Cálculo da Área de Figuras Curvilíneas e o Método de Arquimedes

CAPEEULO COVA CAREW YAW SAHINGEEEIGIRYACH SS EREEARERINER DATS KAXPDNAT IRARINOY TE AURA Poy Wesner Lorne 1 Problema Como calcular a area de figuras curvilıneas Como foi encontrada a formula da area do cırculo Um dos problemas matematicos que se arrastou por muitos seculos e o de calcular a area de uma regiao distinta de um polıgono figuras de area conhecida desde a Antiguidade A ideia que acreditamos ser essencial para o Calculo Diferencial e Integral emerge da ideia der Arquimedes para o calculo da area do cırculo Ele inscreve um polıgono regular dentro do cırculo e circunscreve outro polıgono regular com mesmo numero de lados fora do cırculo Em seguida polıgonos inscrito e circunscrito sao substituıdos sucessivamente por polıgonos regulares com numero de lados cada vez maior de tal maneira que Arqui medes encontra uma relacao entre a area do cırculo e a area dos polıgonos Desta maneira Arquimdes percebeu tambem que a razao Area Raio2 se mantinha constante em todos os cırculos Este numero mais tarde foi denomi nado como π 2 Nos preocupemos apenas com a ideia inicial da inscricao e circunscriao de poligonos No mesmo caminho Newton e Leibniz usaram esta ideia ver Figura 1 para calcu lar a Area sob uma curva que hoje compreendemos como o grafico de uma fungao real continua f ab R y y fx a b x Figura 1 Partigaéo 1 de uma area sob o grafico de fz Para desenvoler uma sintaxe capaz de representar uma soma arbitraria de areas de retangulos definese antes a notacao somatorio Em primeiro lugar quando ordenamos um conjunto de n numeros reais n N denotamolos por ay d2 y ou sinteticamente por a 1 7 n e chamamos este conjunto de sequéncia de niimeros reais Dados n N e uma sequéncia de ntimeros reais a 1 i n escrevemos a soma n de seus termos como S a e chamamos esta notacao como somatoério de a até ay i1 Em outras palavras ne Say a 50 Ay i1 Exemplo 1 Vejamos o desenvolvimento de alguns somatérios 6 5 a Si 14243444546 c Soa 28 2 2 24 42 i1 i1 1 1 121 1 b Se pe d 5555 Vaptytptp dX 3 Podese usar a notacao somatério para somas parciais dos termos de uma sequéncia por exemplo n Soa a3 ay i3 Ou podese também indexar os termos de uma sequéncia a partir do 0 e definir n Soa a9 ay i0 A notagao somatoério goza de algumas propriedades eee Exercicio 1 Desenvolver os somatérios 4 3 6 a S 3 c So 2 2i 1 e S sen im cosi7 i0 i0 i2 8 7 5 b d 7 1 f iln2i YS P Yoéin2i 13 14 12 a 4 Voltando a Figura 1 dividimos ab em n partes iguais sendo a 4 eb y la b ro x1 U v1 9 UU n1 Ln Para cada i 0n1 existe c xj vi41 tal que fG é a altura do retangulo de base Ax ban Sua area portanto é A fc Az A area A sob o grafico de fx sera aproximada pela soma das areas A ou seja Ax A of a Ax i0 i0 de tal forma que a drea A seja o resultado do limite se existir ver Figura 2 Oe a fled as A 05 Z 05 J va us ZL J 03 o2 LA 02 I F i P eet PLP PPT TTT TT Ee Figura 2 Sequéncia de particdes para a funcdo y x 5 Exemplo 2 Vejamos uma simulacao da situacao acima para o calculo da area sob o grafico de y x2 no intervalo 0 1 Figura 2 x n A 05 2 0125 025 4 05625 0125 8 1153125 00625 16 351563 Tabela 1 Aproximacoes da area sob y x2 em 0 1 A Tabela 1 mostra que nao e possıvel encontrar um padrao para estimar o resultado do limite 1 Isto implica em uma necessidade de aprofundarmos as discussoes sobre como determinar a area sob gaficos de funcoes Devemos nos atentar para o fato de que a aproximacao por retˆangulos feita acima considera que os retˆangulos estao sob o grafico de y fx Todavia a mesma construcao pode ser feita considerando retˆangulos sobre o grafico de y fx como na Figura 3 Figura 3 Particao 2 de uma area sob o grafico de fx A diferenca entre a configuracao das Figuras 1 e 3 esta na escolha de ci xi xi1 tal que fci seja a altura do retˆangulo de base em xi xi1 6 Podese também flexibilizar o tamanho de cada intervalo de modo que cada um tenha um tamanho diferente Av x 7 Nestas condicoes considere o limite 2 sim Eonteaal e Quando c for escolhido de modo a obter a configuracgao da Figura 3 deno tamos o limite 2 se existir por Sin e Quando c for escolhido de modo a obter a configuragao da Figura 3 deno tamos o limite 2 se existir por Ssup Caso os limites existam teremos sempre Sing A Sup Quando ocorrer a igualdade S A Sup dizemos que A é integravel e denotamos b A fxdx Utilizando uma teoria mais formalizada provase que toda fungao continua em a b é integravel em ab Consideraremos portanto esta hipdtese doravante Das propriedades de limites e de somatérios temos imediatamente que Teorema 2 Dados abc Ra b c as fungoes fx e gx integraveis em ac e k R temos b b a k fadx kf fxdx b b b 0 Utoae pears gea0 b a f taar f foar a b faar0 b c c f tajae feyae f payae a b a b f fx 0 em a fxdx 0 b g fx 0 em a dj fxdxz 0 7 b A ultima propriedade mostra as condigdes para que A fxdx represente a Area compreendida entre o grafico de y fx 0 eixo a no intevalo a b b 3 fz Oem ab A fadx b 4 fz O0em ab A Fle a 2 3 2 Exercicio 2 Sabendo que fxdx 2 fxdx le gadx 4 determine 2 a Fle T9a dx 1 3 0 faaa 1 c A area sob o grafico de fa em 13 eee a Exercicio 3 Em cada item esboce o grafico da funcaio dada no intervalo deli mitado e use a geometria elementar para calcular as integrais 3 2 a 20 3dx c x 1dx 1 1 1 1 b a 2dx d 3axdax 2 1 a eee Exercicio 4 O grafico de fx é a linha poligonal A1 1 B24C8 2 Ex presse a area sob o grafico de fx em 18 na forma de integrais e calcule 8 soa 1 eee 8 Considere agora a regiao R do plano delimitada pelos graficos das fungdes fx e gx em a b de tal modo que fx gx para todo x ab Figura 4 Entao b b b AreaR flade f gxdx fx gada y 2 x a b Figura 4 Area compreendida pelos graficos de f x e ga Exercicio 5 Expresse a area do poligono da Figura 5 como de soma e diferenca de integrais y 7 D 6 5 4 C 3 A 2 B 1 0 1 2 3 4 5 6 Figura 5 Area do poligono 9 Teorema 3 Teorema Fundamental do CAalculo Sejam fx uma fungao continua em um intervalo fechado ab e F2 sua primitiva Entao b feae FO Fea Demonstragao Em primeiro lugar definiremos 0 valor médio de uma fungao fx em um intervalo ab Para tanto considere ab 921 U U p12n c x1 x donde definimos n1 Her flea a 5 M C1 Cn i0 n n Sendo Az a medida comum dos intervalos da particao temos que b 6 bande n Substituindo 6 em 5 obtemse n1 n1 n1 Fite de Sote Spear gs M 220 CO A 7 ba ba ba ba dfe Az Fazendo n 00 0 resultado de 7 tornase 0 valor médio de f ab R 1 b 8 Mf 5a f fleas Agora fx é continua logo possui maximo em minimo a b que denotaremos por minf e maxf respectivamente Ou seja 9 minf Mf maxf Novamente pelo fato de fa ser continua ela assume todos os valores em a variando de minf até maxf sem saltos interrupgoes etc Logo existe c a b tal que 1 b 10 Flo f Fada 10 Agora mostraremos que dado k ab podemos escrever Fx ftadt k Com efeito F hF 1 ue pene Pe h Fz f tdt f f tdt f tdt h h k k h J De acordo com 10 existe c x x h tal que Fah Fx 1 ete eS AL Hott 00 h h J Se h 0 necessariamente c x e a expressao acima fica Fz fz Finalmente b a b FO Fa f par fo pyae fo peat k k a a Exemplo 3 Calcule a area sob 0 grafico de fr 42 entrer ler2 Solucao Considere o grafico da regiao mencionada y y42 2 1 0 1 3 47 2 3 7 1 5 A 42de 42 84 eite 0 3 83 9 3 11 Exemplo 4 Calcule a area sob 0 grafico de fx senx entrex 0ex 27 Solucao Este exemplo mostra que é necessario conhecer 0 comporatamento de fx antes de calcular areas De fato realizando as contas indiscrimandamente leva neste caso a um resultado paradoxal 20 Qn A sen xdx cosx cos27 cos0 110 0 0 Ora A 0 implica na nao existéncia de drea entre o grafico de fx sen zx e 0 eixo x mas sabemos que isto nao é verdade Ja vimos que esta situacao ocorre porque em 027 ha pelo menos um subintervalo onde fz 0 Neste caso é preciso conhecer os subintervalos de 027 onde fa 0 e os que fx 0 No caso deste exemplo conhecemos o grafico de fa sen a y y senx 1 De acordo com 3 e 4 a area sera 20 A sen xdx 0 wT 2a sen xdx sen rte 0 wT wT 20 cos costo 0 WT 1 1114 12 Exemplo 5 Calcule a area sob o grafico de fx a 1x 2x 3 entre rOer4 Solucao Para esta fungao podemos calcular a area solicitada sem conhecer o seu grafico pois as trés raizes de fx estao no intervalo 04 Fagamos o estudo de sinal de fx fx 0 fx 0 fx 0 fx 0 sss qq qqqqqqgggggggigigg g gg Portanto 1 2 3 4 11 A Flee f fadx Fee f fadx 0 1 2 3 Expandindo fx temos x 1x 2a 3 x3 6x 11 6 de primitiva 4 11 2 Fx 2a Ge Entao 1 9 dx few 4 1 dx flee 7 tea 4 wdx 7 4 9 dx fee 5 Substituindo as integrais acima em 11 chegamos a 9 1 1 9 A Sege aed 13 Exercicio 6 Calcule a area sob o grafico da funcaéo dada no intervalo I dado a fx 2 I 23 d fx cosx I 07 b fv a 11 13 c fx 3 1 2 I 2 2 c fz e T 01 f fx w11 02 Exemplo 6 Calcule a Area da regiao delimitada pelos graficos de fx x e gx x2 Solucao Notase na Figura 6 que é preciso encontrar o valor de a tendo em vista ver Figura 4 que A f2 gaaz 0 y fx Ve gva22 a x Figura 6 Regiao delimitada por fx x e gx x2 Para isto fazemos Vea22r2745242105 uz41020o0ur4 Testando as solucgoes verificase a 4 Logo 4 4 92732 2 A x x2dx CS 0 3 4 5 16 4 40 as 14 Exemplo 7 A Figura 7 mostra uma regiao R delimitada pelos graficos das funcoes fx x3 x gx 1 x2 e hx 3x2 Determinar a sua area Figura 7 Regiao R delimitada por fx gx e hx Solucao E necessario particionar R R1 R2 sendo R1 compreendendo o intervalo de valores x a R2 compreendendo o intervalo de valores x a Primeiro determinaremos pontos de intersecao com o eixo x gx 1 x2 0 x 1 hx 3x2 0 x 0 Logo R compreende o intervalo 0 1 R1 compreende o intervalo 0 a R2 compreende o intervalo a 1 15 Agora estudaremos a intersegao de ga e hx para achar o valor de a gx hx 12 3a 1 1 de la r4t54a5 Denotando A como a area de R R U Ro temos que 12 1 A fo nea seojde f ola Fer 0 12 12 1 307 2 xdx 1 2 2 xdax 0 12 12 1 a 32 adx a a 44 ldzx 0 12 12 1 ate oe ye 4 2 4 3 2 0 12 Pitt o 1 Pry 1 Pitt 648 8 4 3 2 64 24 8 2 1 7 64 192 12 eee 16 Exercıcio 7 Calcule a area de cada regiao dada 17 Exemplo 8 A Figura 8 mostra uma regiao R delimitada pelos graficos das fungoes fx 3a 2 e gx 4 a Determinar a sua area y fa V3a 2 b l ga 4 a ll I a at Figura 8 Regiao R delimitada por fx e gx Solugao 1 Consideremos a divisao de R como no Exemplo 7 Para tanto consi deremos as intersegos dos graficos com 0 eixo 2 2 e fx V3a 20 3e204 3 e gx 4205244 2 Assim R R U Rz sendo R determinada no intervalo e Ry no intervalo a 4 Determinemos o valor de a V3a 242 3r2 42 3a 2 27 84 16 2 llr 180 x2o0ux9 2 Como a E i segue que a 2 Logo a area de R sera dada por 2 4 2 4 A fxdx f gadx V3u Zar f 42xdr 23 2 23 2 2 1 16 34 3x 23 4r 2 86 9 x 2 w 58 9 5 23 2 18 Solugao 2 Em vez de olharmos para regides compreendidas entre graficos de funcoes de x e 0 eixo x olharemos para as regides compreendidas pelos graficos de funcoes de y e 0 eixo y A definicaéo de area como integral é exatamente a mesma bastando substituir os intervalos no eixo x por intervalos no eixo y e tomando as inversas de fx e gx Neste caminho defina R como a regiao compreendida pelo grafico de gx eo eixo y e Ry como a regiao compreendida pelo grafico de fx e o eixo y Entao R R Ro portanto b A lg f dy 0 Além disso 1 efyvV3r2 ff w 3y 2 egy4a41Sgr14y Para determinar b observamos que b fa ga Como a 2 segue que b 2 Logo 1 A aGu2 au 0 2 1 10 ay d 34 yr 3 y 1 1 10 43 42 4 g oY F 3 s 8 24 20 34 en 3 9 19 Exercıcio 8 Calcule a area de cada regiao dada Exercıcio 9 Calcule a area de cada regiao compreendida pelos graficos de equacoes dadas a fx x2 e gx 2 b fx 2x x2 e gx 3 c fx x4 e gx 8x d fx x2 2x e gx x e fx x2 e gx x2 4x f fx 7 x2 e gx x4 4 20 Respostas dos exercicios propostos Exerciio 1 a 121 d 122 12611 b 50 e 1 c 88 f 161n 2 3ln 6 51n 10 Exerciio 220 a 38 c 1 b 1 Bxerctio 3 C a 14 c 5 o A 0 Exerciio 3a 2dx 5 dx 4l Area a ue Bxerctio 6 C a A a d A 2ua 40 ec A 19ua b A Bu c Ae lua f A 3d Bxerctio 7 CCC 9 4 a A pl b A gua 21 c A st c A S00 d A V2ua f A l6ua Exercicio 8 a A att c A tte b A aa a A sth Exercicio 9 a A Be a b A ua c A Sua a A ec A Se 82 f aa EAB CAA VID g5yvi8 1 22