Integrais Múltiplas em Outras Coordenadas

Cálculo Diferencial e Integral III Integrais múltiplas em outras coordenadas Profa Dra Daiany Cristiny Ramos Unidade de Ensino 2 Integrais múltiplas em outras coordenadas Competência da Unidade Conhecer e ser capaz de aplicar na engenharia e na área de exatas os cálculos referentes às integrais múltiplas Resumo Nesta aula serão estudadas as integrais triplas em outras coordenadas envolvendo a determinação do jacobiano coordenadas cilíndricas esféricas e aplicações centro de massa momento de inércia etc Palavraschave Mudança de coordenadas Integrais triplas Jacobiano Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Momento de inércia Título da Teleaula Integrais múltiplas em outras coordenadas Teleaula nº 02 Que tipo de situações podemos analisar por meio das integrais triplas Canvacom Quais são os conhecimentos prévios necessários para a disciplina É preciso relembrar Integrais Imediatas Métodos de integração Integrais duplas Mudança de variáveis e as integrais triplas Mudança de variáveis em integrais triplas Transformação biunívoca 𝑇 𝐴 𝐵 Espaço 𝑢𝑣𝑤 Espaço 𝑥𝑦𝑧 1 2 3 4 5 6 Mudanca de variaveis em integrais triplas Mudanca de variaveis em integrais triplas Jacobiano da transformacao Integral tripla e a mudanca de variavel xu vw ax dx ax yu vw 0xyZ au av aw 2uvW Ill PMY 7h acey2 by Op poy zdVv Pow vw au vw av atuvw du dav aw dz Oz Oz du dv aw xu vw wtuo zuvw 7 8 Mudanga de variaveis em integrais triplas Exemplo encontrar 0 jacobiano associado a seguinte mudanca de coordenadas Coordenadas x rcos y rsen 6 cilindricas e integrais ZZ ax ax ax triplas xyz oy ey Ms cos rsen 0 1 least oe 98 al senreos 0r dz Oz Oz ar 06 az 9 10 Coordenadas cilindricas si Integral tripla em coordenadas cilindricas Plr02 Para um ponto Px yz a 002n dl x rcos6 yexaa rerc0scr sen6z r r dO dz y rsen0 I Jacobiano associado a mudanca de a2 x N 780 Regido S em coordenadas cartesianas variaveis Além disso Fonte STEWART 2016 v2 p 932 i a dx dy dz r dr dO dz Regido E descrigdo de S em coordenadas cilindricas xetyrr tg0 11 12 Calculo de integrais triplas em coordenadas cilindricas Integre a funcao f xyz zx y no cilindro x y 4 paralz5 Aplicacao das Descrico do cilindro em coordenadas cilindricas coordenadas iszss 17 cilindricas em Osrs2 02n integrais triplas 13 14 2m p2 7S 2m p2 7S 2 Descrigdo da fungdo em coordenadas cilindricas I arr dz dr d I zr dadr dé 2m 2 275 fGey2 2 Fy F aro 0 Jo 1 fz70 2Vr2 ar 2n 72 I i 12 r dr dé Calculo da integral tripla 0 40 2 2n 2 7S 2f dé roxoev i errazarao 0 31 Ss 0 0 41 20 I 32 d0 3202 641 0 15 16 A mudanga de coordenadas é uma pratica comum quando desejamos calcular uma integral tripla A depender da regido de integracéo a mudanca facilita na resolugéo dos calculos Considerando a mudanga de coordenas Mudanca de ia cartesianas para coordenadas cilindricas calcule a integral dada coordenadas 2 V4x2 2 x y dzdydx Lode yr da dy Stewart James Calculo Vol2 p 925 2013 17 18 Te iecd 50 di 24 2 Essa integral iterada é uma integral tripla sobre a regido solida A projegao de E sobre o plano xy 0 disco x y 4 pois Eyz25x2V4x yV4x2Vx2y2 z 2 ysv4x 2 y 2 xe y2 4 Stewart James Célculo Vol2 p 925 2013 mp zVxty Utilizando as coordenadas cilindricas temos que a xy 4 ce 2 gg 2 y r4r2 Stewart James Calculo Vol2 p 925 2013 Logo 0r2 Em coordenadas cilindricas temos a seguinte regido Ye pra 2 A superficie inferior de Eé 0 cone z x yea E0620r2002nrz2 superficie superior é o plano z 2 2 aox 22 2 2m 42 i dei fa ia 2 ydzdy dx I r rdzd dr Utilizando as coordenadas cilindricas temos y L Ico lo Jo dy x24y2 2 a Y 2 p2m p2 2 p20 2 p2n 2 wry i re dzd6 ar I rz ae ar I 2r3 r dé dr 2 Stewart James CAlculo Vol2 p 925 2013 0 40 r 0 0 0 0 Z Vr2 72Z7T 2 2 39 4920 3 4 Logo rz2 2r r0g dr 4nr 2nr dr Por fim a variagdo de 6 é dada por 0 6 2n 4nr 2nr5 16 64a 16 La 7s 5 5 Considere a regiao tridimensional apresentada na seguinte figura H Como podemos Regioes descritas em Z descrever essa regido em coordenadas coordenadas f cilindricas cilindricas 2 e 7 y Xe Fonte STEWART 2016 v2 p940 Coordenadas cilindrica Z Variagdo de r 0ps3 Coordenadas Variacao de z te esfeéricas e integrais 0z2 Fonte STEWART 2016 v2 p940 triplas Variagdo de oo ae 25 26 Coordenadas esféricas Integral tripla em coordenadas esféricas peR pres Para um ponto Px yz O0oa p 2 oé2m oc224v 000 0G senap ao a0 x psen cos6 oy s le a Jacobiano associado a y psen sen xa mudanca de varidveis Regido S em coordenadas cartesianas Z pcos Fonte STEWART 2016 v2 p936 oo Regido descrigdo de S em coordenadas esféricas Além disso praxtty2tz dx dy dz p sen dp do dO 27 28 Calculo de integrais triplas em coordenadas esféricas Calcule o volume da regiao limitada abaixo do hemisfério x y z 4 e acima do cone x y z Aplicacgao das coordenadas esfeéricas a Ty A 4 pie em integrais triplas A LG i 2S a a to 0 29 30 Esfera x y274 id MS Cone x y 2 id By Cone x y z i Z Descrigéo do cone em coordenadas esféricas i Z i A Meee SF Ree SF Ra Volume 4 a p sen cos p sen sen9 pcos J en ve le sen cos sen sen8 cos s sencos sen cos Descrigdo da esfera em coordenadas esféricas 2 2 sen cos a p 0 senp cos p2 Folha superior do cone 31 32 Descrigdo da regido em coordenadas esféricas Calculo do volume Ep 4 See F SY 2m pe 2 ane py j J fg V le I i I p sen dp do dO i i senp dd dO Z tT SS Ss 0 Yo Jo 0 Jo L3 Jy SF Te 0sosi SF Be SY Se 4 pf Ba NSA nh 1 iar reverwen at Tory erretee rs 8 2 zr 8 2 us 2 I senp dp dé sf cosé de x a 3 0 0 3 0 PcG 4 PS 2n Gg 0 0 2 812 a0 12 1 2 3h 22 aN 33 34 Momento de inércia Momento de inércia de um solido S em relacdo a um eixo E 7 oe Momentos de inercia Ip dz xy y 2 dV e mudanca de e Ih 692 PGoY2 7 variavelis com dzxyz distancia de um ponto Px yz ao eixo E pxyz fungdo densidade 35 36 Momentos em relacdao aos eixos coordenados Exemplo Determine o momento de inércia do cilindro x y 9 entre os planos z Il y 2 px yz dV 0 ez 3 em relacdo ao eixo z considerando a densidade constante e igual a Ss 2 Il x2 2px yz dV Momento de inércia em relacao ao eixo z Ss 2 2 1e fce ty 0x0a7 t ff o 99 0Gy2av Ss Regido em coordenadas cilindricas Ors30sd02n05z23 37 38 Calculo da integral em coordenadas cilindricas 2m 73 73 IL I I r2r dz dr d 0 0 40 Mudancas de 2m 73 73 a7 2 azarae variaveis e momentos 0 0 40 z de inercia 2m 73 of I r3 dr do 0 0 243 2 dé 2431 2 0 39 40 Suponha que um empresario brasileiro tenha encomendado ao escritério Esfera 5 com 2 m de raio Ma n LZ de engenharia em que vocé trabalha um enfeite no formato de uma esfera Momento de inércia em torno do eixo z Yaa tom macica com 2 metros de raio a qual sera construida no patio da empresa ERB wy KEE az e deve subir um mastro girando em torno de seu eixo posicionado sobre o L Il x2 ypxy2 dV Puy eixo z O material a ser utilizado apresenta densidade constante e igual a s ee Cc sendo pxyz CeER Sua tarefa nesse projeto consiste em calcular o momento de inércia da esfera em relagdo ao mastro 0 qual é fino o suficiente para ser desconsiderado 41 42 Descrigdo da regido em coordenadas esféricas Calculo do momento de inércia em coordenadas esféricas Osps2 0SO02n OS Oc ow a mw 2m 2 1 2m 2 Descrigdo da fungdo em coordenadas esféricas L feo sen dp d0 do cf sen fe dp dod x y psen cos0 p sen sen 000 0 00 p sen cos sen8 1 on 32 32 p seno c sen9 dé do cen sen do 0 0 0 x ypxyz dV C p sen dp dp dO 32 C Qn 3 5362C 43 44 Dada a regido Exyz1x1V1x yV1x2V1x2 yzV1xy Regides descritas em ros coordenadas esfericas Como podemos representala em coordenadas esféricas 45 46 Analisando a variac3o de 1x2y2zJ1x2y Da variacgao de z podemos concluir que temos uma esfera de raio 1 Assim ZS V1xy 0sO02n z1xy Oa xtyr2tz21 psl Logo a regido E em coordenadas esféricas é dada por Logo em coordenadas esféricas temos que0 p 1 Ep0o0p1002n07 47 48 Recapitulando Mudansedecordenades CHelo de eae cor 3 Recapitulando Calculo do jacobiano ax ax ax lau Ov dw per2 eo a duvw Jau av a du dv dw Ax y 2 I pu vw ber av 49 50 x rcos y rsen J x2 y 72 fo Calculo d aaeze ve yzdV Ire cosrsenzr dr dé dz Outros tipos de coordenadas x psen cos y psenp sen6 Calculo de xyz dV fl gp0 p sen dp dd do integrais Mh I 51