Cálculo da Velocidade Instantânea em Movimento Retilíneo

CCAP ERCB WHS AEE VET ICOIE EEDA DE HE PTVAIGHIO EINK NE CLIAING EINIKLEAY Poy Wesner Lorne 1 Problema Uma partıcula se move em linha reta segundo a lei st t2 2t sendo s medido em metros e t em segundos Um observador deseja comparar as ve locidades em diversos instantes a saber t 5 10 15 e 20 segundos Que resultados este observador encontrou Solucao No capıtulo 2 aprendemos como calcular a velocidade instantˆanea num determinado instante por meio de limites Todavia uma quantidade grande de ins tantes para calcular sugere naturalmente uma questao sera que existe uma formula que permita calcular estas velocidades sem precisarmos calcular todos os limites A velocidade instantˆanea quando calculada em um ponto t arbitrario induz uma funcao vt definida como vt lim h0 st h st h Neste sentido se quisermos por exemplo calcular a velocidade instantˆanea de um corpo que se move segundo a lei st t2 2t no instante t qualquer devemos realizar a seguinte conta vt lim h0 t h2 2t h t2 2t h lim h0 2th h2 2h h lim h02t h 2 2t 2 De posse desta formula nao necessitamos calcular um limite para cada instante de tempo solicitado Isto e a velocidade no instante t 5 e dada por v5 8 Nesta mesma linha temos v10 18 v15 28 e v20 38 O raciocınio empregado para a velocidade como variacao da posicao vale para quaisquer situacoes que envolvem variacao de uma grandeza em funcao de outra Generalizando Se uma grandeza G varia continuamente em funcao de outra grandeza n entao definimos a taxa de variacao instantˆanea de G em relacao a n como a funcao obtida pelo limite se existir dG dn lim h0 Gn h Gn h De acordo com a notacao convencionada podese dizer que vt ds dt 2 Exemplo 1 Encontre a funcao velocidade correspondente a st 2t2 4 Solucao vt ds dt lim h0 2t h2 4 2t2 4 h lim h0 4th 2h2 h lim h04t 2h 4t Exemplo 2 Suponha que um balao tem um formato de uma esfera e e preen chido de ar de modo que seu volume V varia em funcao do raio r segundo a formula V r 4 3πr3 Encontre a formula que representa a taxa de variacao instantˆanea do volume em funcao de r Solucao Esta formula e gerada pelo limite dV dr lim h0 V r h V r h Fazendo as contas obtemos dV dr lim h0 4 3πr h3 4 3πr3 h lim h0 4 3πr3 3r2h 3rh2 h3 4 3πr3 h lim h0 4 3π3r2h 3rh2 h3 h lim h0 4 3π3r2 3rh h2 4πr2 c Para pensard O resultado acima e interpretado da seguinte maneira se quisermos a taxa de variacao do volume no instante em que r 2m fazemos 4π22 16π se quisermos a taxa de variacao no instante em que r 3m fazemos 4π32 36π etc etc 3 Exemplo 3 Estatısticos de uma empresa demonstraram que n mil unidades produzidas de um certo produto geram um lucro de Ln 400n2 6800n 12000 reais Encontre a taxa de variacao do lucro em relacao a quantidade de unidades vendidas nos momentos em que estao sendo produzidas respectivamente 9 95 e 10 mil unidades Avalie a partir do resultado encontrado se a venda deste produto esta sendo vantajosa para o fabricante Solucao Em vez de calcular trˆes limites encontraremos a funcao que fornece a taxa desejada dL dn lim h0 Ln h Ln h lim h0 400n h2 6800n h 12000 400n2 6800n 12000 h lim h0 800nh 400h2 6800h h lim h0800n 400h 6800 800n 6800 Logo substituindo os valores solicitados obtemos respectivamente taxas iguais a 400 800 e 1200 reais para cada mil unidades Com estes dados avaliamos que o lucro esta diminuindo pois sua variacao esta negativa c Para pensard Se a taxa de variacao do lucro e negativa podemos dizer que o empresario esta tendo prejuızo A partir da questao anterior qual e a relacao entre queda de precos e queda de inflacao 4 Exercıcio 1 Resolva os problemas que seguem a Uma nave espacial de brinquedo sobe verticalmente de modo que apos t se gundos de decolagem ele fica a ht 1 2t2 10t metros acima do solo i Encontre a formula da velocidade instantˆanea do foguete ii Qual e a velocidade no instante de seu lancamento t 0 iii No momento em que o foguete atinge a altura maxima ele evidentemente para de subir Logo a velocidade neste instante e igual a zero Que instante e este b Pesquisadores modelaram a variacao do diˆametro D em mm da arteria aorta de um paciente submetido a um cateterismo em funcao da pressao arterial ρ em mm de mercurio de acordo com a formula Dρ 0 0009ρ2 0 13ρ 17 81 i Determine dD dρ nos instantes em que ρ 60 80 e 100 respectivamente O diˆametro esta aumentando ou diminuindo ii Para que valor de ρ temse dD dρ 0 Qual o significado fısico deste valor de pressao c Experimentos realizados com uma pulga mostraram que cada pulo dado por ela apos t segundos sua altura em metros e igual a Ht 4 4t 4 9t2 i Calcule a taxa de variacao da altura alcancada pela pulga nos instantes t 3 4 5 e 6 segundos respectivamente ii Em quais destes instantes a pulga esta em movimento de subida e em quais ela esta em movimento de descida iii Em que instante dH dt 0 Qual o significado fısico deste instante d A fim de controlar a contratacao de maodeobra de uma fabrica foi determi nado que P unidades sao produzidas quando h homenshoras sao usados na producao de modo que Ph 3100 hEncontre dP dh 5 Agora desejamos esbocar o grafico de s st no sistema t s para ter uma visao geometrica do processo Que significado tera a velocidade instantˆanea v no sistema de coordenadas Para responder esta questao formalizaremos a definicao da funcao que representa a taxa de variacao instantˆanea de uma funcao qualquer Se y fx entao a taxa de variacao de y em um instante qualquer x e calculada como df dx lim h0 fx h fx h Este limite quando existe induz uma outra funcao de x usualmente denotada tambem como f x chamada derivada da funcao fx Ou seja Dada uma funcao fx definimos a derivada de fx como o limite se existir f x lim h0 fx h fx h 1 Neste sentido uma taxa de variacao num determinado instante significa calcular a imagem da funcao derivada no ponto em outras palavras A derivada de uma funcao fx num ponto x a e o limite quando existir f a lim h0 fa h fa h 2 Duas perguntas pode saltar naturalmente das mentes curiosas Quando usamos a notacao f x e quando usamos df dx Qual e a interpretacao grafica da derivada Sobre as notacoes f x e df dx elas representam exatamente a mesma coisa Em geral df dx e mais comum em situacoes praticas e f x e mais usado em enunciados de teoremas e propriedades devido a sua escrita mais simplificada Todavia estas observacoes nao sao regras 6 Sobre a interpretacao grafica da derivada consideremos uma funcao y fx definida em um ponto x a e seja h 0 um numero real tal que f seja contınua em todos os pontos do intervalo a ah Os pontos Pa fa e Xah fah definem uma reta secante ao grafico de f Figura 1 Figura 1 Reta secante definida por Pa fa e Xa h fa h Ora o quociente fa h fa h mede a inclinacao da reta secante Portanto se h 0 o ponto ah tendera para a e portanto X P o que implicara na secante tendendo a ser tangente em P Em sıntese a derivada e portanto a velocidade instantˆanea ou qualquer taxa de variacao instantˆanea de uma grandeza G representa a inclinacao da reta tangente ao grafico de fx no ponto x a c Para pensard Clique AQUI para manipular o ponto X como na Figura 1 7 Exemplo 4 Calcule f x sendo fx x3 x2 Solucao f x lim h0 fx h fx h lim h0 x h3 x h2 x3 x2 h lim h0 x3 3x2h 3xh2 h3 x2 2hx h2 x3 x2 h lim h03x2 3xh h2 2x h 3x2 2x c Para pensard E comum sintetizar a notacao de derivada escrevendo no caso do Exemplo 4 o seguinte x3 x2 3x2 2x Exemplo 5 Encontre a equacao da reta tangente ao grafico de y x2 no ponto x 2 Solucao A equacao de uma reta que passa por Px0 y0 e tem m como coeficiente angular e como sabemos y y0 mx x0 No presente caso x0 y0 2 4 e a equacao fica y 4 mx 2 Alem do mais m f 2 donde f 2 lim h0 f2 h f2 h lim h0 2 h2 4 h lim h0 42h h2 h lim h0 4 h 4 Assim a equacao da reta tangente fica y 4 4x 2 y 4x 4 A continuidade de uma funcao fx em um ponto x a e nescessaria para o calculo de f a mas nao e suficiente Com efeito a derivada e um limite e um limite somente existe se existirem os limites laterais e eles forem iguais Veja no Exemplo 6 8 Exemplo 6 Mostre que nao existe derivada de fx 3x no ponto x 0 Solucao Observe o grafico da funcao fx Figura 2 Grafico de fx 3x Ela e continua em x 0 Todavia lim h0 f0 h f0 h lim h0 fh f0 h lim h0 3 h 0 h lim h0 3 h h lim h0 3 h 3 h2 h 3 h2 lim h0 h h 3 h2 lim h0 1 3 h2 Como lim h0 1 3 h2 e lim h0 1 3 h2 segue que nao existe o limite lim h0 f0 h f0 h e portanto nao existe derivada de fx 3x no ponto x 0 9 Geometricamente a derivada de fx nao existiu em x 0 porque a tangente neste ponto e vertical e nao se define inclinacao de reta tangente quando a reta for vertical Outra possibilidade geometrica de nao derivabilidade de funcoes contınuas e o grafico apresentar uma quina em x a Os limites laterais de lim h0 fa h fa h podem existir mas serao diferentes como no Exemplo 7 Exemplo 7 Prove que nao existe a derivada de fx x em x 0 Solucao lim h0 f0 h f0 h lim h0 0 h 0 h lim h0 h h Os limites laterais deste ultimo resultam em lim h0 h h 1 e lim h0 h h 1 Logo nao existe a derivada de fx x em x 0 Exercıcio 2 Calcule f x considerando x como um ponto onde a derivada existe a fx 3 b fx x c fx x d fx 1 x e fx 1 x2 f fx 1 x Exercıcio 3 Encontre as equacoes das retas tangentes ao grafico de fx nos pontos x 1 x 0 e x 1 respectivamente a fx x2 x 1 b fx 3x2 4 c fx x3 x 1 d fx x4 1 Exercıcio 4 Mostre que nao existe a derivada de fx no ponto dado a fx x 1 x 1 em x 1 b fx x23 em x 0 10 Respostas dos exercıcios propostos Exercıcio 1 a i V t 10 ii 10 ms iii t 10s b i dD dρ 60 0 238 mm dD dρ 80 0 274 mm dD dρ 100 0 310 mm ii ρ 72 22 mm de mercurio c i dH dt 3 25 ms dH dt 4 34 8 ms dH dt 5 44 6 ms dH dt 6 54 4 ms ii Para esses instantes a pulga esta em momento de descida iii t 0 44s d dP dh 1550h 1 2 Exercıcio 2 a 0 b 1 c 1 2x d 1 x2 e 2 x3 f 1 2x15 Exercıcio 3 a y x y x 1 y 3x b y 6x 1 y 4 y 6x 1 c y 4x 3 y x 1 y 4x 1 d y 4x 2 y 1 y 4x 2 Exercıcios 4 a Limites laterais de lim h0 fa h fa h existem mas sao distintos b Limites laterais de lim h0 fa h fa h nao existem 11