Calculo Diferencial e Integral

MAPA LMAT CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 532024 Período 05082024 0800 a 01092024 2359 Horário de Brasília Status ABERTO Nota máxima 350 Gabarito Gabarito não está liberado Nota obtida 1ª QUESTÃO Olá acadêmicoa seja bemvindo Nessa atividade teremos a oportunidade de explorar os máximos e mínimos de funções de duas variáveis conteúdo este que desempenha um papel crucial em diversas áreas desde a economia até a engenharia e a física Até agora você está familiarizado com a ideia de encontrar os máximos e mínimos de funções univariáveis ou seja funções com apenas uma variável independente No entanto quando lidamos com funções de duas variáveis a paisagem matemática se torna mais complexa e intrigante Imagine uma função que depende não apenas de uma mas de duas variáveis independentes como x e y Visualmente podemos pensar nisso como uma superfície tridimensional que se estende infinitamente em todas as direções Nessa superfície os máximos representam os pontos mais altos enquanto os mínimos são os pontos mais baixos Com vistas a determinar onde esses pontos estão localizados e quais valores eles assumem você precisará utilizar técnicas e ferramentas abordadas nas aulas ao vivo e no material didático como derivadas parciais pontos críticos e matriz Hessiana Vamos a atividade considere a função fxy 3xy2 x3 3x e determine os pontos críticos e a classificação que eles recebem Na sequência trace a representação gráfica da função no GeoGebra utilizando a janela de visualização 3D para visualizar onde estão localizados os pontos extremos OBSERVAÇÃO para maior facilidade na execução dessa atividade a seguir apresentamos mais detalhes sobre a sua realização a Leia com atenção as informações contidas aqui e procure outras informações sobre o assunto que agreguem à sua atividade b No material da disciplina encontrase disponível um template para elaboração da atividade c Seu texto deve ser escrito na fonte times new roman ou arial com tamanho de letra 12 e não se esqueça de apresentar todos os cálculos realizados apenas fotografia dos cálculos não serão aceitas d Realize uma cuidadosa revisão em sua atividade e anexe o arquivo nela clicando sobre o botão Selecionar Arquivo e Após anexar o trabalho e se certificar que se trata do arquivo correto clique no botão responder e posteriormente em finalizar questionário após finalizar o questionário não será possível reenviar a atividade ou realizar qualquer modificação no arquivo enviado ALTERNATIVAS Nenhum arquivo enviado Sendo 𝑓 𝑥 𝑦 3 𝑥 𝑦 2𝑥 33 𝑥 então 𝑓 𝑥3 𝑦 23 𝑥 23 𝑓 𝑦 6 𝑥𝑦 Assim os pontos críticos da função são as soluções do sistema 3 𝑦 23 𝑥 230 6 𝑥𝑦0 Da segunda equação temse 6 𝑥𝑦0 𝑥𝑦0 isto é 𝑥0 ou 𝑦0 Se 𝑥0 então na primeira equação obtemos 3 𝑦 230 2303 𝑦 23 𝑦 21 de onde se obtém 𝑦1 𝑦1 Agora se 𝑦0 a primeira equação se torna 30 23 𝑥 2303 𝑥 23𝑥 21𝑥1 Portanto os pontos críticos de 𝑓 são 0101 1010 Das derivadas parciais obtidas no início temos que 2 𝑓 𝑥 26 𝑥 2 𝑓 𝑦 𝑥 6 𝑦 2 𝑓 𝑥 𝑦 2 𝑓 𝑦 26 𝑥 E então o hessiano para quaisquer pontos 𝑥 𝑦 será 𝐻 𝑥 𝑦 2 𝑓 𝑥 2 2 𝑓 𝑦 2 2 𝑓 𝑥 𝑦 2 𝑓 𝑦 𝑥 𝐻 𝑥 𝑦 36 𝑥 236 𝑦 2 𝐻 𝑥 𝑦 36 𝑥 2 𝑦 2 Para o ponto 01 𝐻 01 36 0 21 236 0136 136 Como 𝐻 01 360 então 01 é um ponto de sela Para o ponto 01 𝐻 01360 2 1 236 0136 136 Do mesmo modo sendo 𝐻 01360 concluise que 01 é um ponto de sela Para o ponto 10 𝐻 10 36 1 20 236 1036 136 e 2 𝑓 𝑥 2 10616 Uma vez que 𝐻 10 360 e 2 𝑓 𝑥 2 1060 temos que 10 é um ponto de mínimo local Para o ponto 10 𝐻 1036 1 20 236 1036 136 e 2 𝑓 𝑥 2 10 61 6 Como 𝐻 10360 e 2 𝑓 𝑥 2 10 60 então 10 é um ponto de máximo local GeoGebra Calculadora Calculadora 3D fxy 3xy2 x3 3x A 0 1 f0 1 0 1 0 B 0 1 f0 1 0 1 0 C 1 0 f1 0 1 0 2 D 1 0 f1 0 1 0 2 Entrada ATRIBUIR ENTRAR