Aula 4 - Equações de Retas Tangente e Normal Derivadas de Ordem Superior e Derivação Implícita

Cálculo I\nAula 4: Equações de retas tangente e normal, derivadas de ordem superior e derivação implícita\nApresentação\nNessa aula vamos ver as equações de retas tangentes e normais a uma dada função com o auxílio da derivada, as derivadas sucessivas e derivaremos funções implícitas.\nObjetivos\nDeterminar as equações de retas tangentes e normais a uma dada função;\nDeterminar derivadas sucessivas;\nDerivar funções implícitas.\nInterpretação geométrica da derivada\nA derivada de uma função f em um ponto a nos fornece a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)). Essa interpretação geométrica da derivada é muito importante no que diz respeito à aproximação de funções, que veremos nas próximas aulas. Coeficiente angular da reta tangente a um gráfico em um ponto\nQueremos determinar a reta tangente ao gráfico de uma função f em P = (x1, y1) com y1 = f(x1)\nObserve que a reta tangente é a linha reta que contém P e 'melhor aproxima' o gráfico de f nas vizinhanças de P.\nPara determinarmos a equação da reta tangente precisamos de um ponto e do coeficiente angular da reta.\nObservação: Equação da reta que passa por P = (x0, y0) e tem coeficiente angular m: (y - y0) = m(x - x0)\nJá temos o ponto P pertencente a f, nos falta agora determinar o coeficiente angular.\nConsideremos um ponto vizinho a P, também pertencente a f,\nQ = (x1 + Δx1, y1 + Δy) = (x1 + Δx1, f(x1 + Δx1))\nO coeficiente angular da reta secante PQ será\nΔy/Δx = (f(x1 + Δx1) - f(x1))/(Δx).\nFazemos então Q se aproximar de P cada vez mais. Note que se o ponto Q coincidir com o ponto P, e, portanto, a reta secante tenderá à reta tangente. Em outras palavras, a reta tangente é a posição limite da reta secante PQ quando Q tende a P.\nΔy = f(x1 + Δx) - f(x1)\nCoeficiente angular da secante\nm = (f(x1 + Δx) - f(x1))/Δx\nΔx → 0 ⇒ Q → P\nSecante gira em torno de P\nA inclinação da tangente será, portanto,\nm = lim (Δx→0) Δy/Δx = lim (Δx→0) (f(x1 + Δx) - f(x1))/Δx\nReta tangente ao gráfico\nSeja f função definida pelo menos em algum intervalo contendo o número x1 e seja y1 = f(x1). Se o limite\nm = lim (Δx→0) Δy/Δx \n= lim (Δx→0) (f(x1 + Δx) - f(x1))/Δx \nexiste, diremos que a linha reta no plano xy contendo o ponto e tendo coeficiente angular m é a reta tangente ao gráfico de f em (x1, y1). Agora que conhecemos o ponto pertencente à reta e o seu coeficiente angular, podemos determinar a equação da reta tangente.\n\nEquação da reta tangente\nSuponha t diferencial em x, r(f(x)) coeficiente angular da tangente ao gráfico n ponto ou ainda (x 1, f(x 1))\nA equação da tangente na forma ponto-coeficiente angular é y = y 1 = r(f(x 1))(x-x 1)\n\nEquação da reta normal\nA reta normal ao gráfico de f no ponto (x 1, y 1) é definida como sendo a linha reta através de (x 1, y 1) que é perpendicular à reta tangente em (x 1, y 1).\nCoeficiente angular da reta normal (-1/r(f(x 1)))\nEquação da reta normal:\n\ny - y 1 = -1/r(f(x 1))(x - x 1)\n\nLEGENDAS (Fonte: AUTOR / Shutterstock). Exemplo 1\nDeterminar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x² no ponto P(2, 4).\n\nSabemos que a reta tangente ao gráfico de f(x) = x² no ponto P(2, 4). O que resta é determinar a inclinação desta reta.\nPrecisamos encontrar o coeficiente angular da reta. Basta que encontremos a derivada no ponto P(2, 4).\nf(x) = 2x\nf'(2) = 4\nAssim, o coeficiente angular da reta tangente no ponto P (2, 4) é em m= 4.\nA reta que passa por P (2, 4) e tem coeficiente angular m = 4 é:\ny - y 0 = m(x - x 0)\ny - 4 = 4(x - 2)\ny = 4x - 8 + 4\ny = 4x - 4\n\nExemplo 2\nDetermine a equação da reta normal ao gráfico de f(x)=x² no ponto P(2, 4).\nA reta normal ao gráfico é perpendicular à reta tangente. Assim, o produto dos coeficientes angulares dessas duas retas perpendiculares é -1.\n\nm r . m s = -1 ou ainda, m r = -1/m s\nComo o coeficiente angular da reta tangente é 4, temos que o coeficiente angular da reta normal será -1/4. A reta normal também passará pelo ponto P(2, 4).\n\ny - y 0 = m(x - x 0)\ny - 4 = -1/4(x - 2)\ny - 4 = -1/4x + 1/2\ny = -1/4x + 9/2\n Derivadas de ordem superior\nSe f é uma função diferenciável, então sua derivada f' também uma função, dessa forma, a derivada de f poderá ter sua própria derivada, que denominamos por f''.\nEsta nova função f' chamamos de derivada segunda de f, uma vez que é derivada da derivada. De modo análogo define-se as derivadas de ordens superiores a 2 de f.\n\nPodemos pensar na ideia da segunda derivada como sendo um conceito associado ao movimento de uma partícula P ao longo de uma reta orientada.\ns = f(t) => equação do movimento.\nSabemos que a taxa de variação do espaço em relação ao tempo é a velocidade, ou seja, a derivada da equação de posição nos fornece a equação de velocidade da partícula.\n\nVelocidade: v = ds/dt\nA variação instantânea da velocidade em relação ao tempo nos fornece a aceleração da partícula:\n\nESTÁ CORTADO NO SLIDE\n\nExemplo\nEncontre todas as derivadas de ordem superior da função polinomial\n\nf(x) = 50x 4 - 8x 3 + 15x 2 - 2x + 2\nf'(x) = 200x 3 - 24x 2 + 30x - 2\nf''(x) = 600x 2 - 48x + 30\nf'''(x) = 1.800x - 48\nf''''(x) = 3.600\nf''''(x) = 0\n\nFórmulas Derivada primeira: y' = f'(x)\nNotações de Leibnitz: dy/dx = f'(x)\n\nSegunda derivada: (y')' = y'' = f''(x)\nNotações de Leibnitz: d²y/dx² = f''(x)\n\nN-ésima derivada: (y(n-1))' = y(n) = f(n)(x)\nNotações de Leibnitz: dⁿy/dxⁿ = f(n)(x)\n\nDiferenção implícita\n\nFunções Implícitas:\n\nConsidere como uma função dx definida pela equação y = 2x² + 7x - 5\n\nDizemos que, neste caso, Y é definida explicitamente em termos de x e escrevemos y = f(x) onde f(x) = 2x² + 7x - 5\n\nSempre que temos uma função escrita na forma y = f(x), dizemos que y é uma função explícita de x, porque podemos isolar a variável dependente de um lado e a expressão da função do outro.\n\nNo entanto, nem todas as funções estão definidas de forma explícita. Na verdade, nem sempre isso é possível ou mesmo conveniente. No exemplo: xy + 3 - 3x - 4y.\n\nNote que y não está expressa em função de x. Neste caso dizemos que y é definida implicitamente pela equação.\n\nEm alguns casos é possível expressar o valor de y de forma explícita em função de x, e a partir daí, podemos diferenciá-la utilizando as regras de derivação já nossas conhecidas.\n\nProcesso para diferenciação implícita\n\nConsidere uma equação na qual y está definida de forma implícita. Podemos determinar dy/dx por intermédio do seguinte processo:\n\n1 Diferenciamos ambos os membros da equação em relação a x. Lembre-se de que y deve ser encarado como uma função de x, e por isso, devemos usar a regra da cadeia quando for necessário para diferenciar as expressões nas quais aparecem y.\n\nObtivemos então uma equação onde aparecem não somente x e y, mas também dy/dx. Isolamos então a derivada dy/dx. Atividade\n\nDetermine a derivada dy/dx da função x² + xy + y = 30, utilizando o processo de diferenciação implícita.\n\nNotas\n\nTítulo modal 1\n\nLorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográfica e de impressos. Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográfica e de impressos. Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográfica e de impressos.\n\nTítulo modal 1\n\nLorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográfica e de impressos. Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográfica e de impressos.\n\nReferências\n\nLEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v.\n\nIEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar 8: limites, derivadas, noções de integral. 5ª ed. São Paulo: ATUAL, 1999.\n\nMUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1978-1982. 2 v.\n\nPróxima aula\n\nNa próxima aula aprenderemos alguns teoremas envolvendo derivadas que auxiliarão na análise e confecção de gráficos.\n\nExplore mais\n\nPesquise na internet, sites, vídeos e artigos relacionados ao conteúdo visto.\n\nEm caso de dúvidas, converse com seu professor online por meio dos recursos disponíveis no ambiente de aprendizagem.