Cálculo Diferencial

21072024 Unicesumar Ensino a aboutblan 13 1ª QUESTÃO MAPA MAT CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 532024 Período15072024 0800 a 11082024 2359 Horário de Brasília StatusABERTO Nota máxima350 GabaritoGabarito não está liberado Nota obtida 21072024 Unicesumar Ensino a aboutblan 23 A segunda lei de Newton afirma que o somatório das forças que atuam sobre um corpo é igual ao produto da massa pela aceleração ou seja Assim para um corpo em queda livre é introduzido um termo simples que leva em conta o atrito do corpo com o ar Daí escrevemos em que m é a massa g é a aceleração gravitacional 10 ms2 k é o coeficiente de atrito e Vt é a velocidade do corpo no instante t Rearranjando a equação escrevemos que é uma equação diferencial ordinária Admita que um paraquedista de massa 90 kg salta de um avião O paraquedas se abre após 10 s do salto Antes da abertura do paraquedas o coeficiente de atrito é k 5 kgs depois é aumentado em vinte vezes como ilustra a figura abaixo Figura 1 Salto de paraquedas Fonte elaborado pelo professor 2024 21072024 Unicesumar Ensino a aboutblan 33 Com base nessas informações resolva os itens abaixo a Escreva o PVI que descreve a queda do paraquedista antes da abertura do paraquedas b Resolva o PVI do item a e determine a velocidade do paraquedista no instante em que se abre o paraquedas t 10s c Escreva a EDO que descreve a queda do paraquedista após da abertura do paraquedas e determine a velocidade mínima que o paraquedista poderá atingir após a abertura do paraquedas isto é determine a velocidade quando t tendo ao infinito Orientações gerais Para esta atividade você deverá utilizar o formulário padrão que está disponível no ícone Material da Disciplina Considere as orientações para a atividade MAPA acessando o link do vídeo explicativo Não se esqueça de que este é um trabalho acadêmico assim sendo observe as Normas ABNT Atenção se identificado plágio cópia indevida de textos pesquisados ou cópia textual entre colegas a atividade poderá ser zerada Anexe o arquivo no campo de resposta da atividade MAPA clicando sobre o botão Selecionar arquivo Após anexar o arquivo certificarse que se trata do arquivo correto clique no botão Responder e posteriormente em Finalizar Questionário após Finalizar o Questionário não será possível reenviar a atividade ou realizar qualquer modificação no arquivo enviado Tendo dúvidas não deixe de encaminhálas por meio do fale com o mediador ALTERNATIVAS Nenhum arquivo enviado a Temos que m90kg g10 m s 2 e k5kg s Logo a equação será 90 dV t dt 90105V t dV t dt 10 1 18 V t Como a condição inicial é V 00m s temos que o PVI é dV t dt 10 1 18 V t V 00 b Primeiramente vamos escrever a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem dV t dt 1 18 V t10 Em seguida vamos utilizar o método do fator integrante para resolvêla Temos que μ t e 1 18 dt e t 18 Multiplicando os dois lados da equação pelo fator integrante obtemos d dt V te 1 18t dV t dt 1 18 V te t 1810e t 18 O que nos permite realizar a integração direta visto que d dt V te 1 18tdt10e t 18dt V te t 18 10e t 18 dt Observe que 10e t 18 dt10e t 18 dt1018e t 18C Assim V t e t 18180e t 18 CV t 180C e t 18 Por fim para determinar o valor da constante C vamos utilizar as condições iniciais V 00 180Ce 0 18 0 C180 Portanto a solução será V t 1801e t 18 c Após a abertura do paraquedas o coeficiente de atrito aumenta em vinte vezes ou seja k520100kgs A nova equação diferencial é dV t dt mgkV t 90 dV t dt 9010100V t dV t dt 1010 9 V t Logo dV t dt 10 9 V t10 Para resolver essa equação utilizamos novamente o método do fator integrante O fator integrante é dado por μ t e 10 9 dt e 10 9 t Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante dV t dt 10 9 e 10 9 t V t 10e 10 9 t d dt V t e 10 9 t10e 10 9 t V t e 10 9 t 10e 10 9 t dt A integral é 10e 10 9 t dt10 9 10 e 10 9 t C9e 10 9 t C Logo V t e 10 9 t 9e 10 9 t CV t 9Ce 10 9 t Independente do valor da constante C temos que lim t Ce 10 9 t C lim t e 10 9 t C00 Portanto quando t segue que V t 9 pois lim t V t lim t 9lim t Ce 10 9 t 909