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Análise Matemática

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Você sabia que seu material didático é interativo e multimídia Ele possibilita diversas formas de interação com o conteúdo a qualquer hora e de qualquer lugar Mas na versão impressa alguns conteúdos interativos são perdidos por isso fique atento Sempre que possível opte pela versão digital Bons estudos Análise Matemática Subsequências Unidade 2 Seção 2 Na webaula anterior estudamos o conceito e as principais propriedades de sequências numéricas definindo o que é o limite da sequência quando n tende ao infinito e desenvolvendo os resultados sobre a convergência dessas sequências Nesta webaula estamos interessados em um caso especial de sequências as subsequências de uma dada sequência original Subsequências aparecem por exemplo quando não temos todos os dados disponíveis de uma série de eventos com poucos faltando No entanto informações sobre subsequências podem nos dar informações sobre a sequência original Fonte iStock Tome como exemplo uma sequência no sentido informal da palavra de valores medidos em intervalos discretos de tempo como por exemplo a variação do valor em reais de uma moeda e suponha que esses valores sejam infinitos lembrese de que isso nunca é possível na prática mas suponha que estamos tratando de situações idealizadas por enquanto Tais sequências são chamadas de séries temporais Obter estimativas para o comportamento qualitativo dessas séries temporais pode ajudar a predizer a taxa futura de variação da moeda ao menos no curto prazo Definição de subsequência Seja uma sequência de números reais Então uma subsequência é uma restrição da sequência de a um subconjunto infinito de ÁVILA 1993 Lembramos da seção anterior que uma sequência pode ser vista como uma função dos números inteiros com valores nos números reais Logo para cada infinito a restrição de dada por para representa uma subsequência da Utilizamos a notação para denotar uma subsequência de onde fica entendido que o subíndice indica que estamos selecionando termos específicos da sequência original Assim fazendo variar em temos os termos com Isso nos traz de volta a visão de que uma subsequência é antes de tudo uma sequência propriamente dita é equivalente a uma função com Sendo também uma sequência definimos seu limite da mesma forma que na seção anterior temos se para cada existir tal que se então Fonte iStock Agora que você já conheceu sobre subsequências vamos finalizar nossos estudos conhecendo o teorema de BolzanoWeierstrass Teorema de BolzanoWeierstrass Seja uma sequência limitada Então possui uma uma subsequência convergente Dem Seja Queremos mostrar então que existe uma subsequência de monótona não decrescente Vamos definir o conjunto como sendo composto pelos elementos tais que existe somente um número finito de termos na sequência Como segue que precisamos ter para todo pois se então a seria maior que todos os termos da sequência gerando uma contradição Como então é limitado superiormente seja Temos que Assim para todo existe com existe tal que Já como pela definição de conjunto existe somente um número finito de termos segue que existe um número infinito de termos e portanto um número infinito de termos Além disso como existem infinitos termos no intervalo Se esse número fosse finito então existiriam infinitos termos de modo que então somente um número finito de termos seria menor que e portanto Mas isso contradiz o fato de que logo não pode ser verdade Muito bem Tomando para cada temos a seguinte situação para sabemos que existe Já para podemos tomar com já que há uma infinidade de termos da sequência no intervalo Prosseguindo para um dado genérico podemos tomar Desse modo construímos uma sequência de tal que para um dado de onde segue que é convergente com limite o que conclui a demonstração Estudamos sobre subsequências que são sequências cujos termos também são termos da sequência original e que são ordenados de maneira a preservar a ordenação da sequência original O estudo das subsequências é importante pois algumas vezes é possível obter teoremas que dizem respeito apenas a subsequências mas não à sequência original