Transformações Lineares e Autovalores - Exercícios Resolvidos

Veja que 11 110 1 01 e 12 110 201 e como T é uma transformação linear T11 322 T10 T01 322 e T12 113 T10 2T01 113 Logo T10 T01 322 T10 2T01 113 T01 31 21 23 411 T10 342121 731 Portanto Txy Tx10 y01 xT10 yT01 x731 y411 Txy 7x 4y 3x y x y Agora se Txy 235 7x 4y 2 3x y 3 x y 5 y 3y 3 15 4y 12 y 3 x 3 5 x 2 Logo T23 u Para ser injetora x y 2Kz x 2y z x 3z 000 só pode ter a solução trivial logo det 1 1 2k 1 2 1 1 0 3 0 6 1 4k 3 0 k 1 Logo não é injetora se k 1 Seja a transformação linear T R2 R3 dada pela lei Txy 8x 18y 6x 11y 2x 4y considerando as bases A 1110 e B 111210301 determine TAB T11 81 181 61 111 21 41 818 611 24 10 5 2 e T10 81 180 61 110 21 40 8 6 2 Logo TAB 10 8 5 6 2 2 Verifique se o operador linear T R3 R3 definido por Txyz x z x y z y possui inversa e em caso afirmativo determine a sua inversa Passando para forma matricial T 1 0 1 1 1 1 0 1 0 e detT 1l 2 0 Logo é invertível e a inversa é 12 C e C 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 2 1 1 1 1 1 1 0 0 2 1 1 1 Logo 12 C 32 32 32 0 0 1 32 32 32 Portanto T1xyz x2 y2 z2 z x2 y2 z2 Calcule os autovalores e autovetores da seguinte transformação linear Txyz 7x 2y 2x 6y 2z 2y 5z do R3 Calculando as raizes do polinômio característico pλ 0 det 7λ 2 0 2 6λ 2 0 2 5λ 0 7λ6λ5λ 45λ 47λ 0 7λ5λ6λ 86λ 0 6λ7λ5λ 8 0 6λλ2 12λ 27 0 6λ3λ9λ 0 Logo os autovalores sao λ1 3 λ2 6 e λ3 9 Calculando cada autovetor λ1 3 7 2 0 2 6 2 0 2 5 xyz 3xyz 4x 2y 0 2x 3y 2z 0 z y 2y 2z 0 4x 2y 0 2x y 0 2x y 1 2 2 λ26 7 2 0 2 6 2 0 2 5 x y z 6 x y z x 2y 2x 2z 2y z 0 x 2y z 2y 2 1 2 λ39 7 2 0 2 6 2 0 2 5 x y z 9 x y z 2x 2y 0 2x 3y 2z 0 2y 4z 0 x y y 2z z 2 1 Logo os respectivos autovetores são 1 2 2 2 1 2 2 2 1