao t E importante ressaltar que a forga peso mg nao entra neste balango de forcas se a mola nao distende em relagao a linha de equilibrio estatico Com relagao aos valores da forga F e 0 dos coeficientes de amortecimento viscoso c podese definir os tipos de movimentos Movimento oscilatério livre naoamortecido mz kx 0 Movimento oscilatério livre amortecido mz cx kx 0 Movimento oscilatério forcado naoamortecido mi kx Ft Movimento oscilatério forgado amortecido mi cz kx Ft 21 Vibracoes livres naoamortecidas Considerando a fig 23 assumindo c 0 temse a equacaéo do movimento para um sistema livre naoamortecido mit kat 0 28 Dividindo a Eq 28 por m temse t at 0 29 x 2x Uz m Definindo a frequéncia angular natural ndoamortecida w em rad s k Wy 4 210 m Substituindo a Eq 210 na Eq 29 temse t w2xt 0 211 A frequéncia natural em Hz é dada por f on 27 Assumindo que a resposta desta EDO do tipo xt Ce com C constante Assim at Ce 212 zt Cre 213 t Cre 214 Substituindo estes valores na Eq 211 chegase a MCe w2Ce 0 215 Ce 1 02 0 216 Uma vez que C 0 solucao trivial e e 4 0 temse a equacdo caracteristica Muwr0 1 V wr S Ng Htiwy 217 Com estes valores obtémse a solucaéo da EDO que descreve 0 movimento oscilatério at Crem Cge 218 Lembrando a relacdo de Euler e cos isen e aplicando este resultado na Eq 251 xt C coswyt isenwyt C2 cosWyt isenWyt 219 xt Cy C2 coswpt C1 C2 isenwyt 220 xt Asenwyt Bcoswyt 221 A solugao final da equag4o do movimento é fungao das constantes A e B que sao obtidas a partir das condigGes iniciais de deslocamento x0 xo e velocidade 0 vo sendo assim Lo Asenwt Bcoswt B 222 Zt Awcoswyzt Buwysenwyt v9 0 A 70 223 Wn Com isto a solugao final da EDO é dada por xt o enwyt x9C0S8Wt 224 Wn Em problemas praticos é interessante também saber qual 0 valor m4ximo tmax das amplitudes de vibragao Para encontrar este valor podese calcular os pontos criticos de 0 Apos estes calculos constatase que 0 valor da amplitude maxima de vibracao livre em sistemas naoamortecidos dado por v 2 Lmax a2 225 Wn Outra forma comum de se escrever a solucdo da Eq 211 é xt Xsen wpt 226 28 sendo m2 0 X x2 227 Wn 1 YnXo tan 228 Vo A fig 22 apresenta exemplos de respostas de sistemas livres naéoamortecidos para diferentes valores de condi6es iniciais m 12 kg k 1200 Nm X002 m V0 m 12 kg k 1200 Nm X0 Vy06 ms 002 006 0015 004 001 002 0005 3 0005 3 002 001 004 0015 002 006 0 05 1 15 2 25 3 35 0 05 1 15 2 25 3 35 Tempo s Tempo s a 9 A Ve vp 0 b ro Oev9 0 m 12 kg k 1200 Nm X002 m Vq06 mis 008 006 004 E 002 3 002 004 006 0085 05 1 15 2 25 3 35 Tempo s c XO O0evo 0 Fig 22 Exemplo de resposta de sistema livre naoamortecido com gdl para varias condig6es iniciais diferentes Exemplo 21 Dado o sistema mecGnico visto na fig 23 com massa m 12 kg rigidez da mola de k 1200 Nm e com condicées iniciais de deslocamento e velocidade de xy 002 me vp 0 respectivamente pedese a frequéncia natural nadoamortecida o cdlculo da resposta de vibracdo do sistema e a amplitude maxima de deslocamento Solucao A frequéncia natural é definida pela Eq 210 assim Wy 8 10rads 29 xt k m Fig 23 Sistema massamola com gdl ou convertendo para Hz temse f 159 Hz Apdés a construcdo de um DCL constatase que a equacdo do movimento deste sistema simples é mi kx 0 com solucdo dada pela Eq 221 xtAsenwt Bcoswyt As constantes A e B sao descritas a partir do conhecimento das condicées iniciais de desloca mento e velocidade B 1 002m A 0 Wn Assim a resposta de oscilacdao deste sistema é descrita por xt002coswt Ja a amplitude maxima de deslocamento é dada pela Eq 225 2 Xmax 2 422 002m A fig 22a ilustra a resposta de vibracdo deste sistema onde podese observar que o sistema vibra como uma sendide com frequéncia natural de 159 Hz e com amplitude mdxima de 002 m Exemplo 22 Um vagdo visto na fig 24 com massa m 15000 kg se deslocando sem atrito bate em uma mola com velocidade vp A mola é deformada em 200 mm e tem uma rigidez de 130000 Nm Com que velocidade o vagdo bateu na mola Solucao A frequéncia natural do sistema é dada por Wn Jé ja 294rads A resposta livre do sistema massamola com I gdl é dada pela Eq 221 30 xt k m Fig 24 Vagao batendo em uma mola xtAsenwt Bcoswyt sendo x0 B0 0 vo Aw Up 294A A mola foi deformada com 002 m que corresponde ao valor da amplitude maxima de deslo camento dada pela Eq 225 2 Xmax 002m 4 2 4 12 vy 05880ns Com isto a resposta livre de oscilacdo do vagdo é descrita por xt02sen294t Exemplo 23 Considere o sistema da fig 25 Calcule a frequéncia natural e a equacdo do movi mento deste sistema O momento de inércia da massa é I 5M r Solucao A primeira etapa é construir um diagrama de corpo livre para este sistema especificando todas as forcas e momentos externos e de inércia visto na fig 26 Agora aplicando a equacdao de Newton temse S Feat S Pinercia 0 mi kae Fy 0 229 A equacdo de Euler é dada por 31 xt M r k O Fig 25 Sistema com 1 gdl xt 0 kxt Fat mxt Fig 26 DCL do sistema S Ment Mnercia 0 1 1 5Mrd Fur 0 Fut 3 Mré 230 Substituindo a Eq 230 em 229 temse 1 md ka gre 0 231 Lembrando que para Gngulos pequenos sen 0 temse que x r e portanto r6 Com isto a equacdo do movimento é descrita por 32 1 mz kx 5Mz0 232 1 r 5M 4 ke 0 233 3M Com isto a massa equivalente deste sistema é dada por Meq au e segue que a frequéncia natural ndoamortecida do sistema é wn f 2K 22 Vibracoes livres amortecidas Caso o sistema da fig 23 tenha c 4 0 0 problema é de vibragGes livres amortecidas sendo o seu movimento descrito pela seguinte equaao mt ct kat 0 235 Assumindo que este sistema tenha solucdo do tipo xt De sendo uma varidvel complexa assim at De 236 zt ADe 237 t A De Substituindo esta solug6es na Eq 235 conduz ao seguinte resultado md De cDe k De 0 239 De m cA k 0 240 Como D 0 éa solucio trivial e e nunca é zero temos a seguinte equacao caracteristica m c k 0 241 que pode ser escrita como k v4 2 4 0 242 m m A solugao da equaao de segundo grau na Eq 242 pode ser solucionada usando algebra simples assim 2 ok Ma 5 5 243 2m 2m m Com isto a solucao final da Eq 235 é dada por 33 at Dye Dye 244 co c s5 ac 5i44 4 t xt Del am tV 3m im Dge sm m 245 Colocando em evidéncia 0 termo e 2m temse a solucio final c y Et v a Et at e732 oul ai Doe ai in 246 Algumas observacoes 1 O termo e 2m é uma funcio exponencialmente decrescente 2 4 Pa 2 Quando Os expoentes serao nimeros reais e nao ocorrera oscilag6es caracterizando superamortecimento 2 se 2 2 3 Quando Os expoentes serao nimeros imaginarios e ocorrera oscilag6es caracteris tica de um movimento oscilatério subamortecido 2 4s aye 4 Quando tem caracteristica de amortecimento critico ou seja quando perturbado o sistema nao oscila e volta rapidamente para a sua posicao de equilibrio Neste ponto podese definir 0 coeficiente de amortecimento critico c lembrando que w Ce 2 2 Wi Co 2Mwrn 247 2m Neste caso m é igual a massa equivalente do sistema de um grau de liberdade Apés a definicao do coef de amortecimento critico c definese o fator de amortecimento c c 2mMuvn 248 Ce c 2m Outra forma comum de escrever o fator de amortecimento é observar que c c c c 2Mwy amy 9 km IVkm Com isto os pdlos da equacao caracteristica raizes da Eq 242 podem ser rescritos como Cc c2 k ne G E Me 2m 2m m bW F2w w2 Ew tunV 1 251 sendo que determina a natureza da solucao se é subamortecida superamortecida ou amorteci mento critico 34 221 Movimento oscilat6rio subamortecido ou subcritico 0 1 Neste caso a solugao da equagao do movimento é dada por vt e Dye VEE Dye rv et 252 Lembrando da relacdo de Euler e cos isené e substituindo na Eq 252 apds algumas manipulagdes matematicas chegase a at e Acoswyt Bsenwat 253 sendo wg a frequéncia angular natural amortecida definida como Wq Wn 1 254 As constantes A e B sao obtidas através das condigées iniciais de deslocamento e velocidade e sao dadas por A 255 Vo Wn Xo Bo 256 Wyr 1 Os polos do sistema sao descritos por A12 EWpn IW 257 Ar2 u w 1 w 258 Outra forma comum de resposta é at Ce sen wat 259 sendo C a amplitude maxima do deslocamento e a fase definidas por Vf vo Ewnto wowa C 260 Wed ToWd tan 261 E 201 A fig 27 mostra um exemplo de resposta de sistema subamortecido com 0 envoltério em linha tracejada Exemplo 24 Uma massa de 45 kg é suspensa por uma mola de rigidez k 1400 Nm Um amorte cedor com um coeficiente de amortecimento viscoso c 50 Nsm é conectado ao sistema Determine o fator de amortecimento a frequéncia natural w e a frequéncia natural amortecida w4 Solucao A frequéncia natural w é descrita por Wn J Je 1763 rads 35 m 1 kg c 5 Nsm k 1400 Nm x002 m v0 1 7 04 02 Xo 02 04 06 08 1 0 05 1 15 2 25 Tempo s Fig 27 Exemplo de resposta do sistema subamortecido ou em Hz fy sWn 28 Hz Jao coeficiente de amortecimento critico c dado por Ce 2mw 2451763 15867 Nsm Com isto o fator de amortecimento é dado por ci 50 g Co 15867 031 Como esta no intervalo 0 1 este sistema possui movimento oscilatério subamortecido A frequéncia natural amortecida é dada por Wq Wynr11 1676 rads A fig 28 mostra o grafico de deslocamento deste sistema considerando x 002 me vg 0 como condicées iniciais E importante observar que as oscilag6es vao sendo amortecidas com o tempo dentro de um envoltério definido por e que é mostrado em linha tracejada na fig 28 Exemplo 25 Dado o sistema da fig 29 escreva a equacdo do movimento e defina o fator de amortecimento Solucado Apos a construcdo de um DCL podese escrever a equacdo do movimento me cy 0kx 0 262 Da Eq 262 podese observar que Ceq C C2 e dai Cc e 263 Ce 2MWy Por fim devese notar que é possivel escrever a equagao do movimento de um sistema amortecido de 1 gdl em fungao de w e assim E Uwe wx 0 264 36 m 45 kg c 50 Nsm k 1400 Nm x002 m Vy9 1 08 06 v 04 02 a Xo Noe S ues 02 04 ra 06 4 08 7 4 1 0 05 1 15 Tempo s Fig 28 Exemplo de resposta de sistema livre amortecido com gdl com movimento subamortecido xt k m cl c2 Fig 29 Sistema massamolaamortecedor com dois amortecedores 222 Movimento superamortecido ou supercriticoé 1 Este caso acontece quando 1 0 que faz com que as raizes da Eq 251 sejam um par de numeros reais A solugao da equaao do movimento para esta situagao é dada por 2 f 2 rt Ae VEAet 4g Bele VE ent 265 sendo A e B sao novamente obtidas pelas condi6es iniciais e sao dadas por Vo 1 Wn Xo A WId 266 Jw E2 1 37 vo VC 1 WnXo B 2 267 QW E 1 A resposta de sistemas superamortecidos nao envolvem oscilagao assim quando este é perturbado este retorna a sua posicao de equilibrio de forma exponencial A fig 210 mostra um exemplo de resposta para este sistema considerando como condi6es iniciais 7 002 me velocidade inicial de Vo 0 m 5 kg c 200 Nsm k 1400 Nm x002 m Vy9 1 09 08 07 06 X05 04 03 02 01 05 1 15 Tempo s Fig 210 Resposta do sistema superamortecido 223 Movimento amortecido criticamente ou critico amortecido 1 Este caso especial ocorre quando 1 e neste caso as raizes so um par de niimeros reais negativos e iguais A solugao da equaao do movimento é dada por at e ug Wno t 20 268 Na fig 211 é mostrada a resposta para varios valores da condigao inicial de vp Um sistema amortecido criticamente quando perturbado por certas condig6es iniciais retorna a posicao do equilibrio no tempo mais rapido sem oscilar Um exemplo classico de aplicagao deste sistema é 0 dispositivo amortecedor em portas de elevador caso se solte a porta bruscamente esta nao bate violentamente no batente e sim volta para a posiao de equilibrio suavemente Outro exemplo é 0 sistema de recolhimento de armas de fogo 23 Decremento logaritmico Quando se esta analisando um sistema estrutural j4 existente normalmente nao se conhece os valores dos parametros de rigidez e amortecimento sendo necessArio portanto determinar o valor do fator de amortecimento assumindo um sistema de gdl equivalente Nestes casos é necessArio reali zar uma estimativa a partir dos dados experimentais do comportamento vibratorio do sistema quando 38 m 5 kg c 200 Nsm k 1400 Nm x002 m Vpvarias 003 v00 1 v005 ms 0025 v005 ms rh oo2k 0015 1 xX 001 0005 s 0 0005 0 05 1 15 Tempo s Fig 211 Resposta do sistema criticamente amortecido lhe é aplicado alguma condigao inicial de perturbagéo Varios podem ser os métodos empregados Neste capitulo sera apresentado 0 método do decremento logaritmico Nos capitulos seguintes ira se discutir outros métodos para sistemas forgados e com miultiplos graus de liberdade O decremento logaritmico 6 é definido como o logaritmo natural da razio de duas amplitudes sucessivas Considere a resposta xt do caso subamortecido 0 1 visto na fig 212 O decremento logaritmico 6 é escrito como at dIn H 269 sendo tg 0 periodo entre duas oscilag6es sucessivas onde wy é a frequéncia angular natural amortecida Para um caso geral temse x Vy En2 5In In In 270 Tv v2 Un1 sendo n o numero de oscilagoes realizadas A Eq 270 pode ser rescrita da forma x XY En2 Ln1 oat ee wrt 271 Ty v2 Tn1 Ln Notando que 2 24122 1 nodese escrever a relacao Ln L1 XQ XB In x en 272 Xn Com isto obtémse uma nova expressao para o decremento logaritmico 6 em fungao do nimero de ciclos n realizados no movimento oscilatério 1 Xo 6In 273 n Ln 39 10 10 i 6 4 E 2 0 2 4 6 005 01 015 02 025 03 035 04 045 Tempo s Fig 212 Resposta de sistema subamortecido evidenciando amplitudes sucessivas Lembrando que a resposta de um sistema subamortecido é do tipo at Xe sen wat 274 Substituindo a Eq 274 na Eq 270 obtémse a seguinte equaao Lr Xe nto gen wat 6In2In Xe Mi sen wato 275 Ly X eSenti sen wat sendo t to tg onde tg Apos algumas manipulacgoes algébricas na Eq 275 chegase a expressao do decremento logaritmico 6 em funao do fator de amortecimento 27 528 276 1 Ou ainda da forma c 277 VAr 6 Assim se conheco duas amplitudes sucessivas xp e 71 Ou se uma amplitude x e uma amplitude Ln aps n ciclos posso calcular o decremento logaritmico 6 entre elas e estimar com a Eq 277 0 fator de amortecimento do sistema Exemplo 26 Considere um sistema massamolaamortecedor com massa m 20kg e deslocamento inicial x9 001 m A fig 213 mostra a resposta livre deste sistema Estime os coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste sistema Solucao Considerando duas amplitudes sucessivas xy 001 me x 0005 m mostradas na fig 213 o decremento logaritmico é calculado a seguir x 001 5 In In 28k 0693 Com o 6 calculado empregase a Eq 277 para se estimar o fator de amortecimento 40 3 some XO YO01 Bry Br ee epee LEE EER eee ee poe eh ben eee Re A UE ATP a Meee tte tee cee eee othe ON NN at Pf app at o See on a 7 o CEE Ee ae a 005 01 015 02 025 03 035 04 045 Tempo s Fig 213 Resposta livre do sistema 6 0693 011 V4n262 4n206932 Como o fator de amortecimento esta entre 0 e 1 este sistema é subamortecido Sabendo que o periodo entre as duas oscilacées sucessivas é td 006 s também visto na fig 213 podese calcular a frequéncia angular natural amortecida Wq 1047 rads Com o uso da Eq 254 podese entdo estimar qual o valor da frequéncia angular natural dada por Wd 1047 Wy Tee To 1053 rads A rigidez do sistema pode ser escrita lembrando que wy Vs o que levaa kmw2 20 1053 222 x 10 Nm Ja o coeficiente de amortecimento viscoso é estimado por c2mw 2201053011 463 x 10 Nsm 24 Exercicios 2 Ex 21 Plote em algum software estilo Scilab a resposta para o sistema mx ct kx 0 com m1kgc4Nsme k 5000 Nm com condicao inicial de xy 003 m e vp 02 ms Ex 22 Resolva a seguinte equacdo do movimento mx kx 0 com condicGo inicial x 1 e Ug 0 Plote sua resposta assumindo valores para k em em algum software estilo Scilab Discuta o resultado Parte dos exercicios foram adaptados livremente de livros citados nas referéncias bibliograficas desta apostila Al Ex 23 Resolva a seguinte equação do movimento x x x 0 com condição inicial x0 1 e v0 0 Plote sua resposta assumindo valores para k e m em alguma software estilo Scilab Discuta o resultado Ex 24 Sabese que um sistema massamolaamortecedor tem os seguintes pólos λ12 1 102 01157 10472j Pedese a Estes pólos são estáveis Justifique b Qual o tipo de movimento que este sistema realiza quando este é perturbado com uma condição inicial c Deter mine a frequência natural e o fator de amortecimento deste sistema Ex 25 Para um sistema massamolaamortecedor com m 875 kg c 14012 Nsm e k 140125 Nm quando este é sujeito a uma velocidade inicial de v0 254 ms e x0 0 pedese a Verifique o tipo de sistema subamortecido crítico ou superamortecido b O deslocamento máximo do sistema Ex 26 Um canhão tem uma massa de 1100 kg e um sistema de recolhimento composto de uma mola k 470000 Nm e amortecedor de choque viscoso com amortecimento crítico A distância de recolhimento é de 09 m Pedese a A velocidade inicial de recolhimento b O tempo para retornar à posição 025 m da posição inicial c O deslocamento em t05 s Ex 27 Para um sistema com amortecimento viscoso com massa m 1 kg e rigidez k 4900 Nm verificase que a amplitude de vibração reduzse em 80 em 15 ciclos Determine o fator de amortecimento ξ e o coeficiente de amortecimento viscoso do sistema Ex 28 Um componente estrutural de um sistema automotivo com massa de 1 kg é perturbado para oscilar com vibrações livres A sua resposta experimental para esta condição é vista na fig 214 Com base neste gráfico determine os coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste sistema assumindo que ele tem apenas 1 grau de liberdade Ex 29 A resposta ao impulso de um sistema mecânico é medida experimentalmente e mostrada na fig 215 Com base neste gráfico pedese o cálculo do coeficiente de amortecimento viscoso equivalente e do coeficiente de rigidez equivalente do sistema A massa do sistema é 20 kg Ex 210 Durante parte do Campeonato Mundial de Fórmula 1 de 2006 a Equipe Renault utilizou em seus carros absorvedores de vibração na dianteira e na traseira com o objetivo de minimizar as oscilações do chassi provocadas pela passagem sobre as zebras e consequentemente melhorar seu desempenho No detalhe da fig 216 está mostrado o dispositivo empregado na dianteira que consiste basicamente em um sistema massamolaamortecedor de 1 grau de liberdade com uma massa de 7 kg 1 apoiada sobre molas 2 e 3 de diferente rigidez com relação 1 3 inseridas em uma carcaça 4 de fibra de carbono e com um amortecedor regulável 5 contendo um fluido viscoso Sabendo que a frequência natural não amortecida do absorvedor de vibração utilizado na dianteira é de 22 Hz determine a rigidez das molas empregadas3 Ex 211 O projeto de uma absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta para moto cross de 200 kg de massa fig 217 deve atender às seguintes especificações quando o amorte cedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada a curva deslocamentotempo deve ser decrescente Determine as constantes de rigidez e amortecimento ne cessárias para o amortecedor se o período de vibração amortecida for Td 2 s e a amplitude tiver que reduzir em 14 em meio período Determine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm 42 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x 10 3 Tempo s xt m Fig 214 Resposta livre do sistema estrutural 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Tempo s ht mm Fig 215 Resposta ao impulso ht Ex 212 Para os sistemas das figuras 218219 e 220 determine a equação do movimento e a frequência natural nãoamortecida do sistema 3Questão adaptada do ENADE 2008 43 Fig 216 Vista do fórmula 1 Fig 217 Amortecedor para uma motocicleta Ex 213 Uma haste delgada uniforme de massa m e comprimento l é articulada no ponto A e está ligada a quatro molas lineares e a uma mola torcional como mostra a fig 66 Determine a frequencia natural nãoamortecida do sistema se k 2000 Nm kt 1000 Nmrad m 10 e l 5 m Ex 214 Determine a equação do movimento da barra rígida OA de comprimento l e massa m da fig 222 Determine também a sua frequência natural Ex 215 Desafio Uma turbina hidráulica de 1000 kg de massa e 500 kgm2 de momento de inércia de massa é montada em um eixo de aço como visto na fig 529 A velocidade operacional da turbina 44 Fig 218 Sistema 1 Fig 219 Sistema 2 Fig 220 Sistema 3 é 2400 rpm Admitindo que as extremidades do eixo sejam fixas determine os valores de d a e l tais que a frequência natural de vibrações da turbina em cada uma das direções axial transversal e radial seja maior que a velocidade operacional da turbina O momento de inércia de área do eixo é I πd464 momento de inércia de massa é definido como 45 5 k k Of TIf L i ao IN Ea i k k 0 ie O00 3 Fig 221 Barra rigida Mola Mola torcional 3 linear k A Bt Oe ed G CG ee ke a e Mola wT linear Fig 222 Barra rigida l r2dm 278 sendo dm pdV Dica use os conceitos de energia cinética e potencial e cdlculo de massa e rigidez equivalente do sistema Ex 216 O sistema da fig 224 tem uma frequencia natural de 5 Hz para os dados m 10 kg e momento de inércia de massa de Jy 5 kgm com r 10 cme rz 25 cm Quando o sistema é perturbado com um deslocamento inicial a amplitude de vibracao livre é reduzida de 80 em 10 ciclos Determine os valores de k e c 46 Fig 223 Eixo com turbina montada Fig 224 Sistema mecânico oscilatório 47 Capítulo 3 Vibrações Forçadas em Sistemas com 1 Grau de Liberdade Imagine a seguinte situação prática e bastante comum em um ambiente industrial Você traba lha em uma empresa que recebeu um compressor alternativo de grande dimensão e precisa instalálo Para isto deve especificar uma fundação composta por absorvedores com determinada rigidez e amor tecimento para reduzir a vibração da máquina Caso isto não seja bem feito é possível que a vida útil da máquina seja reduzida devido a vibração excessiva Como proceder isto Até o final deste capí tulo o estudante terá uma idéia de como realizar este projeto Na situação hipotética descrita acima e em muitas outras as máquinas e sistemas estruturais vibram devido não somente às condições iniciais e na frequência natural amortecida ou não e sim em função também de forças de excitação externa Ft que podem ser de diferentes tipos conforme visto na seção 123 Inicialmente iremos considerar apenas o caso em que a excitação é do tipo harmônica Em se guida excitações do tipo impulso unitário e degrau serão usadas Nesta primeira parte uma série de conceitos e definições importantes em vibrações vão ser apresentadas Como aplicação se mostrará a vibração causada por força de desbalanceamento em máquina rotativa e o projeto de fundação para instalação de máquinas O caso de resposta de sistemas excitados por forças de excitação qualquer é tratado com várias abordagens usando a transformada de Laplace método da integral de convolução e transformadas de Fourier Na medida do possível buscasse ilustrar todo o conteúdo apresentado com exemplos de aplicação prática na indústria Também são introduzidos alguns conceitos bási cos de análise espectral e formas de se estimar as funções de resposta ao impulso IRF e função de resposta em frequência FRF A abordagem de solução das equações do movimento para sistemas com 1 grau de liberdade livre ou forçado através de métodos de aproximação numérica é revista em especial nas formulações baseadas em aproximação por séries de Taylor Por fim é apresen tada uma discussão sucinta do fenômeno comum na prática de vibração autoexcitada em especial a instabilidade dinâmica causada por escoamento de fluido 31 Vibração causada por excitação harmônica Considere a equação do movimento de um sistema massamolaamortecedor com 1 grau de liber dade com uma força de excitação Ft agindo sobre ele mx c x kx Ft 31 A Eq 31 é uma equação diferencial ordinária linear e nãohomogênea EDOLNH No caso considerado nesta seção assuma que a força Ft seja do tipo harmônica e descrita por 48 Ft Fsen wt 32 sendo F a amplitude de excitagao unidade N e w seja a frequéncia de excitagao Com isto a Eq 31 tornase mécé kx Fsen wt 33 A questao agora é saber como solucionar a EDOLNH para saber 0 movimento oscilatério xt Um método que pode ser usado envolve aplicar o método dos coeficientes indeterminados 4 Assim a solugao da equacao do movimento 33 envolve a soma de duas solug6es uma primeira homogénea Xnt que pode ser as Eqs 253 265 ou 268 dependendo do valor do do sistema e uma segunda particular xt ou seja xt xp t zt 34 A solugéo homogénea xt corresponde a solugdo da equac4o quando Ft 0 e representa um termo transit6rio provocado pela resposta livre j4 a solucao permanente xt depende da frequéncia de excitagao e é uma resposta em regime permanente Fisicamente a soluao em regime permanente Lpt segue a excitaco Ft com uma amplitude X e fase y em relacdo a excitacdo assim a solugao da parte permanente é do tipo Lt Xpsen wt 35 Derivando a Eq 35 e substituindo na Eq 33 chegase a amplitude de resposta X do sistema PF xX 36 w22 w2 vy m ou de uma forma mais elegante Xk 1 M8 37 V9 26r sendo r arazao entre as frequncias de excitagdo e natural naoamortecida e M r o fator de ampliacgao que é funao da razdo r e do fator de amortecimento Ja a fase pode ser escrita como 2Er tan 38 po ton 2 38 Entao a solugao final da equagao do movimento para um sistema subamortecido 0 1 pode ser escrita como ut xnt xpt Ewnt Pk xt Xpe S sen wat 6 sen wt 9 39 Vl 26r sendo X a amplitude da resposta transit6ria dada pela Eq 259 Examinando a Eq 39 podese realizar duas observag6es importantes Obviamente se for assumido que o sistema é linear e que a excitacdo é senoidal 49 e Quando o tempo t é grande t co o termo transiente xt primeiro termo da Eq 39 tornase muito pequeno e consequentemente a resposta de regime permanente t fica predo minante na resposta final xt e Caso a frequéncia de excitagdo w seja igual ou proxima da frequéncia natural w arazaor 1 Este fendmeno é conhecido como ressonancia e implica que o fator de ampliagao M r possa aumentar muito dependendo do valor do do sistema e consequentemente as amplitudes de vibragao podem ficar muito grandes O fendmeno de ressonancia normalmente deve ser evitado no projeto de estruturas e maquinas uma vez que grandes amplitudes de vibragao podem acelerar 0 processo de falha por fadiga des conforto ruido dentre outros problemas Ocasionalmente o fendmeno de ressonancia pode ser catastrofico dependendo do valor do fator de amortecimento do sistema Entretanto o conceito de ressonancia também é muito util em teste estrutural Por exemplo toda a analise modal é baseada em medir vibragdes em condicao de ressonancia A fig 31 ilustra como o valor da razao de frequéncia r e do fator de amortecimento afetam as amplitudes na condicéo de ressonancia quando r 1 Esta figura ilustra o fator de ampliagao M r para varios valores de Note que existe uma faixa proxima a r 1 onde existe uma ampli acao nas amplitudes de vibracao esta regiaéo é conhecida como faixa de ressonancia E interessante também observar pela Eq 37 que quando 0e r 1 0 valor de X ov 10 15 9 10 03 8 02 01 7 005 6 op 5 4 3 2 0 eS 0 05 1 15 2 25 3 Razao entre freqiéncias r Fig 31 Curvas de ampliagao de amplitudes de vibragao para um sistema com gdl O maximo valor de M r é chamado de pico de ressonancia e é encontrado quando dM r W dM 8 9 pa fae 310 dr Wn O valor méximo de M r quando r 1 2 e quando 12 é dado por 50 1 Mpa 311 2eV1 Podese definir também a largura de banda Bandwidth BW como sendo o valor da frequéncia em que a magnitude de vibragio XkF fica abaixo de 707 que corresponde a um decaimento de 30 dB A largura da banda BW pode ser relacionada ao fator de amortecimento através da expressao BW w 1 267 464 4 4 2 312 Outras duas quantidades utilizadas na discussao de vibracg6es de estruturas e maquinas é o fator de perda 7 descrito por n 2 313 e o valor Q ou fator de forma de ressonancia expressado através da relacao 1 1 Q 314 2g 4 E interessante notar que quando r 1 o fator de ampliacdo M r é igual ao valo Q Outra situagao interessante acontece quando r 1 eo sistema nao é amortecido 0 Nestes casos ocorre o fendmeno de batimento ilustrado na fig 32 Um exemplo pratico do fendmeno de batimento ocorre em vibraao de transformadores 15 05 1 15 2 0 5 10 15 20 25 30 Tempo s Fig 32 Exemplo de batimento para um sistema com gdl 20 decibel dB é definido como sendo 20logAmplitude no caso 20log70730 dB 51 Na seqiiéncia apresentase alguns exemplos sobre a aplicacgdao destes conceitos em problemas praticos de engenharia Exemplo 31 Uma mdquina com 45 kg é montada em cima de um isolador ndoamortecido composto por quatro molas em paralelo com rigidez de 2 x 10 Nm em cada mola Quando opera a uma velo cidade de 32 Hz a amplitudes em regime permanente X é medida a partir de um teste experimental e corresponde a 15 mm Qual a magnitude da forca que excita esta maquina nesta velocidade Solucao A frequéncia natural deste sistema é calculada por Ke 42 x 10 Wy 22 x 10 1333 rads 315 m 45 A frequéncia de excitagdo em rads é calculada como w 27 f 2732 Com isto a razdo entre frequéncias do sistema é calculada como w 2732 151 316 Oy 1333 910 Como o sistema é montado em um isolador sem amortecimento 0 com um r 1 o fator de ampliagao M r é calculado pela Eq 37 de forma modificada M 151 0 0781 317 r1 0 0781 jlr jl 151 Rearranjando a Eq 37 obtémse o valor da amplitude da forca de excitacdo deste sistema X yk 00015 8 x 10 Pes t 154x 10 N 318 M r 151 0 0781 318 Exemplo 32 Uma mdquina com 120 kg é montada no meio de uma viga simplesmente suportada com comprimento L 15 m modulo de elasticidade E 200 x 10 Nm e momento de inércia de drea I 153 x 10 m Um teste de vibracées é feito nesta maquina quando esta é excitada por uma forca harménica com magnitude de 2000 N para diferentes velocidades de rotacdo da maquina Todas as medigées experimentais das amplitudes de vibragdo X em fungdo das velocidades de rotacdo sdo gravadas e constatase analisando estes resultados que a maior amplitude corresponde a 25mm Com esta informacdo estime o coeficiente de amortecimento do sistema Solucao O primeiro passo é calcular a rigidez da viga que para esta condicdo de contorno sim plesmente suportada é definida como A8EI 48200 x 10 153 x 10 k 48 200 x 10 153 x 10 435 x 10 Nén 319 L 15 Com a rigidez calculada é possivel se calcular a frequéncia natural w do sistema k 435 x 10 Wy 4 4 1904 rads 320 m 120 Como a informacdo conhecida é a maxima amplitude de vibracdo em regime permanente medida experimentalmente X max 00025 m podese calcular o fator de ampliacdo maximo Mimazx pela Eq 37 52 Xmark 00025 435 x 10 M SS 54 321 Com o valor de Mmaxz calculado a Eq 311 pode ser rearranjada eie41 9 322 4AM ax que é uma equacdo quadratica em cuja raizes sdo dadas por 1 1 11 323 0 Vira 023 Substituindo Max 544 e notando que o sinal positivo em leva a um fator de amortecimento maior do que 12 temse entdo que 0092 Ou seja apenas uma das ratzes da equacdo acima é significativa fisicamente 32 Vibracao causada por forca de desbalanceamento em maqui nas rotativas Um caso especial de vibrag6es excitadas por forgas harménicas ocorre em mAaquinas rotativas com massa desbalanceada Nestes casos 0 sistema é excitado por uma massa desbalanceada com uma velocidade angular w e com uma excentricidade e Esta forga de desbalanceamento é dada por Ft mopew sen wt 324 A fig 33 mostra uma maquina rotativa representada por um sistema massamolaamortecedor com um grau de liberdade moO m A e k xt Fig 33 Exemplo de maquina rotativa com massa desbalanceada Neste caso a equacao do movimento do sistema é descrita por m c kx moewsen wt 325 53 Assim para este caso a amplitude de vibragdes em regime permanente de uma maquina rotativa com desbalaceamento pode obtida a partir da Eq 37 Fk X Fe 326 l 92 26r Como a amplitude da forca de desbalanceamento é F mgew a Eq 326 pode ser reescrita X 2 Ow 327 V9 26r sendo que moe representa a quantidade de desbalanceamento do sistema Em geral mge é obtido a partir de um teste experimental para procurar adicionar massas para corrigir este desbalanceamento uma vez que esta excitagao em niveis muito grandes pode comprometer o funcionamento de uma maquina e diminuir sua vida Util Dividindo a Eq 327 por m obtémse a expresso final conhecida como fator de ampliagdo adimensional A r X 2 mA fr 328 moe Vl 02 26r A fig 34 ilustra a fungao A r para varios valores de re 10 15 9 10 03 8 02 é01 7 005 6 25 4 3 L 0 a 0 05 1 15 2 25 3 Razao entre freqiéncias r Fig 34 Curva da fungao A r Notase que para um 12 0 maximo valor A é Amar 329 Max 261 54 e ocorre quando a razao de frequéncias r é dada por 330 TAmax 1 2 Exemplo 33 Um gerador composto por um motor diesel monocilindrico de massa m 1100 kg esta montado sobre isoladores com uma rigidez equivalente keg 15 MNm O pistdo e a parte da biela equivalente tém massa de 26 kg e movemse de forma harménica na maquina no sentido vertical com curso de 045 ma 500 rpm O curso é definido como curso 2e A partir de um teste experimental constatouse que a amplitude de vibragdo em regime permanente do motor X é de 001 m Admitindo amortecimento viscoso calcular o coeficiente de amortecimento do sistema Solucao A frequéncia de excitacdo da maquina em rads é dada por 20 W 50075 523 rads 331 A frequéncia natural w do sistema é dada por k 15 x 106 n 4 4 369 d 332 ee Vin V 1100 meee 632 A razdo entre as frequéncias do sistema r é escrita como Ww 523 14 333 Oy 3692 G99 A excentricidade é calculada sabendo que o curso 2e como o curso é de 045 m entdo a excentri cidade e é dada por 0225 m A massa de desbalanceamento é mo 26 kg Com isto a partir da Eq 328 podese calcular o fator de amortecimento X 2 MAp 334 moe d 92 26r 1100001 141 on a 339 1 141 2141 Com isto o valor do fator de amortecimento é dado por 0133 Lembrando do capitulo 2 que o coeficiente de amortecimento viscoso é calculado por Cc 2mEwy 211000133 3692 105591 Nsm 336 33 Funcao de resposta ao impulso IRF Uma situagao muito comum em andlise de vibragdes e em problemas de dinamica estrutural é focar na andlise transiente da resposta Nestes casos uma entrada do tipo impulso ocupa um lugar de destaque A resposta ao impulso basicamente tem a forma da resposta as condic6es iniciais do caso homogéneo Muitos sistemas mecanicos so excitados por carregamentos que sao aplicados por um tempo breve Matematicamente estas situagdes so modeladas usando uma representacao matematica chamada de impulso unitdrio ou fungao delta de Dirac 5t a Esta representagao matematica é definida como 55 0 t0 ta 37 safe ee G37 sendo CO dtadt1 338 oo Assim a equacao do movimento para um sistema massamolaamortecedor com um grau de liber dade é descrita por mi cé kx dt a 339 A resposta da Eq 339 para o caso subamortecido é escrita como eS4nt senwyt ta x t MWn 340 te i 340 onde wg Wn 1 é a frequéncia natural amortecida A resposta do sistema quando a exci tacdo aplicada é uma fun4o impulso unitario é tao importante que nestes casos xt é chamada de funcdo de resposta ao impulso IRF e escrita como sendo ht Quando a 0 a IRF de um sistema de um grau de liberdade é escrita como Ewnt e sen Wat ht oe sen wat 341 MWy Note que a IRF ht é idéntica a resposta livre subamortecida do sistema Eq 252 quando as condig6ées iniciais de deslocamento e velocidade sao respectivamente 79 0 e Up A fig 35 apresenta um exemplo de IRF quando m 1 kg c 5 Nsme k 1000 Nm A IRF é muito util para realizacao de andlise transiente de sistemas estruturais e mecanicos com plexos e também para descrever a resposta de sistemas para diversos tipos de excitagao O conhe cimento da IRF também pode ser usado em andlise modal visando extrair os parametros modais frequéncias naturais fatores de amortecimento e modos de vibrar Algumas destas considerag6es ainda serao apresentadas até o final deste capitulo assim como formas de se estimar a IRF de maneira experimental 34 Resposta para excitacao do tipo degrau unitario A resposta para excitacao do tipo degrau unitario uttg é Util para andlise de projeto de sistemas dindamicos e muito usada para especificagao de controladores A partir da resposta xt de um sistema a excitagado degrau unitario é possivel definir varios pardametros que descrevem o comportamento dinamico de um sistema qualquer A fungao degrau unitario é descrita matematicamente pela expressdo a seguir t utto dT todr 342 0 que leva entao para 3Do inglés Impulse Response Function 56 003 002 001 1 0 cc 001 002 003 0 05 1 15 2 25 Tempo s Fig 35 Exemplo de resposta ao impulso ht de um sistema f 0 tto ut to lL tto 343 Quando ty 0 a excitag4o degrau unitdrio é dada por ut to ut A equacgao do movimento de um sistema quando aplicado como excitagéo Ft yt um degrau unitario é dada por m cé ka pt 344 Resolvendo a equacao diferencial dada pela Eq 344 chegase ao resultado abaixo Ewnt e sen Wat 2t 1 Sen wat 0 345 1 sendo a fase descrita como 2 o arctan a é 346 Um esbogo da resposta ao degrau unitario para um sistema mecanico com m 1 kg c 5 Nsm e k 1000 Nm é mostrado na fig 36 Note que na fig 36 sao descritos alguns parametros que descrevem 0 comportamento dina mico de um sistema e podem ser usados para analisar qualitativamente se um sistema mecanico tem comportamento adequado ou nao de acordo com especificagdes de projeto Uma destas medidas é o sobresinal mais conhecido pelo termo em inglés overshoot OS Este valor é dado pelo maximo valor da resposta menos o valor desta quando o sistema entra em regime permanente Os t1 mu 347 Umax t 1 exp 1 0 overshoot ocorre exatamente em um tempo de pico t descrito como 57 3 1800 0001778 os 16 14 12 X 1759 Y 00009952 1 t s 08 06 04 p 02 05 1 15 2 25 Tempo s Fig 36 Exemplo de resposta ao degrau unitario para um sistema com um grau de liberdade T t 348 P Wnr 1 Outra caracteristica importante é 0 periodo de oscilagdes Ty dado por 20 Ta 21 349 Wyr1 Por fim o tempo de ajuste define 0 tempo em que a resposta do sistema atinge o regime permanente dentro de um intervalo de 5 Uma aproximacado para t pode ser escrita como 3 t 350 Wing E importante observar que a partir das equacées anteriores é possivel projetar um sistema com um determinado fator de amortecimento e frequéncia natural w de acordo com os parametros de tempo de ajuste overshoot periodo de oscilagdes e tempo de pico para conduzirem a uma resposta com caracteristicas e forma desejada 35 Método da integral de convolucao A integral de convolugao ocupa um lugar de destaque no estudo de sistemas dinamicos lineares A partir desta integral é possivel descrever a resposta de um sistema mecanico quando este é excitado por qualquer tipo de sinal de entrada forga Ft e quando as condig6es iniciais de deslocamento e velocidade sAo nulas 0 0 e 0 0 respectivamente Para isto é necessdrio se conhecer a IRF ht A convolugao entre a excitagdo Ft e a IRF ht conduz a resposta do sistema 4HA definicdes para t quando este intervalo é 3 58 00 xt Frht 7dr 351 oo O limite inferior da Eq 351 pode ser descrito como zero pois o comum é estudar sistemas que so causais assim a integral de convolucdo pode ser rescrita na forma 00 xt Frht 7dr Ft ht 352 0 onde o simbolo representa a operacgdo de convolugao entre sinais A Eq 352 mostra a im portancia do conhecimento da IRF ht Caso se estime experimentalmente a IRF ht é possivel descrever a resposta de um sistema mecanico complexo a qualquer tipo de excitagéo sem precisar resolver uma equacao diferencial do movimento uma grande vantagem da integral de convolugao Em termos praticos os sinais experimentais medidos de entrada Ft e da IRF ht sao de natureza discreta Assim definese a forga e a IRF em termos de amostras em instantes n sendo que a distancia entre estas amostras depende da taxa de amostragem empregada Nestes casos a IRF e forca sdo escritas como seqiiéncias hn e Fn e a integral de convolugao da Eq 352 é escrita na forma discreta como uma soma de convoluao N xn S hn kK Fk hn Fn 353 k0 sendo N Ny N 1 o nimero de amostras contidas no sinal discreto xn onde Np é 0 numero de amostras no sinal de forga Fn e N o nimero de amostras da IRF discreta hn 36 Funcao de transferéncia e métodos frequénciais Até este ponto toda a andlise de vibragdes empregada se baseou em técnicas temporais Outra abordagem é analisar vibragdes em outros dominios como no dominio da varidvel de Laplace s ou no dominio da frequéncia Nestes casos as equagoes diferenciais ordinarias lineares podem ser descritas de forma algébrica além de ser em alguns casos mais facil se extrair informa6es dinamicas de um sistema mecanico quando este esta representado no dominio s ou jw 361 Transformada de Laplace A transformada de Laplace é uma ferramenta matematica para mudanga de dominios entre sis temas continuos A transformada de Laplace é definida para sistemas lineares causais e continuos descritos por uma IRF ht como sendo 00 HsLht e htdt 354 0 Se aplicarmos a transformada de Laplace na equacéo do movimento Eq 31 com condigées iniciais nulas obtémse O conceito de sistemas causais significa que um sistema s6 comeca a responder se uma entrada é aplicada em um instante ou um instante anterior t to Jad um sistema naocausal pode responder em um instante a entradas futuras t to que ainda nem foram aplicadas Um exemplo de sistema naocausal é sistemas dindmicos que descrevem o comportamento de bolsas de valores Definida com cuidado para se evitar o fendmeno de aliasing 59 Xs ms cs k Fs 355 que pode ser organizada como uma relac4o entre sinais de entrada e saida Esta relagao fornece a transformada de Laplace da IRF Hs Xs 1 iis X 2 Fs mscsk A funcgao Hs é comumente chamada de fung4o de transferéncia do sistema e é uma caracteristica intrinseca do sistema dindmico em estudo Importante fazer algumas observagoes sobre a funcao de transferéncia Hs e A funcao de transferéncia FT é a mesma qualquer que seja a excitagao aplicada e Oconhecimento da FT de um sistema ajuda a descrever a resposta a qualquer excitagao e O denominador da FT é a ja definida equagao carateristica e As raizes do denominador da FT sao valores singulares chamados de pélos e para um sistema subamortecido sao dados por s jwn 1 A contrapartida no dominio s de Laplace para a integral de convolugao da Eq 352 é dada por Xs HsFs 357 ou seja é possivel descrever a resposta de um sistema devido a um sinal qualquer usando uma simples relagéo algébrica entre os dados de entrada e saida em vez de calcular uma integral de convolugéo ou mesmo resolver uma equagao diferencial Esta é uma das grandes vantagens de se trabalhar com transformadas Note que a varidvel s é complexa Existe também uma contrapartida para o caso discreto usando a soma de convolugao nesta situ acao se emprega a transformada z que infelizmente ainda nao é estudada em detalhes em um curso convencional de graduagao em Engenharia Mecanica A tabela 31 resume as situagdes para os casos continuos e discretos Tab 31 Tipos de andlise de sistemas mecanicos usando transformadas Xs HsFS Xz HzFs Transformada de Laplace Transformada z at f Frht 7dr xn 3g hn KF I Integral de convolucgao Soma de Convoluao A FT também pode ser descrita em fungao de w e 1m Hs tim 358 82 2EWyS wr Em problemas de engenharia de controle a FT é descrita apenas como a razao entre sinais de entrada e saida sem grande preocupacaéo com as grandezas fisica envolvidas nesta razao Porém em problemas de analise de vibragdes e dinamica estrutural comum se medir a grandeza fisica 60 de aceleracio usando acelerémetros nestes casos a relaco entradasafda é dada por sHs e é chamada de inertancia A tabela 32 mostra os varios tipos de FT que podem ser aplicadas em dinamica de estruturas dependendo do tipo de medida efetuada Tab 32 Varios tipos de funcao de transferéncia empregadas na andlise dinamica Resposta medida Funcéo de Transferéncia Inverso da FT Hs Compliancia Rigidez dinamica Velocidade sHs Mobilidade 7HsInertancia Note que uma vez conhecida a inertancia ou qualquer outra funcao de transferéncia é possivel transformar de uma a outra a partir ou de multiplicag6es ou divisdes pela variavel de Laplace s 362 Funcao de resposta em frequéncia FRF Do ponto de vista experimental 0 que se faz é trabalhar com a transformada de Fourier Assim uma vez conhecido o sinal de entrada excitac4o no dominio do tempo Ft e considerando um mapeamento da fungao de transferéncia Hs em s jw sendo w uma frequéncia que varia em um intervalo de andlise obtémse a entéo chamada fungéio de resposta em frequéncia FRF Hjw Hw Hjw 659 J mjwcjwtkK kwm4 jo Interessante observar que a FRF H w nada mais é do que a aplicagao da transformada de Fourier na fungao de resposta ao impulso IRF ht no dominio continuo ou da aplicagfo da transformada discreta de Fourier na IRF discreta hn Sendo assim também é possivel escrever a relacgfo entre entrada e safda dada pela Eq 357 no dominio da frequéncia w Xw HwFw 360 Note na Eq 354 que se considerarmos s jw obtémse a expressdo para a transformada de Fourier da IRF conduzindo a FRF 00 Hw e Jhtdt 361 0 Assim como a FT a FRF também pode ser descrita em fungao dos sinais de aceleragao velocidade e deslocamento A tabela 33 mostra estes casos onde observase que a relagao entre estas FRFs sao em relacao a dividir ou multiplicar Hw pela frequéncia w Devese notar também que a FRF Hw é uma grandeza complexa descrita por uma parte real e imaginaria Hw RHw jSHw 362 sendo sua magnitude descrita por 7Em particular com sua variante no dominio discreto A Tranformada Discreta de Fourier 8Que pode ser medido com 0 auxilio de células de carga Do inglés Frequency Response Function 61 Tab 33 Varios tipos de FRFs empregadas na andlise dinamica Resposta medida Inverso da FRF Hw Compliancia Rigidez dinamica Velocidade jwHw Mobilidade 7 Hw Inertancia Hw VRAWP S Hw 363 e sua fase escrita como SA o 364 RHw Podese representar uma FRF graficamente de diferentes formas A mais comum é 0 chamado diagrama de Bode que consiste em descrever o mdédulo e a fase da FRF com a amplitude em dB A fig 37 apresenta as FRFs do sistema com m 1 kg c 5 Nsme k 1000 Nm considerando inertancia mobilidade e compliancia Outro grafico comum é escrever a parte imaginaria em funao da parte real Neste caso o grafico tem a forma de um circulo com centro em e raio i caso se empregue a FRF de mobilidade A fig 38 apresenta um exemplo deste tipo de grafico Esta representagao é conhecida como diagrama de Nyquist e muito usada em teoria de controle para estudo de estabilidade de sistemas Em andlise modal este diagrama é usado para estimativa do fator de amortecimento e da frequéncia natural w com um método conhecido como Curve Fitting que sera estudado nos préximos capitulos Por fim outra forma de representar sistemas dindmicos é com o uso dos graficos da parte real e imaginaria da resposta em frequéncia A fig 39 mostra estas representagOes 37 Estimativa experimental de IRFs e FRFs Andalise Espectral Uma FRF pode ser obtida experimentalmente caso se conhega um sinal qualquer de resposta medida aceleragao velocidade ou aceleragao e o sinal de forga aplicada que pode ser medido com a ajuda de uma célula de carga Um dos métodos é aplicar a transformada de Fourier nos sinais de saida xt e Ft que sao definidos no dominio continuo como 00 Xw e J xtdt 365 0 00 Fw e J Ftdt 366 0 Porém na pratica a aplicagao da transformada continua de Fourier integral acima nao muito efetiva uma vez que Os sinais sdo normalmente amostrados em intervalos de tempo O mais sensato entao é aplicar a transformada discreta de Fourier nos vetores discretizados seqiiéncias xn e Fn N X we S xnjeJr 367 n0 62 0 5 10 15 150 100 50 0 50 Freqüencia Hz Inertância dB 0 5 10 15 0 1 2 3 4 Freqüência Hz Phase rad a Inertância 0 5 10 15 100 80 60 40 20 0 Freqüencia Hz Mobilidade dB 0 5 10 15 2 1 0 1 2 Freqüência Hz Phase rad b Mobilidade 0 5 10 15 80 70 60 50 40 Freqüencia Hz Compiância dB 0 5 10 15 4 3 2 1 0 Freqüencia Hz Phase rad c Compliância Fig 37 Funções de resposta em frequência para um sistema com 1 grau de liberdade 0 002 004 006 008 01 012 014 016 018 02 01 008 006 004 002 0 002 004 006 008 01 RealjωHjω ImagjωHjω Fig 38 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade para um sistema com 1 grau de liberdade 63 a 10 OX 10 3 1 2 2 Bo 3 é 0 4 1 5 2 6 5 10 15 5 10 15 Freqiiéncia Hz Freqiiéncia Hz Fig 39 Grafico da parte real e imaginaria da FRF compliancia para um sistema com grau de liberdade N F wr y Fnje 7 368 n0 sendo w 0 valor discreto de frequéncia em uma posicao k dado por wz tk e N o nimero de amostras calculadas E importante observar que pela natureza do processo de amostragem o sinal no dominio da frequéncia é periodizado portanto se os sinais tm N amostras temporais somente N2 amostras sao usadas para descrevelos frequencialmente Assim a FRF pode ser obtida pela razao entre X w e Fwx xX Wk H wy Xe 369 F wr Este método é 0 mais simples e é conhecido como o de varredura em frequéncia Infelizmente esta forma de se estimar a FRF também nao conduz a bons resultados em geral uma vez que a razao entre rufdos nos sinais de entrada e saida pode ser amplificada pela Eq 369 Na pratica esta estimativa é feita usando conceitos de processamento de sinais aleatérios e se empregando alguns conceitos basicos de estatistica Toda esta area é conhecida como Andlise Espectral A meta de andlise espectral é descrever a distribuigaéo sobre frequéncia da poténcia contida em um sinal com base em um conjunto finito de amostras Estas ferramentas sao uteis em andlise mo dal vibroactistica telecomunicacoes identificagao de sistemas processamento de imagens etc Assumese que os sinais tanto de entrada como de saida de um sistema linear qualquer so alea tdrios ou seja nao se consegue prever seus estados futuros Estes sinais também nao sao periddicos e nem transientes portanto a rigor nao podemos utilizar diretamente as ferramentas de andalise de Fourier estudadas até o momento Varios termos utilizados em andalise espectral sAo novos para a maioria dos alunos de graduacao portanto é interessante fazer uma definiAo de alguns termos bAsicos Processo Estocastico graficamente pode ser expresso por um conjunto de testes com amostras alea torias xn com k 12 K realizagdes e n 1 2 N pontos cada ou seja s6 é possivel analisar as caracteristicas médias deste processo A fig 310 mostra um exemplo grafico de processo estocastico Momentos estatisticos métricas utilizadas para descrever as caracteristicas de processos estocasti cos Por exemplo o valor médio de um sinal xn é chamado de momento de 1 ordem 64 AG 10 20 30 40 50 60 70 50 90 100 Amos tras 2 rw 2 4 0 10 20 30 40 50 oo 70 50 90 100 Amos tras Adve tn 5 10 20 30 40 50 oo 70 a0 90 100 Amos tras Fig 310 Realizagdes de sinais medidos em um processo estocastico i mk lim Lyn 370 k Jim vel 370 k1 Entre os momentos estatisticos mais importantes se destacam as fungdes de autocorrelacao FAC R2nm es Reenm tim K S Lp Nxn mM 371 k1 e fungées de correlagdes cruzadas FCC 1 Rrznm im ke S Finjan m 372 k1 sendo m o nimero de atrasos temporais E interessante notar que a FAC é a média do produto entre xn e xn m e a FCC é a média do produto entre duas seqiiéncia diferentes Fn e xp n mI Processo estacionario um processo é dito estaciondrio se suas propriedades estatisticas nao variam com o tempo se mantém constante A fig 311 apresenta um sinal estacionario Caso se divida este sinal em varias partes e se calcule a distribuigaéo de probabilidade em cada uma destas partes ira se constatar que a distribuicao estatistica é a mesma conforme a fig 312 Processo ergédico Um processo é dito ergddico quando as propriedades médias calculadas no tempo para qualquer realizag4o sao iguais as propriedades calculadas a partir das médias do conjunto Assim as FAC e FCC de processos estacionarios e ergédicos se tornam dependentes apenas dos atrasos m assim Rmn Reeme Reznm Rrzm Existem varios métodos temporais para se estimar as correlacgdes pois dificilmente elas sao conhecidas por 65 tide e Eva bd gibi bili til i I I a os He ee oe Fig 311 Exemplo de um sinal estacionario 12 15 10 g 10 1 6 4 ie 5 S aN oO Lt o 3 2 l 0 1 Zz 3 3 2 1 0 1 Zz 3 10 12 A 10 3 i 6 5 3 2 2 oo Ne SN 4 2 0 2 4 4 2 0 2 4 Fig 312 Distribuigao de partes de um sinal estacionario serem baseadas na definicao de um limite Um dos métodos mais conhecidos é o método de LevinsonDurbin A rigor deverfamos utilizar os termos funao de autocovariancia e funcgao de covariancia cruzada que sao iguais as FAC e FCC mas retirando o efeito da média Apos estas definigdes basicas é possivel descrever 0 espectro de poténcias de um sinal aleatério discreto xn descrito por um processo estocdstico estaciondrio e ergddico através da transformada de Fourier da FAC Rm em fungao da frequéncia w Sew SY Reemjere 373 sendo w ar onde F é a taxa de amostragem em Hz e f 0 vetor de frequéncias também em Hz Assim 66 xn yn hn Fig 313 Sistema linear e invariante com o tempo representado por uma IRF discreta hn Srof S Roomje 374 A partir do espectro de poténcias é possivel escrever a densidade espetral de poténcia PSD Pxf do sinal xn Seal f Pf 375 A PSD representa a poténcia contida em um sinal em uma banda de frequéncia infinitesimal dai a definigaéo densidade A unidade da PSD é poténcia do sinal eg Watts por unidade de frequén cia Na pratica o calculo da PSD a partir da FAC nao é usual Alternativamente se usam métodos naoparamétricos Periodograma Welch Correlgorama etc métodos paramétricos Modelos auto regressivos Equacoes de YuleWalker etc e métodos de subespaco O estimador espectral naéoparamétrico mais usado e simples o Periodograma definido como XP P2f 376 sendo Xf a transformada discreta de Fourier do sinal aleatério zn com L pontos Ja a PSD cruzada entre dois sinais xn e yn é obtida por XAY PA P 377 sendo Yf o complexo conjugado da transformada discreta de Fourier do sinal yn Infeliz mente o periodograma obtido a partir da operacao acima fornece estimativas pobres devido a proble mas relacionados a resolucao polarizacdo e variancia A solugao é a utilizagao de janelas o que da origem ao Periodograma Ponderado eou diviséo em segmentos o que da origem ao Periodograma de Welch Maiores detalhes nestes métodos podem ser obtidos no livro 16 Uma das aplicagdes mais comuns de PSD é estimar de forma naoparamétrica funcg6es de trans feréncia de sistemas lineares e invariantes com o tempo a partir de dados de entradasaida obtidos de testes experimentais fig 313 Ou seja conhecidos os sinais de excitagdo xn Fn e de resposta yn qual o sistema hn Podese mostrar que a FCC entre a excitagao Fn e a resposta xn Rri é igual a convolugio discreta entre a IRF hn ea FAC de Fn Rypi Esta relagéo é conhecida como equagio de Wiener Hopf Rroli Afi Reel J 378 j0 67 Assim através da estimativa das FAC e FCC podese calcular hn a partir da Eq 378 Este método é conhecido como Método das correlacées 1 Esta estimativa também pode ser feita em termos espectrais utilizando a PSD e a PSD cruzada entre os sinais Fn e xn Um dos estimadores espectrais classicos de fungdes de transferéncia é 0 estimador H definido como P Fa f A 379 i Prrf este estimador H é utilizado principalmente quando o ruido afeta mais os sinais de resposta Outro estimador usual é 0 Hz usado quando o ruido afeta mais o sinal de entrada Pool f Hof 380 Prep f Um estimador espectral de FRFs mais genérico é 0 H usado quando o ruido afeta tanto os sinais de entrada quanto os sinais de safda AY f JA fAaf 381 Uma forma efetiva de conferir se uma estimativa espectral de FRF foi bem realizada é calcular a fungéo de coeréncia entre os sinais de excitagaéo Fn e resposta xn Srow Cr w 382 Fo Srp w Sn w O resultado da funcgdo de coeréncia é sempre um valor real entre 0 e 1 Se a coeréncia de um sinal é pr6xima a para uma determinada banda de frequéncia significa que nesta faixa obtevese uma boa estimativa da FRF do sistema mecanico de interesse quando este recebe como entrada um sinal Fn e produz na safda um sinal xn Ou seja as estimativas de H e Hz so préximas 38 Determinacao experimental do coeficiente de amortecimento por vibracoes forcadas Uma forma de se estimar 0 coeficiente de amortecimento em testes forgados é empregar a Eq 37 vista nas segdes anteriores Em resumo caso se conheca a amplitude da forga de excitagao F e da vibragdo em regime permanente X a razdo de frequéncias r e a rigidez do sistema k podese estimar o fator de amortecimento A metodologia usando o decremento logaritmico 6 também pode ser empregada a partir de um teste experimental de aplicagao de um impulso caso se tenha em maos um martelo de impacto com célula de carga ou se extrairmos experimentalmente a FRF ou a IRF usando os métodos descritos na seao anterior Um método popular de se estimar o fator de amortecimento com base na FRF do sistema é medir as duas frequéncias w e w2 em torno de um pico de ressonancia com frequéncia w quando a ampitude em w e Ww da FRF sao 0707 ou seja 30 dB este valor é conhecido como ponto de meia poténcia O fator de amortecimento pode ser estimado por 5 1 W2 Wy 383 2 Wn Este método é chamado de Quadrature peak picking e é valido para sistemas levemente amorte cidos 68 39 Métodos numéricos para solução de equações do movimento Equações diferenciais aparecem com enorme frequência em diversos problemas de modelagem de fenômenos físicos 14 Exemplos são equações que descrevem escoamento de fluidos transferência de calor e massa química dinâmica e vibrações em sistemas mecânicos etc Uma equação diferencial é definida como uma equação que envolve derivadas das funções A ordem de uma equação diferencial é descrita em função da maior ordem p da derivada envolvida Dois tipos básicos podem aparecer o primeiro envolve equações diferenciais ditas ordinárias Neste caso existe apenas uma variável independente yx dy dx x y 384 Equações diferenciais ordinárias contém parâmetros físicos concentrados O segundo tipo acontece quando existe mais de uma váriavel independente por exemplo ux y sendo o deslocamento u em uma placa em função de x e y 2u x2 2u y2 2u 0 385 sendo 2 o Laplaciano Esta equação é um exemplo de equação diferencial parcial Este tipo de equação envolve parâmetros distribuídos Neste texto iremos focar apenas a solução numérica de equações diferenciais ordinárias EDO Um fato interessante é constatar que EDOs não possuem apenas uma solução e sim uma família ou conjunto de soluções possiveis Para particularizar a solução de uma EDO é essencial se definir valores de condições suplementares Caso estes valores sejam especificadas no mesmo ponto temse uma condição inicial e neste contexto o problema é classificado como de valor inicial PVI Por outro lado se for especificada em mais de um ponto temse um problema de valor de contorno PVC As equações diferenciais podem ser lineares ou nãolineares dependendo se é válido ou não o princípio da superposição Um exemplo de equação diferencial ordinária nãolinear é ux u2x 1 386 A grande preocupação dos matemáticos é garantir a existência e unicidade da solução de PVI e PVC Um problema de PVC normalmente é mais complexo pois em inúmeros exemplos não se garante unicidade da solução Em problemas de dinâmica de sistemas mecânicos a aplicação da 2o lei de Newton gera sistemas de EDOs que são essencialmente nãolineares10 Ao menos para casos bem particulares no geral linearizados e com aplicação de hipóteses simplificadoras a solução analítica destas equações pode se tornar inviável Assim justificase a aplicação e implementação de métodos numéricos 15 A ideia básica de grande parte deste métodos numéricos é ser capaz de construir uma solução para uma equação do tipo xt fx t dada uma condição xt0 x0 O que se busca é definir uma sequência de valores t1 t2 tn não necessariamente espaçados e calcular aproximações numéricas para xiti baseado em informações passadas Se apenas uma informação passada é empregada o método é conhecido com sendo da classe passo simples Por outro lado se usarmos vários valores passados o método é de passo múltiplo Alguns métodos clássicos usados envolvem a aproximação numérica da série de Taylor como será apresentado na sequência 10Estas EDOs são as equações do movimento e no nosso curso de vibrações na maioria das vezes linearizamos assu mindo pequenas oscilações 69 391 Método de Série de Taylor A série de Talyor pode ser usada para resolver qualquer tipo de EDO porém os resultados em termos de eficiência computacional são limitados para EDOs de ordem baixa A ideia consiste em aproximar a função xt em um ponto em torno de t tn1 por uma série11 xtn1 xtn xtnt xtnt2 2 387 sendo t tn1 tn o passo de integração que não necessariamente precisa ser uniforme entre todos os pontos Obviamente que a equação acima terá um erro de truncamento Observase claramente que uma redução de t faria com que a solução convirja mais rápido para a solução exata Porém do ponto de vista computacional uma redução grande de t pode não conduzir na prática à um aumento da precisão uma vez que existe uma maior propagação de erros de truncamento além do tempo de processamento ficar elevado Um caso particular é realizar uma aproximação de 1o ordem xtn1 xtn xtnt 388 neste caso a série de Taylor de 1o ordem é chamada de método de Euler O procedimento para obter a solução de uma EDO é conhecer os condições iniciais no instante t0 e prosseguir na aproximação em instantes t1 t0 t até tN t0 Nt sendo N o número de amostras a avaliar Assim para uma EDO do tipo xt xt xt 0 389 com condições iniciais xt0 e xt0 conhecidas temse que xt0 é xt0 xt0 xt0 390 Para um instante t1 t0 t devese aproximar quem são as funções xt1 e xt1 Usando a aproximação com o método de Euler xt1 xt0 t xt0 xt0t 391 xt1 xt0 t xt0 xt0t 392 E portanto a função xt1 será aproximada usando estes resultados xt1 xt1 xt1 393 e assim por diante até atingir tN tendo as respostas numéricas que solucionam a EDO em estudo A maior desvantagem do uso da série de Taylor é a necessidade de se verificar valores das de rivadas de ordem mais alta da função xt a aproximar Assim apesar de ser teoricamente possível resolver qualquer EDO os resultados computacionais só são eficientes para EDOs de ordem baixa 1o ou 2o ordem O método de RungeKutta resolve em partes esta deficiência 11Que neste caso específico é truncada em termos de 2o ordem 70 392 Método de RungeKutta O método de RungeKutta foi proposto por dois matemáticos alemães em 1902 visando Aproveitar as qualidades da série de Taylor para aproximar xt Eliminar a necessidade de cálculo das derivadas de xt na aproximação por exemplo lembre que para aproximar via método de Euler xt1 necessito conhecer xt0 e xt0 O preço pago na família de métodos12 de RungeKutta é calcular xt fx t em vários pontos O método de RungeKutta de 1o ordem é uma aproximação pelo método de Euler da forma xtn1 xtn ftn xtnt 394 Um dos métodos mais populares13 de RungeKutta é o de 4o ordem descrito por xtn1 xtn 1 6 k1 2k2 2k3 k4 395 sendo as constantes calculadas para cada passo t k1 tftn xtn 396 k2 tftn t2 xtn k12 397 k3 tftn t2 xtn k22 398 k4 tftn t xtn k3 399 393 Método de Newmark O sistema de equações diferenciais de segunda ordem em dinâmica estrutural pode ser resolvido por qualquer método considerando a existência de alguma excitação F externa sendo aplicado no sis tema ou mesmo condição inicial de deslocamento e velocidade em algum nó Entre estes o método de Newmark é um dos mais versátil e popular14 para solução de grandes sistemas de equações dife renciais de segunda ordem Aqui não será dada nenhuma prova Apenas apresentado sucintamente o método e mostrado um algoritmo efetivo para solução do sistema de EDOs Considerando a equação do movimento do sistema descrita pelas matrizes de massa e rigidez e com o amortecimento sendo do tipo proporcional a massa eou rigidez Mx C x Kx F 3100 sendo x x e x os vetores aceleração velocidade e deslocamento respectivamente A equação acima pode ser integrada usando algum método numérico Em essência a integração numérica direta é baseada em duas ideias Na primeira ao invés de tentar satisfazer a equação acima em todo tempo t buscase satisfazelá apenas em intervalos discretos de tempo t A segunda ideia consiste em variar os deslocamentos velocidades e acelerações dentro do intervalo de tempo t assumido Em seguida considerase que os vetores deslocamento velocidade e aceleração no tempo inicial t0 denotados por x0 x0 e x0 respectivamente são conhecidos e implementase a solução das 12O termo família é usado pois existem métodos de RungeKutta de várias ordens 13Consulte o comando ODE45 no Matlab R 14O integrador do software de elementos finitos Ansys R é baseado neste procedimento 71 equacoes de equilibrio para um tempo de ty até ty Na solucao todo 0 tempo considerado é dividido em JN intervalos iguais AtAt tyN e o esquema de integragéo empregado estabelece uma solucdo aproximada para os tempos At 2At 3At t t At Ty O esquema geral no método de Newmark assume que xt At xt At1 yXt yxt At 3101 1 xt At xt Atxt 5 3 xt Bxt a At 3102 As constantes y e 3 sao conhecidas como parametros de Newmark e sao determinados visando obter exatidao e estabilidade numérica Na literatura existem muitas variagoes deste algoritmo New mark originalmente prop6s 0 esquema conhecido como aceleraao média constante conhecida como regra trapezoidal neste caso y 12e G 16 A fig 314 mostra 0 esquema de integrag4o Po rém outros esquemas podem ser usados como por exemplo y 12 e G 14 que sera empregado na rotina computacional do final desta seao i tet 77 tU a tT U c 2 t t At Fig 314 Esquema de aceleracao média constante de Newmark A ideia é fazer com que a equagao do movimento eq 3100 seja valida nos intervalos de tempo de 0 até ty Mx0 Cx0 Kx0 F0 Mxt Cxt Kxt Ft Mxt At Cxt At Kxt At Ft At 3103 Mxty Cxty Kxty Fty Com base nesta ideia e no esquema de integragao de Newmark podese escrever um algoritmo computacional para integragdo de equacgoes diferenciais de segunda ordem de sistemas lineares des crito por quatro passos basicos e Inicializagao 72 e Prediao e Equacao de equilibrio e Correcao Escrevendo explicitamente cada passo temos 1 Dados do problema MC K 2 Inicializagao x0 Mf FO Cx0 Kx0 3104 3 Incremento temporal teoi tk At 3105 4 Predicao iy Xy 1 Atk 3106 1 s Xtras Xt Atxy 5 BAP 3107 5 Equagao de equilibrio SM yAtC BAPK 3108 X41 S F Cx Kx 3109 6 Correao Xt 1 Xt AtyXu 3110 Xt41 Xt At BX 3111 7 Critério de parada atingir ty 310 Vibracdes em sistemas autoexcitados Até o momento o sistema dinamico em estudo era forgada por uma fonte externa e independente do movimento Porém existem inimeros casos praticos em que as forgas que excitam 0 sistema sao dependentes da cinematica do movimento Este tipo de sistema conhecido como autoexcitado uma vez que 0 proprio movimento é responsavel pela excitagao Exemplos praticos de sistemas auto excitados incluem 73 e Instabilidade de eixos rotativos em velocidades criticas e Tremulacao de pas de turbinas e hélices e Vibracgdes em tubulag6es induzidas por escoamento de fluidos ou descargas e Vibracgdes em pneus de automoveis e Vibracgdes em pontos por fendmenos aerodinamicos 3101 Andalise de estabilidade Nos capitulos anteriores vimos que um sistema dinamico linear é dito estavel se sua resposta transiente de sistemas amortecidos vibracao livre converge ao equilibrio Isto significou que o movimento decresce com o tempo seguindo e Se este movimento divergir 0 sistema é dito instavel ou seja com o passar do tempo as amplitudes em regime transiente aumentam Um sistema mecanico pode se tornar instavel se houver alimentaao de energia ao sistema por autoexcitacao Para visualizar bem isto é interessante verificar as raizes da equacao caracteristicas que conforme ja foi discutido s4o chamadas de pdlos do sistema Para 0 caso de sistema de 2 ordem que 0 mais comum de ocorrer em vibragdes temos Cc 1 c2 k Mia 54 45 3112 2m 2 m m Nesta condicg6es 0 sistema é estavel nas situaces e Raizes reais e negativas para 1 e Raizes conjugadas complexas com parte real negativa para 0 1 Esta situagdo é alcangada se e sao constantes positivas Assim no caso de um sistema instavel sendo p e q nimeros reais de modo que A Ax A Ag A A AQA ALA c k A0 3114 m m Onde podese observar que c k 2 2 A r2 2p pq 3115 m m cz oe 2 2 k oe A eq 3115 ilustra que se p for negativo positivo para p q im deve ser positiva Admitimos que a massa m sempre positiva c e k devem ser positivos para 0 sistema ser estavel Um exemplo bem interessante de vibragao autoexcitada ocorre em freios de absorao com correia e polia e cursores de maquinas ferramentas 13 Uma maquinaferramenta torno pode sofrer algum solavanco mesmo o cursor tendo um movimento suave Assuma um maquina com massa m e a conex4o bancadacursor de avano como uma mola com rigidez k e amortecimento viscoso c Existe 74 um coeficiente de atrito 1 entre a bancada e superficie do cursor que varia em fungao da velocidade de deslizamento A equacgao do movimento da bancada pode ser descrita como a micxr kx mg 1 va 3116 mg sendo a uma constante A equacao anterior pode ser descrita como mz catkx 0 3117 onde vése claramente que se a co sistema é instavel 3102 Instabilidade dinamica causada por escoamento de fluido A vibragao causada por escoamento de fluido ao redor de corpos é muito comum Exemplos e Vibracdo em linhas de transmissao causada por vento e Vibracgaéo em antenas de automéveis causada por vento e Vibracgaéo em chaminés ou torres altas e Vibragdes em pas de turbinas hidraulicas e Tubos de compressores de ar e Tubulacoes de dleo Todos estes sistemas podem vibrar violentamente sob certos regimes de escoamento O que ocorre é que estes sistemas podem extrair energia da fonte induzindo vibrag6es cada vez maiores Varios fendmenos fisicos podem ser os responsaveis por esta inducgao de vibragdes Grande parte podem ser resultado da emissao de redemoinhos conhecidos como vortices de Karman V6rtices de Karman ocorrem alternadamente em sentido horario e antihorario quando despreen didos por um escoamento de fluido ao redor de um corpo solido Estes vorticeces provocam foras de elevagaéo com variagao harmGnica e perpendiculares 4 velocidade do fluido Testes experimentais em ttinel hidrodinamico eou de vento mostram que a emissao de vortices de Karman é muito grande na faixa de numero de Reynolds Re entre 60 a 5000 O nimero de Reynolds nesta faixa é calculado como Vd Re 3118 L sendo do didmetro de um cilindro ao redor do qual o fluido escoa p a densidade V a velocidade e 4 a viscosidade do fluido Para Re 1000 a frequéncia adimensional de emissao de vortices pode ser expressa em funcao do nimero de Strouhal St d St fd 021 3119 V sendo f a frequéncia de emissdo de vortices em Hz A forga de elevacgéo Ft harménica induzida pelo escoamento perpendicular a velocidade do fluido é 1 2 Ft scev Asenwt 3120 75 sendo c uma constante dependente da geometria do corpo para cilindros c 1 A a área proje tada do cilindro perpendicular à direção de V ω a frequencia ângular de emissão dos vórtices Assim o escoamento de fluidos ao redor de um corpo pode produzir vibração autoexcitada Para projeto temse que garantir A magnitude da força Ft deve ser baixa para que não ocorra falha Perfil aerodinâmico adequado pode ser usado para reduzir esta força Mesmo a magnitude da força ser baixa a frequência de emissão não pode produzir fadiga na estrutura mecânica A frequência de emissão dos vórtices de Karman não pode coincidir com a frequência de res sonância do sistema15 Em termos práticos vários são as técnicas usadas para reduzir estas instabilidades Por exemplo em grandes estruturas esbeltas e altas é comum a instalação de spoilers ou reforços Spoilers quebram o padrão de emissão de vórtices de tal forma que nenhuma excitação harmônica bemdefinida seja aplicada Em aerofólios buscase criar forças aerodinâmicas voltadas ao contrário da força Ft buscando minimizala e garantir estabilidade 311 Exercícios 16 Ex 31 Uma máquina com 110 kg é montada em uma fundação elástica com rigidez de 2106 Nm Quando a máquina opera com uma velocidade de 150 rads esta é sujeita a uma força harmônica com magnitude de 1500 N A amplitude em regime permanente Xp medida em um teste de vibração nesta situação é encontrada ser de 19 mm Qual o fator de amortecimento ξ desta fundação Ex 32 Uma máquina ferramenta com 82 kg é montado em uma fundação elástica Um teste expe rimental é realizado para estimar as características de rigidez e amortecimento desta base Quando a ferramenta é excitada com uma força harmônica com magnitude de 8000 N em várias frequências a máxima amplitude em regime permanente obtida é dada por 41 mm na frequência de excitação de 40 Hz Usando estas informações estime o fator de amortecimento ξ e o coeficiente de rigidez desta fundação Ex 33 Uma máquina de 45 kg é montada na extremidade livre de uma viga engastadalivre de aço com comprimento L 25m e módulo de elasticidade E 210 109 Nm2 A rigidez da viga engastadalivre é calculada por k 3EI L3 sendo I o momento de inércia de área A máquina é sujeita a excitação harmônica com magnitude de 1000 N em uma velocidade de rotação de 40 rads Suponha que sua meta é limitar a amplitude de vibração em regime permanente desta máquina para no máximo 15 mm Para isto você precisa especificar um perfil para a viga engastadalivre com base em um catalogo comercial em função do momento de inércia de área desejado Para quais valores do momento de inércia de área I a exigência de projeto é satisfeita 15A causa do colapso da ponte Takoma foi causada por não atender a esta especificação 16Parte dos exercícios foram adaptados livremente de livros citados nas referências bibliográficas desta apostila 76 Ex 34 Uma máquina industrial de serrar com 65 kg tem um desbalanceamento m0e de 015 kgm A máquina opera em uma velocidade de 125 Hz e é montada sob uma fundação com rigidez equivalente de k 2 106 Nm e fator de amortecimento ξ 012 Qual a amplitude de vibração em regime permanente desta máquina Ex 35 Um ventilador industrial com 40 kg tem um desbalanceamento m0e de 01 kgm Este ven tilador é montado na extremidade livre de uma viga engastadalivre com comprimento L 12 m módulo de elasticidade E 200 109 Nm2 e momento de inércia de área de I 13 106 m4 A rigidez da viga engastadalivre é calculada por k 3EI L3 A viga foi confeccionada para adicio nar amortecimento viscoso Como a rotação de trabalho do ventilador é variável foi notado que a máxima amplitude de vibração em regime permanente é dada por 203 mm Qual é a amplitude de vibração em regime permanente do ventilador quando este opera em 1000 rpm Ex 36 Considere uma máquina com 120 kg montada sob uma viga engastalivre com comprimento L 08 m módulo de elasticidade E 200 109 Nm2 e momento de inércia de área de I 45 106 m4 A rigidez da viga engastadalivre é calculada por k 3EI L3 A partir de um teste experimental de vibrações livres constatase que a razão entre duas amplitudes sucessivas em um ciclo é de 25 para 1 Determine a resposta da máquina devido a um desbalanceamento m0e de 025 kgm quando a máquina opera em uma rotação de 2000 rpm e o amortecimento é assumido ser viscoso Ex 37 Considere o conjunto motobomba visto na fig 315 A bomba tem uma massa de 123 kg e o motor 390 kg Constatouse que em operações normais de trabalho a vibração do conjunto era muita alta e acima do nível máximo tolerado que é 4 mms Neste primeiro teste o nível de vibrações do conjunto era 13 mms Após um enrijecimento da base feito a partir de suportes de uma chapa dobrada em L com um reforço interligando as abas mão francesa de chapa de mesma espessura constatouse que a vibração reduziuse para 95 mms Mesmo assim ficou acima do nível máximo tolerado mostrando que esta mudança não foi suficiente A rotação da bomba é 3000 rpm Para simplificação dos cálculos assuma que o sistema tem um amortecimento estrutural ξ nulo Lembre se que xt Xpsenωt e xt ωXpcosωt Baseado nestas informações pedese17 a Calcule uma estimativa da mudança ocorrida na rigidez do sistema com a modificação estrutural proposta e implementada b Quanto deveria ser esta mudança para que o nível de amplitude de vibrações ficasse abaixo do valor máximo permitido 4 mms Ex 38 O motor elétrico de acionamento de um sistema mecânico possui massa de 20 kg e deve ser instalado sobre quatro absorvedores de vibração conforme ilustrado na fig 316 Esse motor deve operar na faixa de 100 a 1000 rpm e seu rotor possui um desbalanceamento representado pela força Fo 0 05ω2 onde Fo é expressa em N e ω é a rotação do motor em rads Considere os três tipos de absorvedores disponíveis apresentados na tabela 34 despreze qualquer efeito dissipativo e admita apenas o movimento vibratório na direção vertical18 a Determine as frequencias de ressonância do sistema correspondentes aos três tipos de absorve dores de vibrações apresentados obtendo os resultados em rpm 17Caso real ocorrido na Itaipu Binacional 18Questão tirada do Provão Eng Mec 2001 INEP 77 a Vista geral do conjunto b Detalhe da base Fig 315 Conjunto motobomba b Especifique o tipo de absorvedor que deve ser utilizado para atender a requisitos de montagem que limitam em 1 mm o deslocamento vibratório vertical máximo do motor Ex 39 Em um teste experimental se estimou uma função de resposta em frequência FRF com base no sinal de deslocamento Esta FRF é vista na fig 317 Estime a frequência natural e o fator de 78 Fig 316 Motor elétrico a ser instalado Tab 34 Constantes elásticas dos absorvedores de vibração disponíveis Tipo de Absovedor Constante elástica Nm A 200000 B 20000 C 445 amortecimento ξ que este sistema contém 0 5 10 15 80 70 60 50 40 Freqüencia Hz Compiância dB 0 5 10 15 4 3 2 1 0 Freqüencia Hz Phase rad Fig 317 FRF Compliância para um sistema com 1 grau de liberdade Ex 310 A fig 318 mostra o diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade obtido através de um teste experimental Com base neste gráfico estime o coeficiente de amortecimento viscoso equivalente c do sistema Ex 311 Considere um sinal de excitação Fn obtido experimentalmente que é composto por 5 amostras F0 05 F1 025 F2 03 F3 065 e F4 10 Quando este sinal de força é aplicado para excitar um sistema mecânico a resposta medida com um sensor de deslo camento é dada pelo sinal discreto xn também formado por 5 amostras x0 02 x1 03 79 01 Deeb deck de ed ec eno wet deeb eee eas O08 oe ERE eee ere ce oN oN ee eee EN 5 cf IN UU US psn ang p pn S Obhiiihiiietipbp peepee ep iipes Boar noah 2S cS 006 CEES EISSE CE EES SuSE oN 1 002 004 006 008 01 012 014 016 018 02 RealjoHjo Fig 318 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade x2 025 x3 07 e x4 01 Estes dois sinais sGo discretizados com uma taxa de amostra gem de F 100 Hz 100 amostras por segundo Com base nestas informacées pedese a Calcule a transformada discreta de Fourier Fw e Xw para os sinais Fn e xn com 5 amostras b Calcule a densidade espectral de poténcia Pxf e Prxf destes sinais c Estime as FRFs usando os estimadores Hi Hz e Hy d Calcule a funcdo de coeréncia desta estimativa e comente os resultados e Estime a IRF hn e confira os resultados a partir de xn hn Fn Ex 312 Uma estrutura de aco tem 20 m de altura 075 m de didmetro interno e 08 m de didmetro externo Determine a velocidade do fluxo de vento ao redor desta estrutura que induzird vibracdo transversal da chaminé na direcdo do fluxo de ar Dica frequencia natural fundamental da viga em balanco pode ser escrita como w 1875104EIpAl4 Ex 313 As duas primeiras frequencias naturais de uma antena de carro fig 319 sdo 30 Hz e 70 Hz Determine se a emissdo de vortices ao redor da antena ira causar instabilidade na faixa de velocidades de 100 a 120 kmhora do automovel Ex 314 O diagrama esquematico da fig 320 mostra uma turbina hidrdulica Francis Nesta turbina a dgua escoa de A passa pelas pds B e desce até a pista de descarga C O rotor tem uma massa de 250 kg e um desbalanceamento moe de 5 kgmm A folga radial entre o rotor e o estator é de 5 mm A turbina funciona na faixa de velocidade de 600 a 6000 RPM Podese admitir que o eixo de aco com modulo de elasticidade de 210 GPa suporta o rotor e esta fixo nos mancais Determine o didmetro do eixo de modo que o rotor fique sempre afastado do estator em todas as velocidades de operacdao da turbina Suponha que o amortecimento seja desprezivel 80 Fig 319 Antena de carro Fig 320 Turbina hidráulica Francis Ex 315 Um engenheiro júnior de um empresa automobilística se confunde no momento de salvar arquivos de identificação de dados de testes reais de vibração em vários componentes mecânicos e não lembra o que cada teste correspondia A figura 321 mostra o resultado gráfico destes testes grande parte mapeamento de pólos no plano complexo de Argand Com base nestas informações pedese Quais destes testes correspondem a um sistema instável Justifique O teste da fig 321a pode estar associado ao teste de qual figura Justifique O teste da fig 321d é mais amortecido do que o teste da fig3a Justifique Estime a freq natural do teste da fig 321a 81 Qual destes testes corresponde a um sistema nãooscilatório Justifique Estime a freq natural e o fator de amortecimento para o teste da fig 321b 07 06 05 04 03 02 01 0 80 60 40 20 0 20 40 60 80 00052 00075 0012 0025 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 00016 00007 00026 00036 00052 00075 0012 0025 00016 00007 00026 00036 PoleZero Map Real Axis Imaginary Axis a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 60 40 20 0 20 40 60 80 Impulse Response Time sec Amplitude b 0 01 02 03 04 05 06 07 80 60 40 20 0 20 40 60 80 PoleZero Map Real Axis Imaginary Axis c 120 100 80 60 40 20 0 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 PoleZero Map Real Axis Imaginary Axis d Fig 321 Conjunto de testes Ex 316 Um pequeno motor com 20 kg é montado em cima de um conjunto de 2 absorvedores em paralelo com rigidez k e amortecimento c cada um a Primeiramente foi realizado um teste dinâmico com o auxílio de um dinamômetro em cada ab sorvedor para determinação da rigidez k O resultado deste teste é apresentado na figura 322 Com base neste gráfico realize uma estimativa de k b Realizouse dois testes em regime permanente com o motor operando em duas rotações distintas Os resultados das amplitudes de vibração medidas são apresentados nas figuras 323 e 324 Realize uma estimativa do valor de cada amortecedor c c Proponha uma modificação tal que a amplitude máxima de vibração seja reduzida no mínimo em 30 nas duas rotações de operação do motor Justifique 82 002 0015 001 0005 0 0005 001 0015 002 600 400 200 0 200 400 600 Deslocamento m Amplitude N Fig 322 Força versus deslocamento medido em cada mola 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 002 0015 001 0005 0 0005 001 0015 002 Tempo s Amplitude m Fig 323 Deslocamento medido com 800 RPM 83 0 002 004 006 008 01 012 014 016 018 02 0015 001 0005 0 0005 001 0015 Tempo s Amplitude m Fig 324 Deslocamento medido com 1800 RPM 84 Capítulo 4 Isolamento de Vibrações Tipos de Amortecimento e Técnicas de Medição Mesmo uma máquina sendo montada em cima de uma base rígida projetada para apresentar ní veis adequados de vibrações a força transmitida da máquina para a base ou da base para o sistema pode ser elevada e isto pode causar problemas Nestes casos é necessário isolar o sistema Este capítulo visa apresentar alguns conceitos relacionados ao projeto de isoladores ativos e passivos de vibrações No decorrer deste capítulo também são discutidos tipos comuns de amortecimento usados para descrever sistemas mecânicos amortecimento de Coulomb histerético e proporcional Por fim são apresentados alguns equipamentos básicos utilizados para medir condicionar e analisar sinais de vibrações a partir de testes experimentais 41 Isolamento de Vibrações Isolar é interpor entre um sistema máquina e sua base elementos com características k e c bem definidas de maneira que as forças transmitidas do sistema para sua base e viceversa sejam as menores possíveis O isolamento pode ocorrer de duas maneiras primeiro isolar a base e conseqüen temente o meio das forças de vibração transmitidas pela máquina Em segundo isolar a máquina da vibração proveniente da base A seguir são apresentados alguns comentários sobre os dois tipo de isolamento e é apresentado o conceito de transmissibilidade absoluta 411 Isolamento ativo O isolamento ativo consiste em isolar a base das vibrações provenientes da máquina Para isto é necessário determinar as forças transmitidas pelos amortecedores e molas em regime permanente vistos na fig 41 As amplitudes das forças nas molas e amortecedores em regime permanente são dadas por Fmola kx kXpsen ωt φ 41 Famort c x cωXpcos ωt φ 42 É interessante observar que Fmola e Famort são ortogonais daí a amplitude total da força transmi tida Ftr pode ser calculada por 85 m J ft xt k Cc ftrt Fig 41 Exemplo de maquina montadas sobre uma base com isoladores F FY ola Fenort VV kKX cwXp kX 1 J 43 lembrando que r oo c 2mEwy e k mw temse que Fir kXpV1 2r44 A transmissibilidade absoluta T é portanto definida como sendo a razao entre as amplitudes das forcas transmitidas e de excitagao Fer Tr 45 Feve Relembrando do capitulo anterior que a amplitude da forga de excitagao pode ser calculada com base na amplitude de vibragéo em regime permanente FkX11 2ér 46 Substituindo as Eqs 46 e 44 na Eq 45 obtémse a transmissibilidade absoluta yb t 26r R 47 r 2r E importante observar que F TFn ou seja a forca de excitacdo é transmitida proporcional mente a transmissibilidade absoluta Tp Assim é desejavel que 0 valor de Tz seja o minimo possivel Na pratica devese definir qual a transmissibilidade Tp adequada para o sistema e com isto calcular qual a razao r que pode ser utilizada para se ter esta transmissibilidade A fig 42 mostra 0 valor de Tz em fungiio da razio r Onde observase que para valores r 2 representam Tp 1 o que significa que o que é transmitido a base é menor que a amplitude gerada 86 Esta faixa representa a faixa de isolamento Por outro lado para r 2 representa Tp 1 0 que representa a faixa de ampliacao 12 15 10 03 10 02 01 2005 8 g 6 4 FZ nN S ae EEE 0 05 1 15 2 25 3 Razao entre freqiéncias r Fig 42 Transmissibilidade Absoluta do sistema Exemplo 41 Uma maquina rotativa tem massa de 500 kg e um desbalanceamento moe 58 kgm Quando sao usados amortecedores com fator de amortecimento 02 especifique as molas para montagem tal que somente 10 da forca de desbalanceamento seja transmitida ao chao Determine também a intensidade da forca transmitida O ventilador gira a uma velocidade de 1000 rpm Solucao A rotacdo da maquina em rads é dada por 27 w 1000 x 607 1047 rads 48 A transmissibilidade Tp desejada é de 10 assim a razado r necessdria é calculada por V1 26r Tk 01 49 f 7 2r Resolvendo a equacdo acima chegasse ar 472 2 que corresponde a faixa de isolamento Apos o r calculado obtémse a frequéncia natural w necessdria 1047 Wn 172 2218 rads 410 Lembrando que a rigidez é dada por k mw temse que mola deve ter uma rigidez k 246198 Nm Por fim a intensidade da forca transmitida é Fry Tr 01 a Fy 01 Fee 01 moew 63604 N 411 87 412 Isolamento passivo O isolamento passivo por sua vez corresponde a isolar a excitagao da base para a maquina A fig 43 mostra um sistema com isolamento passivo hxc m k c ztxtyt V yt Fig 43 Exemplo de maquina como isolamento passivo Neste caso xt representa a vibragéo da maquina yt a vibragéo da base e zt a vibracao relativa zt at yt 412 Assim as forcgas nas molas e amortecedores sao dada por Finola kz kx y ka ky 413 Fumort CZ c y ck cy 414 A equaao do movimento para 0 sistema maquinabase é descrita por micakae cyt ky 415 onde assumese que a base tem um movimento do tipo harm6nico yt Y sen wt mé ct kx cwY cos wt kY sen wt 416 Assim a transmissibilidade absoluta 7p para este caso é dada por bt 26r 417 1 2r Exemplo 42 Um grupo motorventilador é montado sobre duas viga I de ago com EK 210 x 10Nm 2 metros de comprimento cada uma com momento de inércia I 27000 cm O grupo tem 7300 kg e massa e gira a 900 rpm a Suponto 005 qual a da forca de excitacado que é transmitida a estrutura que suporta as vigas b Interpondo entre a viga e o grupo em Série isoladores de molas helicoidais de rigidez total de 4000 kgfcm qual a reducdo da amplitude 88 Solucao a A rotacdo em rads pode ser calculada por 2 w 900 943 rads 418 A rigidez total das duas vigas em paralelo é obtida a partir de 48 ET 210 x 10 x 27 x 10 Kg 2x BET Lg CUO IE TAI 68 x 107 Nm 419 Uma vez a rigidez keg calculada podese obter a frequéncia natural w keq Wn 4 965 rads 420 m Conhecidas as frequéncias r 098 V2 que corresponde a uma faixa de ampliacao Por fim a transmissibilidade absoluta é dada por lt 2r Tz 951 421 1 r 2r que corresponde a um valor muito alto b Como a transmissibilidade é muito alta devese instalar molas como isoladores para diminuir Tr O primeiro ponto é calcular a rigidez equivalente entre a rigidez das duas vigas e das molas dos isoladores que estado em série Pat tg 377 x 10 422 eq 0 m keq 68107 4x 10 4 A nova frequéncia natural do sistema é entado calculada por Keq 377 x 106 ee Vim V 7300 meee 2 A razdo entre as frequéncias para esta configuracdo é dada por 943 414 V2 424 r 557 V2 424 A nova transmissibilidade é entdo dada por Vit 2ér I 0072 425 l 1 2r A amplitude de vibracdo em regime permanente antes de colocar os isoladores é dada por X 2 98 Ap OO 426 moe 1 2 2r 41 0982 2098 Depois de colocar as molas dos isoladores a amplitude de vibracdo em regime permanente deve ser descrita por X 2 414 WeNph 427 moe 1 12 2r 4 1 4142 2414 89 Assim a razdo entre as amplitudes antes e depois de colocar os isoladores é dada por Xp 256 X 012X 428 Xpi Com isto a reducdo conseguida na amplitude de vibracdo do sistema quando se aplica os isoladores é de 88 42 Tipos de Amortecimento Além do amortecimento do tipo viscoso existem varios outros modelos para simular 0 efeito de dissipagao de energia em sistemas vibratérios Os mais comuns sao 0 amortecimento de Coulomb amortecimento histerético e amortecimento estrutural Abaixo a descricéo detalhada de cada um deles 421 Amortecimento de Coulomb Uma aproximacao da resposta de um sistema com amortecimento de Coulomb excitado por uma forga harménica é obtido modelando o sistema usando amortecimento viscoso com uma razao de amortecimento equivalente calculada tal que o trabalho feito sobre um ciclo de movimento com amortecimento de Coulomb é 0 mesmo do trabalho feito pelo sistema com amortecimento viscoso com 0 coeficiente de amortecimento equivalente Assim 2L eq 429 beg 429 sendo r e Ps l 430 By 430 onde f a amplitude da forca de atrito Coulomb Fy jumg e Fo a amplitude da forga de excitagao O fator de ampliagaéo para este caso é calculado a partir de 1 M 4 431 r esta expressao valida para 7 Exemplo 43 Calcule a amplitude de vibragdo em regime permanente de um sistema massamola com amortecimento de Coulomb sabendo que é a massa é 100 kg a rigidez é 10 Nme js 008 e a forca de excitacado é F 300sen 40t Solucao A frequéncia natural ndoamortecida é dada por k Wn 14 316 rads 432 m A razdo entre as frequéncias é W AO r 127 433 Ww 316 90 Razdo entre as amplitudes das forcas de atrito e excitacdao F pat ED 9 962 434 Fo 300 Com isto o fator de ampliagado M é dado por 1 M 44y 1538 435 1r Lembrando que o fator M aa temse que FoM X 46 mm 436 422 Amortecimento histerético Evidéncias empiricas mostram que a energia dissipada em um ciclo do movimento devido ao amortecimento histerético é independente da frequéncia mas proporcional ao quadrado da ampli tude A resposta livre de um sistema com amortecimento histerético similar a de um sistema com amortecimento viscoso Um coeficiente de amortecimento histerético adimensional h é determinado do decremento logaritmico 6 0 h 437 1 Para um sistema forgado a razao de amortecimento viscoso equivalente é h eq 438 bea 5 438 que leva ao fator de ampliagao Xk 1 M ae 439 41 2 h2 ou ainda no caso de desbalanceamento de maquinas rotativas Xpm r A Pe 440 moe 1 12 he Exemplo 44 Uma bomba com 125 kg é instalada em cima de um suporte formado por uma viga engastalivre de aco com 08 m de comprimento e perf T com momento de inércia de area de 45 x 106 m Quando um teste de vibracées livre é feito a razdo de amplitudes em ciclos sucessivos é de 251 Determine a resposta da maquina ao desbalanceamento 025 kgm quando a bomba opera a 2000 rpm e o amortecimento é assumido ser histerético Solucao A rigidez equivalente do sistema para a condicdo de contorno dada é 3ET k 527 x 10 Nm 441 com isto podese calcular a frequéncia natural do sistema 91 k Wn 4 2053 rads 442 m e arazdo entre as frequéncias de excitacdo e natural Ww 22000 r 102 443 Wn 2053 O decremento logaritmico pode ser estimado pela informacdao dada sobre a razdo entre amplitudes de vibracdo em ciclos sucessivos x 25 5InIn 0916 444 Xo 1 Portanto o coeficiente de amortecimento histerético é 6 h0292 445 7 Por fim a amplitude em regime permanente é dada por moe r Xp 706 mm 446 d ry h 423 Amortecimento proporcional O amortecimento proporcional é um tipo comum de amortecimento usado para modelar sistemas na pratica e de uma forma empirica A idéia é assumir que 0 amortecimento é proporcional ao parametro de rigidez equivalente e massa do sistema cam bk 447 sendo a e 3 duas constantes obtidas no geral a partir de testes experimentais e usando técnicas de ajuste de modelos e otimizagao Deve ficar claro que este mecanismo de amortecimento é usado apenas para ajustar melhor respostas experimentais e tedricas simuladas e nao significa que 0 meca nismo real de amortecimento tem esta caracteristica fisicamente falando Este tipo de amortecimento é muito empregado em softwares de elementos finitos comerciais para modelar amortecimento em estruturas complexas uma vez que nao existem modelos de elementos FEM para amortecimento O fator de amortecimento para sistemas com amortecimento proporcional é escrito em fungao das constantes a e 3 1 c ow 2 448 2 Wn Além disto devese destacar que em sistemas com miultiplos graus de liberdade o problema de autovalor e autovetor em sistemas com amortecimento proporcional sao idénticos a problemas com amortecimento viscoso 0 que simplifica bastante o problema em simula6es 92 43 Técnicas de Medição A mediação de vibrações ocupa um lugar de destaque em diversas áreas e aplicações Portanto o emprego de técnicas adequadas que garantam uma correta análise é de fundamental importância Esta seção tem como propósito fornecer algumas informações básicas sobre qual o hardware necessário para medição de sinais de vibração Em primeiro lugar deve ficar claro ao estudante que existem duas formas de se medir sinais de vibrações Medidas somente de resposta em máquinas operando em condições de trabalho onde no geral se desconhece exatamente quais são os sinais de entrada que excitam o sistema máquina Medidas realizadas em ambiente de laboratório onde o sinal de excitação é simulado a partir de um excitador O primeiro tipo de medição é mais usado em aplicações de manutenção preditiva por análise de vibrações ou ainda em análise modal operacional Já o segundo tipo de medição é empregado comumente em análise modal experimental análise dinâmica visando modificação estrutural testes de produtos e protótipos etc A seguir se apresenta uma descrição mais detalhada do instrumental de cada caso 431 Medição em campo A medição em campo significa obter as respostas de vibração através de sensores diversos1 quando a máquina ou o sistema se encontra operando em condições reais de trabalho Nestas con dições normalmente a força de excitação é desconhecida exatamente2 Neste caso podese medir os sinais usando os chamados coletores comerciais de grandes fabricantes Estes coletores são compos tos por um sistema de aquisição com conversor AD filtro antialiasing analógico condicionador de sinais e sensor acoplado tudo no mesmo sistema Alguns modelos têm inclusive softwares analisado res de sinais sendo possível dar algum diagnóstico e informação prévia sem necessitar descarregar em algum computador Outro tipo comum de medição pode ser feita agrupando todos os elementos acima em hardwares separados por exemplo ter um sensor um condicionador um filtro antialiasing analógico uma placa AD um sistema de aquisição de sinais e um computador para análise dos da dos O uso de condicionadores de sinais é obrigatório pois o sinal analógico de vibração é convertido em grandeza elétrica pelos sensores transdutores No geral a intensidade deste sinal é muito baixa sendo necessária amplificar e condicionar este sinal Este procedimento é realizado pelo aparelho condicionador de sinais O filtro antialiasing é necessário para limitar o sinal até uma frequência máxima para poder amostralo em uma taxa correta e evitar os problemas nocivos de aliasing A placa de conversão AD discretiza o sinal tanto em frequência quanto em amplitude dividindo pelo número de bits do conversor Assim se uma placa de aquisição tem 12 bits isto significa que em amplitude ocorrerá uma divisão em 212 níveis de tensão quantizadas número de quantas Após o sinal digitalizado este pode ser analisado em algum software específico em um computador para se dar algum diagnóstico Destacase que todo o hardware empregado em medições deve estar previamente calibrado 1sensores de proximidade acelerômetros etc 2Deve ficar claro ao estudante que a natureza da excitação pode ser muito bem conhecida agora o valor exato deste sinal não 93 432 Medicao em laboratoério A medicao em laboratoério se caracteriza por ser realizada em um ambiente controlado Além de toda a instrumentacao discutida anteriormente ser usada podese empregar também um gerador de sinais analdgicos ou mesmo digital com um conversor DA um amplificador de poténcia e um excitador que pode ser eletrodinaémico tipo mais comum magnético hidraulico piezoceramico muito usado em controle ativo de vibrag6es em estruturas inteligentes etc Acoplado ao excitador é comum se empregar um sensor de forga composto por uma célula de carga A saida desta célula de carga pode estar acoplada a um sistema de aquisigao de dados Neste caso especifico o sinal de excitagéo seria medido Portanto poderfamos estimar FRFS IRFs de sistemas mecanicos em laborat6rio e extrair pardmetros modais Os principais fabricantes mundiais de softwares sensores placas de aquisigaéo de dados para vibracao etc sto BK LMS PCB National Instruments LabView dentre outros 433 Transdutores para medicao de vibracdes Quando se emprega um transdutor para medir vibragdes o que estamos fazendo é medir o deslo camento relativo entre duas coordenadas generalizadas Considere a medida de movimento relativo zt do sistema da fig 43 Sabese que 27 ye mi Fnola Famort 449 mr ka ky ct cy 450 mzczkzmy 451 Lembrando que os sinais podem ser assumidos do tipo harmG6nico yt Y sen wt 452 yt Ywsen wt 453 Assim a Eq 451 pode ser escrita como mzicikz mYwsen wt 454 Entao Fksen wt yt Laser wt 0 455 r 2r 2 tano er 456 1r e mywsen wt zt mywisen wt 9 457 ky 1 1 2r Assim a razao entre as duas amplitudes z e y é dada por 94 2 Zz r 458 2 2 Var Q6r Existem dois tipos de transdutores instrumentos com baixa frequéncia natural e alta frequéncia natural Em transdutores com baixa frequéncia natural témse que 1 ou seja que a frequéncia da maquina ou sistema a ser medida é muito maior do que a frequéncia natural do transdutor Um exemplo de sensor deste tipo sao os vibrometros e sismémetros Nesta situagao a Eq 458 fica Zz RlsSzRry 459 y sendo y a amplitude a ser medida e z a amplitude fornecida pelo instrumento de medicao No outro tipo com alta frequéncia natural o mais comum é 0 emprego de acelerOmetros Um acelerOmetro basicamente é composto de uma pequena massa sobre uma base com dois cristais pie zelétricos um acoplado na massa e o segundo acoplado na base O movimento relativo entre estes cristais convertido em tensao elétrica que é enviada a um condicionador de sinais por cabos e pos teriormente para um sistema de aquisiAo Exemplo 45 Um transdutor com w 1 Hz é usado para medir uma vibracdo de w 4 Hz A amplitude indicada pelo transdutor é de 13 mm qual a amplitude correta 0 Solucao Primeiramente calculamos a razdo entre frequéncias Ww 4 460 Wn 1 O que significa que o transdutor tem alta frequéncia natural assim z 13 r y 122 mm 461 yoy lr 44 Exercicios 3 Ex 41 Qual é a maxima rigidez de um isolador ndéoamortecido para se ter 81 de isolagdo em um ventilador industrial com 200 kg operando com 1000 RPM Ex 42 Uma mdquina rotativa com 150 kg opera com velocidade angular de 1200 RPM e tem um desbalanceamento medido experimentalmente em um plano como sendo 045 kgm Qual é a maxima rigidez de um isolador ndoamortecido tal que a forca transmitida para a fundacdo da maquina seja menor do que 2000 N Ex 43 Um turbina com 100 kg opera com 2000 RPM Qual a porcentagem de isolamento alcancada se a turbina é montada em cima de quatro molas idénticas em paralelo com 3 x 10 Nm cada mola Ex 44 Um isolador com razdo de amortecimento é montado para alcancar uma transmissibili dade T 1 Deduza uma expressdo em termos de e T para a menor razdo de frequéncia para se alcancar um isolamento apropriado 3Parte dos exercicios foram adaptados livremente de livros citados nas referéncias bibliograficas desta apostila 95 Ex 45 Uma máquina rotativa com 150 kg opera com velocidade angular de 1200 RPM e tem um desbalanceamento medido experimentalmente em um plano como sendo 045 kgm Projete um isola dor com k e ξ tal que a máxima amplitude seja 3 mm e a máxima força transmitida para a base seja 3000 N Ex 46 Um turbina com 200 kg opera com uma velocidade angular entre 1000 e 2000 RPM A turbina tem um desbalanceamento em torno de 025 kgm Qual é a rigidez exigida de um isolador nãoamortecido tal que a máxima força transmitida da turbina para a fundação seja 1000 N Ex 47 Repita o exercício anterior mas considerando um isolador amortecido com ξ 01 Verifique se as exigências de operação seriam satisfeitas caso a máquina opere com velocidade angular entre 1000 e 2500 96 Capítulo 5 Sistemas Mecânicos com Múltiplos Graus de Liberdade Inúmeros sistemas mecânicos são descritos apenas como tendo um grau de liberdade Porém em muitas situações de análise esta simplificação não se torna válida Por exemplo imagine que você queira descrever o comportamento vibratório de um capo de um carro quando este sofre excitação do ruído proveniente do motor Neste exemplo pode ser muito difícil analisar totalmente o comporta mento dinâmico do sistema assumindo apenas um grau de liberdade Sendo assim tornase necessário empregar um modelo de sistema mecânico com múltiplos graus de liberdade MDOF1 Ao se modelar um sistema como sendo MDOF em vez de termos apenas uma frequência natural e um fator de amortecimento iremos trabalhar com várias frequências naturais e fatores de amorteci mento No caso de vibrações livres o sistema vibra como uma combinação de todas estas frequências naturais e não apenas em uma como no caso de sistema com 1 dof estudado nos capítulos anterio res Além destes fatos outra variável extremamente importante irá aparecer os modos de vibrar ou formas modais de uma estrutura Cada modo é associado diretamente com sua respectiva frequência natural e fator de amortecimento Esta capítulo introduz todos estes conceitos básicos Inicialmente é apresentado um método efe tivo para obtenção de equações do movimento de sistemas MDOF usando as equações de Lagrange Este método evita ter que construir um diagrama de corpo livre para cada elemento parte de um sistema Na seqüência se apresenta a solução via modos normais também conhecida com análise modal analítica Esta parte está dividida aqui em dois casos primeiro o caso de vibrações livres sem ou com amortecimento proporcional e depois o caso de vibrações forçadas Exemplos de aplicação são solucionados no decorrer do capítulo Por fim é introduzido ao estudante conceitos básicos de análise modal à partir de dados experimentais Este tópico é ilustrado através de um exemplo mos trando todos os passos envolvidos na extração dos parâmetros modais usando uma técnica clássica no domínio da frequência 51 Equações de Lagrange A fig 51 mostra um exemplo de sistema MDOF Neste caso a equação do movimento vai ser descrita por um sistema de equações diferenciais do tipo Mx C x Kx F 51 1Do inglês Multiple degrees of freedom 97 sendo M C e K as matrizes de massa rigidez e amortecimento do sistema x v1 Xn o vetor deslocamento em cada coordenada generalizada e F o vetor correspon dente as forgas que excitam o sistema quais dofs sao excitados A questao é Como obter as matrizes M C K Uma forma efetiva é a aplicagao das equacgées de Lagrange xtt 2t xnt ki k2 mi m2 mn cl c2 Fig 51 Exemplo de sistema com multiplos graus de liberdade Para obter as equacdes de Lagrange é necessario primeiro se obter as equagGes para descrever a energia cinética T 11 2p412p e potencial V 21 22 Ln 1 1 T mh I 0 52 2 2 1 sendo x a velocidade na 2 coordenada generaliza J o momento de inércia de massa do 7 corpo m a massa do corpo 2 k a rigidez do corpo 7 e 6 a velocidade angular em rads no caso de um corpo rigido Também podese calcular os termos de energia que sao essencialmente dissipadas A energia dissipativa no caso de amortecimento viscoso é dada por 1 Eg cx 54 2 Podese agora definir o Lagrangiano L como LTV 55 Entao a equacao de Lagrange por ser obtida pela expressao geral d OL OL Q i12n 56 dt Ox Ox Qi 7 Englobando o termo dissipativo e expandindo podese obter a equacao de Lagrange para o caso geral d OT OT OV Oka Q 19 57 dt Ox Ox Ox Ox Coordenadas generalizadas representam as coordenadas referentes a determinacao do nimero de dofs do sistema 98 sendo Q a forga externa aplicada na 7 coordenada do sistema A partir da Eq 57 possivel descrever a equagao do movimento de um sistema MDOF sem precisar realizar um diagrama de corpo livre de cada termo do sistema Com isto podese obter a matriz de massa M amortecimento C e rigidez K do sistema de interesse A seguir um exemplo explica melhor como proceder isto Exemplo 51 Obtenha a equacdo do movimento para o sistema da fig 52 usando as equacées de Lagrange Assuma que uma forca Ft atua na massa m xtt x2t k1 k2 k3 mi m2 cl c2 c3 Fig 52 Exemplo de sistema com miultiplos graus de liberdade Solucao A primeira coisa a fazer é calcular os termos de energia cinética T e poténcial V para este sistema Assim 1 oo 1 oy T 1 2 gimty gmat 58 14 1 sg V 4122 ght ah a1 X2 ahs 59 O termo de energia dissipativa Eq para este sistema pode ser calculado como 1 2 1 2 1 2 Fu 1 2 gO 9 x1 2 9 32 510 O termo Q para descrever os esforcos externos neste caso é F pois apenas uma forca age na massa m Assim a equacdo de Lagrange Eq 57 pode ser aplicada para as duas coordenadas x e x2 a Equacdo de Lagrange aplicada a coordenada x d oT OT OV OE 444 F 511 dt onal Ox Ox Ox Com base nos valores de T V e Eq e apos solucionar a expressdo acima a gente pode chegar na equacdo do movimento para esta coordenada mM X41 cy C2 Ly Coo ky kz v1 kot Fi 512 99 b Equacdo de Lagrange aplicada a coordenada x3 d 0T OT OV OE 49 513 dt Ox Ox Ox OX Com base nos valores de T V e Eq e apos solucionar a expressdo acima a gente pode chegar na equacdo do movimento para esta coordenada Moko co C3 L C21 ke k3 v2 kor 0 514 A equacdao final do movimento é dada por um conjunto de duas equacées diferenciais acopladas que podem ser escritas na forma matricial Mx Cx Kx F 515 sendo o vetor deslocamento J 71 x t 516 o vetor forca Fe Fy 517 0 a matriz de massa M my 0 m 0 mf 518 a matriz de amortecimento viscoso C Cy C2 C2 C 519 C2 Cg C3 e a matriz de rigidez K ky tky kp K 520 hey ky hy 520 Note no exemplo acima que a solucao via um diagrama de corpo livre daria o mesmo resultado porém terfamos que isolar os dois corpos e colocar todas os esforgos internos e externos aplicar a lei de acdo e reagdo e a segunda lei de Newton para cada massa para ai entao realizar a montagem do sistema de equacoes diferenciais final 52 Soluco via modos normais analise modal analitica Agora que vimos uma forma de obter a equacao do movimento de um sistema MDOF devemos resolver este conjunto de EDOs Uma questao que deve ficar clara de antemao é que o sistema representado pela Eq 51 corresponde a um sistema acoplado de equag6es o que pode dificultar determinadas andlises além de nao podermos fazer uma generalizacao direta com sistemas mais simples de um grau de liberdade Nestes casos a transformacgao do sistema para uma outra base de coordenadas pode ser muito Util Dentre as varias coordenadas a do tipo modal ocupa um lugar de 100 destaque em dindmica estrutural Este t6pico é muitas vezes referenciado na literatura como anidlise modal analitica Nas préximas subsec6es iremos apresentar como tratar um problema de vibrag6es livres e forcadas como base nos parametros modais 521 Vibracoes livres sistema sem amortecimento Considere que um sistema descrito pela Eq 51 possui amortecimento nulo C 0 e nao possui excitagdo externa alguma F 0 Assim a equagao do movimento se reduz ao seguinte Mx Kx 0 521 Uma forma de solucionar este problema é propor uma solucao do tipo x Bel 522 Sendo o vetor formado por amplitudes que indicam quais as formas modais do problema Substituindo a Eq 522 dentro da Eq 521 obtémse wMe Ke 0 523 que apoés uma simples manipulacao tornase el 1K wM 6 0 524 uma vez que e 0 temos o seguinte problema a solucionar K wM 0 525 A Eq 525 representa um problema classico de autovalor e autovetor Este problema também pode ser descrito como MK AI 6 0 526 sendo I matriz idéntidade de ordem n x n sendo n o numero de graus de liberdade empregados e w Agora o problema de autovalor e autovetor pode ser escrito em uma forma padrao MK 527 A 528 sendo A M7K Os autovalores so dados por w e neste caso sdo relacionados di retamente as frequéncias naturais dos sistemas Os autovetores sao dados por e representam os modos de vibrar ou formas modais e nada mais séo do que uma razao de amplitudes A solugao do problema de autovalor e autovetor pode ser feita via inimeros métodos numéricos por exemplo o método de Choleski porém aqui sera resolvido de forma classica a partir do célculo do determinante Assim det MK AI 0 529 ou ainda a partir de 3frequéncia naturais fatores de amortecimento e modos de vibrar 4Consulte o help do comando Matlabr eig para maiores informagées 101 det K wM 0 530 O problema de autovalor leva 4 uma equacdo algébrica em w Como os coeficientes M e K sao normalmente reais e simétricos teremos n raizes reais o que implicara em n frequéncias naturais Se o sistema for estavel K é definida positiva e as raizes sAo positivas Um sistema naorestringido apresentara modos de corpo rigido correspondendo a frequéncias naturais nulas Importante constatar que os modos de vibrar representam uma base ortogonal no espacgo Assim a matriz modal apresenta as seguintes propriedades para i j T M 0 531 T K 0 532 533 sendo 0 7ésimo modo associado com a iésima frequéncia natural w e o jésimo modo associado com a jésima frequéncia natural w Assim T M 1 534 T 2 K w 535 Neste caso os modos sao normalizados em relagao a matriz massa 0 que implica que a matriz modal é ortonormal A matriz modal contém as formas de vibrar quando o sistema é excitado na primeira frequéncia natural w 2 quando o sistema é excitado na segunda frequéncia natural Wn2 assim por diante assim esta matriz é dada por 66 8 6 536 Um vez calculados os modos de vibrar e as frequéncia naturais podese substituir estes valores na solucao proposta Eq 522 e obter a solucdo da resposta de vibracgao do sistema se conhecendo as condig6es iniciais x0 O sistema mecanico de MDOF de coordenadas fisicas também pode ser convertido em coorde nadas modais através da transformacao da base fisica para a base modal representada pela matriz modal tal que x q 537 sendo q o vetor deslocamento em coordenadas modais Substituindo a Eq 537 dentro da Eq 521 e prémultiplicando por 7 temse Meq 6Kbq 0 538 Assumindo que a matriz modal é normalizada em relagdo a matriz de massa M e com a pro priedade de ortonormalidade Me I 539 KS 2 540 Na maioria das vezes é necessdrio normalizar a matriz para se ter esta propriedade 102 sendo Q diagw w3w Aplicando o resultado acima dentro da Eq 538 chegase a equacao para o sistema MDOF livre e sem amortecimento escrita em uma base modal que é dada por q Qq0 541 Note que a equacao acima significa que o sistema de equacoes diferenciais ordinarias representado pela Eq 521 é totalmente desacoplado em varios sistemas de dof caso se resolva escrevelo em coordenadas modais Exemplo 52 Para o sistema mecdnico da fig 52 considere que os termos de amortecimento vis COSO SGO Cy C2 C3 0 ky ko kg ke my mq m Calcule as frequéncia naturais e os modos de vibrar deste sistema Solucao Como jd visto anteriormente para este sistema simples a matriz de massa é dada por m 0 M 542 fm o sa e a matriz de rigidez por 2k k K 543 k 2k Para se calcular as frequéncia naturais e os modos de vibrar deste sistema devese resolver o pro blema de autovalor frequéncia naturais e autovetor modos de vibrar associado com as matrizes de massa e rigidez Assim det K AM 0 544 sendo w Efetuando estes cdlculo 2k Am k det 0 545 k 2k Am 645 O que conduz a seguinte equacdo caracteristica det K M 2k Am k 0 546 Expandindo este termo chegase a seguinte expressdo k k 4 3 0 547 m m Resolvendo esta simples equagdo de segunda ordem encontrase os valores de 12 Lembrando que Ai2 Wri encontramse os valores das frequéncia naturais do sistema k Wn 1 frequéncia natural 548 m 3k a Wn24 2 frequéncia natural 549 m Qu seja caso representeo em outra base ortogonal ou ortonormal no caso especifico da matriz modal estar norma lizada com relagdo a matriz de massa do sistemas 103 Agora resta calcular os autovetores do sistema associados as formas de vibrar deste sistema simples de 2 ordem Cada frequéncia natural autovalor esta associada a um modo de vibrar autovetor Assim temos duas situacoées distintas 1 Modo de vibrar associado a 1 frequéncia natural Caso se substitua wy Vé dentro da Eq 525 obtémse kik k D1 A Aft og 50 sendo que o 1 modo de vibrar é definido como um vetor 1 1 sendo que 1 e Pa sao os valores das amplitudes nas coordenadas generalizadas 1 e 2 respectivamente A solucdo do problema de autovetor fornece apenas uma razdo entre as amplitudes e 2 Solucionando o sistema linear acima chegase que Oi 1 551 Doi Portanto os autovetores ndo sdo tinicos uma vez que se pode propor infinitos vetores e Bz que satisfazem as Eqs 550 e 551 Uma solucdo é propor que o primeiro modo de vibrar é dado por 1 1 552 Os valores de 1 e g terem o mesmo sinal significa dizer que no 1 modo de vibrar as massas vao oscilar em completa fase e com a mesma intensidade Note que outra solucdo seria 05 1 05 553 e infinitas outras 2 Modo de vibrar associado a 2 frequéncia natural Caso se substitua wy 3k dentro da Eq 525 obtémse k k Do f A FY og 330 sendo que o 2 modo de vibrar é definido como um vetor 2 Boo sendo que Py e Poo sao os valores das amplitudes nas coordenadas generalizadas 1 e 2 respectivamente A solucdo do problema de autovetor fornece apenas uma razdo entre as amplitudes 2 e 22 Solucionando o sistema linear acima chegase que Oi 1 555 Do Portanto os autovetores nao sdo uinicos uma vez que se pode propor infinitos vetores e B21 que satisfazem as Eqs 554 e 555 Uma solucdo é propor que que o segundo modo de vibrar é dado por 1 4 556 104 Agora repita o problema anterior e encontre uma matriz modal que seja normalizada com relagao a matriz de massa M Também é interessante solucionar o problema anterior usando algum pacote computacional por exemplo 0 Matlab O comando Matlab para calcular 0 problema de auto valor e autovetor é a rotina eig 522 Vibracoes livres sistema com amortecimento proporcional Considere agora que um sistema mecanico sem excitagao tenha o seu movimento vibratério des crito pela seguinte equacao diferencial Mx CxKx0 557 sendo C a matriz de amortecimento assumida ser do tipo proporcional a matriz de massa e rigidez CaM 6K 558 sendo a e 7 constantes determinadas a partir de métodos especificos de ajuste de modelos Neste exemplo o problema de autovalor e autovetor associado a solucao da Eq 557 ira envolver solugdes que serao complexas Assim as raizes da equacao caracteristica associada ira envolver pares de pdélos complexos conjugados para cada modo de vibrar do sistema Aj EiWni E JWni 1 559 sendo 7 12n nm o nimero de modos do sistema o fator de amortecimento modal associado ao 7ésimo modo de vibrar e w a 7ésima frequéncia natural do sistema Para 0 caso particular de amortecimento do tipo proporcional os fatores de amortecimento modal podem ser aproximados pela seguinte equacao 1 B G5 cu 560 2 Wni Para solucionar 0 problema de autovalor e autovetor de um sistema com amortecimento do tipo proporcional é interessante reescrever a Eq 557 de uma forma mais conveniente A principal diferenga neste caso é que os autovalores e autovetores sao complexos ou seja os autovalores estao relacionados diretamente aos fatores de amortecimento e frequéncia natural para cada modo e os autovetores aos modos de vibrar que neste caso por serem complexos devem ser descritos por uma amplitude e uma fase 0 que significa dizer que os modos de vibrar apresentam uma fase na mesma coordenada Isto tudo é induzido pela presenga de amortecimento no sistema Deve ficar claro que é muito comum se desconsiderar 0 efeito do amortecimento no calculo de modos de vibrar e frequéncias naturais caso a estrutura seja levemente amortecida e o fator de amortecimento possa ser aproximado a zero 0 que significa dizer que os pdlos do sistema estéo muito proximos do eixo imaginario A seguir se discute duas formas padrao muito usadas para solucao do problema de autovalor e autovetor de um sistema com amortecimento proporcional Forma 1 Em vez de solucionar 0 problema de autovalor e autovetor do sistema com amortecimento pro porcional a partir da Eq 557 é conveniente escrever a equagao do movimento dobrando o nimero de equacg6es e diminuindo uma ordem assim TAssumindo 0 caso de sistema subamortecido em todos os modos 0 1 105 My Ky 0 561 sendo ard 0M M 562 luc 562 o M 0 K 563 Lo x 563 matrizes simétricas com ordem 2n x 2n e y o vetor de estados definido como x 564 y x 564 A solucgao da equacao neste caso caso é dada por yWe 565 sendo A os 2n autovalores e W a matriz modal com ordem 2n x 2n determinados da solugdo do problema de autovalor e autovetor envolvendo as matrizes M e K Assim como 0 caso anterior sem amortecimento neste caso a matriz modal W satisfaz a relagao de ortogonalidade wMvwv 0 iFxj 566 Forma 2 Uma segunda forma de resolver o problema de autovalor e autovetor em um problema com vibrag6es forgadas é descrever a equacdo do movimento a partir da realizagao no espaco de estados Assim isolando o vetor de aceleragao x dentro da Eq 557 obtémse xx 567 x M7Kx M7Cx 568 Definindo o vetor de estados como sendo x Z 569 ix 569 Podese entao chegar a realizacgao no espaco de estados da equacao de movimento do sistema para o caso de vibracgoes livres z Az 570 sendo A a matriz dinamica dinamica do sistema fungdo das matrizes de massa M amortecimento proporcional C e rigidez K e dada por 0 I A 571 MK MC 371 sendo I a matriz identidade com ordem n x n As frequéncias naturais modos de vibrar e fatores de amortecimento modal sao extraidos diretamente do conhecimento da matriz dinadmica A a partir da solucdo do problema de autovalor e autovetor Este problema pode ser resolvido com 0 Matlab com 0 auxilios dos comandos eig ou damp 106 det A XI 0 572 que conduz ao seguinte resultado AW Wv 573 Exemplo 53 Considere o sistema mecdnico da fig 52 comm Mz 1 kg cy co cz 20 Nsm e ky kp kz 1500 Nm Pedese o cdlculo das frequéncias naturais wW dos fatores de amortecimento modal e dos modos de vibrar do sistema Solucao As matrizes de massa amortecimento e rigidez sao dadas por 1 0 M 041 574 40 20 C 90 40 575 3000 1500 K 1500 3000 76 Escrevendo as matrizes auxiliares através da Eq 561 temse 00 1 0 0M 00 O 1 My 10 40 20 O77 0 1 20 40 l1 0 10 0 M 0O O 1 0 0 K 0 K 0 0 3000 1500 578 0 0 1500 3000 sendo o vetor de estados neste caso X1 y x 579 XQ O problema de autovalor e autovetor é entdo solucionado por det MK 1 0 580 Assim 40X 20 3000 1500 20 40A 1500 3000 det 1 0 0 0 581 0 1 0 que apos solucionar leva aos seguintes autovalores 107 Ay 104 3747 582 Ag 10 3747 583 A3 30 607 584 Ag 30 607 585 Agora é facil constatar que os pardmetros modais neste sistema sao Wn 387 rads 0258 586 Wn2 671 rads 0447 587 A fig53 mostra o mapeamento dos pélos deste sistema mecdnico no plano s Pole Map 60 044 032 023 016 01 00560 06 50 40 40 30 0 084 20 x 10 e 10 E 20 084 20 30 40 40 06 50 60 044 032 023 016 01 0080 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Real Axis Fig 53 Mapeamento dos pdlos do sistema no plano complexo Os autovalores W calculados através da Eq 573 sao dados por v Vv YW WwW WY 588 sendo 0707 0707 v 60047 0017 689 00047 0017 0707 0707 Y 90047 0017 590 00047 00177 108 0707 0707 Ys 1 90047 00093 691 00047 00097 07070 0707 Ba 99047 00097 92 00047 00097 E importante notar que neste caso a matriz modal YW é complexa o que significa que os modos de vibrar possuem modulo e fase Também é interessante observar que a matriz modal apresenta razdo tanto entre amplitudes de deslocamento como entre as amplitudes de velocidade dai sua ordem ser 2n x 2n endo n xX n como no caso da matriz Agora repita o exemplo anterior porém resolvendo através da matriz dindmica A 53 Vibracdes forcadas O caso de vibragées forgcadas em sistemas com multiplos graus de liberdade considera solucionar o problema dado pela Eq 51 que é repetida a seguir Mx Cx Kx F 593 sendo F o vetor de forga de excitagéo que pode ser harm6nica ou em um caso mais geral pu ramente aleatéria Podese solucionar esta equacao de varias formas possiveis Uma forma seria resolver numericamente usando alguma técnica de solugdo para resolucao de sistemas de equagdes diferenciais ordindarias e lineares como a familia de algoritmos RungeKutta ou o Algoritmo de New mark Esta abordagem ndo sera estudada neste curso Uma segunda abordagem é empregar 0 uso de transformadas tanto a de Laplace quanto a de Fourier Inicialmente vamos aplicar a transformada Laplace na Eq 593 assumindo condi6es iniciais nulas dos vetores de deslocamento x0 e velocidade x0 Assim as transformadas de Laplace dos vetores de resposta x e forga F sao dadas por Xs xt 594 Fs Ft 595 Substituindo as express6es anteriores na Eq 593 obtémse a equacgao do movimento escrita em fungao da variavel de Laplace s Ms Cs K Xs Fs 596 A equacao anterior pode ser escrita como ZsXs Fs 597 sendo Zs a matriz de impedancia mecanica também conhecida como matriz de rigidez dina mica 109 Zs Ms Cs K 598 A solugao do sistema pode ser obtida invertendose a matriz de impedancia Zs Xs ZsFs 599 A inversa da matriz de impedancia é chamada de matriz de receptancia ou compliancia do sistema Hs Zs7 5100 Uma vez obtido Xs aplicase a transformada inversa de Laplace obtendo assim a resposta do sistema no dominio temporal Exemplo 54 Considere o sistema mecdnico com dois graus de liberdade mostrado na fig 54 Considere quem 1 Mz 2 ky ky 100 Nm c 2 Nsm as condicées iniciais sejam nulas e a excitacado na massa I seja F Fosenwt sendo a frequéncia de excitacaGo w 10 rads Ft x1t 2b k1 k2 mi m2 cl Fig 54 Exemplo de sistema com dois graus de liberdade com forga de excitagéo harmGnica Solucao Para este exemplo as matrizes de massa rigidez e amortecimento sdo dadas por 1 0 M F 9 5101 2 0 C rr 0 5102 200 100 K 100 100 5103 Efetuando a montagem da matriz de impeddncia mecanica Zs do sistema obtémse s2s200 100 Zs 100 2s 100 6104 Entdo a relacdo entradasaida pode ser escrita no dominio s como s2s200 100 X1s Fs 100 2s 100 Xos f 0 5105 110 Através da inversdo da matriz de impeddncia Zs chegase a matriz de receptancia do sistema 1 s 50 50 1 wl Hs 2s 5 50 4 s 2s 200 106 sendo Ds a equacdGo caracteristica do sistema fornecendo as frequéncias naturais e os fatores de amortecimento do sistema Ds s 2s 250s 100s 5000 5107 A transformada de Laplace do sinal de forca aplicada é dada por 10Fo Fs 5108 O passo final é aplicar a transformada de Laplace inversa a partir da expansdo em fracées parciais de Xs obtendo assim xt A fig 55 mostra a resposta obtida quando se emprega Fy 10 N de amplitude na forca de excitacdo na frequéncia w 10 rads 01 015 005 01 E 005 se S 0 005 005 01 01 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 Tempo s Tempo s 1 1 mw 05 mw 05 E E S 0 S 0 x x 05 05 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 Tempo s Tempo s Fig 55 Respostas do sistema mecAnica para o sinal de excitagéo Ft aplicado na massa 1 E interessante observar que a Eq 597 pode ser escrita no dominio da frequéncia a partir do mapeamento de s jw assim ZjwXjw Fjw 5109 Neste caso a matriz de funao de resposta em frequéncia FRF é dada por Hw Zwt 5110 111 Assim existem duas formas basicas para se obter a matriz de FRFs A primeira é a partir do conhecimento da matriz de rigidez dinadmica Zw que basicamente significa obter as FRFs com o conhecimento das matrizes estruturais que definem o seu sistema matrizes de massa M amorteci mento proporcional C e rigidez K Neste caso se obtermos os autovalores e autovetores diretamente destas matrizes se estara trabalhando dentro do contexto de andalise modal analitica Uma segunda abordagem é estimar a matriz de FRFs Hw a partir do conhecimento dos sinais de resposta e ex citagao e utilizar conceitos de andlise espectral como estimadores H Hz ou H e o emprego da funcgao de coeréncia do sistema Estes t6picos foram introduzidos aos estudantes no final do capitulo 3 desta apostila Neste caso se os autovalores e autovetores sao extraidos a partir do conhecimento do sinal nao paramétrico da matriz de FRFs estaremos empregando ferramentas de anadlise modal experimental No caso de um sistema com dois graus de liberdade a matriz de FRFs receptancia no caso de se medir o sinal de deslocamento é composta pela combinagao de dois sinais de entrada e dois sinais de resposta assim Hw sendo 7 0 ponto em que é feita a medida e j 0 ponto onde o sistema é medido No caso de dois graus de liberdade temse Hw Huw Halu 5111 Ho1w Ho2w Observe que a situacéo quando o ponto de excitagao é igual ao ponto que é medido indica que i j Esta condicdo é chamada de drive point E muito comum se excitar e medir no mesmo ponto para se verificar a existéncia de frequéncias de antiressonancias Antiressonancia é uma frequéncia localizada entre duas frequéncias naturais onde 0 movimento osciliatério anulado Se excitase e medese no mesmo ponto deve existir antiressonancia entre todas as frequéncias naturais Outra propriedade interessante diz respeito a reciprocidade de Maxwell que significa que Ay2w Ho1w 5112 ou seja a propriedade de linearidade é valida Caso a constatagao acima nao seja possivel sig nifica que o sistema nao responde de forma linear e portanto as ferramentas de andlise modal como apresentadas neste texto nao sao validas A proxima secao traz algumas consideracgées basicas sobre a estimativa experimental dos parame tros modais com base em dados reais de mediao experimental Sera apresentado apenas um método classico no dominio da frequéncia considerado 0 mais simples e facil de ser implementado na pratica 54 Introducao a analise modal experimental Diversos métodos podem ser empregados para identificagaéo de parametros modais de estruturas eou componentes mecanicos exemplos sAo os métodos de realizagao de autosistemas ERA expo nencial complexa método de Prony método de Ibrahim todos estes no dominio do tempo e métodos frequéncias como 0 curve fitting exponencial complexa no dominio da frequéncia método usando a maxima resposta em frequéncia dentre inimeros outros Aqui nesta seco sera apresentado apenas uma introdugao e um exemplo envolvendo a identifica ao dos parametros modais frequéncias naturais fatores de amortecimento e modos de vibrar com base no conhecimento das FRFs O primeiro ponto é definir quantos pontos serao empregados ou seja Sera necessario ter um conhecimento completo da matriz de respostas em frequéncias FRFs Hw A resposta a esta pergunta é nao Basta definir claramente qual sera 0 nimero de modos que se ira buscar identificar Em uma aplicagao envolvendo uma estrutura real por exemplo a asa de uma aeronave ou uma pa de turbina de um hidrogerador a dinadmica é muitas vezes extremamente 112 complexa e com diversos modos de vibrar associados Sendo assim a primeira coisa é ficar bem exposto pelo analista qual sera a faixa de frequéncias a ser investigada Baseado no que foi discutido no paragrafo anterior fica subentendido que basta se conhecer ou uma linha ou coluna ou diagonal da matriz de FRFs Hw Lembrando que a matriz de FRFs é com posta por respostas em frequéncia H onde as linhas 7 representam os pontos onde as respostas sao medidas e as colunas 7 os pontos onde sao aplicados os esforgos de excitagao Aqui irase considerar que apenas um ponto fixo 7 é usado como excitacao e o ponto da resposta 7 é variante ou seja ira se considerar a medicgdo apenas das colunas da matriz de FRFs Deve ficar claro para o estudante que esta escolha pratica esta relacionado com qual aparato experimental hardware se tem em mAo para efetuar as medidas Por exemplo suponha que vocé disponha de apenas um acelerémetro e de um martelo de impacto instrumentado com uma célula de carga Neste caso pode ser mais interessante se medir apenas uma linha da FRF variando a posicao de entrada facilmente executada com o mar telo e mantendo a resposta do aceler6metro em um ponto fixo Mas tudo isto depende muito dos equipamentos que 0 analista ou a equipe de andlise modal tenha em maos Para obter uma FRF existe dois caminhos ou vocé dispde de um analisador comercial que ja fornece a estimativa da FRF via estimador H Hj ou H em um faixa especifica de frequéncia e sua qualidade com a utilizagao da fungao de coeréncia Com isto basta gravar estes sinais e realizar o pés processamento para extracao dos parametros modais da estruturamaquinacomponente de interesse Ja para o caso de nao haver um analisador comercial sera necessario realizar 0 préprocessamento para a obtencao das FRFs usando alguns conceitos que foram introduzidos rapidamente no capitulo 3 desta apostila Ressaltase que caso os elementos da matriz de FRF Hw nao sejam bem estimados toda a identificagao modal fica completamente comprometida Os estudantes interessados em um maior enfoque neste assunto podem consultar as referéncias 8 5 ou 11 Apos obtida os termos da matriz de FRFs podese determinar os maximos picos de ressonancia e a frequéncia natural amortecida de cada modo pico wa O método Peak Point de andlise modal consiste em definir graficamente qual é esta frequéncia Caso 0 sistema seja levemente amortecido podese aproximar a frequéncia de ressonancia por esta frequéncia ou seja Wg Y Wri 4 12n sendo n o numero de modos de vibrar do sistema Para estimar o fator de amortecimento neste modo basta definir quais as frequéncias laterais a este pico onde a amplitude é 0707 de Hw ou seja as frequéncias onde a amplitude decai de 30 dB Estas frequéncias sao conhecidas como pontos de meiapoténcia Podese denotar estas frequéncias de w1 w2 Assim o fator de amortecimento para o 7ésimo modo é dado aproximadamente por g Ce hi 5113 QW Considere 0 caso em que se tenha um sistema com 2 dofs e que tenhamos em maos as FRFs H1w e Ho Nesta situacgao iremos ter a definigéo de duas frequéncias naturais diferentes uma estimada no grafico Hw e outra no grafico Hw E claro que ambas as estimativas serdo prd6ximas e 0 mesmo se pode dizer sobre a estimativa do fator de amortecimento Assim para 0 caso pratico podese realizar uma média geométrica das estimativas das frequéncias naturais w e dos fatores de amortecimento modal em cada curva de FRF Hw No caso geral quando se tem N pontos de medidas La ini So wit 5114 k1 Na verdade esta frequéncia corresponde a frequéncia onde ocorre 0 maximo pico de amplitude da FRFs para o par uj 113 La f 7 Sik 5115 k1 sendo w a 7ésima frequéncia natural estimada experimentalmente a partir das medidas das FRFs w a iésima frequéncia natural estimada da késima medida de FRF 0 7ésimo fator de amortecimento estimado experimentalmente e 0 iésimo fator de amortecimento estimado da késima medida de FRF Devese observar que é plenamente possivel obter as frequéncias naturais e os fatores de amortecimento de um sistema com base apenas em um termo da matriz de FRFs Hw Porém para determinacao dos modos de vibrar autovetores do sistema necessario mais do que uma FRF A razao para isto vem do proprio fato do modo de vibrar ser uma relagdo entre amplitudes em coordenadas diferentes exigindo assim informag6es de medidas de entrada eou saidas em varios pontos diferentes A tarefa de se extrair os modos de vibrar de forma experimental pode se tornar bastante complexa dependendo do tipo de estruturasistema mecanico que se ira analisar Do ponto de vista frequén cial o conhecimento da matriz de recepet4ncia expandida em uma série de fragdes parciais onde o denominador é formado por fungdes de 2 ordem na frequéncia de excitagdo w traz uma infor macao importante nos residuos que sao associados diretamente com os modos de vibrar do sistema Matematicamente n BF Hy w tt 5116 J w2 29 WypW w sendo que neste caso o sistema considerado subamortecido com n modos A magnitude de H w medida no pico de w é dada por iy Wnr LB 5117 oe WwW a nr w 258 We Wer Consequentemente T 2 oo lil Hiwnr 262 5118 Aqui o valor medido na maxima funcao de resposta em frequéncia em w w no ponto de resposta 7 e entrada 7 é devido apenas a resposta para a frequéncia de ressonancia A Eq 5118 é chamada de constante modal que é definida como a magnitude do ijésimo elmento de 7 A Eq 5118 resulta na hipotése basica de assumir que a curva da FRF vem da curva de um sistema com um grau de liberdade em cada modo sistema desacoplado Este método é muito limitado pois somente permite identificar modos de vibrar de sistemas bem desacoplados e sem dominancia modal em determinadas faixas E um método totalmente naoparamétrico baseado apenas em curvas graficas e portanto o seu interesse atual é mais didatico Porém com esta formulaao é possivel na pratica se identificar os parametros com uma relativa acuracia dada as devidas simplificagdes O principal vilao acaba sendo a estimativa correta do fator de amortecimento modal O subscrito 77 denota a coordenada relativa as posig6es de safda e de excitagéo Em outras pala vras a quantidade H w representa o médulo da funcao de transferéncia entre o ponto de saida ie aresposta medida em j quando o sistema é excitado na condicao de ressonancia Neste caso a estimativa dos autovetores ou modos de vibrar pode ser calculada fazendo uma série de medidas em pontos diferentes aplicando a Eq 5118 e obtendo as constantes modais e examinando a fase relativa dos picos de Hw Com isto um sistema linear pode ser montado e 0Matriz de FRF quando a resposta medida é 0 deslocamento 114 os modos de vibrar calculados de maneira experimental A seguir são ilustrados dois exemplos dos conceitos explicados anteriormente Exemplo 55 Considerando o sistema da fig 54 pedese a expansão em frações parciais da recep tância em H11ω Solução Como já obtido anteriormente sabese que para este exemplo H11s s2 50 s4 2s3 250s2 100s 5000 5119 Decompondo em frações parciais obtémse H11s R1 s 08637 15j R 1 s 08637 15j R2 s 0136 468j R 2 s 0136 468j sendo R1 e R2 os resíduos para o primeiro e o segundo modo de vibrar e o sobreescrito o complexo conjugado Para este caso têmse que R1 00011 00287j 5120 R2 00011 0014j 5121 É importante observar que os resíduos são valores complexos e portanto possuem módulo e fase O próximo exemplo mostra a obtenção dos resíduos e das constantes modais a partir diretamente de uma FRF obtida experimentalmente Exemplo 56 Considere que foram medidos dois sinais de resposta em um sistema mecânico qual quer nos pontos 1 e 2 quando se aplica uma excitação puramente aleatória no ponto 1 A fig 56 apresenta as respostas de deslocamento medidas experimentalmente Com o auxílio de um analisador comercial foi então obtido as FRFs experimentais com o emprego do estimador H1 A fig 57 apresenta esta estimativa Sabese que a fase do pico do 1o modo em H11ω é de 180o do pico do 1o Modo em H21ω é 180o do pico do 2o modo em H11ω é 180o e do pico do 2o modo em H21ω é 360o Com base nos gráficos da fig 57 pedese a estimativa das frequências naturais dos fatores de amortecimento e dos modos de vibrar do sistema de forma experimental Solução A primeira questão é analisar a estimativa da FRF para validar se está ok Neste exemplo os dados experimentais apresentam ruídos e consequentemente a estimativa das FRFs não fica 100 Outro ponto que deve ficar claro é que o pico exato pode não ser possível de ser obtido assim como os valores das frequência de meiapotência Como o método que iráse empregar é totalmente nãoparamétrica em essência a estimativa das FRFs tem total influência Como neste exemplo assumese que as FRFs já são fornecidas diretamente por uma analisador comercial não temos controle da suas estimativas e assumese que não há nenhum erro Com base nos valores de pico de H11ω e H21ω obtémse as frequências naturais do sistema A análise gráffornece as seguinte frequências naturais para o sistema 115 0 10 20 30 40 50 60 70 04 02 0 02 04 Tempo s x1t m 0 10 20 30 40 50 60 70 04 02 0 02 04 Tempo s x2t m Fig 56 Resposta experimental da estrutura ensaida 0 5 10 15 150 100 50 0 Frequencia Hz H11 dB ref Nm 0 5 10 15 150 100 50 0 Frequencia Hz H21 dB ref Nm Fig 57 FRFs experimentais ωn1 381 Hz 1o frequência natural 5122 ωn2 996 Hz 2o frequência natural 5123 A estimativa dos fatores de amortecimento ξ1 e ξ2 são um pouco mais complicadas pois dependem das definições das frequências de meiapotência com a Eq 5113 116 1 3828 3794 9004 1 124 5 38 0004 modo 5 1 997 9949 Estas estimativas sdo comparadas com os valores do modelo matemdtico de referéncia que foi usado para gerar os dados de simulacdo A tab 51 apresenta a comparacdao entre as estimativas e os valores de referéncia Tab 51 Comparagao das estimativas feitas Valor Real Valor identificado da FRF 381 Hy 381 Hy 01410 0004 997 Hz 996 Hi 032x107 000105 Com a andlise da tab 51 podese constatar o enorme erro na estimativa do fator de amortecimento Este erro é causado pelo fato de ndo se conhecer exatamente a amostra onde o sistema decai 3 dB com relacao a amplitude do pico Qualquer modificacdo por menor que seja pode causar um enorme erro no valor da frequéncia de meia poténcia que gera uma diferenca enorme na estimativa do fator de amortecimento O ideal para estimar o fator de amortecimento é se empregar alguma técnica temporal Uma saida é filtrar os dados nas faixas em torno de um modo aplicar a transformada de Fourier inversa e analisar diretamente a IRF ht Neste caso podese aplicar o método do decremento logaritmico como estudados nos capitulos anteriores Porém isto s6 é possivel em sistemas onde ndo existe modos sobrepostos ou muito proximos uns dos outros Agora resta estimar os modos de vibrar Para isto é necessdrio se definir as amplitudes dos picos em Wn1 Wy nas FRFs HyweHw H11Wni 2101dB 0089 5126 H21Wp1 1686dB 01436 5127 H11Wn2 2405dB 00599 5128 H21wWn2 2865dB 003713 5129 Com o auxilio da Eq eqctemodal é possivel calcular as constantes modais relacionadas aos residuos e modos de vibrar do sistema 117 ul Hy wn1 2w 0408 5130 1B17 Hor wns 2w2 0658 5131 P2627 al Hy wn2 2Ew25 04926 5132 P2627 ul Ho wn2 262 03054 5133 Lembrese que dB 20log9 Amplitude 117 E importante frisar que as frequéncias naturais usadas para calcular as constantes anteriores sdo convertidas para rads O primeiro modo é entdo calculado como 0408 81 06387 5134 DiP1 0658 Dio 103 5135 Ja o segundo modo é calculado por 5 04926 y9 0701 5136 5 Bo 08054 Bo 04356 5137 Uma vez que a fase das FRFs para o secundo pico segundo modo possuem defasagem de 180 o segundo modo esta fora de fase A matriz modal identificada experimentalmente é entao dada por 06387 0701 P 103 04356 5138 Importante notar que a razdo entre amplitude do 1 modo é 062 e para o 2 modo é 160 Tao importante quanto identificar experimentalmente os modos de vibrar é validar se esta es timativa esta coerente Varios métodos podem ser empregados para este proposito Um dos mais utilizados 0 Modal Assurance Criteria MAC Os valores MAC fornecem uma medida precisa de correlagao entro modos analiticos extrafdos a partir do conhecimento de matrizes estruturais do sistema e modos experimentais extraidos de dados de ensaio de vibragdes Como bem se sabe o produto escalar entre dois vetores que formam uma base ortonormal deve ser 1 ou 0 dependendo de qual par de vetor é usado assim os valores MAC nada mais sao do que mo Tr expT ret oe MC 5139 mod exp exp mod wre we OF Bra sendo 0 jésimo modo do modelo e 0 iésimo modo extrafdo experimentalmente Caso i j o valor MAC deve ser ou préximo de em funcao da qualidade da estimativa Caso i j 0 valor MAC deve ser 0 Assim para 0 exemplo sabendo que a matriz modal obtida com os valores analiticos das matrizes de massa e rigidez é dada por 05257 08507 mod uo 08507 05257 5140 Comparando a razao de amplitude dos modos analiticos podese observar que para 0 1 modo esta razao 06179 e para o 2 modo é 16182 bem pr6ximos ao obtido com a identificagao experimental Calculando os valores MAC com a equacao anterior concluise que a matriz de valores MAC é 1 0 MC 041 5141 Sendo assim constatase que se a matriz de valores MAC for préxima da matriz identidade a matriz modal identificada é proxima da matriz modal analitica Esta abordagem é muito usada bus cando otimizagao estrutural Os valores MAC sao usados como fungao objetivo de um problema de otimizacgao onde a meta é ajustar os parametros do modelo mateméatico da estrutura de tal forma que 0 comportamento dinamico do modelo fique idéntico ao comportamento dinamico da estrutura experimental real 118 55 Exercícios 12 Ex 51 Para o sistema da fig 58 calcule as frequências naturais e os modos de vibrar Normalize a matriz modal pela matriz de massa e comprove as propriedades de ortogonalidade dos modos de vibrar Escreva a equação do movimento em coordenadas modais Fig 58 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade Ex 52 Considere o sistema mecânico da fig 59 pedese a obtenção via equações de Lagrange da equação do movimento do sistema e o cálculo das frequências naturais e modos próprios Fig 59 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade Ex 53 Considere o sistema mecânico da fig 510 com três graus de liberdade pedese a obtenção via equações de Lagrange da equação do movimento do sistema e o cálculo das frequências naturais fatores de amortecimento e modos próprios Ex 54 A fig 511 mostra o exemplo de um modelo matemático que pode ser usado para modelar um prédio com três andares Assuma que m1 m2 m3 m e que as rigidez das paredes entre os pisos é k sendo que as duas paredes atuam como molas em parelelo Para este sistema obtenha o sistema de equações do movimento usando as Equações de Lagrange Calcule as frequências naturais e os modos de vibrar deste sistema Trace um gráfico dos modos próprios de vibração para visualização física deles 12Parte dos exercícios foram adaptados livremente de livros citados nas referências bibliográficas desta apostila 119 Fig 510 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade Fig 511 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade Ex 55 A fig 512 mostra uma viga modelada com três graus de liberdade Para este exemplo a matriz de massa é dada por M m 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5142 Já a matriz de rigidez é dada por K EI L3 256 3 768 11 768 7 768 11 48 1 768 11 768 7 768 11 256 3 5143 Para esta viga calcule as frequência naturais e os modos normais de vibração Trace um gráfico dos modos próprios obtidos Ex 56 Para o sistema mecânico de 2 dofs abaixo calcule a equação do movimento usando as equa ções de Lagrange e extraia as frequências naturais e os modos de vibrar do sistema Ex 57 Considere uma viga engastada livre onde 3 pontos de medida de deslocamento foram obtidos quando a excitação era aplicada em um ponto fixo As FRFs são estimadas com o estimador H1 e as frequências naturais e fatores de amortecimento são extraídos diretamente destas FRFs 120 Fig 512 Exemplo de uma viga com múltiplos graus de liberdade Fig 513 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade ξ1 001 ωn1 2 5144 ξ2 02 ωn2 10 5145 ξ3 001 ωn3 12 5146 As amplitudes das FRFs em escala absoluta em H13 são H13 ωn1 1 5147 H13 ωn2 2 5148 H13 ωn3 3 5149 Já em H23 são H23 ωn1 3 5150 H23 ωn2 2 5151 H23 ωn3 4 5152 e por fim em H33 são 121 F33 wri 5 5153 Fi33 Wn2 2 5154 Al33 Wn3 2 5155 Com base nestas informagées obtenha os modos de vibrar do sistema real Ex 58 O hidrogerador de Itaipu pode ser modelado como um sistema de dois graus de liberdade onde as coordenadas generalizadas sdo o deslocamento do centro de massa da maquina x e o deslo camento angular deste ponto 0 A equacdo do movimento deste sistema poder ser representada pelas seguintes matrizes de massa e rigidez o amortecimento pode ser assumido nulo em um primeiro momento 2780000 0 00291 00106 i M 0 136000000 K 00106 23574 10 5156 Com base nestas informacées pedese o cdlculo das frequéncia naturais e dos modos de vibrar da maquina Ex 59 Suponha que vocé trabalha em uma empresa especializada em consultoria por andlise de vibracées Sua empresa foi contratada para analisar o comportamento dindmico de uma plataforma petrolifera devido a excitacdo de correntes maritimas e vento Uma equipe foi responsdvel pela medicdao de dois graus de liberdade nesta plataforma A fig 514 mostra um esquema simplificado da plataforma A excitacdo é assumida ter sido aplicada somente no grau de liberdade 1 A fig 515 mostra os resultados das estimativas das FRFs experimentais Com base nestas informacées estime os paradmetros modais do sistema x2b x1t Fig 514 Esquema simplificado de uma plataforma Ex 510 Considere o sistema mecdnico da figura 516 Pedese e Determine a equacdo do movimento usando as leis de Newton via DCL e Determine a equacdo do movimento usando as Equacoées de Lagrange 122 0 05 1 15 160 140 120 100 80 60 Frequencia Hz H11 dB ref Nm 0 05 1 15 160 140 120 100 80 60 Frequencia Hz H21 dB ref Nm Fig 515 FRF experimental da plataforma Fig 516 Sistema mecânico com três graus de liberdade Considere que m1 m2 1 kg k1 k2 k3 1500 Nm c1 c2 k4 m3 0 Para estas condições determine os parâmetros modais do sistema Ex 511 Para os sistemas mecânicos13 das figuras 66 até 525 responda as questões Obtenha a equação do movimento via DCL Obtenha a equação do movimento via equações de Lagrange Detalhes sobre quais coordenadas generalizadas usar são dados em cada sistema Calcule as frequências naturais e modos de vibrar com a aplicação do problema de autovalor e autovetor Use os valores de massa inércia e rigidez quando fornecidos caso contrário resolva analiticamente 123 Fig 517 Assuma como coordenadas generalizadas x e θ m 5 kg I 05 kgm2 L 08 m e k 2 109 Nm2 Fig 518 Assuma como coordenadas generalizadas θ1 θ2 e x Fig 519 Assuma como coordenadas generalizadas θ1 e θ2 Fig 520 Assuma como coordenadas generalizadas θ1 e θ2 13Assuma que em todos os casos ocorram apenas pequenas oscilações 124 Fig 521 Assuma como coordenadas generalizadas θ1 e θ2 Fig 522 Assuma como coordenadas generalizadas θ x1 e x2 Fig 523 Assuma como coordenadas generalizadas θ x1 e x2 Ex 512 Considere o motor naval da fig 526 ligado a uma hélice através de um redutor de engrenagens Os momentos de inércia de massa do volante motor engrenagem 1 engrenagem 2 e hélice em kgm2 são 9000 1000 250 150 e 2000 respectivamente Os eixos são de aço e sabese que o módulo de elasticidade transfersal é G 80 109 e o momento de inércia de área de cada eixo é J pid4 32 m2 ou seja é possível calcular a rigidez torcional de cada eixo14 Com estas informações obtenha a equação do movimento do sistema e calcule as frequências naturais e modos de vibrar 14kt GJ L sendo L o comprimento do eixo 125 Fig 524 Assuma como coordenadas generalizadas θ e x Fig 525 Modelo simplificado para análise da suspensão de um carro Assuma como coordenadas generalizadas x1 x2 x3 e x4 Considere M 200 kg m 30kg a 3 m b 1 m I 200 kgm2 k1 k2 4 105 Nm k3 k4 1 105 Nm c1 c2 c3 c4 0 Fig 526 Motor naval Ex 513 Considere o eixo de aço da fig 527 com 2 polegadas de diâmetro apoiado em dois mancais rigídos e suportando uma polia e um motor Os pesos da polia e do motor são 200 lb e 500 lb respectivamente Uma carga transversal aplicada em qualquer ponto do comprimento x resulta em uma deflexão completa do eixo assumese que o eixo é flexível Sabe que os coeficientes de rigidez nesta situação são 126 k11 1296EI 5l3 k12 k21 324EI 5l3 k22 216EI 5l3 5157 Com estas informações obtenha as frequências naturais do sistema em vibração por flexão con siderando l 90 in Fig 527 Eixo com polia e motor Ex 514 A vibração transitória do sistema de transmissão de potência do motor para a carga15 du rante a aplicação de uma embreagem de cone fricção produz um ruído extremamente desagradável conhecido como rattle Visando reduzir este ruído um volante com um momento de inércia de massa J2 é acoplado ao sistema de transmissão por meio de uma mola torcional kt2 e um amortecedor tor cional viscoso ct2 conforme fig 528 Assuma que o momento de inércia de massa da embreagem de cone é J1 e a rigidez e a constante de amortecimento do sistema de transmissão são kt1 e ct1 res pectivamente Os ângulos θ1 e θ2 são as coordenadas generalizadas Para esta idealização obtenha as equações do movimento do powertrain usando as equações de Lagrange Fig 528 Embreagem automotiva Ex 515 Um turbina é conectada a um gerador elétrico com o auxílio de 2 engrenagens como ilustra a fig 529 Os momentos de inércia de massa em kgm2 são dados por 3000 turbina 2000 gerador 500 engrenagem 1 e 1000 engrenagem 2 Os eixos 1 e 2 são feitos de aço e tem 30 cm e 10 cm cada um e 2 cm e 1 m de comprimento respectivamente Escreva a equação do movimento as frequências naturais e os modos de vibrar para este conjunto de equipamentos 15Conhecido na indústria automotiva como powertrain 127 Fig 529 Conjunto de equipamentos Ex 516 Para o sistema mecânico da fig 530 obtenha a equação do movimento e calcule as frequências naturais e os modos próprios Fig 530 Conjunto de equipamentos conectados Ex 517 Considere que o aerofólio da fig 531 tem uma massa m e é suspenso por um elemento elástico com rigidez linear k e uma mola torcional kt em um túnel de vento O centro de massa do sistema está posicionado a uma distância e do ponto O O momento de inércia em torno deste ponto O é conhecido e dado por IO Para estas condições calcule as frequências naturais do aerofólio Fig 531 Conjunto de equipamentos conectados Ex 518 Um modelo bem realista do sistema de suspensão de um carro é ilustrado na fig 532 A massa do carro é dada por M e o momento de inércia de massa em relação ao CG é IG A 128 suspensão é descrita por amortecedores viscosos c2 e elementos elásticos lineares k2 O sistema também é composto por eixos rodas e pneus com massas m1 e m2 A rigidez e o amortecimento deste conjunto é descrito pelos elementos equivalentes k1 e c1 Para esta situação obtenha as equações do movimento usando as equações de Lagrange Calcule as frequências naturais e os modos de instabilidade vertical e de inclinação deste carro esboce estes modos Fig 532 Esquema de uma carro Ex 519 Obtenha a equação do movimento e calcule as frequências naturais para o mecanismo da fig 533 Fig 533 Mecanismo Ex 520 Se um avião sofrer vibrações simétricas na sua fuselagem fig 534 podese propor um modelo simplificado idealizando uma massa concentrada M0 e considerando que barras rigídas16 representam as asas e massa concentradas M representam os motores A ligação entre as asas e a fuselagem da aeronave pode ser modelada como uma elemento com rigidez torcional kt 16Um modelo mais realista seria assumir barras flexíveis daí a importância do capítulo de vibrações em sistemas contínuos 129 Para estas condições assumindo x e θ como coordenadas generalizadas obtenha a equação do mo vimento usando as equações de Lagrange Calcule as frequências naturais e os modos de vibrar do avião Projete uma mola torcional tal que a frequência natural do avião em modo torcional seja maior do que 2 Hz Assuma que M0 1000 kg M 500 e l 6 m Fig 534 Avião 130 Capítulo 6 Sistemas Contínuos Em muitas situações é inviável ou muito difícil modelar um sistema mecânico como sendo for mado apenas por elementos de inércia massa elásticos molas e dissipativos amortecedores de maneira discreta É comum se referir a estas situações como problema com parâmetros concentrados No caso de modelar um sistema mecânico de forma discreta como feito até agora neste curso se assume que o sistema tem um numero finito de graus de liberdade e consequentemente um numero finito de modos e frequências naturais A equação do movimento nesta situação é representada por uma equação diferencial ordinária ou um sistema de equações diferenciais ordinárias acopladas A solução destas EDOs é mais fácil e com métodos bem consolidados uma vez que o problema é do tipo valor inicial Porém o problema de vibrações em sistemas reais é um pouco mais complexo pois no geral os sistemas tem parâmetros de inércia elásticos e dissipativos que são distribuídos ao longo do domínio ou seja não é possível se descrever de maneira concentrada Estas situações levam a um problema com parâmetros distribuídos que é descrito por uma equação diferencial parcial A solução deste tipo de equação depende de condições de contorno espaço e condições iniciais tempo As sim a solução deste problema é bem mais complicado do que o caso discreto uma vez que o sistema tem infinitas frequências naturais e modos Isto é o que caracteriza basicamente um sistema contínuo Neste capítulo será apresentado de forma introdutória o problema de vibração axial em barras e vibração transversal em vigas Em especial esperasse deixar bem claro aos estudantes a importância de se escrever corretamente as condições de contorno revisar o método de separação de variáveis para solução de equações diferenciais parciais1 e apresentar as condições de ortogonalidade dos mo dos Uma vez que a solução destas equações normalmente pode ser complexa é oportuno apresentar alguns ingredientes fundamentais para obtenção de solução aproximada nestes problemas como o Método de Rayleigh Método de RayleighRitz Método de Galerkin e por fim o Método dos Ele mentos Finitos Não é o objetivo deste capítulo dar uma visão geral nestas ferramentas apenas provocaros alunos com a apresentação destes conceitos e esperando que alguns se aventurem em tentar saber e ler mais sobre estes métodos 61 Vibrações em barras As equações para descrever a maioria dos processo físicos reais são descritas a partir do conheci mento de relações constitutivas e equações de balanço Para descrever o comportamento dinâmico da vibração axial de uma barra podese empregar estas duas ideias Sabese que a tensão axial ao longo de x em um barra é descrita por 1Em sala de aula se espera realizar uma comparação matemática com um problema similar de condução transiente de calor em uma barra problema que deve ter sido visto em detalhes em um curso introdutório de transferência de calor 131 P ae 61 T 61 sendo P uma forga que age em uma 4rea A da seccao transversal e uma barra A relagao consti tutiva descreve 0 comportamento do material a partir de O o Be ES 62 Ox sendo uxt o deslocamento axial na barra E o médulo de elasticidade Young e ou a deformacao axial Assim Ou Pc0Aa2 EAx 63 o Ax x Dn 63 Podese considerar que ao longo do eixo x de uma barra pode agir uma forca externa por uni dade de comprimento fzt Assumindo equilibrio dindmico na diregéo x tomando um elemento infinitesimal dx desta barra podese descrever com a 2 Lei de Newton P dP faxtdx Pma 64 sendo a massa m pAdz p a densidade a oy a aceleracdo na direcao x e dP oP Assim a equacao do movimento para a vibragao axial da barra é dada por 0 Ouz t Ou EAa t Ax 65 eae M9 fet oeeyaen 65 O primeiro interesse sera descrever 0 problema de vibragGes livres considerando f xt 0 O resultado da solugao deste problema sera encontrar as formas modais e as frequéncias naturais que por se tratar de um problema continuo sAo infinitos Para simplificar o problema podese assumir que a barra é homogénea e uniforme Com isto Ouz t Ou Definindo uma variavel c chamada wave speed E c4 67 p temse uma equacao conhecida como equacdo da onda OPuxt 0 uz t 2 68 Ba ot 68 Varios métodos podem ser usadas para resolver de forma exata solucao fechada a eq 68 Um dos mais populares e usados é 0 método das separagoes de variaveis Esta formulagao considera que a solucao da eq 68 pode ser descrita por uma combinagao uxt UxUt 69 sendo Vx uma funao continua dependente apenas de x representado fisicamente um modo normal e a fungao Ut dependente do tempo Que 6 uma equacio de balanco Similar a equacio da corda estudada em um curso introdutério de equacées diferenciais parciais 132 Substituindo a solugao proposta eq 69 na eq 68 obtémse 2 1dU oe ae 610 WdxriU dt A equacao anterior tem uma questo interessante uma vez que o lado esquerdo e direito dependem apenas de uma variavel notando que o simbolo O foi substituido por d Assim o valor resultante deve ser uma constante b ou seja CPU 10U 611 W dx U dt 611 Um conjunto de equacg6es implicitas pode ser descrito usando a eq 611 fu ob dU bUt 0 613 qe 7 wl 613 Sem perda de generalidade podese descrever estas equacdo considerando b w PY Ww U 9 A solugao das equag6es anteriores sao dadas por Wx Acos Bsin 616 c c Ut Ccos wt Dsin wt 617 sendo as constantes A frequéncia natural de vibracgao axial é dada por w e as condicg6des de contorno e condi6es iniciais so usadas para calcular as quatro constantes A B Ce D Assim a solugao exata da vibragao axial uxt da barra é WX WL uxt UxUt A cos Bsin C cos wt D sin wt 618 c c Se uma barra tiver deslocamento inicial uga e velocidade inicial w19a conhecidos as condigées iniciais sao dadas simplesmente por ux 0 uox 619 O t Oulart tig 2 620 Uv t0 Na pr6xima secao sao apresentadas as condigdes de contorno mais comum que aparecem em problemas de engenharia 133 611 Condicdes de contorno A seguir sao mostradas as condides de contorno mais comuns conjuntamente com as equaodes correspondentes de frequéncia de vibracao longitudinal de barras uniformes e homogéneas Engastadalivre As condicg6es de contorno para este caso sao dadas por Ouz t 0t 0 0 621 u0t 0 621 Ja a equacao de frequéncia é wl cos 0 622 c A forma modal é escrita como 2 1 Vnx C sin Ce n 012 623 e as frequéncias naturais como 2 1 wy Crt me 012 624 21 Livrelivre As condigdes de contorno para este caso sao dadas por O t O t Oult 9 Outt 625 Ox 9 Ox Ja a equacao de frequéncia é ul sin 0 626 c A forma modal é escrita como U2 Cy cos nn 012 627 e as frequéncias naturais como wn n012 628 EngastadaEngastada As condicées de contorno para este caso sao dadas por u0t 0 ult 0 629 Ja a equacao de frequéncia é 134 l sin 0 630 c A forma modal é escrita como U2 Cy cos nn 123 631 e as frequéncias naturais como na n123 632 612 Condicao de ortogonalidade dos modos As fungées V2 que representam os modos normais de vibragéo tem um propriedade muito importante relacionada a ortogonalidade L Wx Uj xdx 0 633 0 sendo W o modo normal associado a frequéncia natural w e Y2 o modo normal associado a frequéncia natural w Quando consideramos fungées do tipo uat UxUt uxt WxUt 634 A solucgao da equacgao da onda fornece Wx 2 a 2 dW x C iW x 0 636 Multiplicando a eq 635 por 636 temse e 2 Wx w7WxVr 0 637 dW x e Wile wi WV xVx 0 638 Subtraindo uma equagao da outra acima e integrando de 0 até l 2 lL 72 2 Como escrito anteriormente a equacao anterior dé como resultado zero Esta equagao é conhe cida como Principio da ortogonalidade para as funcées normais Este principio pode ser usado em métodos aproximados para solugao de problemas de vibrag4o em sistemas continuos 135 613 Exemplo vibracao livre de uma barra engastadalivre Este exemplo tem como proposito mostrar como calcular as frequéncias e a solucao exata de vibracao axial de uma barra engastadalivre com comprimento L Assumese que a barra esta engastada em x Oe livreem x L Assim as condigoes de contorno sao u0t 0 t0 640 t Ox zL Substituindo as condigdes de contorno da eq 640 na eq 618 fornece a primeira constante A 0eaeq 641 fornece a equacao da frequéncia L B cos 0 642 c c As frequéncias naturais autovalores sao dadas por nL n 1 n012 643 c 644 0 que fornece 2n 1 n 012 645 Ww aT n0 646 Assim a solugao exata pode ser descrita como uma superposiao de infinitos modos de vibrar Wx associados a infinitas frequéncias naturais w uxt S Una t 647 n0 Assim 2n1rx 2n 1rct 2n 1act th C cos D sin 648 uz t sin OL cos OL Dsin OL 648 sendo que as constantes D e C sao determinadas pelas condi6es iniciais 2 2n1 Ch i Ux sin nT ay 649 4 L 2n 1ra D I in d 650 2n na toa sin 2L 059 136 62 Vibração transversal em vigas Muitos sistemas reais podem ser modelados como sendo vigas por exemplo colunas asas de aviões eixos de rotores4 etc Uma viga é um elemento estrutural que pode suportar tanto carga axial como em uma barra quanto cargas transversais cortante e torção Assim uma viga pode apresentar ao longo de seu eixo longitudinal uma distribuição de tensões normais σx que pode ser causada tanto por eventuais forças axiais quanto por momentos fletores5 e uma distribuicão de tensões de cisalhamento τx provocada ou por torção eou por forças cortantes Do ponto de vista geométrico uma viga é definida como um sistema onde o comprimento é bem mais representativo do que a largura e espessura6 Em cursos básicos de mecânica geral e mecânica dos sólidos o objetivo era determinar a distribui ção de momentos fletores Mx e cortantes V x ao longo de vigas e depois calcular quais as tensões máximas atuantes no sistema envolvendo expressões relacionando a geometria da viga propriedades físicas do material e os esforços de flexão e cortante estimados Destacase que o problema estástico eou dinâmico do movimento e deformação de uma viga pode ser solucionado de forma exata com o uso de uma equação diferencial parcial envolvendo um problema de valor de contorno e condição inicial No caso de envolver somente tensões normais este modelo é conhecido como Viga de Euler Bernoulli já no caso de envolver também tensões de cisalhamento provocadas por torção o modelo é conhecido como Viga de Timoshenko viga espessa A meta desta seção será descrever a teoria de viga fina ou teoria de viga de EulerBernoulli para análise dinâmica de vigas A área da secção transversal de uma viga pode ser assimétrica porém a formulação apresentada aqui se restringirá aos casos onde a secção transversal de uma viga é simétrica A fig 61 mostra uma viga sujeita a um carregamento qx t transversal ao longo do eixo x O momento de inércia de área7 é dado por Ix Considerase que esta viga tenha uma distribuição de massa por unidade de comprimento dada por mx Fig 61 Flexão em vigas 2 A meta aqui é obter uma equação diferencial que seja governante do movimento transversal vx t desta viga causado por eventuais condições de valor inicial e valor de contorno Para isto será reali zado um diagrama de corpo livre de um elemento diferencial posicionado a uma distância x e com comprimento dx nesta viga como mostrado na fig 62 A cortante V e o momento M na posição x é mostrado nesta figura Usando uma expansão com a série de Taylor a cortante na posição x dx será V Vx dx e o momento será M Mx dx 4Ressaltase que grande parte dos equipamentos industriais envolvem componentes rotativos como por exemplo compressores turbinas ventiladores geradores motores etc portanto saber analisar um sistema destes é importante para um engenheiro 5Provocados pela possível existência de cargas transversais 6Ou seja um elemento linear pode ser usado em aplicação via o método dos elementos finitos 7Também conhecido como segundo momento de área 137 qxt 4 M Vv mee dx Ox ov Vdx dx Ox Fig 62 Forgas e momentos agindo em um elemento diferencial da viga 2 Como a viga tem massa mx e se movimenta pela segunda lei de Newton existe uma forga de inércia agindo em sentido contrario a tendéncia do movimento Esta forga é dada em fungao da aceleracio ixt 0u0t Assim a forga de inércia mxdriiz t Para garantir o equilibrio dindmico o somatorio de forgas no elemento diferencial dx da viga deve atender o principio de D Alembert OV qx tdx V V ao mxdxiat 0 651 x O que integrando em zx leva a expressao OV miat qzt 652 Ox Ja para garantir o equilfbrio da soma de momentos do lado direito do elemento diferencial dz témse que dx OM qx tde M Vdx M dz 0 653 2 Ox desprezando os termos de segunda ordem chegase a OM Vat 654 01 Neste ponto é importante observar que no elemento diferencial dx as fibras da face superior da viga sao comprimidas e as fibras inferiores tracionadas sendo assim a aplicagao de uma carga transversal em uma viga provoca tensao normal que varia ao longo da secAo transversal Observase também que em uma posiao ao longo da seccao transversal y da viga as fibras permanecem sem nenhuma deformacgao Esta posigao conhecida como linha neutra e define o raio de curvatura de uma viga Este conceito é a base para afirmar que a flexao causa 0 aparecimento de uma deformaao axial uxt na viga que é relacionada a posicdo transversal y e ao raio de curvatura desta Esta deformagao axial ux t é escrita como Ov uxt y 655 8 Adotando como convengao que 0 momento no sentido antihordrio é positivo Para relembrar este conceito pesquise em um livro de resisténcia dos materiais um capitulo sobre flexdo em vigas 138 A eq 655 é muito util pois permitira obter uma relacdo entre tensao normal é momento fletor A deformagio axial pode ser calculada em fungdo do resultado da eq 655 Ou O7u p a ye 656 Ox Voy 696 Para um material elastico e linear a relagao tensaodeformagao é definida pela Lei de Hooke Orv Ee Ey 657 0 Ee Ey 5 657 A eq 657 mostra claramente que a tensdo normal varia linearmente com relagdo a distancia y da seccao transversal em cada ponto x ao longo do comprimento de uma viga Considerando que um forga qualquer em uma posicAo x é dF e atua na secao transversal da viga na mesma direcao da carga qx t sendo dada por dF 0dA 658 sendo dA um elemento diferencial da area da secA4o transversal O momento desta forga na secao transversal é dado por dM dM ydF yodA 659 Integrando em dA a equacao anterior e considerando a eq 657 obtémse Ov Orv Mat eydA Ey dA E 2dA 660 x t os Yaa we 660 Lembrando que o momento de inércia ou momento de segunda ordem de Area é J I ydA 661 A Assim Ov Mat EI 662 x Ox2 Combinando as eqs 662 e 657 M o 663 I A eq 663 pode ser usada para projeto de vigas e eixos considerando calcular a geometria do sistema em funcdo das tensdes a serem solicitadas Note que a cortante V na eq 654 pode ser escrita da forma OM O Orv V El 664 Ox Ox x 604 Substituindo a expresso anterior na equacao de equilibrio dinamico obtémse a equacao de viga de EulerBernoulli 100 sinal negativo na expressdo mostrada se refere ao fato de adotar que na face superior as fibras da viga s4o compri midas e na face inferior tracionadas lInformaca4o esta contida dentro do momento de inércia de drea 139 Oo Ov miat a2 er qat 665 A eq 665 é uma equagao diferencial parcial representado a deflex4o ux t de um sistema de parametros concentrados Esta equaao é de quarta ordem e envolve uma derivada de segunda ordem no tempo e uma derivada de quarta ordem em x Para solucionala de forma exata é necessario 0 conhecimento de duas condigées iniciais em e quatro condigdes de contorno em x A solugao da equacao de viga de Euler Bernoulli fornece os modos de vibrar da estrutura x em todo o dominio envolvendo infinitas frequéncias naturais 621 Vibracao livre em vigas Aqui sera dado destaque apenas ao problema de vibragfo livre ou seja quando qzt 0 em uma viga uniforme e homégenea Nesta situaao O7u OtVv A EI 0 666 POOR Ox4 666 sendo a massa substituido por m pA Definindo a velocidade da onda na viga como c El 4 667 c4 7A 667 Com isto a eq 666 é escrita como Ou Otv 0 668 Ot re Ox 668 A solugao da equacgao da viga também pode ser feita com 0 método de separagao de variaveis assumindo que a solucao exata pode ser descrita como vzt oxTt 669 sendo as formas modais e Tt uma fungao temporal Substituindo esta solugdo na eq 668 obtémse 2d 1 Tt ox dx4 Tt dt A eq 670 pode ser escrita como duas equac6es d a 4 a Box 0 671 PTt 2 sendo 2 2 4 WwW pAw f 673 P 3 a 673 Aqui a mesma ideia usada para a barra é utilizada considerar que os dois lados da equacio dio uma constante positiva a w 140 A solugao da eq 672 pode ser expressa como uma combinacao de sendides Tt Acoswt Bsinwt 674 sendo A e B constantes determinadas das condig6es iniciais O t vx 0 vx et vloz 675 Uv t0 Agora a solugao da eq 671 implica considerar que x Ce 676 sendo C e s constantes e deduzindo a equac4o auxiliar s p0 677 As raizes da eq 677 sao S12 S34 i3 678 Portanto a solucao da eq 671 tornase ox Ce Coe P Cze Cre 679 sendo C1 C2 C3 e C4 constantes que dependem das condiées de contorno em x A eq 679 pode ser escrita de forma mais elegante considerando ox Ci cos Bx Cy sin Bx C3 cosh Gx Cy sinh Bx 680 Ou ainda como x CicosBx cosh Gx Cocos Bx cosh Bx C3sin Gx sinh Gx Cysin Gx sinh Gx 681 As frequéncias naturais da viga sao descritas por 673 EI EI 3 6L 682 w PIF 91 a 682 sendo L o comprimento da viga Assim para qualquer viga existe um numero infinito de modos x associados a uma tnica frequéncia natural w em cada modo As constantes desconhecidas C a Cy e o valor de 3 sao da dos pelas condic6es de contorno Importante constatar que as fungéo modais x também apresentam a condicfo de ortogonali dade L epoioiar 0 683 0 sendo x um modo associado a iésima frequéncia w e x um modo associado a jésima frequéncia w 141 622 Condicdes de contorno As condic6es de contorno mais comuns em vigas sao mostradas a seguirs Extremidade livre O momento fletor é escrito como O7u Mat EI 0 684 01 BIS 684 Ja a forga cortante é O Ov O Vat EI at 0 685 w 2 BGS Flo 685 Extremidade simplestemente apoiada A deflexdo em x 1 vlt 0 686 Ja o momento fletor na posiao do pino x é Mil t Bre 0 687 Ox Extremidade engastada A deflexao em x é vlt 0 688 E a inclinagao ou deslocamento angular rotacao na posiao do engaste é Ovat x2 t 0 689 os 689 Extremidade ligada a uma mola linear amortecedor ou massa Em uma extremidade de uma viga pode ocorrer um deslocamento transversal ux t e uma rotag4o inclinagéo OuxtOx com suas respectiva velocidade Ou t Ot e aceleracdo 07 ux t Ot Assim as forgas de rea ao nesta extremidade serao proporcionais a estes valores ou seja a cortante devera se equilibrar com 0 Orv Ov O7u Vat FEI ak 690 2 o x a e eg moe 690 sendo a 1 se a extremidade é esquerda ou a 1 se a extremidade é do lado direito O momento fletor nesta condido deve ser zero 02 Mxt EI 0 691 Ox Estas sao as condigdes mais comuns Intimeros livros textos j4 fornecem todas as equacgdes de frequéncia formas modais e valores de 31 para diversas configuragdes o que facilita bastante o trabalho de andlise pois muitas vezes para resolver estas equagées é necessario tratar fung6es trans cendentais 142 623 Exemplo viga engastadalivre 63 Métodos aproximados para análise dinâmica de sistemas contínuos Grande parte do projeto de estruturas aeronáuticas veículos terrestres e marítimos máquinas e infraestrutura se baseia na determinação dos campos de tensão e deformação e análise dinâmica envolvendo sólidos elásticos As exigências nos projetos modernos envolvem escolha de materiais com características especiais geometria complexa carregamento variável etc que necessitam ser analisados no momento do projeto a partir de inúmeras simulações do comportamento estático e dinâmico do sistema frente a estas cargas O uso de computadores revolucionou o conceito de projeto mecânicoestrutural Até a década de 6070 grande parte do projeto se baseava em seguir um roteiro de cálculo Isto fica evidente caso o leitor busque ler um livro didático desta época onde se encontrava em anexo inúmeras tabelas equações prontas métodos gráficos etc Todo este procedimento era exaustivo sem grande precisão e mudanças e ajustes eram complicados de serem realizados Com a popularização dos computadores e das estações de trabalho foi possível também ficar factível a análise de aspectos pouco explorados até então Com o uso do computador ficou fácil analisar problemas assumindo elementos sólidos inúmeros graus de liberdade e dimensão e empregando técnicas de otimização visando obter formas distri buição e geometria ótima de estruturas Também é importante destacar as facilidades gráficas para visualizar simulações envolvendo técnicas avançadas de realidade virtual Os resultados disto foram que o tempo entre um anteprojeto e a construção de um protótipo foi muito encurtado o que repre sentou economia de recursos materiais financeiros e humanos Um excelente exemplo é o projeto nacional dos jatos comerciais da família 170190 da Embraer O projeto do EMB 170 foi anunciado em 1999 sendo que o protótipo voôu em 2000 Seria impossível imaginar um projeto desta dimen são sem o uso de ferramentas modernas de análise Com esta visão muitos cursos de engenharia mecânica no mundo e no Brasil se adaptaram bem as mudanças Toda esta área ficou conhecida como Mecânica Computacional no caso mais geral onde o interesse é análise de sólido e fluido ou mecânica dos sólidos computacional no caso mais específico Fig 63 Simulação em realidade virtual de ingestão de água nos motores de um avião Neste sentido esta seção tem como meta fornecer uma pequena introdução neste tipo de concepção de análise a partir de métodos aproximados que são indispensáveis e condição sine qua non para 143 Fig 64 Teste em vôo em condição real atender o que foi descrito antes Muitos problemas físicos e de engenharia em meios contínuos são descritos por equações dife renciais parciais A solução destes problemas na sua forma analítica fechada de forma exata só é possível para sistemas muito simples conforme exemplificado anteriormente neste capítulo Assim para sistemas mais complexos envolvendo geometrias e condições de contorno mais sofisticadas não é possível se obter uma solução exata Nestes casos devese optar por procedimentos de aproximação com precisão aceitável para a aplicação de engenharia em questão Inúmeros métodos de precisão para solução destes problemas são usados em engenharia entre eles podese destacar método dos elementos de contorno método das diferenças finitas método dos volumes finitos método de Galerkin método de RayleighRitz e o método dos elementos finitos Deve ficar claro ao estudante que nenhum destes métodos pode ser considerado superior ao outro Isto depende do tipo de aplicação solução desejada capacidade computacional etc que um engenheiro tem em mãos no momento de resolver um problema de engenharia O FEM acabou se tornando o mais popular de todos sobretudo pelo aparecimento de diferentes pacotes de software comercias sobre o assunto como por exemplo o ANSYS NASTRANPATRAN ADAMS ABAQUS etc 631 Método de Rayleigh 632 Método de RayleighRitz 633 Método de Galerkin 634 Método dos elementos finitos O FEM têm inúmeras aplicações nos diferentes ramos da ciência em especial em aplicações estruturais Historicamente as primeiras utilizações de FEM em engenharia foram em aplicações aeronáuticas e de estruturas civis daí o grande avanço tecnológico de FEM nas empresas deste setor Seria impossível o Brasil atingir um alto nível de competência em projetos de aeronaves sem o uso consistente de ferramentas envolvendo elementos finitos Entre as áreas que usam FEM em projeto e análise se destacam Estruturas oceânicas e navios Veículos rodoviários e ferroviários 144 Hidrogeradores Estruturas aeroespaciais e aviões Mecânica estrutural Mecânica dos fluidos computacional Condução de calor Eletromagnetismo A lista acima é imensa e serve apenas para mostrar as aplicações básicas Uma vez que FEM envolve ferramentas matemáticas das mais simples envolvendo algebra vetorial até as mais avança das como teoremas integrais o uso de pacotes comercias como o NASTRAN para análise é muito corriqueiro Em virtude do conhecimento que estes programas contém por trás de seu código fonte o preço das licenças comerciais destes softwares é alto Contudo deve ficar claro que um engenheiro que não sabe modelar um problema via FEM sem o computador não saberá como proceder tendo uma máquina e os mais avançados dos programas As facilidades gráficas de ferramentas CAD CAE CAM traz a sensação que para ser um enge nheiro de projetos basta decorarmeia dúzia de comandos para se dizer especialista em FEM Porém isto é um conceito errado O autor do livro 6 cita um exemplo interessante Imagine que você está muito doente e procura um médico que não é um grande especialista na sua enfermidade O médico diz para não se preocupar pois ele tem um programa onde bastadigitar na entrada os sintomas que ele fornece na saída os diagnósticos com a profilaxia adequada Provavelmente você não irá confiar neste médico Agora já imaginou entrar em uma aeronave projetada por um engenheiro com está visão Sendo assim o ideal é o estudante ter uma base sólida em FEM conhecendo os princípios básicos do método Isto permite que ele use pacotes comerciais com maior rigor de análise e que saiba interpretar as soluções e gráficos e por que não ser capaz de programar seus elementos em rotinas próprias Quem usa softwares e nunca estudou FEM de forma convencional não se pode dizer que saiba o que é o método 64 Exercícios Ex 61 Escreva a equação do movimento com as condições de contorno e determine as frequências naturais da barra da fig 65 Fig 65 Barra com massa M na extremidade Ex 62 Escreva a equação do movimento com as condições de contorno e determine as frequências naturais da barra da fig 66 145 Fig 66 Barra não uniforme Ex 63 Escreva a equação do movimento com as condições de contorno e determine a primeira frequência natural da barra da fig 67 Fig 67 Barra uniforme com mola k na extremidade Ex 64 Repita o exercício anterior porém considerando que as duas extremidades são fixas com molas k Ex 65 Escreva a equação do movimento com as condições de contorno e determine as três primei ras frequências naturais da viga da fig 68 Fig 68 Viga com massa m na extremidade Ex 66 Escreva a equação do movimento com as condições de contorno e determine as três primei ras frequências naturais da viga da fig 69 146 Fig 69 Viga suportada por duas molas nas extremidades 147 Capítulo 7 Manutenção Preditiva usando Análise de Vibrações 71 Valor global de vibrações 72 Diagnóstico via análise do espectro 73 Análise de envelope 74 Considerações finais 148 Referências Bibliográficas 1 L A Aguirre Introdução à Identificação de Sistemas Técnicas Lineares e NãoLineares Aplicadas a Sistemas Reais Editora UFMG 2004 2 M A Bhatti Fundamental Finite 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