Integrais Múltiplas: Conceitos e Aplicações na Engenharia

Unidade de Ensino 1 Integrais multiplas Competéncia da Unidade Conhecer e ser capaz de aplicar na engenharia e na area de exatas os calculos referentes as integrais multiplas Z Calculo Diferencial Resumo Nesta aula serdo estudadas as equacées de plano a definicdo e o calculo das integrais triplas com aplicagdo na determinacgao de volume e Integ ral III e centro de massa além das areas de superficies a Palavraschave Equacao do plano Integrais triplas Volume Centro de massa Area de Integrais Multiplas superficie Profa Dra Daiany Cristiny Ramos Titulo da Teleaula Integrais multiplas Teleaula n 01 Que tipo de situacées E preciso relembrar podemos analisar por meio das integrais triplas Quais sdo os Integrais Coenen enieenearee Vetor gradiente Produto escalar Imediatas necessarios para a disciplina t Métodos de integracdo Integrais duplas Canvacom Equacao geral de plano z n Sejam PoxooZ0 um ponto fixado x Equacao geral de do plano e abc um vetor PPNE 0 pla no normal ao plano Pxyz pertence ao plano se o vetor y PoP x x0 Yo Z Zo for ortogonal a 7 ou seja PyP 7 0 Equacdo geral de plano Exemplo Equacao do plano tangente ao grafico de 0 PoP i x X0 Yo Zo abc fyz 3x Sy 222 0 ax Xo by yo cZ 20 em Po123 Equacdo geral ax by cz d 0 com d axy by cZ Vetor normal Equacao do plano tangente a uma superficie fx yz k em Pp Vf xyz 6x 10y4z Vf123 620 12 ni Vf Xo Yo Zo Equacdao 6x 1 20y 2 12 3 0 Gradiente 6x 6 20y 40 12 360 af af of X 20y Z Ua aeuaude 6x 20y 12z10 0 7 8 Integral tripla Seja fB R onde ye 4 Bxy2 R3axbcsysduszsv Integrais triplas Integral tripla de f sobre o dominio B L mn Fonte STEWART 2016 v2 p922 fe rewaar tim SY Y reine vine zip av B i1 jl k1 se 0 limite existir A integral tripla para fungado f continua 9 10 Teorema de Fubini Se f é continua na caixa retangular B ab x cd x wv entao a b 1 l 1 fll iy 5 Il fx yz dV 4 fy fyz dxjdylda Calculo de Il 1 ett integrais triplas Calculo por integrag6es sucessivas Seis ordens Técnicas e diferentes para resultados das calcular uma integrais integral tripla definidas 11 12 Calculo de integrais triplas Calculo de integrais triplas CAlculo como integrais iteradas Possibilidades para 0 calculo da integral de f R121 x 23 x 02 Técnicas de integracado associadas a integrais definidas 2 73 p2 2 72 73 aa I 4x yz dz dy dx I 4xyz dy dz dx Diferentes possibilidades para o calculo ordens 1 J2 Jo 1 Jo Jz 3 72 2 3 72 2 2 2 Exemplo fx y2 4x2yz I I ie yz dz dx dy Lie yz dx dz dy R2x o2eR 22 8 2 73 2 I 4x yz dy dx dz I I 4x yz dx dy dz 0 41 42 0 42 41 x y Zz 13 14 Calculo de integrais triplas a Calculo pela primeira possibilidade 278 2 ex2y279 1 pela pi Pi if 8xy dyflx eal dx 4xy 93 dx os 1 2 0 2 3a 2 63 4x2yG2y7 2 fi 4x yz dadydx I dy dx 4x23 4x dx 1J2do 172 21 1 I 2x 2 2xy0 dy dx 2 3 36x 16x dx I 8xy dy dx 1 42 2 onprccc4 20x ax 21 1 if 8x y dy dx 15 16 2 20x3 20 20 160 20 140 20x dx 2 0 SRS Resolvendo integrais 9g Portanto 2 73 p2 140 i I 4x2v2 dz dy dx 1 42 YO 17 18 3 wT pl el T I I I cosx dzdy dx I cosx dx Suponha que vocé esteja se preparando para um concurso e se deparou com 0 o 0 t wor x z mw pl senXo uma questao que requer 0 emprego do calculo das integrais triplas A integral I I cosx zs dy dx sen1r sen0 0 a ser resolvida é o 0 mT cl I i cosx 1 cosx 0dy dx J J cose dv one IB T pl I I cosx dy dx em que B xyzO0x70sy10z1 0 Jo 1 eos vib ax 0 1 i cosx 1cosx 0 dx 0 19 20 Desejase calcular a integral tripla da fungdo fy2 3x7y z na regido Integral tripla eo Rxy2z CR 0x12yx1z3 estudo da regiao Quais sao as possibilidades de calculo para a integral tripla apresentada 21 22 Ryz ER 0x12yx12z 3 1 fx 73 ey2azayax Integrais triplas 0 42 Y1 em regioes gerals 3 1 rx i I 3xy z dy dx dz 140 42 1 73 x I I I 3xy z dydz dx 0 412 23 24 Tipos de regides Exemplo calcule ff zdV onde D 0 tetraedro limitado pelos planos x 0 57 t y0z0extytz1 E Pa ol D caine i mie f D 4 z wh 7 v4 va coy loon x D wy oe és pen tne Tipo I Tipo Il Y 0 10 mae 10 0 Ne x a z0 Fonte STEWART 2016 v2 p924 Fonte STEWART 2016 v2 p923925 25 26 Estudo de dois graficos Joon Variago de z avaliar D nana O0z1xy Representacao da regido D tridimensional Representacio da regio R que corresponde a projecao de D sobre um t oe dos planos coordenados xy xz ou yz bidimensional sar N20 oN rojegao o P a Exemplo em xy 1 y yulx leon Variagdes de x e y avaliar JS relxy Fenbein R a Osxsl 0 y0 7 010 Osys1x Fonte STEWART 2016 v2 p924 100 x 0 y0 1 ee z0 Fonte STEWART 2016 v2 p924 27 28 Logo COCOCOCOS Como 1 Vextery 11x 2 txy Osxsl hfe a dzply dx f dy dx Oyslx oo het pa SE Oz1xy weeec ccf 1 1l 1 1 Qxy3 entao 5 fi l1xy dyux 5 dx 21 1 2 3 0 11x1xy OlIDWe ee LL LLL 0 Ill av zdzdydx D i 1 Cn 1 1 Squat rel y i1 al ay dy F ga 24 e4 29 30 Massa e volume Fungdo densidade pxyz de um sdlido que ocupa uma regido E em Momentos e centros um ponto xyz de massa Massa yz dV m I p 2 Volume vj I av 31 32 Momentos Centro de massa Em relacdo ao plano coordenado xy 8 Ponto de coordenadas x yZ tal que May ff 206y2 av zat Em relacdo ao plano coordenado xz My y Myz z dV m oc2 Em relacdo ao plano coordenado yz z My m My yz dV ye ff x0e2 33 34 Momentos de inércia Em relacao ao eixo coordenado x t fo2 oy2av Area de superficie E Em relacao ao eixo coordenado y l 242 yz aV y ff 29 oexy2 Em relacao ao eixo coordenado z G2 oGoy2av E 35 36 6 Superficie parametrizada Area de superficie Vetores tangentes Superficie parametrizada em R é uma aplicacdo r D c R R ax dy dz Derivada em um m du du du rv Gu v yu v 2u v ponto qualquer he Ox oy 4 zs av dav av 3 PS Infinitamente A pequeno AK x i i oo SS ie Fit ly yyy Area de superficie i a Atruxrlaa xe x D Fonte BUENO FREZZA 2016 p50 Fonte STEWART 2016 v2 p992 37 38 Durante a reforma do Congresso Nacional desejase fazer uma pintura nova em algumas regides das cupulas as quais se assemelham com paraboloides o que requer conhecer a area para determinar o gasto com tinta vos Area de su perficie eo Considere que o trabalho de pintura tera inicio em uma superficie de Congresso Nacional representacao algébrica z x y com 0z4 e medidas dadas em metros Determine a area dessa superficie 39 40 Parametrizacdo da superficie z x y f Logo xuy yvu zuv s yo NE x ruv uv u2 v2 ci Ty X Ty 2u2v1 Vetores tangentes Iry X ry 2u 2v2 12 V4u2 402 41 Ty 10 2u Calculo da area da superficie Tr 012v Produto vetorial A I Iry xX ry dA I V4u2 4v21dA D D ij ik Ty XTy f 0 2 2u2v1 0 1 2v 41 42 oo x Em coordenadas polares temos u r cos v r sen com Limites de integracao AaB ca Zax y4 D r0 R0r20 2m a entado Além di f 4 wWoyra4 ém disso z4 v ae 4u 4v 1 4r cos 4r sen0 1 4rcos sen6 1 4r2 41 ie 7 4 Portanto V4u 4v1V4r 1 Osr2 Em coordenadas polares fo 02n cosx senx 1 43 44 Logo a Substituicao onl 2 u4r 1 du 8r dr A V4u 4v ida If 4r2 1rdydé i ores vant ir patel Estudo da regiao de 0 jo Sn 8 3 8 integragao 2a 2 1 17V171 2 a5 4r 19 do 2 de 12 0 12 0 0 z 771 2n 12 6 Assim a area é de aproximadamente 3618 m2 45 46 Suponha que durante a resolucdéo de um problema sobre volumes e Regido do tipo I t centros de massa seja necessario calcular uma integral tripla sobre a Temos que y x z regido E limitada pelo paraboloide y x z e pelo plano y 4 2ayxsa24yx2 ox Quando z 0 temos a projecao no plano xy y2 Descreva a regido yar de integragao une ue e pelo exercicio temos que a regido é delimitada como sendo do Tm pelo plano y 4 t 7 tipo 1 tipo 3 Temos que 4 a4 x2 0 x Fonte ROGAWSKI 2009 v2 p887 47 48 Regiao do tipo I Regiao do tipo III ft Logo temos a seguinte regido E Temos que yxzey4 sees D EyzR32x52x7y4Vyx2 25JVyx eterys4 2 x A projecao no plano xz 4 xv47274 Escrevendo a variagado no plano xz em termos de COOuenauas polares Te E r45r2 Ors2 x 002n 49 50 Equacao geral do plano Recapitulando 4 Do plano tangente a PoP ax X9 by yo cZ 2 0 a a PoP Vf Xo Yo Z0 0 a a a a of of a vp hf OF Ox Oy dz 51 52 Se f é continua na caixa retangular B ab x cd x uv entéo E xy2xy Du y Sz ux y vdb Jrexoe J rer2 ax ay ae fox2av f fxy2 dz dA uca Seis B luwes possibilidades i Volume Massa de ordem Ey22 Dwy2 x SwVyD Integrais Jove II aw m foe yzaV Triplas le E Tht is Trl ugyz ntegrais Triplas Centro de Myy ee90 av Em regides mais Do tipo 11 J e920 fy2 a aA aoa massa SN E gerais B uz Aplicagdes Momento E xy2xz Duxz Sy uxz m i xz Yr ez rove P sernaa m J é PM lua Yo Mey My xomy0av ae E 53 54