Equações Diferenciais Ordinárias: Classificações e Métodos de Resolução

Unidade de Ensino 3 Equacées Diferenciais Ordinarias Competéncia da Unidade Conhecer e ser capaz de aplicar na engenharia e na area de exatas os calculos referentes as equac6es diferenciais ordinarias Calculo Diferencial Resumo Nesta aula serdo estudadas as equacdes diferenciais ordinarias suas principais classificagdes além de métodos para a resolucdo de equacdes de certas e Integral III categorize Equacées Diferenciais Ordinarias Palavraschave Equacdes Diferenciais Ordinarias Problema de Valor Inicial Classificagéo Equagdes Lineares Profa Dra Daiany Cristiny Ramos Titulo da Teleaula EquacGes Diferenciais Ordinarias Teleaula n 03 1 2 Que tipo de situacgdes E preciso relembrar podemos analisar por meio das equacdes diferenciais Quais sdo os conhecimentos previos Integrais Imediatas Regras de derivaco necessarios para essa aula Canvacom 3 4 Equacdo diferencial Equacao que envolve uma funcdo incégnita e suas derivadas Equacoes diferenciais Exemplos Ordinaria Unica variavel dy y EDO independente 3x2 Equacao dx diferencial Duas ou mais DD variaveis independentes 5 6 Solucdo de uma equacao diferencial Problema de valor inicial Qualquer fungao f definida em algum intervalo J que Problema de valor inicial PVI 14 ordem quando substituida na equacao diferencial reduz a equacao a Problema do tipo uma identidade Resolva yt fty Exemplo A funco yx e2 6 uma soluco para Sujeito yto Yo GG40 Ge Ge 2 0 7 8 Problema de valor inicial Exemplo pre Classificacgao das Valor Inicial equacoes diferenciais Seja a solucdo geral y ce determine o valor de c ordina rias y0 cye 3 c 3 Logo a solucao particular 6 y 3e 9 10 Classificagdo quanto a ordem Classificagdo quanto a linearidade Determinada pela maior derivada presente na equacdo Equaco diferencial é linear quando Exemplos a variavel dependente e suas derivadas sdo de grau um Equacdo Ordem seus coeficientes dependem apenas da variavel independente y2y10 12 ordem Exemplos 2y 3y2 0 22 ordem yl 2y 5yy5 32 ordem Equacao Classificagao 4y 3xy 2x 0 Linear y yy 3x 0 Nao linear 11 12 Exemplos Coeficientes 2 constantes ou Coeficientes ST dependem de x aes dependem d ié y sevoemiey vee Ett meus ly aa L Variavel OHO 0 DO ee x Ce se O Gent independente t Derivada de 44 Derivada de 24 orgqem Equacao diferencial ordinaria linear de 44 ordem Equacao diferencial ordinaria nao linear de 22 ordem 13 14 EDO de 14 ordem Equacao diferencial ordinaria linear de 12 ordem oO i d Equacoes lineares de ax 2 body 92 a 1 ordem e fatores Forma padrao a4 Pxy Qx integrantes Exemplo 1 2yey2x y Zeys 15 16 Método dos fatores integrantes Exemplo Equaco na forma padrao Encontre a solugdo a dy Sy 0 2 Py nO Fator integrante Determinar o fator integrante ux elSdx 95x ux ef Pxax Multiplicar a EDO pelo fator integrante Multiplicar a EDO na forma padrao pelo fator integrante de dy e5 5e5 Vy 0 modo a identificar no primeiro membro uma derivada de dx 1 5x um produto de funcdes ley 0 dx ley Integrar ambos os membros para determinar a solugdo 17 18 d 5x le 0 ale yd eSty Odx C Estudo de equacoes eS yC diferenciais 7 oe C ordinarias yx ard yx e 19 20 Note que Uma empresa de producao de artefatos para festas solicitou a vocé e sua empresa a identificacao da fungdo que caracteriza o custo total em suas CO Jew dx operacGes sabendo que o custo marginal é Assim Cx 3x4 4x9 x 3x CO Gxt ax 4x 43x Jae e o custo fixo é R 300000 5 4 3 2 34L32x 5 4 3 2 09 Como solucionar Logo esse problema 5 5 41335 Cx 5x x tax 5 K 21 22 O custo fixo para x 0 é de R 300000 assim 5 5 4 1 3 3 2 3000 C0 3 005 O 5 OV K Problema de valor ou seja inicial K 3000 Portanto a fungdo custo total é dada por 5 1 3 45 442434 722 Cx 5x x 3x 5x 3000 23 24 Seja o seguinte problema de valor inicial PVI t P 2y 3e 01 fy eyr se y0 y0 1 Solugao geral yt 3e Ke KER A solucao geral para a EDO é yt 3e Ke com K ER Determinar K 200 1y0 3e Ke 3K K4 Qual é a solucdo Solucao particular particular para o PVI yt 3e 4e 25 26 EDO de 14 ordem separavel Equacdo separavel ou de variaveis separaveis Equacoes diferenciais gaya de 17 ordem Z separavelis Exemplo Contraexemplo y 2yex yyx 27 28 Exemplo Constante Encont lucdio da EDO fra fe dx referente aos ncontre a resolucdo da Cea 2 3 da equacao dy x yo kK quac in 2 3 y 2x3 x wee age y 2k Separacao das variaveis em membros distintos da equacao 3 dyyx dx y Integracdo em ambos os membros 2 Joay fotas 29 30 EDO exata de 1 ordem Equacdo diferencial ordinaria exata de 12 ordem Equacoes exatas Mxy Nxyy 0 em que existe Sxy com Soy Mxye Oy Nx y Exemplo Condicdo para ser exata 2xy 1xy 0 aM y Ny y vy ay y Ox oY 31 32 Exemplo de resolucdo Solucgdo Fx y tal que d OF 2 2xy1xy0 ou axy 14x27 0 ax XY OF Identificar as fungdes Mx y 2xy e Nxy 1 x ay 12x Comparar as derivadas parciais Integraco de em relacao a x x aM 4 aN FQuy Baya xy 10 oy Ox 33 34 Comparacao de F com aya OF 2 ety hy 22 Ga ns x x 2 ay ay Equacoes diferenciais Composicao da solucao na forma implicita eee poss ordinarias de CFQxyyxytyt 100 Gaz 2a ordem 35 36 EDO de 24 ordem EDO de 24 ordem ay bycy0 EDO de 22 ordem homogénea com coeficientes constantes De y e obtemos y re ey re ay bycy0comabcER Substituindo na EDO segue que Busca por solugdes na forma ye com r um pardmetro a ser are bre ce 0 determinado ear brc0 Sendo e 0 obtemos a equacdo caracteristica ar brc0 37 38 Exemplos Raizes complexas conjugadas Solugdo da EDO ratfi Cre cosBt Cre senBt y y2y 0 Solugio Ga EDO 7 r Equaco caracteristica Crem Coe ei 2r20 Equacao Fe igual ze nor caracteristica Raize sie ae Solugao da EDO Raizes da equacao caracteristica reais e distintas ar brc0 1R Cye Cote n2 p m1 Raizes reais y distintas 7 er Solugao da EDO Solugdo da EDO Cye Cyet2 ot t yt Cye Coe 39 40 7 a y 4y4y0 y 3y4y0 Solugao da EDO Equacao caracteristica Soluco da EDO Equaco caracteristica Cre cosBt Ce senBt rt rt r44r40 ee 2 3r440 Raizes da equacdo caracteristica reais e iguais Raizes da equacao caracteristica complexas conjugadas NY m2 3 v7 Solucgo da EDO r5itzZi yt Cye Cote Solugéo da EDO 7 7 yt Ce3 cos 2 C2e3 sen 2 41 42 Um cliente que trabalha com fabricacdo de molas solicitou a vocé um estudo a respeito de um modelo matematico que atenda a fabricagdo de uma mola especifica com base no movimento harmGnico simples Estudo de EDOs a O objetivo é estudar um bloco de 4 kg em um sistema massamola de modo de 2 ordem ums que a mola apresenta constante de proporcionalidade de Hooke k 9Ncm No instante t 0 o bloco é solto de uma posicdo inicial afastada a 6 cm da posicao de equilibrio da mola com uma velocidade inicial de 3 cms 43 44 A posico do bloco no sistema massamola pode ser descrito pela EDO Dados m 4kg ax de solucdo geral xt C senwt Cz coswt em que w km é k9Ncm a frequéncia natural do sistema k é a constante de proporcionalidade de Em t 0 x0 6 0 x0 3 Hooke e m a massa do bloco m x0 2 v0 x0 Frequéncia natural Como determinar a k 5 3 solucao particular para w 5 wHt esse problema m 4 2 45 46 Determinacao das constantes xt C senwt Cz coswt 6 6 C senw0 C2 cosw0 a2x k ox 6C0C1 Solucao do problema de valor inicial 0 6 Co 6 x0 3 xt Cyw coswt C2w senwt 3 3 xt 2sen t 6cos 5 x0 Cw cosw0 6w senw0 3 2 2 Cjw13 3 Cy 3 39C2 47 48 Considere a equacao diferencial ordinaria de 22 ordem dada por y2y2y0 fe Resolucao de EDOs de oO 2 ordem O Qual é a solugdo para essa EDO y 2y 2y 0 y 2y2y0 hae Raizes complexas conjugadas Equacao caracteristica r1i 2 rar20 Soluco da EDO A2412484 yt Cye cost Cre sent Raizes da equacdo caracteristica OA tv4 24 VAT 242 34 2 2 Recapitulando Unica variavel Recapitu lando Equac6es diferenciais Duas ou mais variaveis EDP independentes determinada pela maior Pode ser classificada derivada presente na Pode ser quanto a ordem equacao classificada quanto a linearidade Quando a variavel dependente e suas derivadas sao de grau um e seus coeficientes dependem apenas da variavel independente ss Raizes complexas Forma padréo conjugadas Método do fator a Pxy Qx Fator integrante ratfpi integrante dx Bx el Pxa Solucdo da EDO Cre cosBt Cre senBt Equagées dy 3 Equacao caracteristica goes gxhy Equacées quace rishca z Equaches separaveis dx diferenciais de ar brc0 o Solugeo da EDO diferenciais de segunda ordem Raizes reais iguais 2 primeira ordem Hamner Mxy Nx yy 0 em que existe Sxy os Raizes reais distintas quag com 5p OY My 1 T Soluco da EDO eX xy Gy Crent Caer