Cálculo de Volume de Figuras Não Triviais

CAPITULO BOSSI MET LARNACA ibo IKON VOLUMES DE SOLTDOS DE AN ALARA UIKIAIS REVOLUGAS Popo Wagner Leva 1 Problema Neste capıtulo nos debrucaremos sobre a questao de como calcular o volume de figuras distintas das triviais prismas pirˆamides cilindros cones e esfera Assim como ocorreu no calculo da area do cırculo a aproximacao da figura em partes conhecidas predominou ao longo dos seculos Em destaque mencionamos Bonaventura Cavalieiri discıpulo de Galileu Galilei que enxergou um cone como uma uniao de discos de espessura desprezıvel e enunciou o lema que hoje leva o seu nome Princıpio de Cavalieiri Dados dois solidos incluıdos entre um par de planos paralelos se todo plano paralelo ao par de planos e que intersepta os solidos o faz em secoes cujas areas estao sempre na mesma razao entao os volumes dos solidos tambem estao nessa mesma razao Figura 1 Divisao do cone em fatias cilındricas A Figura 1 e a base fundamental para o calculo de volumes de solidos de revolucao usando integrais 2 Sejam f a b R funcao contınua R a regiao sob o seu grafico e S o solido obtido pela rotacao de R em torno do eixo x ver Figura 2 Figura 2 Rotacao de R em torno do eixo x Em analogia com o calculo de area sob o grafico de fx dividimos a b em n partes iguais sendo a x0 e b xn a b x0 x1 x1 x2 xn1 xn Cada segmento xi xi1 sera a altura de um cilindro inscrito em S Sua medida e x b an Figura 3 Particao de a b para calculo do volume de S 3 Consideraremos para cada i 0n 1 um ponto 44 tal que fq seja o raio do cilindro Y y y fz y fz f ci Tr Teerrsaees tenereag Fei et Vaeetsanessesee x x Eva ine Figura 4 Aproximagao de S por cilindros 2 Cada cilindro tem base circular de area 7 f ci e altura Ax Logo o volume de S é aproximado pela soma dos volumes dos cilindros a saber n1 2 S 1 f i Aa i0 O resultado é alcangado pelo limite n1 2 V tm Ya Fea Av 2 Como fx é continua segue que f x é continua e portanto integravel Logo seguindo a mesma trilha do capitulo anterior obtemos b 2 1 v Fo dx a 4 Exemplo 1 Seja R a regiao compreendida pelo grafico de fa z 0 eixo x e areta x 9 Calcule o volume do sdlido S obtido pela rotagao de R em torno o elxo Solugao Consideremos os graficos de R e de S Y y fz Va fx Vx Pa S Figura 5 Volume de S sendo fx x De acordo com 1 temos 9 2 9 1 gin v nv2 a rade 7 52 0 0 2 2 0 5 Exemplo 2 Seja R a regiao compreendida pelo grafico de fx x e o eixo x entre x 1ex1 Mostre que 0 volume do sdlido S obtido pela rotagao de R em torno o eixo x é duas vezes o resultado que obtemos se o intervalo de fx estiver compreendido entre x le x 0 Solugdo Sabemos que a regiao compreendida em 1 1 tem o dobro da area da regiao compreendida em 1 0 y f fa 23 i x 1 R2 R2 a Figura 6 Volume de S sendo fx x Mostraremos que um volume é 0 dobro do outro e ao mesmo tempo confirmaremos que o volume sera sempre positivo mesmo que fx 0 em 1 1 Com efeito Volume do sélido obtido pela rotagado de R2 com x 10 32 6 TT T az 7 wT v x 0te neer Fo o71 1 1 7 7 7 Volume do sélido obtido pela rotagao de R com x 11 2 1 T 27 V T x dx nradx x 1 1 4 7 7 7 6 Exercıcio 1 Considere em cada item a regiao R destacada e calcule o volume do solido S obtido pela rotacao de R em torno do eixo x 7 Exemplo 3 Considere a regiao R compreendida pelos grafico de fx 42 e gx 4 22x Calcule o volume do sdlido S obtido na rotagéo de R em torno do eixo 2 Solugao Considere na Figura 7 a regiao R e trés vistas de S Tratase de uma figura tridimensional delimitada internamente pelo sdélido gerado por ga e exter namente pelo sdlido gerado por fx y y y y fz as oo a 2 A x aq Figura 7 Volume de S compreendido por fx e gx Logo o volume V que desejamos calcular é dado pela diferenga dos volumes Vy do sélido gerado por fx por V do sdlido gerado por gx Determinemos o valor de a para efetuarmos as integrais definidas 4a 42 a 22 0 r0our2a2 Agora V VyV 2 2 m4 xdx n4 2xdx 0 0 2 2 16 8a xdx 16 162 4xdzx 0 0 1 39 7 v 1227 16xdaz 52 4a sc 7 0 5 5 5 8 Sejam R a regiao sob o grafico de f ab Rek R Tomaremos como S o sdlido obtido pela rotagao de R em torno de y k Figura 8 Yy y fc FCC besa ci ki ki yk Az Figura 8 Raio de um dos cilindros inscritos em S Portanto n1 b 2 2 V im Vea seo k At Fo k dx Agora suponha que y fa possua inversa fy em a b Definiremos R como a regiao compreendida pelo grafico de f ab Re 0 eixo y e considere S como o solido obtido pela rotagéo de R em torno do eixo y Figura 9 y f0 Ay fa fe Figura 9 Sdlido girando em torno do eixo y 9 Em analogia a todos os casos anteriores o calculo do volume de S sera dado pela formula fb 4 2 v alway fa Nas condigoes acima e fazendo R girar em torno de uma reta x kk R obtemos fb 2 v fal ay fa Exemplo 4 Use as f6rmulas acima para encontrar o volume do cone circular reto S com raio da base r e altura h Figura 10 y h x r Figura 10 Cone de raio r e altura h Solugao O cone S é 0 resultado da rotacao da reta que passa por r0 e 0 h em torno do eixo y A equacao dessa reta é ct Y yey r h Como a reta sera girada em torno de y devemos eliminar a equacao em 2 a fim de obter x fy r vr J 10 Logo o volume de S é dado pela férmula A 2 r v ebOate wir 7 Y dy h 2 2 2r r 2 2 d Le Gee h T ry r y re y h 3h 5 2 2 2 r 2 r 3 T 2 oG Ge en G Cae G Exercicio 2 Calcule o volume do sélido S obtido pela rotagao de R em torno da reta dada a R é delimitada por y x e y 1 em torno de y 2 b R é delimitada por y 27y 0e x 1 em torno de xz 1 c R é delimitada por y xx 02 1e y 0 em torno de y 1 d R é delimitada por y xy 02 0 e x 1 em torno de y 2 e R é delimitada por y zx 0 e x 2 em torno de x 4 f R é delimitada por y z7x 1e y 8 em torno de x 1 11 Respostas dos exercıcios propostos Exercıcio 1 a V π b V 33π 5 c V πe2 1 2 d V 8π 105 e V 16π 3 f V 9 3 3π π86 63 3 3 7 Exercıcio 2 a V 56π 15 b V 2π 3 c V 13π 15 d V e V f V 12