Primeira Prova de Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

Primeira Prova de Geometria Analítica e Álgebra Vetorial\n\nQuestão 1 (4 pontos): Considere os vetores\n\n\\vec{a} = (2\\beta, 2, 0)\n\\vec{b} = (0, 1, -\\beta)\n\\vec{c} = (\\beta, -4, \\beta)\n\nDetermine todos os valores de \\beta para os quais o vetor \\vec{a} - \\vec{b} é perpendicular ao vetor \\vec{b} + \\vec{c}.\n\nResposta: Temos que\n\n\\vec{a} - \\vec{b} = (2\\beta, 1, \\beta)\n\\vec{b} + \\vec{c} = (\\beta, -3, 0)\n\nComo dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles é zero, então queremos que\n\n\\vec{a} - \\vec{b} \\cdot (\\vec{b} + \\vec{c}) = 0\\n\nLogo, \\beta = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\n\nou temos que\n\nQuestão 2 (4 pontos): Calcule a área do triângulo de vértices A = (3, 1, 1), B = (1, -2, 0) e C = (2, 1, -1).\n\nResposta: Temos que \\vec{AB} = (-2, 0, -2) e \\vec{AC} = (-1, 0, -2).\nA área do paralelogramo formado por \\vec{AB} e \\vec{AC} é \\| \\vec{AC} \\| = \\| (6, -3, -3) \\|\\n\nComo a área do triângulo é metade da área deste paralelogramo, então\n\nÁrea do triângulo =\n\nQuestão 3 (4 pontos): Determine o valor de \\lambda para que os vetores\n\na = (\\lambda, 1, -\\lambda)\n\\vec{b} = (1, 1, -3)\n\\vec{c} = (2, 1, 0)\nsejam coplanares.\n\nResposta: Os vetores \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} são coplanares se\n\\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c}) = 0\\n\nTemos que\n\n\\vec{b} \\times \\vec{c} = (3, -6, -1)\n\nPortanto,\n\n\\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c}) = 4\\n\nou seja, se\n\nQuestão 4 (6 pontos): Considere as retas\n\\beta - 2, y = -\\beta, z = -\\beta + 1\n\nx = 1, y = 4\\lambda - 2\\lambda - 1, \\lambda \\in \\mathbb{R}\n\n(a) (2 pontos) Determine o ponto de interseção entre as retas r e s.\n\nResposta: Temos que resolver o sistema\n\\begin{cases}\n\\beta - 2 = 1\n-\\beta = 4\\lambda - 1\n-\\beta + 1 = 2\\lambda - 1\n\\end{cases}\n\nDa primeira equação obtemos que \\beta = 3, substituindo este resultado na segunda equação, obtemos -\\beta = -1. Observamos que a terceira equação é satisfeita para os valores de \\lambda encontrados. Logo, o ponto de interseção entre as retas r e s é o ponto.\n\n(b) (1 ponto) Determine o ângulo entre as retas e.\n\nResposta: Observe inicialmente que o vetor \\vec{w} = (-1, -1) é um vetor diretor para a reta r e o vetor \\vec{w'} = (0, 4, 2) é um vetor diretor para a reta s. O cosseno do ângulo \\theta entre as retas é dado por\ncos \\theta = \\frac{\\left|\\vec{w} \\cdot \\vec{w'} \\right|} {\\|\\vec{w}\\| \\|\\vec{w'}\\|}\n\nLogo, o ângulo entre as retas é\n\\theta = \\arccos\\left(\\frac{3}{\\sqrt{15}}\\right)\n\n(c) (3 pontos) Determine a equação do plano que contém as retas r e s.\n\nResposta: O vetor \\vec{n} = \\vec{w} \\times \\vec{w'} = (2)\n\né um vetor normal ao plano que contém e (uma vez que o vetor é simultaneamente perpendicular aos vetores diretor de e). Além disso, o ponto pertence às duas retas e, portanto, a equação do plano é\n\n2(x - 1) - 2(y + 3) + 4(z + 2) = 0\n\ne, portanto,\n\\quad x - y + 2 = 0\n\nQuestão 5 (4 pontos): Determine a equação da reta de interseção dos planos\n\\Omega : x - y + z - 3 = 0\n\\Gamma : x + y + 2z + 4 = 0\n\nResposta: Observe inicialmente que o vetor \\vec{m_1} = (1, -1, 1) é um vetor normal ao plano \\Omega e o vetor \\vec{m_2} = (1, 1, 2) é um vetor normal ao plano \\Gamma. Logo, o vetor \\vec{v} = \\vec{m_1} \\times \\vec{m_2}\n\né um vetor diretor para a reta de interseção entre os planos (uma vez que o vetor é paralelo aos planos). Para obter um ponto da reta, podemos fazer\n\\begin{cases}\n y = 3\\n x + y = -4\\n\\end{cases}\ncujas soluções é x = -\\frac{1}{2} e y = \\frac{7}{2}.\n\nLogo, o ponto P = (-\\frac{1}{2}, \\frac{7}{2}, 0) pertence à reta r e a equação de r é\n\nr: x = -\\alpha, y = 2\\alpha, \\alpha \\in \\mathbb{R}\\n\nQuestão 6 (3 pontos): Determine os valores de m e n para que a reta\nr: x = \\frac{y - 3}{2} = \\frac{z - 1}{-2}\nseja perpendicular ao plano \\Omega :\n\nResposta: Observe inicialmente que o vetor \\vec{n} = (m, -n, -1) é um vetor normal ao plano \\Omega e o vetor \\vec{v} = (1, 2, 2)\n\né um vetor diretor da reta r. Observe que r e \\Omega são perpendiculares quando os vetores \\vec{n} e \\vec{v} forem paralelos, ou seja, quando\n\\begin{cases}\n 2n - 2 = 0\\n 1 + 2m = 0\\n 2m + n = 0\\n\\end{cases}\ncujas soluções é\n\\vec{n} = 1 e m = -\\frac{1}{2}\n