Funções Limites e Continuidade - Conceitos e Aplicações no Cálculo I

Cálculo I Funções limites e continuidade Unidade de Ensino 1 Funções limite continuidade e definição de derivada Competência da Unidade Compreender o conceito de função bem como suas principais propriedades e aplicações Conhecer e aplicar o conceito de limite na descrição de fenômenos e situações Resumo Nessa aula discutiremos a respeito das principais definições que envolvem o estudo das funções reais dos limites e continuidade Palavraschave Função Limite Limite lateral Limite infinito Continuidade Título da Teleaula Funções limites e continuidade Teleaula nº 01 Conceitos principais Funções Domínio imagem e suas propriedades Principais categorias Limites de funções Definição Limites laterais Continuidade de funções httpsbitly2HWXklS acesso em 22 fev 2021 Funções Reais Estudo do lucro associado a uma produção Função Domínio Contradomínio Imagem x variável independente fx variável dependente Fonte STEWART 2015 p11 Considere que uma empresa que atua com a fabricação de eletrodomésticos deseja determinar a produção para obter lucro máximo Sabese que Custo total em função da quantidade de unidades vendidas Cx 2500 5x Função demanda preço de venda em função da quantidade vendida p 1300 4x Como determinar o lucro máximo httpsbitly2LKIKA acesso em 22 fev 2021 Exemplo A 1 2 3 5 B 2 1 0 2 8 Considere a função Contradomínio Domínio Lei de formação Representação algébrica Função receita Rx px 1300 4xx 1300x 4x² Função lucro Lx Rx Cx Lx 1300x 4x² 2500 5x Lx 1300x 4x² 2500 5x Lx 4x² 1295x 2500 Função quadrática x y fx 1 f1 1 3 2 2 f2 2 3 1 3 f3 3 3 0 5 f5 5 3 2 Representação Tabular Lx 4x² 1295x 2500 Quantidade a ser produzida para atingir lucro máximo x v 2a 1295 2 4 1295 8 161875 162 Lucro máximo y v 4 4a 12952 4 4 2500 4 4 1 637 025 16 102 31406 Limites assíntotas e a noção de infinito Exemplo A 1 2 3 5 B 2 1 0 2 8 f A B x fx x 3 Representação Gráfica Introdução ao estudo de limites de funções Cálculo de limites Em geral para o cálculo do limite caso exista devemos substituir o valor de a na lei de formação da função No entanto esse tipo de procedimento pode gerar os seguintes problemas Divisão por zero função tende Indeterminações do tipo 00 e utilizar métodos específicos Categorias importantes de funções Funções polinomiais Funções logarítmicas Funções exponenciais Funções trigonométricas Ideia intuitiva de limite Vejamos o comportamento da função fx x2 x 2 para valores de x próxin Por exemplo limx2 3x 9 9 18 x3 lim 1x x0 Funções inversas e composição de funções fx x2 x 2 em x 2 x fx x fx 1 2 3 8 15 2750000 25 5750000 18 3440000 22 4640000 19 3710000 21 4310000 195 385250 205 4152500 199 3970100 2005 4015025 1999 3997001 2001 4003001 Limites infinitos Às vezes os limites laterais ou bilaterais não existem porque os valores da função crescem ou decrescem sem cotas Esses comportamentos de limites são descritos escrevendo lim fx ou lim fx xa xa httpsbitly3k9krii acesso em 22 fev 2021 lim x2 3x4 2x2 1 lim x2 3x4 lim x2 2x2 lim x2 1 3 lim x2 x4 2 lim x2 x2 lim x2 1 3 24 222 1 57 Função injetiva ou injetora A função f A B é injetiva se para todos x y A com x y então fx fy Limite de uma função Suponha que fx esteja definida em algum intervalo aberto em torno de a exceto possivelmente no próprio a Dizemos que lim fx L se pudermos tornar os valores de fx suficientemente próximos de L ao tomar x suficientemente próximo de a mas não necessariamente igual a a Exemplo lim x2 x 2 4 x 2 Assíntota vertical A reta x a é chamada assíntota vertical da curva y fx se pelo menos uma das seguintes condições for satisfeita lim fx xa lim fx xa lim fx xa lim fx xa lim fx xa lim fx xa fx 2x 1 Função injetiva gx x² Função não injetiva Algumas propriedades os limites lim f x g x lim f x lim g x lim cfx c lim fx limfx gx lim fx lim gx lim fx lim fx se lim gx 0 lim c c e lim x a ae x a Exemplos de limites lim 1x x 0 x0 lim 1x 0 x lim ex 0 x lim ex x lim senxx 1 x0 lim 1 1xx e x Limites fundamentais Função sobrejetiva ou sobrejetora A função f A B é sobrejetiva se CDf Imf limfx lim fx onde n é um inteiro positivo lim x a x a lim x n a n onde n é um inteiro positivo lim x n a onde n é um inteiro positivo se n for par a 0 lim fx n lim fx onde n é um inteiro positivo se n for par supomos que lim fx 0 x a x Cálculo de limites laterais e bilaterais fx 2x 1 Função sobrejetiva gx x² Função não sobrejetiva CDa ℝ Img 0 Produto Interno Bruto e o estudo das funções Problema 1 interpretação de gráfico Stewart 2016 Para a função f cujo gráfico é dado a seguir analise o comportamento da função em torno do ponto x 3 httpsbitly2E1rUcG acesso em 22 fev 2021 Função bijetiva Função f A B injetiva e sobrejetiva simultaneamente Correspondência biunívoca entre os conjuntos A e B Exemplo f ℝ ℝ dada por fx 2x 1 Produto Interno Bruto e o estudo das funções Suponha que o PIB Produto Interno Bruto de um país em bilhões de dólares possa ser modelado pela função Px 500 60x 40sen πx 8 em que x 0 corresponde ao ano de 1998 x 1 ao ano de 1999 e assim por diante Com base nessa função qual será o PIB desse país no ano de 2022 lim fx lim fx lim fx f 3 x3 x3 x3 httpbitly3k9krii acesso em 22 fev 2021 Função inversa Seja f A B uma função bijetora a qual associa cada elemento x ε A com um elemento y ε B Função inversa de f função f1 tal que se fx y então f1y x para y ε B e x ε A Exemplo fx 2x 1 e f1y y2 12 O ano de 2022 corresponde ao tempo x 24 Logo Px 500 60x 40 sen πx 8 P24 500 60 24 40 sen π 24 8 P24 500 1440 40 sen3π P24 1940 40 0 P24 1940 Problema 2 Cálculo de limite Calcule os seguintes limites lim x2 x3x2 6 x1 lim x2 6x 9x 3 x3 Composição de funções Fonte PAIVA 2010 p110 Limites laterais lim x2 x3x2 6 lim x2 x lim 3x2 6 x1 x1 12 1 3 12 6 2 9 18 lim x2 6x 9x 3 lim x 32x 3 x3 x3 lim x 3 0 x3 Limite lateral à esquerda Escrevemos lim fx L e dizemos que o limite à esquerda de fx quando x tende a a é igual a L se pudermos tornar os valores de fx arbitrariamente próximos de L para x suficientemente próximo de a e x a x a Estudo da continuidade de funções reais Limite lateral à direita Escrevemos lim fx L e dizemos que o limite à direita de fx quando x tende a a é igual a L se pudermos tornar os valores de fx arbitrariamente próximos de L para x suficientemente próximo de a e x a x a Continuidade Uma função f é contínua em um número a se fa está definida isto é a está no domínio de f lim fx existe xa lim fx fa xa Limites laterais e bilaterais O limite de fx quando x tende ao a existe se e somente se os limites laterais em torno de a existem e são iguais isto é lim fx lim fx L x a x a httpsbitly2YQQaJ8 acesso em 22 fev 2021 lim x2 x 2 4 lim x ² x 2 4 lim x2 x 2 4 x 2 x 2 x 2 Exemplo Dada a função fx 2x 3 para x 4 7 16x para x 4 Verifique se fx é contínua em x 4 1 A função está definida em x 4 e é tal que f4 2 4 3 11 2 Calculando os limites laterais temos lim fx lim 2x 3 2 4 3 11 x4 x4 lim fx lim 7 16x 7 164 11 x4 x4 Assim lim fx 11 x4 3 Note que lim fx f4 x4 Portanto a função é contínua em x 4 Cálculo de limites Cálculo de limites Calcule os seguintes limites lim 3x4 2x2 1 x2 lim x 5x 2x 5x 5 x5